北京三中2025屆高一數學第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

北京三中2025屆高一數學第二學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設，，，則（）A． B．C． D．2．已知數列的通項公式，前項和為，則關于數列、的極限，下面判斷正確的是（）A．數列的極限不存在，的極限存在B．數列的極限存在，的極限不存在C．數列、的極限均存在，但極限值不相等D．數列、的極限均存在，且極限值相等3．如圖，已知邊長為的正三角形內接于圓，為邊中點，為邊中點，則為（）A． B． C． D．4．若變量滿足約束條件則的最小值等于（）A． B． C． D．25．已知函數和的定義域都是，則它們的圖像圍成的區(qū)域面積是（）A． B． C． D．6．已知扇形的周長為8，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為（）A． B． C． D．7．已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．8．若平面α∥平面β，直線平面α，直線n?平面β，則直線與直線n的位置關系是（）A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面9．若||＝2cos15°，||＝4sin15°，的夾角為30°，則等于()A． B． C．2 D．10．已知，則（）．A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角的對邊分別為，若面積，則角__________．12．已知，，兩圓和只有一條公切線，則的最小值為________13．已知向量，若，則________.14．=__________.15．若函數的圖象與直線恰有兩個不同交點，則的取值范圍是________.16．函數的值域為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，，且，，，點在上，且．（1）求證：平面⊥平面；（2）求證：直線∥平面．18．已知函數.（1）求證：；（2）若角滿足，求銳角的取值范圍.19．已知中，角的對邊分別為.已知，.(Ⅰ)求角的大?。?Ⅱ)設點滿足，求線段長度的取值范圍.20．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC..(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，試判斷△ABC的形狀.21．如圖，四棱錐中，底面,分別為的中點,.(1)證明:平面平面(2)求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由指數函數的性質得，由對數函數的性質得，根據正切函數的性質得，即可求解，得到答案．【詳解】由指數函數的性質，可得，由對數函數的性質可得，根據正切函數的性質，可得，所以，故選B.【點睛】本題主要考查了指數式、對數式以及正切函數值的比較大小問題，其中解答中熟記指數函數與對數函數的性質，以及正切函數的性質得到的取值范圍是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．2、D【解析】

分別考慮與的極限，然后作比較.【詳解】因為，又，所以數列、的極限均存在，且極限值相等，故選D.【點睛】本題考查數列的極限的是否存在的判斷以及計算，難度一般.注意求解的極限時，若是分段數列求和的形式，一定要將多段數列均考慮到.3、B【解析】

如圖，是直角三角形，是等邊三角形，，，則與的夾角也是30°，∴，又，∴．故選B．【點睛】本題考查平面向量的數量積，解題時可通過平面幾何知識求得向量的模，向量之間的夾角，這可簡化運算．4、A【解析】

由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，數形結合得答案．【詳解】解：由變量x，y滿足約束條件作出可行域如圖，由圖可知，最優(yōu)解為A，聯立，解得A（﹣1，）．∴z＝2x﹣y的最小值為2×（﹣1）．故選A．【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．5、C【解析】

由可得，所以的圖像是以原點為圓心，為半徑的圓的上半部分；再結合圖形求解.【詳解】由可得，作出兩個函數的圖像如下：則區(qū)域①的面積等于區(qū)域②的面積，所以他們的圖像圍成的區(qū)域面積為半圓的面積，即.故選C.【點睛】本題考查函數圖形的性質，關鍵在于的識別.6、A【解析】

利用弧長公式、扇形的面積計算公式即可得出．【詳解】設此扇形半徑為r，扇形弧長為l=2r則2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面積為r=故選A【點睛】本題考查了弧長公式、扇形的面積計算公式，屬于基礎題．7、B【解析】由題意不妨令棱長為，如圖在底面內的射影為的中心，故由勾股定理得過作平面，則為與底面所成角，且如圖作于中點與底面所成角的正弦值故答案選點睛：本題考查直線與平面所成的角，要先過點作垂線構造出線面角，然后計算出各邊長度，在直角三角形中解三角形．8、D【解析】

由面面平行的定義，可得兩直線無公共點，可得所求結論．【詳解】平面α∥平面β，可得兩平面α，β無公共點，即有直線與直線也無公共點，可得它們異面或平行，故選：D．【點睛】本題考查空間線線的位置關系，考查面面平行的定義，屬于基礎題．9、B【解析】分析：先根據向量數量積定義化簡，再根據二倍角公式求值.詳解：因為，所以選B.點睛：平面向量數量積的類型及求法(1)求平面向量數量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標公式；三是利用數量積的幾何意義.(2)求較復雜的平面向量數量積的運算時，可先利用平面向量數量積的運算律或相關公式進行化簡.10、A【解析】

.所以選A.【點睛】本題考查了二倍角及同角正余弦的差與積的關系，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據面積公式計算出的值，然后利用反三角函數求解出的值.【詳解】因為，所以，則，則有：.【點睛】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應用，難度較易.利用面積公式的時候要選擇合適的公式進行化簡，可根據所求角進行選擇.12、9【解析】

兩圓只有一條公切線，可以判斷兩圓是內切關系，可以得到一個等式，結合這個等式，可以求出的最小值.【詳解】，圓心為，半徑為2；，圓心為，半徑為1.因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓是內切關系，即，于是有（當且僅當取等號），因此的最小值為9.【點睛】本題考查了圓與圓的位置關系，考查了基本不等式的應用，考查了數學運算能力.13、【解析】

直接利用向量平行性質得到答案.【詳解】，若故答案為【點睛】本題考查了向量平行的性質，屬于簡單題.14、2【解析】由對數的運算性質可得到，故答案為2.15、【解析】

作出函數的圖像，根據圖像可得答案.【詳解】因為，所以，所以，所以，作出函數的圖像，由圖可知故答案為：【點睛】本題考查了正弦型函數的圖像，考查了數形結合思想，屬于基礎題.16、【解析】

由反三角函數的性質得到，即可求得函數的值域.【詳解】由，則，，又，，即，函數的值域為.故答案：.【點睛】本題考查反三角函數的性質及其應用，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）通過邊長關系可知，所以，又，所以平面，所以平面平面．（2）連接交與點，連接，易得∽，所以，所以直線平面．，【詳解】（1）因為，，所以，所以又，且，平面，平面所以平面又平面所以平面平面（2）連接交與點，連接在四邊形中，，∽，所以又，即所以又直線平面，直線平面所以直線平面【點睛】（1）證明面面垂直：先正線面垂直，線又屬于另一個面，即可證明面面垂直．（2）證明線面平行，在面內找一個線與已知直線平行即可.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）根據函數的解析式化簡計算可得出；（2）由（1）得，由，可得，并推導出函數為上的增函數，可得出，由為銳角可得出，由此可得出銳角的取值范圍.【詳解】（1），；（2）任取、，且，，，，，所以，函數是上的增函數，由（1）知：即，由，得，又，即有，故有，即，為銳角，則，，的取值范圍是.【點睛】本題考查利用解析式化簡計算，同時也考查了利用函數的單調性解不等式，涉及三角不等式的求解，考查計算能力，屬于中等題.19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

（I）利用數量積的定義和三角形面積公式可求得，從而得角；（II）由得，平方后可求得，即中線長，結合可得最小值，從而得取值范圍．【詳解】(Ⅰ)因為，所以因為，所以得以兩式相除得所以(Ⅱ)因為，所以因為，所以所以所以．當且僅當時取得等號所以線段長度的取值范圍時.【點睛】本題考查平面向量的數量積，考查平面向量的線性運算、三角形面積公式，解題關鍵是把中線向量表示為，這樣把線段長度（向量模）轉化為向量的數量積．20、（1）60°【解析】

（1）利用余弦定理表示出cosA，然后根據正弦定理化簡已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化簡后求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；（2）由A為60°，利用三角形的內角和定理得到B+C的度數，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=3中，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由B的范圍，求出這個角的范圍，利用特殊角的三角函數值求出B為60°，可得出三角形ABC三個角相等，都為60°，則三角形ABC為等邊三角形．【詳解】(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2+c(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°，由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3，∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(∵0°＜B＜120°，∴30°＜B＋30°＜150°，∴B＋30°＝90°，B＝60°，∴A＝B＝C＝60°，△ABC為等邊三角形.【點睛】此題考查了三角形形狀的判斷，正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，等邊三角形的判定，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本