2025屆廣東華南師大附中高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

2025屆廣東華南師大附中高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，，，則實(shí)數(shù)的值為()A． B． C．2 D．32．下圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則和的值分別為A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，73．已知向量，滿足，，，則（）A．3 B．2 C．1 D．04．已知向量，則下列結(jié)論正確的是A． B． C．與垂直 D．5．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．6．不等式的解集是（）A． B．C． D．7．若，則（）A． B． C．2 D．8．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．119．在數(shù)列an中，an+1=an+a（n∈N*，a為常數(shù)），若平面上的三個(gè)不共線的非零向量OA、OB、OC滿足OC=a1A．1005 B．1006 C．2010 D．201210．如果a＜b＜0，則下列不等式成立的是（）A． B．a(chǎn)2＜b2 C．a(chǎn)3＜b3 D．a(chǎn)c2＜bc2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式是______.12．一湖中有不在同一直線的三個(gè)小島A、B、C，前期為開發(fā)旅游資源在A、B、C三島之間已經(jīng)建有索道供游客觀賞，經(jīng)測量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現(xiàn)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，游客對(duì)在同一圓周上三島A、B、C且位于（優(yōu)?。┮黄娘L(fēng)景更加喜歡，但由于環(huán)保、安全等其他原因，沒辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風(fēng)光，現(xiàn)決定在上選擇一個(gè)點(diǎn)D建立索道供游客游覽，經(jīng)研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當(dāng)△ADC面積最大時(shí)建立索道AD的長為______公里.（注：索道兩端之間的長度視為線段）13．定義為數(shù)列的均值,已知數(shù)列的均值,記數(shù)列的前項(xiàng)和是,若對(duì)于任意的正整數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．14．已知實(shí)數(shù)，是與的等比中項(xiàng)，則的最小值是______．15．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________.16．設(shè)向量與向量共線，則實(shí)數(shù)等于__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知a，b，c分別為ΔABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.（1）求角A的大?。唬?）若，且ΔABC的面積為，求a的值；（3）若，求的范圍.18．在正方體中.（1）求證：；（2）是中點(diǎn)時(shí)，求直線與面所成角.19．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時(shí)，等式成立？21．已知函數(shù)的最小正周期是．(1)求ω的值；(2)求函數(shù)f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

將向量的坐標(biāo)代入中，利用坐標(biāo)相等，即可得答案.【詳解】∵，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量相等的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

利用莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)的性質(zhì)直接求解．【詳解】由莖葉圖得：∵甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴，解得x＝1．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、A【解析】

由，求出，代入計(jì)算即可．【詳解】由題意，則.故答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

可按各選擇支計(jì)算．【詳解】由題意，，A錯(cuò)；，B錯(cuò)；，∴，C正確；∵不存在實(shí)數(shù)，使得，∴不正確，D錯(cuò)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積、向量的平行，向量的模以及向量的垂直等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角.【詳解】由題意知，直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線的斜率與傾斜角的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

把不等式，化簡為不等式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，不等式，可化為，即，解得或，所以不等式的解集為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟記分式不等式的解法，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二倍角的正切公式即可求出.【詳解】故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的正切公式，關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，利用二倍角的正切公式求出，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由題意，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，正實(shí)數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，所以的最小值為9.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最值問題，其中解答中熟記基本不等式的使用條件，合理構(gòu)造是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能，屬于據(jù)此話題.9、A【解析】

利用等差數(shù)列的定義可知數(shù)列an為等差數(shù)列，由向量中三點(diǎn)共線的結(jié)論得出a1+【詳解】∵an+1=an∵三點(diǎn)A、B、C共線且該直線不過O點(diǎn)，OC=a1因此，S2010故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和，涉及等差數(shù)列的定義以及向量中三點(diǎn)共線結(jié)論的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10、C【解析】

根據(jù)a、b的范圍，取特殊值帶入判斷即可．【詳解】∵a＜b＜0，不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，則，a2>b2所以A、B不成立，當(dāng)c=0時(shí)，ac2=bc2所以D不成立，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，考查特殊值法進(jìn)行排除的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷出該數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．【詳解】解：∵，該數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，該數(shù)列的通項(xiàng)公式是：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

根據(jù)題意畫出草圖，根據(jù)余弦定理求出的值，設(shè)點(diǎn)到的距離為，可得，分析可知取最大時(shí)，取最大值，然后再對(duì)為中點(diǎn)和不是中點(diǎn)兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)和正弦定理，即可求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意可作出及其外接圓，連接，交于點(diǎn)，連接，如下圖：在中，由余弦定理,由為的內(nèi)角，可知，所以.設(shè)的半徑為，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，則,故取最大時(shí)，取最大值.①當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，由垂徑定理知，即，此時(shí)，故；②當(dāng)不是中點(diǎn)時(shí)，不與垂直，設(shè)此時(shí)與所成角為，則，故；由垂線段最短知，此時(shí);綜上，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，到的距離最大，最大值為；由圓周角定理可知，,由垂徑定理知，此時(shí)點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，故，則，在中，由正弦定理得所以.所以當(dāng)△ADC面積最大時(shí)建立索道AD的長為公里.故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、余弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．13、【解析】

因?yàn)?,從而求出,可得數(shù)列為等差數(shù)列,記數(shù)列為,從而將對(duì)任意的恒成立化為,,即可求得答案.【詳解】,,故,,則,對(duì)也成立,,則,數(shù)列為等差數(shù)列,記數(shù)列為.故對(duì)任意的恒成立,可化為:,；即,解得,,故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列的單調(diào)性,掌握判斷數(shù)列前項(xiàng)和最大值的方法是解題關(guān)鍵,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.14、【解析】

通過是與的等比中項(xiàng)得到，利用均值不等式求得最小值.【詳解】實(shí)數(shù)是與的等比中項(xiàng)，，解得．則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)，均值不等式，1的代換是解題的關(guān)鍵.15、【解析】

利用來求的通項(xiàng).【詳解】，化簡得到，填.【點(diǎn)睛】一般地，如果知道的前項(xiàng)和，那么我們可利用求其通項(xiàng)，注意驗(yàn)證時(shí)，（與有關(guān)的解析式）的值是否為，如果是，則，如果不是，則用分段函數(shù)表示.16、3【解析】

利用向量共線的坐標(biāo)公式,列式求解.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量共線,所以,故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的坐標(biāo)公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】

（1）利用正弦定理化簡即得A的大??；（2）先求出bc,b+c的值，再利用余弦定理求出a的值；（3）先求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求b+c的范圍.【詳解】（1）由正弦定理得，，即...（2）由可得.∴由余弦定理得：（3）由正弦定理得若，則因?yàn)樗运?所以的范圍【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函數(shù)最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）連接，證明平面，進(jìn)而可得出；（2）連接、、，設(shè)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，設(shè)，則角和均為直線與平面所成的角，從而可得出，即可求出所求角.【詳解】（1）如下圖所示，連接，在正方體中，平面，平面，，四邊形為正方形，，，平面，平面，；（2）連接、、，設(shè)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，設(shè)，設(shè)正方體的棱長為，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，在平面內(nèi)，，，，，則、、、四點(diǎn)共面，為的中點(diǎn)，，且，平面，平面，，由勾股定理得，連接，設(shè)，則直線與面所成角為，則，，由連比定理得，則，因此，直線與面所成角為.【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明，考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19、(1)(2)【解析】

（1）根據(jù)已知條件求出，再寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)得解；（2）利用分組求和求.【詳解】解：(1)設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則．因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以,化簡得又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕裕?2)根據(jù)(1)可知，【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查等差等比數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算和分組求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，得出，解出該不等式即可得出函數(shù)的定義域；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】（1）由，得，所以，函數(shù)定義域?yàn)椋唬?）由，得，即，可得：，即，即，或，由于，得，所以，不合題意，所以，當(dāng)時(shí)，等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算以及簡單的對(duì)數(shù)方程的求解，解題時(shí)不要忽略真數(shù)大于零這一條件的限制，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)函數(shù)f(x)的最大值是2＋，此時(shí)x的集合為{x|x＝+，k∈Z}．【解析】試題分析析：本題是函數(shù)性質(zhì)問題，可借助正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)去研究，根據(jù)周期公式可以求出，當(dāng)函數(shù)的解析式確定后，可以令，，根據(jù)正弦函數(shù)的最大值何時(shí)取得，可以計(jì)算出為何值時(shí)，