上海市長寧、寶山、嘉定、青浦四區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

上海市（長寧、寶山、嘉定、青浦（四區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．二進(jìn)制是計(jì)算機(jī)技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制。二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個數(shù)碼來表示的數(shù)。它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則“借一當(dāng)二”。當(dāng)前的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)使用的基本上是二進(jìn)制系統(tǒng)，計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制則是一個非常微小的開關(guān)，用1來表示“開”，用0來表示“關(guān)”。如圖所示，把十進(jìn)制數(shù)1010化為二進(jìn)制數(shù)（1010）2,十進(jìn)制數(shù)9910化為二進(jìn)制數(shù)11000112，把二進(jìn)制數(shù)（10110A．932 B．931 C．102．已知向量、的夾角為，，，則（）A． B． C． D．3．已知向量，滿足：則A． B． C． D．4．正方體中，則異面直線與所成的角是A．30° B．45° C．60° D．90°5．某高中三個年級共有3000名學(xué)生，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從高一、高二、高三年級的全體學(xué)生中抽取一個容量為30的樣本進(jìn)行視力健康檢查，若抽到的高一年級學(xué)生人數(shù)與高二年級學(xué)生人數(shù)之比為3∶2，抽到高三年級學(xué)生10人，則該校高二年級學(xué)生人數(shù)為（）A．600 B．800 C．1000 D．12006．若，，表示三條不重合的直線，，表示兩個不同的平面，則下列命題中，正確的個數(shù)是（）①若，，則②，，，則③若，，則④若，，則A．0 B．1 C．2 D．37．在等比數(shù)列中，，，則（）A．140 B．120 C．100 D．808．如圖是一個正方體的表面展開圖，若圖中“努”在正方體的后面，那么這個正方體的前面是（）A．定 B．有 C．收 D．獲9．某社區(qū)義工隊(duì)有24名成員，他們年齡的莖葉圖如下表所示，先將他們按年齡從小到大編號為1至24號，再用系統(tǒng)抽樣方法抽出6人組成一個工作小組，則這個小組年齡不超過55歲的人數(shù)為（）3940112551366778889600123345A．1 B．2 C．3 D．410．設(shè)，,則的值可表示為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________.12．已知兩點(diǎn)A（2，1）、B（1，1+）滿足＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣，），則α+β＝_______________13．已知向量，若，則_______14．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．15．若，則________.16．某中學(xué)為了了解全校學(xué)生的閱讀情況，在全校采用隨機(jī)抽樣的方法抽取一個樣本進(jìn)行問卷調(diào)查，并將他們在一個月內(nèi)去圖書館的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，將學(xué)生去圖書館的次數(shù)分為5組：制作了如圖所示的頻率分布表，則抽樣總?cè)藬?shù)為_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.(1)若,求的值;(2)若,求b,c的值.18．已知圓關(guān)于直線對稱，半徑為，且圓心在第一象限．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若直線與圓相交于不同兩點(diǎn)、，且，求實(shí)數(shù)的值．19．已知直線與.（1）當(dāng)時，求直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，求a的值.20．已知圓的半徑是2，圓心為.（1）求圓的方程；（2）若點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，的最大值等于7，求點(diǎn)的坐標(biāo).21．已知，是第四象限角，求和的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

利用古典概型的概率公式求解.【詳解】二進(jìn)制的后五位的排列總數(shù)為25二進(jìn)制的后五位恰好有三個“1”的個數(shù)為C5由古典概型的概率公式得P=10故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，考查古典概型的概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

利用平面向量數(shù)量積和定義計(jì)算出，可得出結(jié)果.【詳解】向量、的夾角為，，，則．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積來計(jì)算平面向量的模，在計(jì)算時，一般將模進(jìn)行平方，利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.3、D【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的模運(yùn)算即可求出．【詳解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】連接A，易知：平行A，∴異面直線與所成的角即異面直線與A所成的角，連接，易知△為等邊三角形，

∴異面直線與所成的角是60°故選C5、B【解析】

根據(jù)題意可設(shè)抽到高一和高二年級學(xué)生人數(shù)分別為和，則，繼而算出抽到的各年級人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的原理可以推得該校高二年級的人數(shù)．【詳解】根據(jù)題意可設(shè)抽到高一和高二年級學(xué)生人數(shù)分別為和，則，即，所以高一年級和高二年級抽到的人數(shù)分別是12人和8人，則該校高二年級學(xué)生人數(shù)為人．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的方法，屬于容易題．6、B【解析】

①根據(jù)空間線線位置關(guān)系的定義判定；②根據(jù)面面平行的性質(zhì)判定；③根據(jù)空間線線垂直的定義判定；④根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定．【詳解】解：①若，，與的位置關(guān)系不定，故錯；②若，，，則或、異面，故錯；③若，，則或、異面，故錯；④若，，則，故正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了空間線面位置關(guān)系，考查了空間想象能力，屬于中檔題．7、D【解析】

，計(jì)算出，然后將，得到答案.【詳解】等比數(shù)列中，又因?yàn)?，所以，所以，故選D項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于簡單題.8、B【解析】

利用正方體及其表面展開圖的特點(diǎn)以及題意解題，把“努”在正方體的后面，然后把平面展開圖折成正方體，然后看“努”相對面．【詳解】解：這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“努”與面“有”相對，所以圖中“努”在正方體的后面，則這個正方體的前面是“有”．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形相對兩個面上的文字問題，同時考查空間想象能力．注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

求出樣本間隔，結(jié)合莖葉圖求出年齡不超過55歲的有8人，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：樣本間隔為，年齡不超過55歲的有8人，則這個小組中年齡不超過55歲的人數(shù)為人．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖以及系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，求出樣本間隔是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解析】

由，可得到，然后根據(jù)反余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查反余弦函數(shù)的運(yùn)用，熟練掌握反余弦函數(shù)的概念及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1.【解析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得，代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和得答案．【詳解】解：在等差數(shù)列中，由，得，，則，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和的求法，屬于基礎(chǔ)題．12、或0【解析】

運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和特殊角的三角函數(shù)值，可得所求和．【詳解】兩點(diǎn)A（2，1）、B（1，1）滿足（sinα，cosβ），可得（﹣1，）＝（，）＝（sinα，cosβ），即為sinα，cosβ，α，β∈（），可得α，β＝±，則α+β＝0或．故答案為0或．【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算和三角方程的解法，考查運(yùn)能力，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，求得的值．【詳解】因?yàn)橄蛄?，若，∴，則.故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】由三視圖知該幾何體是一個半圓錐挖掉一個三棱錐后剩余的部分，如圖所示，所以其體積為.點(diǎn)睛：求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心，本題就是第三種方法.15、【解析】

直接利用倍角公式展開，即可得答案.【詳解】由，得，即，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、20【解析】

總體人數(shù)占的概率是1，也可以理解成每個人在整體占的比重一樣，所以三組的頻率為：，共有14人，即14人占了整體的0.7，那么整體共有人。【詳解】前三組，即三組的頻率為：，，解得：【點(diǎn)睛】此題考查概率，通過部分占總體的概率即可計(jì)算出總體的樣本值，屬于簡單題目。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)先求出，再利用正弦定理可得結(jié)果；(2)由求出，再利用余弦定理解三角形.【詳解】(1)∵,且，∴，由正弦定理得，∴；(2)∵，∴，∴，由余弦定理得，∴.【點(diǎn)睛】本題考查正弦余弦定理解三角形，是基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由題得和，解方程即得圓的方程；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，則，化簡得，即得m的值.【詳解】（Ⅰ）由，得圓的圓心為，圓關(guān)于直線對稱，①．圓的半徑為，②又圓心在第一象限，，，由①②解得，，故圓的方程為．（Ⅱ）取的中點(diǎn)，則，，，即，又，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系和向量的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）；（2）.【解析】

（1）當(dāng)時，直線與聯(lián)立即可．（2）兩直線平行表示斜率相同且截距不同，聯(lián)立方程求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時，直線與，聯(lián)立，解得，故直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）因?yàn)?，所以，即解?【點(diǎn)睛】此題考察直線斜率，兩直線平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同則是同一條直線），屬于基礎(chǔ)簡單題目．20、（1）；（2）或．【解析】

（1）直接根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程，寫出圓的方程即可