浙江省紹興市諸暨市開放雙語實驗學校2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試卷　

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年浙江省紹興市諸暨市開放雙語實驗學校九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下面四個手機應用圖標，屬于中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.某十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當你抬頭看信號燈時，是黃燈的概率為(

)A. B. C. D.3.如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，則的度數(shù)為(

)

A. B. C. D.4.已知扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的面積為(

)A. B. C. D.5.對拋物線而言，下列結(jié)論正確的是(

)A.開口向上 B.與y軸的交點坐標是

C.與兩坐標軸有兩個交點 D.當時，有最大值16.如圖，正六邊形螺帽的邊長是2cm，這個扳手的開口a的值為(

)A.1

B.

C.

D.7.將拋物線通過平移得到，則下列平移過程正確的是(

)A.先向左平移2個單位，再向上平移3個單位 B.先向左平移2個單位，再向下平移3個單位

C.先向右平移2個單位，再向下平移3個單位 D.先向右平移2個單位，再向上平移3個單位8.小明在一只裝有紅色和白色球各一只的口袋中摸出一只球，然后放回攪勻再摸出一只球，反復多次實驗后，發(fā)現(xiàn)某種“狀況”出現(xiàn)的機會約為，則這種狀況可能是(

)A.兩次摸到紅色球 B.兩次摸到白色球

C.兩次摸到不同顏色的球 D.先摸到紅色球，后摸到白色球9.知銳角，如圖，在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作，交射線OB于點D，連接CD；分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，交于點M，N；連接OM，根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是(

)

A. B.若，則

C. D.10.如圖，矩形ABCD中，，，動點P從點A出發(fā)，以的速度沿AD向終點D移動，設移動時間為連接PC，以PC為一邊作正方形PCEF，連接DE、DF，則面積最小值為(

)A.

B.

C.

D.二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。11.拋物線的頂點坐標為______.12.如圖所示的電路圖中，在開關(guān)全部斷開的情況下，閉合其中任意一個開關(guān)，燈泡發(fā)亮的概率是______.

13.若點，，在拋物線的圖象上，則，，的大小關(guān)系是______.14.如圖，A，B，C，D為上的點，于點若，，則AB的長為______.

15.已知二次函數(shù)與x軸的交點是和，關(guān)于x的方程其中的兩個解分別是和5，關(guān)于x的方程其中也有兩個整數(shù)解，這兩個整數(shù)解分別是______.16.如圖，已知在中，，，，以AB為直徑向外作圓O，P是半圓O上的一個動點，M是CP的中點，當點P沿半圓O從點A運動至點B時，點M的運動路徑長為______.

三、計算題：本大題共1小題，共12分。17.某超市銷售一種飲料，每瓶進價為9元，當每瓶售價為10元時，日均銷售量為560瓶．經(jīng)市場調(diào)查表明，每瓶售價每增加元，日均銷售量減少40瓶．

當每瓶售價為11元時，日均銷售量為______瓶；

當每瓶售價為多少元時，所得日均總利潤為1200元；

當每瓶售價為多少元時，所得日均總利潤最大？最大日均總利潤為多少元？四、解答題：本題共7小題，共68分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.本小題8分

如圖，在平面直角坐標系中，A、B、C是上的三個點，、、

圓心P的坐標為______；

判斷點與的位置關(guān)系．19.本小題8分

某同學報名參加校運動會，有以下5個項目可供選擇：

徑賽項目：200m，400m，分別用、、表示；

田賽項目：跳遠，跳高分別用、表示

該同學從5個項目中任選一個，恰好是田賽項目的概率為______；

該同學從5個項目中任選兩個，利用樹狀圖或表格列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并求恰好是一個田賽項目和一個徑賽項目的概率．20.本小題8分

已知二次函數(shù)，設其圖象與x軸的交點分別是A、點A在點B的左邊，與y軸的交點是C，求：

、B、C三點的坐標；

設拋物線的頂點為D，求的面積．21.本小題8分

如圖，在中，，以AB為半徑的半圓交BC于點D，交AC于點

若弧DE的度數(shù)為，求的度數(shù)；

若點D、E是半圓弧AB的三等分點，，求弧BD的長．22.本小題10分

某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離，稱跨度，橋面最高點到AB的距離稱拱高，當L和h確定時，有兩種設計方案可供選擇：①拋物線型；②圓弧型．已知這座橋的跨度米，拱高米．

如果設計成拋物線型，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立坐標系，求橋拱的函數(shù)解析式；

如果設計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑；

在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，在兩種方案分別求橋墩的高度．23.本小題12分

我們知道：有一內(nèi)角為直角的三角形叫做直角三角形．類似地，我們定義：有一內(nèi)角為的三角形叫做半直角三角形．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，，，D是y軸上的一個動點，、D、C按順時針方向排列，BC與經(jīng)過A、B、D三點的交于點E，DE平分，連結(jié)AE，顯然、、是半直角三角形．

求證：是半直角三角形；

求證：；

若點D的坐標為，求AE的長．24.本小題14分

如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線，頂點為D，點B的坐標為

填空：點A的坐標為______，點D的坐標為______，拋物線的解析式為______；

是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點P，使是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

當二次函數(shù)的自變量x滿足時，函數(shù)y的最小值為，求m的值．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：選項A、C、D中的圖形都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．

選項B中的圖形能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．

故選：

根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．

本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．2.【答案】A

【解析】解：抬頭看信號燈時，是黃燈的概率為：

故選：

隨機事件A的概率事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，據(jù)此用黃燈亮的時間除以三種燈亮的總時間，求出抬頭看信號燈時，是黃燈的概率為多少即可．

此題主要考查了概率公式的應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：隨機事件A的概率事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．必然事件不可能事件3.【答案】C

【解析】解：在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，

，

故選：

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解答即可．

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．4.【答案】D

【解析】解：由題意得，扇形的面積

故選：

利用扇形的面積公式求解即可．

本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積5.【答案】D

【解析】解：，

拋物線開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為，

拋物線與x軸有2個交點，當時，為函數(shù)最大值，

將代入得，

拋物線與y軸交點坐標為

故選：

將二次函數(shù)解析式化為頂點式求解．

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．6.【答案】D

【解析】解：正六邊形的任一內(nèi)角為，

如圖，

，

故選：

根據(jù)正六邊形的內(nèi)角度數(shù)可得出，再通過解直角三角形即可得出的值，進而可求出a的值，此題得解．

本題考查了正多邊形以及解直角三角形，牢記正多邊形的內(nèi)角度數(shù)是解題的關(guān)鍵．7.【答案】D

【解析】解：拋物線可化為，

把拋物線先向右平移2個單位，再向上平移3個單位即可得到拋物線

故選：

先將拋物線化為的形式，再根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則進行解答．

本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減．左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．8.【答案】C

【解析】解：摸到紅色和白色球的概率均為，

反復多次實驗后，發(fā)現(xiàn)某種“狀況”出現(xiàn)的機會約為，這種狀況可能是兩次摸到不同顏色的球．

故選：

根據(jù)用頻率估計概率的意義，從四個選項中選出出現(xiàn)的機會約為的情況．

考查利用頻率估計概率．大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．9.【答案】D

【解析】解：由作法得，，

，

，所以A選項的結(jié)論正確；

當，

而，

此時為等邊三角形，

，

，所以B選項的結(jié)論正確；

作半徑，如圖，則，

，

，

，所以C選項正確；

，

，所以D選項錯誤．

故選：

利用作法得到，，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，則可對A選項進行判斷；當時，為等邊三角形，則可對B選項進行判斷；作半徑，如圖，利用垂徑定理得到，，所以，則可對C選項進行判斷；利用兩點之間線段最短可對D選項進行判斷．

本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和垂徑定理．10.【答案】A

【解析】解：設的面積為y，

由題意得：，，

，

四邊形EFPC是正方形，

，

，

，

，

當t為4時，的面積最小，且最小值為

故選：

由題意得：，，根據(jù)三角形面積公式可得的面積y與t的關(guān)系式，由圖得：，代入可得結(jié)論．

本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、利用三角形的面積公式求二次函數(shù)的解析式，勾股定理的運用，動點運動等知識，考查學生數(shù)形結(jié)合的能力，分類討論的能力，綜合性強，難度適中．11.【答案】

【解析】解：拋物線是頂點式，

頂點坐標是

故答案為：

已知拋物線頂點式，頂點坐標是

本題考查由拋物線的頂點坐標式寫出拋物線頂點的坐標，比較容易．12.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，三個開關(guān)，只有閉合小燈泡才發(fā)光，所以小燈泡發(fā)光的概率等于

故答案為

根據(jù)概率公式知，共有3個開關(guān)，只閉一個開關(guān)時，只有閉合時才發(fā)光，所以小燈泡發(fā)光的概率等于

本題考查隨機事件概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率13.【答案】

【解析】解：拋物線中，

拋物線開口向下，對稱軸為直線，

點的對稱點為，

又，即A、B、C三個點都位于對稱軸右邊，函數(shù)值隨自變量增大而減小．

，

故答案為：

先求出二次函數(shù)的對稱軸，開口方向，然后根據(jù)拋物線的增減性來判斷函數(shù)值的大小關(guān)系．

本題考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．14.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

在中，，

故答案為：

先求出，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出OE，進而用勾股定理求出AE，最后用垂徑定理即可得出結(jié)論．

此題主要考查了垂徑定理、圓周角定理以及解直角三角形的應用，熟記垂徑定理是解題的關(guān)鍵．15.【答案】0和4

【解析】解：由題意可知二次函數(shù)與x軸的交點分別為和，

與的交點分別為和，

設與的交點分別為和，

，

直線在x軸和直線之間，

如圖所示：

由圖可知，，

又，q都為整數(shù)，

，，

故答案為：0和

先根據(jù)題意確定二次函數(shù)與x軸和直線的交點，畫出大致圖象，然后根據(jù)二次函數(shù)與的交點位置，判斷兩個根的大小范圍即可求解．

本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，關(guān)鍵是畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．16.【答案】

【解析】解：連接OP，OC，取OC的中點D，連接DM，

在中，，

由勾股定理得，

點M是PC的中點，點D是OC的中點，

，

點M在以D為圓心，MD為半徑的圓上運動，

點M的運動路徑長為，

故答案為：

連接OP，OC，取OC的中點D，連接DM，根據(jù)三角形中位線定理得，則點M在以D為圓心，MD為半徑的圓上運動，代入弧長公式計算即可．

本題主要考查了軌跡，勾股定理，三角形中位線定理等知識，利用三角形中位線定理知是解題的關(guān)鍵．17.【答案】480

【解析】解：當每瓶的售價為11元時，日均銷售量為瓶，

故答案為：480；

設每瓶的售價為x元，

根據(jù)題意可得：，

整理，得：，

解得：、，

答：當每瓶售價為12元或14元時，所得日均總利潤為1200元；

設日均利潤為y，

則

，

當時，y取得最大值，最大值為1280，

答：當每瓶售價為13元時，所得日均總利潤最大，最大日均總利潤為1280元．

根據(jù)日均銷售量為計算可得；

根據(jù)“總利潤=每瓶利潤日均銷售量”列方程求解可得；

根據(jù)中相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，將其配方成頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊含的相等關(guān)系，并據(jù)此列出方程和函數(shù)解析式．18.【答案】

【解析】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，

可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．

如圖所示，則圓心PD坐標為，

故答案為：；

圓的半徑，

，

線段，

所以點Q在上．

根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．

求出的半徑，MD的長即可判斷；

本題主要考查確定圓的條件和坐標與圖形性質(zhì)的知識點，點與圓的位置關(guān)系等知識，能夠根據(jù)垂徑定理的推論得到圓心的位置是解決問題的關(guān)鍵．19.【答案】

【解析】解：該同學從5個項目中任選一個，恰好是田賽項目的概率為，

故答案為：；

畫樹狀圖如下：

共有20種等可能的結(jié)果，其中恰好是一個田賽項目和一個徑賽項目的結(jié)果有12種，

恰好是一個田賽項目和一個徑賽項目的概率為

直接由概率公式求解即可；

畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中恰好是一個田賽項目和一個徑賽項目的結(jié)果有12種，再由概率公式求解即可．

此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20.【答案】解：令，則，

解得，，

，，

令，則，

；

如圖所示：設對稱軸與BC相較于點M，

設直線BC的解析式為，

則，

解得，

直線BC的解析式為，

，

，

當，，

，

【解析】令，通過解一元二次方程求出拋物線與x軸的兩個交點，令，來求點C的坐標；

根據(jù)拋物線解析式求出頂點D的坐標，在用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求出對稱軸與BC的交點，然后根據(jù)分割法求三角形的面積．

本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)．關(guān)鍵是通過解方程求出A，B，C的坐標．21.【答案】解：設圓的圓心為O，如圖，連接

是圓O的直徑，

又，

，

弧DE的度數(shù)為，

，

，則，

，

；

連接OD，OE，

點D、E是半圓弧AB的三等分點，

，

是等邊三角形，

，

，，

，

，

弧BD的長為

【解析】設圓的圓心為O，如圖，連接根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

連接OD，OE，求得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．

本題考查了弧長的計算，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：如圖所示：

拋物線的解析式為，

又拋物線經(jīng)過點和點，

，

拋物線的解析式為；

如圖所示：

設弧AB所在的圓心為O，C為弧AB的中點，于D，延長CD經(jīng)過O點，設的半徑為R，

在中，

，

解得：，

該圓弧所在圓的半徑為20米；

①在拋物線型中設點在拋物線上，，

米；

②在圓弧型中設點在弧AB上，作于，

于H，則，，

在中，，

，米，

在離橋的一端4米處，拋物線型橋墩高米，圓弧型橋墩高4米．

【解析】拋物線的解析式為，把點和點，代入即可求出拋物線解析式；

設弧AB所在的圓心為O，C為弧AB的中點，于D，延長CD經(jīng)過O點，設的半徑為R，利用勾股定理求出即可；

根據(jù)題意畫出圖形，利用垂徑定理以及勾股定理得出AO的長，再求出EF的長即可．

此題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意畫出圖形結(jié)合勾股定理是解題關(guān)鍵．23.【答案】證明：，DE平分，