《第七章 復(fù)數(shù)》單元復(fù)習(xí)與單元檢測(cè)試卷（共三套）

《第七章復(fù)數(shù)》章節(jié)復(fù)習(xí)【體系構(gòu)建】【規(guī)律方法收藏】1．待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中特別重要的一種解題方法，在本章的復(fù)數(shù)的運(yùn)算當(dāng)中，待定系數(shù)法用的較多，常設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，建立a，b的關(guān)系式，然后求解問題．2．解決復(fù)數(shù)問題時(shí)，要注意從整體角度去分析求解，若遇見復(fù)數(shù)便設(shè)為z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過大．運(yùn)用整體代換及結(jié)合幾何意義，可以大大地簡化計(jì)算過程．3．復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化的理論依據(jù)．4．復(fù)數(shù)的模是復(fù)數(shù)的一個(gè)重要概念，也是高考重點(diǎn)考察的對(duì)象之一．求復(fù)數(shù)的模的最值時(shí)，常用的方法有：(1)設(shè)出代數(shù)形式，利用求模公式，把模表示成實(shí)數(shù)范圍的函數(shù)，然后利用函數(shù)來求最值；(2)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|求解；(3)利用幾何法求解．【學(xué)科思想培優(yōu)】一、復(fù)數(shù)的基本概念復(fù)數(shù)的分類，要弄清復(fù)數(shù)類型的充要條件，若復(fù)數(shù)a＋bi是實(shí)數(shù)，則b＝0，若復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)，則a＝0且b≠0，若復(fù)數(shù)a＋bi為零，則a＝0，且b＝0，若復(fù)數(shù)a＋bi是虛數(shù)，則b≠0.[典例1](1)設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A．若z2≥0，則z是實(shí)數(shù)B．若z2<0，則z是虛數(shù)C．若z是虛數(shù)，則z2≥0D．若z是純虛數(shù)，則z2<0(2)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為()A．－3B．－1C．1D．3(3)已知復(fù)數(shù)z＝(5＋2i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為________．解析(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a2－b2＋2abi，若z2≥0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2－b2≥0，))即b＝0，故z是實(shí)數(shù)，A正確．若z2<0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2－b2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))故B正確．若z是虛數(shù)，則b≠0，z2＝a2－b2＋2abi無法與0比較大小，故C是假命題．若z是純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))z2＝－b2<0，故D正確．(2)a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，其為純虛數(shù)得a＝3.(3)復(fù)數(shù)z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其實(shí)部是21.答案(1)C(2)D(3)21二、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，此時(shí)含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式．[典例2]計(jì)算：(1)eq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)；(2)eq\f(2＋2i4,1－\r(3)i5).解(1)原式＝eq\f(\r(2)＋i,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋ii,i＋\r(2))＝i.(2)原式＝eq\f(161＋i4,1－\r(3)i41－\r(3)i)＝eq\f(162i2,－2－2\r(3)i21－\r(3)i)＝eq\f(－64,41＋\r(3)i21－\r(3)i)＝eq\f(－16,1＋\r(3)i×4)＝eq\f(－4,1＋\r(3)i)＝－1＋eq\r(3)i.三、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義1．任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)一點(diǎn)Z(a，b)對(duì)應(yīng)，而任一點(diǎn)Z(a，b)又可以與以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)Z(a，b)為終點(diǎn)的向量eq\o(OZ,\s\up16(→))對(duì)應(yīng)，這些對(duì)應(yīng)都是一一對(duì)應(yīng)，即2．設(shè)z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，其對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)分別為Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)，所以點(diǎn)Z1，Z2之間的距離為|Z1Z2|＝|eq\o(Z1Z2,\s\up16(→))|＝|Z2－Z1|＝|(x2＋y2i)－(x1＋y1i)|＝|(x2－x1)＋(y2－y1)i|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).[典例3]已知z是復(fù)數(shù)，z＋2i，eq\f(z,2－i)均為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，因?yàn)閦＋2i＝x＋(y＋2)i，且z＋2i為實(shí)數(shù)，所以y＝－2.因?yàn)閑q\f(z,2－i)＝eq\f(x－2i,2－i)＝eq\f(1,5)(x－2i)(2＋i)＝eq\f(1,5)(2x＋2)＋eq\f(1,5)(x－4)i，且eq\f(z,2－i)為實(shí)數(shù)，所以x＝4，所以z＝4－2i，所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根據(jù)條件，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋4a－a2>0，,8a－2>0，))解得2<a<6，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6)．[典例4]已知復(fù)數(shù)z1＝i(1－i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．解(1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(－2i)＝2－2i，∴|z1|＝eq\r(22＋－22)＝2eq\r(2).(2)解法一：設(shè)z與z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z，Z1，∵|z|＝1，∴點(diǎn)Z在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，∵z1＝2－2i，∴Z1(2，－2)，∴|z－z1|為點(diǎn)Z1到圓上一點(diǎn)的距離，∴|z－z1|max＝|ZZ1|max＝eq\r(22＋22)＋1＝2eq\r(2)＋1.解法二：∵|z|＝1，∴可設(shè)z＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，∴|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝eq\r(cosθ－22＋sinθ＋22)＝eq\r(9＋4sinθ－cosθ)＝eq\r(9＋4\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))).∴當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝1時(shí)，|z－z1|取得最大值，最大值為eq\r(9＋4\r(2))＝2eq\r(2)＋1.四、復(fù)數(shù)方程問題[典例5]設(shè)關(guān)于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0，(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求銳角θ和實(shí)數(shù)根；(2)證明對(duì)任意θ≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，方程無純虛數(shù)根．解(1)設(shè)實(shí)數(shù)根是a，則a2－(tanθ＋i)a－(2＋i)＝0，即a2－atanθ－2－(a＋1)i＝0.∵a，tanθ∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－atanθ－2＝0，,a＋1＝0，))∴a＝－1，且tanθ＝1.又0<θ<eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,4).(2)證明：若方程存在純虛數(shù)根，設(shè)為x＝bi(b∈R，b≠0)，則(bi)2－(tanθ＋i)bi－(2＋i)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b2＋b－2＝0，,btanθ＋1＝0，))此方程組無實(shí)數(shù)解．所以對(duì)任意θ≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，方程無純虛數(shù)根．《第七章復(fù)數(shù)》單元檢測(cè)試卷一學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三四總分得分第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共8小題）1．已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．1 B．2i C．±1 D．23．計(jì)算1+i+i2+i3+…+i89的值為（）A．1 B．i C．﹣i D．1+i4．復(fù)數(shù)i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若z＝1+i，則|z2﹣2z|＝（）A．0 B．1 C． D．26．若（1+i）＝1﹣i，則z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i7．已知（5，﹣1），（3，2），對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則（）A．5﹣i B．3+2i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i8．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則t的取值范圍為（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）Ⅱ卷（非選擇題）二．多選題（共4小題）9．已知復(fù)數(shù)z＝x+yi（x，y∈R），則（）A．z2≥0 B．z的虛部是yi C．若z＝1+2i，則x＝1，y＝2 D．10．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z的四個(gè)命題：其中的真命題為（）A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共軛復(fù)數(shù)為1+i D．z的虛部為﹣111．下面關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題中，結(jié)論正確的是（）A．若復(fù)數(shù)z∈R，則 B．若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R C．若復(fù)數(shù)z滿足，則z∈R D．若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則12．若復(fù)數(shù)z滿足（z+2）i＝3+4i（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的有（）A．z的虛部為3 B． C．z的共軛復(fù)數(shù)為2+3i D．z是第三象限的點(diǎn)三．填空題（共4小題）13．復(fù)數(shù)．14．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第象限，復(fù)數(shù)z的實(shí)部是．15．已知x、y∈R，i為虛數(shù)單位，且（x﹣2）+yi＝﹣1+i，則x+y＝．16．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝1﹣i，則z的共軛復(fù)數(shù)為．四．解答題（共5小題）17．計(jì)算：（1）（1+3i）+（﹣2+i）+（2﹣3i）；（2）（2﹣i）﹣（﹣1+5i）+（3+4i）；（3）（a+bi）﹣（3a﹣4bi）+5i（a，b∈R）．18．已知復(fù)數(shù)z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）．當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是：（Ⅰ）虛數(shù)；（Ⅱ）純虛數(shù)；（Ⅲ）復(fù)平面內(nèi)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．19．已知：復(fù)數(shù)z＝（1+i）2，其中i為虛數(shù)單位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求實(shí)數(shù)a，b的值．20．已知復(fù)數(shù)z＝（m2﹣m）+（m+3）i（m∈R）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z．（Ⅰ）若m＝2，求z；（Ⅱ）若點(diǎn)Z在直線y＝x上，求m的值．21．已知復(fù)數(shù)z＝1+mi（m∈R，i為虛數(shù)單位），且（1﹣i）z為實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)復(fù)數(shù)z1＝x+yi（x，y∈R）滿足，求|z1|的最小值．《第七章復(fù)數(shù)》單元檢測(cè)試卷一答案解析一．選擇題（共8小題）1．已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，可得a﹣2＝0，解得a＝2．故選：C．2．已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．1 B．2i C．±1 D．2【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，所以，則a＝1，所以z＝2i，則復(fù)數(shù)z的虛部為2．故選：D．3．計(jì)算1+i+i2+i3+…+i89的值為（）A．1 B．i C．﹣i D．1+i【解答】解：由等比數(shù)列的求和公式可得：1+i+i2+i3+…+i89，而i90＝（i4）88?i2＝i2＝﹣1，故1+i+i2+i3+…+i891+i，故選：D．4．復(fù)數(shù)i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵i，∴復(fù)數(shù)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣1），位于第四象限．故選：D．5．若z＝1+i，則|z2﹣2z|＝（）A．0 B．1 C． D．2【解答】解：若z＝1+i，則z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，則|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，故選：D．6．若（1+i）＝1﹣i，則z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i【解答】解：由（1+i）＝1﹣i，得，∴z＝i．故選：D．7．已知（5，﹣1），（3，2），對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則（）A．5﹣i B．3+2i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i【解答】解：∵（5，﹣1），（3，2），∴（）＝（﹣2，3），對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝﹣2+3i，則2﹣3i，故選：D．8．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則t的取值范圍為（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）【解答】解：復(fù)數(shù)i．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，∴，解得﹣1＜t＜1．則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（﹣1，1）．故選：B．二．多選題（共4小題）9．已知復(fù)數(shù)z＝x+yi（x，y∈R），則（）A．z2≥0 B．z的虛部是yi C．若z＝1+2i，則x＝1，y＝2 D．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z＝x+yi（x，y∈R），∴z2＝（x+yi）＝x2﹣y2+2xyi，不能判斷正負(fù)，故A錯(cuò)誤；z的虛部是y，故B錯(cuò)誤；若z＝1+2i，則x＝1，y＝2，故C正確；|z|，故D正確．故選：CD．10．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z的四個(gè)命題：其中的真命題為（）A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共軛復(fù)數(shù)為1+i D．z的虛部為﹣1【解答】解：∵z1﹣i，∴A：|z|，B：z2＝2i，C：z的共軛復(fù)數(shù)為﹣1+i，D：z的虛部為﹣1，故選：BD．11．下面關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題中，結(jié)論正確的是（）A．若復(fù)數(shù)z∈R，則 B．若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R C．若復(fù)數(shù)z滿足，則z∈R D．若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則【解答】解：若復(fù)數(shù)z∈R，則，故A正確；若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R錯(cuò)誤，如z＝i，滿足z2∈R，但z?R；設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），由∈R，得b＝0，則z∈R，正確；若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則錯(cuò)誤，如z1＝i，z2＝2i．故選：AC．12．若復(fù)數(shù)z滿足（z+2）i＝3+4i（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的有（）A．z的虛部為3 B． C．z的共軛復(fù)數(shù)為2+3i D．z是第三象限的點(diǎn)【解答】解：∵（z+2）i＝3+4i，∴z，虛部為﹣3，，共軛復(fù)數(shù)為2+3i，是第四象限點(diǎn)．故選：BC．三．填空題（共4小題）13．復(fù)數(shù)．【解答】解：||＝|1﹣i|．故答案為：．14．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，復(fù)數(shù)z的實(shí)部是．【解答】解：∵，∴z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），在第四象限．復(fù)數(shù)z的實(shí)部是．故答案為：四，．15．已知x、y∈R，i為虛數(shù)單位，且（x﹣2）+yi＝﹣1+i，則x+y＝2．【解答】解：∵（x﹣2）+yi＝﹣1+i，∴x﹣2＝﹣1且y＝1；解得x＝1，y＝1，∴x+y＝2，故答案為：2．16．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝1﹣i，則z的共軛復(fù)數(shù)為i．【解答】解：由（1+i）z＝1﹣i，得z，則．故答案為：i．四．解答題（共5小題）17．計(jì)算：（1）（1+3i）+（﹣2+i）+（2﹣3i）；（2）（2﹣i）﹣（﹣1+5i）+（3+4i）；（3）（a+bi）﹣（3a﹣4bi）+5i（a，b∈R）．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+2+（3+1﹣3）i＝1+i．（2）原式＝（2+1+3）+（﹣1﹣5+4）i＝6﹣2i．（3）原式＝a﹣3a+（b+4b+5）i＝﹣2a+（5b+5）i．18．已知復(fù)數(shù)z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）．當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是：（Ⅰ）虛數(shù)；（Ⅱ）純虛數(shù)；（Ⅲ）復(fù)平面內(nèi)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．【解答】解：z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）＝（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．（Ⅰ）若z是虛數(shù)，則m2﹣3m+2≠0，即m≠1且m≠2；（Ⅱ）若z是純虛數(shù)；則，解得m；（Ⅲ）若復(fù)平面內(nèi)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則2m2﹣3m﹣2+m2﹣3m+2＝0，即3m2﹣6m＝0，得m＝0或2．19．已知：復(fù)數(shù)z＝（1+i）2，其中i為虛數(shù)單位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求實(shí)數(shù)a，b的值．【解答】解：（1）∵，∴；（2）由z2+a，得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，∴，解得．20．已知復(fù)數(shù)z＝（m2﹣m）+（m+3）i（m∈R）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z．（Ⅰ）若m＝2，求z；（Ⅱ）若點(diǎn)Z在直線y＝x上，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵m＝2，∴z＝2+5i，則；（Ⅱ）若點(diǎn)Z在直線y＝x上，則m2﹣m＝m+3，即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝﹣1或m＝3．21．已知復(fù)數(shù)z＝1+mi（m∈R，i為虛數(shù)單位），且（1﹣i）z為實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)復(fù)數(shù)z1＝x+yi（x，y∈R）滿足，求|z1|的最小值．【解答】解：（1）由z＝1+mi（m∈R），得（1﹣i）z＝（1﹣i）（1+mi）＝（1+m）+（m﹣1）i，∵（1﹣i）z為實(shí)數(shù)，∴m﹣1＝0，∴m＝1．∴z＝1+i（2）設(shè)z1＝x+yi（x，y∈R），，∵，∴|（x+yi）﹣（1﹣i）|＝1，即|（x﹣1）+（y+1）i|＝1，∴（x﹣1）2+（y+1）2＝1，即復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以（1，﹣1）為圓心，以1為半徑的圓．∴|z1|的最小值為．《第七章復(fù)數(shù)》單元檢測(cè)試卷二學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三四總分得分第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共8小題）1．復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（1，0） B．（0，1） C． D．2．若復(fù)數(shù)（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是純虛數(shù)，則（）A．a(chǎn)≠2 B．a(chǎn)≠1 C．a(chǎn)＝1 D．a(chǎn)≠1且a≠23．已知非零復(fù)數(shù)z滿足i（其中是的z共軛復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位），z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)P的軌跡為（）A．x﹣y＝0（x2+y2≠0） B．x+y＝0（x2+y2≠0） C．x﹣y﹣2＝0（x2+y2≠0） D．x+y﹣2＝0（x2+y2≠0）4．已知復(fù)數(shù)（a∈R，i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若復(fù)數(shù)z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R），其中i是虛數(shù)單位，則|z1﹣z2|的最大值為（）A． B． C． D．6．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（2，1），（1，﹣2），則復(fù)數(shù)（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．﹣4﹣3i D．﹣37．設(shè)i是虛數(shù)單位，則2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值為（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010i C．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i8．設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z＝（1+i）（m﹣i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，又函數(shù)f（x）＝mlnx+x，若曲線y＝f（x）與直線l：y＝2kx﹣1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B．（﹣∞，0]∪{1} C．（﹣∞，0]∪{2} D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）第Ⅱ卷（非選擇題）二．多選題（共4小題）9．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，其中正確的是（）A．復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）是實(shí)數(shù)的充要條件是b＝0 B．復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）是純虛數(shù)的充要條件是b≠0 C．若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則z1z2是實(shí)數(shù) D．若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱10．若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝3+i（其中i是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A． B．z的實(shí)部是2 C．z的虛部是1 D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限11．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），為z的共軛復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．w在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B．|w|＝1 C．w的實(shí)數(shù)部分為 D．w的虛部為12．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是（）A．（1﹣i）（1+i） B． C． D．（1﹣i）2三．填空題（共4小題）13．若復(fù)數(shù)z滿足|1﹣z|?|1+z|＝2，則|z|的最小值為14．關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+4x+m＝0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為a、β，且|a﹣β|＝2，則m＝．15．若|z1﹣z2|＝1，則稱z1與z2互為“鄰位復(fù)數(shù)”．已知復(fù)數(shù)與z2＝2+bi互為“鄰位復(fù)數(shù)”，a，b∈R，則a2+b2的最大值為．16．定義復(fù)數(shù)的一種運(yùn)算z1?z2（等式右邊為普通運(yùn)算），若復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）滿足a+b＝3，則z?最小值為．四．解答題（共5小題）17．（1）計(jì)算：（i為虛數(shù)單位）；（2）已知z是一個(gè)復(fù)數(shù)，求解關(guān)于z的方程z3i?1+3i．（i為虛數(shù)單位）．18．實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i（1）與復(fù)數(shù)2﹣12i相等．（2）與復(fù)數(shù)12+16i互為共軛．（3）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方．19．設(shè)z1是虛數(shù)，z2＝z1是實(shí)數(shù)，且﹣1≤z2≤1．（1）求|z1|的值以及z1的實(shí)部的取值范圍．（2）若ω，求證：ω為純虛數(shù)．20．在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為0，2+i，﹣1+3i．（1）求，及，；（2）設(shè)∠OCB＝θ，求cosθ．21．已知復(fù)數(shù)z1＝sin2x+λi，（λ，m，x∈R），且z1＝z2．（1）若λ＝0且0＜x＜π，求x的值；（2）設(shè)λ＝f（x）；①求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；②已知當(dāng)x＝α?xí)r，，試求的值．《第七章復(fù)數(shù)》單元檢測(cè)試卷二答案解析一．選擇題（共8小題）1．復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（1，0） B．（0，1） C． D．【解答】解：由i；則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是：（0，1）．故選：B．2．若復(fù)數(shù)（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是純虛數(shù)，則（）A．a(chǎn)≠2 B．a(chǎn)≠1 C．a(chǎn)＝1 D．a(chǎn)≠1且a≠2【解答】解：∵若復(fù)數(shù)（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i是純虛數(shù)，∴a2﹣3a+2＝0且|a﹣1|≠0∴a＝2，a＝1，且a≠1，a≠0，∴a＝2，∴復(fù)數(shù)（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是純虛數(shù)時(shí)，a≠2，故選：A．3．已知非零復(fù)數(shù)z滿足i（其中是的z共軛復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位），z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)P的軌跡為（）A．x﹣y＝0（x2+y2≠0） B．x+y＝0（x2+y2≠0） C．x﹣y﹣2＝0（x2+y2≠0） D．x+y﹣2＝0（x2+y2≠0）【解答】解：由題意，z＝x+yi（x，y∈R），由i，得（x2+y2≠0），即x﹣yi＝i（x+yi）＝xi﹣y，則x＝﹣y，即x+y＝0（x2+y2≠0）．∴點(diǎn)P的軌跡為x+y＝0（x2+y2≠0）．故選：B．4．已知復(fù)數(shù)（a∈R，i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵，∴的虛部為，由，得a＝2．∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），位于第一象限．故選：A．5．若復(fù)數(shù)z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R），其中i是虛數(shù)單位，則|z1﹣z2|的最大值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R），∴z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，z1＝2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1（2，1）．如圖：則|z1﹣z2|的最大值為．故選：C．6．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（2，1），（1，﹣2），則復(fù)數(shù)（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．﹣4﹣3i D．﹣3【解答】解：由題意，z1＝2+i，z2＝1﹣2i，則．故選：A．7．設(shè)i是虛數(shù)單位，則2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值為（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010i C．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【解答】解：設(shè)S＝2i+3i2+4i3+……+2020i2019．∴iS＝2i2+3i3+……+2020i2020．則（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．i2021+i，∴S．故選：B．8．設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z＝（1+i）（m﹣i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，又函數(shù)f（x）＝mlnx+x，若曲線y＝f（x）與直線l：y＝2kx﹣1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B．（﹣∞，0]∪{1} C．（﹣∞，0]∪{2} D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解答】解：∵z＝（1+i）（m﹣i）＝（m+1）+（m﹣1）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，∴m﹣1＝0，即m＝1．則f（x）＝lnx+x，f′（x），又當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→﹣∞，作出函數(shù)f（x）＝lnx+x的圖象如圖：直線l：y＝2kx﹣1過（0，﹣1），設(shè)切點(diǎn)為（x0，lnx0+x0），則在切點(diǎn)處的切線方程為y﹣lnx0﹣x0＝（）（x﹣x0），把（0，﹣1）代入，可得﹣1﹣lnx0﹣x0＝﹣1﹣x0，即lnx0＝0，即x0＝1．則2k＝2，k＝1．而f′（x）1（x＞0），由圖可知，當(dāng)2k∈（﹣∞，1]，即k∈（﹣∞，]時(shí)，曲線y＝f（x）與直線l：y＝2kx﹣1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上可得，當(dāng)k∈（﹣∞，]∪{1}時(shí)，曲線y＝f（x）與直線l：y＝2kx﹣1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．故選：A．二．多選題（共4小題）9．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，其中正確的是（）A．復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）是實(shí)數(shù)的充要條件是b＝0 B．復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）是純虛數(shù)的充要條件是b≠0 C．若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則z1z2是實(shí)數(shù) D．若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）是實(shí)數(shù)的充要條件是b＝0，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）是純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，不妨設(shè)z1＝a+bi（a∈R，b∈R），則z2＝a﹣bi，所以，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，不妨設(shè)z1＝a+bi（a∈R，b∈R），則z2＝a﹣bi，則它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（a，b）和（a，﹣b），關(guān)于x軸對(duì)稱，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC．10．若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝3+i（其中i是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A． B．z的實(shí)部是2 C．z的虛部是1 D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【解答】解：由（1+i）z＝3+i，得z．∴|z|，故A正確；z的實(shí)部為2，故B正確；z的虛部是﹣1，故C錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），在第一象限，故D正確．故選：ABD．11．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），為z的共軛復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．w在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B．|w|＝1 C．w的實(shí)數(shù)部分為 D．w的虛部為【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），為z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)i；故w對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（，）；|w|1；且w的實(shí)部為：，虛部為：；故選：ABC．12．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是（）A．（1﹣i）（1+i） B． C． D．（1﹣i）2【解答】解：根據(jù)題意，M＝{m|m＝in，n∈N}中，n＝4k（k∈N）時(shí)，in＝1；n＝4k+1（k∈N）時(shí)，in＝i；n＝4k+2（k∈N）時(shí)，in＝﹣1；n＝4k+3（k∈N）時(shí)，in＝﹣i，∴M＝{﹣1，1，i，﹣i}．選項(xiàng)A中，（1﹣i）（1+i）＝2?M；選項(xiàng)B中，；選項(xiàng)C中，；選項(xiàng)D中，（1﹣i）2＝﹣2i?M．故選：BC．三．填空題（共4小題）13．若復(fù)數(shù)z滿足|1﹣z|?|1+z|＝2，則|z|的最小值為1【解答】解：設(shè)z＝a+bi；|1﹣z|?|1+z|＝2，即：2?，令|z|＝t．（t＞0），則t2＝a2+b2，所以2?4＝t4+2t2+1﹣4a2，因?yàn)閍2≥0，所以4≤t4+2t2+1，所以t4+2t2﹣3≥0，解得：t2≥1或者t2≤﹣3（舍），所以t≥1，故答案為：1．14．關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+4x+m＝0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為a、β，且|a﹣β|＝2，則m＝3或5．【解答】解：對(duì)于方程x2+4x+m＝0，∴α+β＝﹣4，αβ＝m，①當(dāng)△＝16﹣4m＜0時(shí)，設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)根為a、β，且設(shè)α＝a+bi，β＝a﹣bi，a，b∈R，所