人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專(zhuān)題提升精講精練專(zhuān)題14一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)(原卷版+解析)

專(zhuān)題14一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)【題型目錄】題型一正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題題型二一次函數(shù)的圖象問(wèn)題題型三一次函數(shù)的平移問(wèn)題題型四一次函數(shù)的增減性問(wèn)題題型五一次函數(shù)值的大小比較題型六一次函數(shù)的規(guī)律探究題題型七一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問(wèn)題【經(jīng)典例題一正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題】【知識(shí)歸納】一、正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是一條過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。（1）k>0時(shí)，從左向右看圖象呈上升趨勢(shì)；（2）k<0時(shí)，從左向右看圖象呈下降趨勢(shì)。二、正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1、正比例函數(shù)y=kx(k≠0)中x和y的取值均為全體實(shí)數(shù)，又因?yàn)閤=0時(shí)總有y=0，所以其圖象是一條過(guò)原點(diǎn)(0,0)的直線(xiàn)。根據(jù)正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k≠0)，當(dāng)x=1時(shí)，可得y=k。所以，正比例函數(shù)的圖象除原點(diǎn)外，還過(guò)(1,k)點(diǎn)。正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k的正負(fù)（即斜率k的正負(fù)）決定著正比例函數(shù)的增減和所過(guò)的象限。（1）當(dāng)正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k>0時(shí)為增函數(shù)，其函數(shù)圖象從左向右看時(shí)呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，并且除原點(diǎn)外還過(guò)一、三象限。（2）當(dāng)正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k<0時(shí)為減函數(shù)，其函數(shù)圖象從左向右看時(shí)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，并且除原點(diǎn)外還過(guò)二、四象限。正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k的絕對(duì)值決定著正比例函數(shù)的圖象的傾斜程度。（1）|k|越大時(shí)，圖象與y軸的夾角就越小，圖象就越“陡峭”，函數(shù)值y隨自變量x變化的就越“快”。（2）|k|越小時(shí)，圖象與y軸的夾角就越大，圖象就越“平緩”，函數(shù)值y隨自變量x變化的就越“慢”?！纠?】（2023秋·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，放置如圖所示的等邊，已知，若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．2【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·安徽·金寨縣天堂寨初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）一次函數(shù)與正比例函數(shù)（m，n為常數(shù)、且）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖可能是（）A． B．C． D．【變式2】（2022·廣東·廣州市第二中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中擺放16個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，直線(xiàn)l：y＝kx將這16個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，則k的值是_____．【變式3】（2022·陜西·西安市第三中學(xué)八年級(jí)期中）已知正比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求：(1)這個(gè)函數(shù)的解析式；(2)判斷點(diǎn)是否在這個(gè)函數(shù)圖像上；(3)圖像上兩點(diǎn)，，如果，比較，的大?。窘?jīng)典例題二一次函數(shù)的圖象問(wèn)題】【解題技巧】一次函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象與性質(zhì)：【例2】（2023秋·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下列說(shuō)法中不正確的是（）A．若x滿(mǎn)足，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)y有最小值B．該函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為C．該函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相互平行D．若函數(shù)值y滿(mǎn)足時(shí)，則自變量x的取值范圍是【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·四川省成都市七中育才學(xué)校八年級(jí)期中）對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．它的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．它的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限C．當(dāng)時(shí)， D．隨的增大而減小【變式2】（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)，與軸分別相交于兩點(diǎn)，將沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)處，，折痕所在直線(xiàn)交y軸正半軸于點(diǎn)C．把直線(xiàn)AB向左平移，使之經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平移后直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式是_____．【變式3】（2022·陜西榆林·八年級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線(xiàn)相交于點(diǎn)C，過(guò)B作x軸的平行線(xiàn)l，點(diǎn)P為直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)E，使得是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題三一次函數(shù)的平移問(wèn)題】【解題技巧】知識(shí)點(diǎn)：一次函數(shù)的平移將函數(shù)向上平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b+n，將函數(shù)向下平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b-n，將函數(shù)向左平移n格，函數(shù)解析式為y=k（x+n）+b，將函數(shù)向右平移n格，函數(shù)解析式為y=k（x-n）+b。平移時(shí)：上加下減在末尾，左加右減在中間【例3】（2022秋·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，且直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，將直線(xiàn)向下平移個(gè)單位得到直線(xiàn)，直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)B，若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則m的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·廣東·豐順縣球山中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，將這條直線(xiàn)向左平移與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，若，則直線(xiàn)的函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·北京十一晉元中學(xué)八年級(jí)期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形ABCD的面積為10，且邊AB在x軸上．如果將直線(xiàn)y＝x沿x軸正方向平移，在平移過(guò)程中，記該直線(xiàn)在x軸上平移的距離為m，直線(xiàn)被平行四邊形的邊所截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)度為n，且n與m的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2所示，那么圖2中a的值是_____，b的值是_____．【變式3】（2022·陜西·西工大附中分校八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)A（－1，0）、交y軸于點(diǎn)B（0，3）．(1)求直線(xiàn)l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線(xiàn)l沿x軸正方向平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線(xiàn)m．若直線(xiàn)m上存在點(diǎn)C，使得△ABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形，求t的值．【經(jīng)典例題四一次函數(shù)的增減性問(wèn)題】知識(shí)點(diǎn)：直線(xiàn)y=kx+b的圖象和性質(zhì)與k、b的關(guān)系如下表所示：k>0，b>0：經(jīng)過(guò)第一、二、三象限k>0，b<0：經(jīng)過(guò)第一、三、四象限k>0，b=0：經(jīng)過(guò)第一、三象限（經(jīng)過(guò)原點(diǎn)）結(jié)論：k>0時(shí)，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。k<0，b>0：經(jīng)過(guò)第一、二、四象限k<0，b<0：經(jīng)過(guò)第二、三、四象限k<0，b=0：經(jīng)過(guò)第二、四象限（經(jīng)過(guò)原點(diǎn)）結(jié)論：k<0時(shí)，圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小。【例4】（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一次函數(shù)（m為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，y有最大值6，則m的值為（）A． B． C．2或6 D．或6【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·安徽·天長(zhǎng)市炳輝中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知一次函數(shù)的圖像與軸的正半軸相交，隨的增大而減小，且為整數(shù)，則時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（）A． B． C． D．【變式2】（2022·上海·上外附中九年級(jí)階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值恒大于0，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________．【變式3】（2022·江蘇南通·八年級(jí)期末）把一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，）在x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，與原來(lái)在x軸上方的圖象組合，得到一個(gè)新的圖象，我們稱(chēng)之為一次函數(shù)的“V形”圖象，例如，如圖1就是函數(shù)的“V形”圖象．(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出一次函數(shù)的“V形”圖象，并直接寫(xiě)出該圖象與x軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)是______；(2)在（1）的條件下，若直線(xiàn)與一次函數(shù)的“V形”圖象相交于B，C兩點(diǎn)，求△ABC的面積；(3)一次函數(shù)（k為常數(shù)）的“V形”圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且，求k的取值范圍．【經(jīng)典例題五一次函數(shù)值的大小比較】【例5】（2022秋·重慶·八年級(jí)?？计谥校┰O(shè)，分別是函數(shù)，圖象上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有恒成立，則稱(chēng)函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，為“逼近區(qū)間”．則下列結(jié)論正確的有（

）①函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；③是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；④是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·江蘇泰州·八年級(jí)期末）若關(guān)于x的一次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)、、，則下列關(guān)于與的大小關(guān)系中，正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)和函數(shù)，有以下結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，的取值范圍是②隨x的增大而增大③函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)一定在第一象限④若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【變式3】（2022·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)期末）已知一次函數(shù)，其中．(1)若點(diǎn)在的圖象上，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的函數(shù)解析式；(3)對(duì)于一次函數(shù)，其中，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，總有，直接寫(xiě)出m的取值范圍．【經(jīng)典例題六一次函數(shù)的規(guī)律探究題】【例6】（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)校考期末）如圖.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，…和，，，…分別在直線(xiàn)和軸上，，，，…都是等腰直角三角形，如果點(diǎn)，那么的縱坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）正方形…按如圖所示放置，點(diǎn)和點(diǎn)…，分別在直線(xiàn)和軸上的坐標(biāo)分別為，則的坐標(biāo)是()A． B．C． D．【變式2】（2022·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，以為直角邊長(zhǎng)作等腰，再過(guò)點(diǎn)作等腰△交直線(xiàn)于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)再作等腰△交直線(xiàn)于點(diǎn)，以此類(lèi)推，繼續(xù)作等腰△，，△，其中點(diǎn)都在直線(xiàn)上，點(diǎn)都在軸上，且，，都為直角．則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_．【例3】（2022·遼寧葫蘆島·八年級(jí)期末）數(shù)學(xué)精英小組利用平面直角坐標(biāo)系在研究直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時(shí)，發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)上的任意三點(diǎn)，，（），滿(mǎn)足，經(jīng)小組查閱資料，再經(jīng)請(qǐng)教老師驗(yàn)證，以上結(jié)論是成立的，即直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)，，（），都有．例如：，為直線(xiàn)上兩點(diǎn)，則．(1)已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出______．(2)如圖，直線(xiàn)于點(diǎn)，直線(xiàn)，分別交軸于，兩點(diǎn)，，，三點(diǎn)坐標(biāo)如圖所示．請(qǐng)用上述方法求出的值．【經(jīng)典例題七一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問(wèn)題】【例7】（2022秋·陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與軸、軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，將直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與軸交于點(diǎn)，則的面積為（

）A． B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023·廣西玉林·一模）如圖，已知直線(xiàn)交、軸于、兩點(diǎn)，以為邊作等邊、、三點(diǎn)逆時(shí)針排列，、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，連接、，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·湖北·華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)光谷分校八年級(jí)階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以QP為腰作等腰，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為_(kāi)__________．【變式3】（2022·山東濟(jì)寧·九年級(jí)期中）在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)畫(huà)函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程，以下是我們研究函數(shù)y＝性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過(guò)程，請(qǐng)按要求完成下列各小題．(1)求出表中a，b的值，其中a＝______，b＝______．x…-5-4-3-2-1012345…y=…a-303b…(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中補(bǔ)全該函數(shù)圖象；(3)根據(jù)函數(shù)圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的說(shuō)法是否正確，正確的在答題卡上相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的在答題卡上相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打“×”；①該函數(shù)圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸為y軸；②該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，有最大值和最小值．當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值3；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)取得最小值﹣3；③當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小．(4)已知函數(shù)y＝2x﹣1的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫(huà)的函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出不等式＞2x﹣1的解集．（保留1位小數(shù)，誤差不超過(guò)0.2）【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2023秋·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線(xiàn)l是一次函數(shù)的圖象，且直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．直線(xiàn)l過(guò)坐標(biāo)為的點(diǎn)C．若點(diǎn)，在直線(xiàn)l上，則D．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考期末）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，在x軸上找一點(diǎn)P，使得的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在函數(shù)圖像上，均垂直于軸，若均為等腰直角三角形，則的面積是（

）A．16 B．64 C．256 D．10244．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，將直線(xiàn)繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交x軸于點(diǎn)C，則的面積是（

）A．22 B．20 C．18 D．165．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（） B．（） C．（） D．（）6．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一束光線(xiàn)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)y軸上的點(diǎn)C反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．7．（2022春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)烏市八中?？计谀┤鐖D，正方形的頂點(diǎn)，分別在軸，軸上，點(diǎn)在直線(xiàn)：上，直線(xiàn)分別交軸，軸于點(diǎn)，．將正方形沿軸向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，點(diǎn)恰好落在直線(xiàn)上．則的值為(

)A．0.5 B．1 C．1.5 D．28．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)B是直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，則的最小值是（

）A．6 B． C．9 D．9．（2022秋·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與兩條坐標(biāo)軸截得的直角三角形的面積為3，則一次函數(shù)的解析式為_(kāi)_____．10．（2022春·廣東河源·八年級(jí)校考期末）正方形，，，按如圖所示的方式放置．點(diǎn)，，，和點(diǎn)，，，分別在直線(xiàn)和軸上，已知點(diǎn)，，則的坐標(biāo)是_____．11．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)校考周測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的邊落在軸的正半軸上，且點(diǎn)，直線(xiàn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸向下平移，經(jīng)過(guò)___________秒該直線(xiàn)可將平行四邊形分成面積相等的兩部分．12．（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD在第一象限內(nèi)，軸，，直線(xiàn)沿x軸向其正方向平移，在平移過(guò)程中，直線(xiàn)被四邊形截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為t，直線(xiàn)向右平移的距離為m，圖2是t與m之間的函數(shù)圖像，則四邊形的面積為_(kāi)_________．13．（2022秋·山西晉中·八年級(jí)校考期末）如圖，直線(xiàn)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在線(xiàn)段上，將沿所在直線(xiàn)折疊后，點(diǎn)A恰好落在y軸上點(diǎn)D處，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____．14．（2023秋·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線(xiàn)與軸和軸分別交與A、兩點(diǎn)，射線(xiàn)于點(diǎn)A，若點(diǎn)是射線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以、、A為頂點(diǎn)的三角線(xiàn)與全等，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．15．（2022秋·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).(1)求的值及的面積；(2)已知點(diǎn)，若點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e與的面積相等時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).16．（2023秋·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．(1)求直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(2)在x軸上有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作，交y軸于點(diǎn)Q，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．17．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)交于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)G．的面積為面積的．(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)__________；(2)過(guò)點(diǎn)C作，交交于F，垂足為E，求證：；(3)請(qǐng)?zhí)骄吭诘谝幌笙迌?nèi)是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明提由．18．（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是x軸上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O，A重合），連結(jié)BC，作，且，過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足為點(diǎn)E．(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．(2)若點(diǎn)C在線(xiàn)段上，連結(jié)，猜想的形狀，并證明結(jié)論．(3)若點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在x軸下方，是以為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．19．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．(1)求和的值；(2)函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度勻速向軸正方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的值；20．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中校考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)：與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．直線(xiàn)：與直線(xiàn)交于點(diǎn)C．(1)求直線(xiàn)的解析式．(2)如圖2，點(diǎn)P是射線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸且與交于點(diǎn)D，連接．當(dāng)時(shí)，求的面積．(3)如圖3，在（2）的條件下，將先向右平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．在x軸上確定一點(diǎn)G，使得以點(diǎn)A，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)．專(zhuān)題14一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)【題型目錄】題型一正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題題型二一次函數(shù)的圖象問(wèn)題題型三一次函數(shù)的平移問(wèn)題題型四一次函數(shù)的增減性問(wèn)題題型五一次函數(shù)值的大小比較題型六一次函數(shù)的規(guī)律探究題題型七一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問(wèn)題【經(jīng)典例題一正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題】【知識(shí)歸納】一、正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是一條過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。（1）k>0時(shí)，從左向右看圖象呈上升趨勢(shì)；（2）k<0時(shí)，從左向右看圖象呈下降趨勢(shì)。二、正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1、正比例函數(shù)y=kx(k≠0)中x和y的取值均為全體實(shí)數(shù)，又因?yàn)閤=0時(shí)總有y=0，所以其圖象是一條過(guò)原點(diǎn)(0,0)的直線(xiàn)。根據(jù)正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k≠0)，當(dāng)x=1時(shí)，可得y=k。所以，正比例函數(shù)的圖象除原點(diǎn)外，還過(guò)(1,k)點(diǎn)。正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k的正負(fù)（即斜率k的正負(fù)）決定著正比例函數(shù)的增減和所過(guò)的象限。（1）當(dāng)正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k>0時(shí)為增函數(shù)，其函數(shù)圖象從左向右看時(shí)呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，并且除原點(diǎn)外還過(guò)一、三象限。（2）當(dāng)正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k<0時(shí)為減函數(shù)，其函數(shù)圖象從左向右看時(shí)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，并且除原點(diǎn)外還過(guò)二、四象限。正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k的絕對(duì)值決定著正比例函數(shù)的圖象的傾斜程度。（1）|k|越大時(shí)，圖象與y軸的夾角就越小，圖象就越“陡峭”，函數(shù)值y隨自變量x變化的就越“快”。（2）|k|越小時(shí)，圖象與y軸的夾角就越大，圖象就越“平緩”，函數(shù)值y隨自變量x變化的就越“慢”。【例1】（2023秋·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，放置如圖所示的等邊，已知，若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，首先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可求得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式，即可求解．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，，，是等邊三角形，，，，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式，得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·安徽·金寨縣天堂寨初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）一次函數(shù)與正比例函數(shù)（m，n為常數(shù)、且）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”分兩種情況討論mn的符號(hào)，然后根據(jù)m、n同正時(shí)，同負(fù)時(shí)，一正一負(fù)或一負(fù)一正時(shí)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、一次函數(shù)m＞0，n＞0；正比例函數(shù)mn＜0，矛盾；B、一次函數(shù)m＞0，n＜0；正比例函數(shù)mn＞0，矛盾；C、一次函數(shù)m＞0，n＜0，正比例函數(shù)mn＜0，成立；D、一次函數(shù)m＜0，n＞0，正比例函數(shù)mn＞0，矛盾，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它的性質(zhì)才能靈活解題．一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象有四種情況：①當(dāng)k＞0，b＞0，經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；②當(dāng)k＞0，b＜0，經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；③當(dāng)k＜0，b＞0時(shí)，經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；④當(dāng)k＜0，b＜0時(shí)，經(jīng)過(guò)第二、三、四象限．【變式2】（2022·廣東·廣州市第二中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中擺放16個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，直線(xiàn)l：y＝kx將這16個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，則k的值是_____．【答案】【分析】設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx與正方形的上邊緣交點(diǎn)為A，作AB⊥y軸于B，再利用三角形的面積求解A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可．【詳解】解：設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx與正方形的上邊緣交點(diǎn)為A，作AB⊥y軸于B，∵16個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形面積為16，∴△AOB的面積為8﹣4+1＝5，∵OB＝4，∴AB＝5×2÷4＝，∴A（，4），即4＝k，解得k＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，利用待定系數(shù)法求解正比例函數(shù)的解析式，求解A的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·陜西·西安市第三中學(xué)八年級(jí)期中）已知正比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求：(1)這個(gè)函數(shù)的解析式；(2)判斷點(diǎn)是否在這個(gè)函數(shù)圖像上；(3)圖像上兩點(diǎn)，，如果，比較，的大?。敬鸢浮?1)(2)不在(3)【分析】（1）將代入，利用待定系數(shù)法求解；（2）將代入（1）中所求解析式，看y值是否為即可；（3）根據(jù)k值判斷正比例函數(shù)圖象的增減性，即可求解．【詳解】（1）解：正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，解得這個(gè)函數(shù)的解析式為；（2）解：將代入中得：，點(diǎn)不在這個(gè)函數(shù)圖象上；（3）解：，隨x的增大而減小，又．【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，根據(jù)比例系數(shù)判斷函數(shù)圖象的增減性．【經(jīng)典例題二一次函數(shù)的圖象問(wèn)題】【解題技巧】一次函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象與性質(zhì)：【例2】（2023秋·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下列說(shuō)法中不正確的是（）A．若x滿(mǎn)足，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)y有最小值B．該函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為C．該函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相互平行D．若函數(shù)值y滿(mǎn)足時(shí)，則自變量x的取值范圍是【答案】A【分析】根據(jù)待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，再由一次函數(shù)的性質(zhì)及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次判斷即可．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴，∵，∴y隨x的增大而減小，A、x滿(mǎn)足，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)y有最大值，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，∴函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為：，選項(xiàng)正確，不符合題意；C、與，k都為，圖象相互平行，選項(xiàng)正確，不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；∴函數(shù)值y滿(mǎn)足時(shí)，則自變量x的取值范圍是，選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查確定一次函數(shù)解析式的方法、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，圍成的三角形面積等，理解題意，熟練掌握一次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·四川省成都市七中育才學(xué)校八年級(jí)期中）對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．它的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．它的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限C．當(dāng)時(shí)， D．隨的增大而減小【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、與軸交于，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，∴隨的增大而減小，選項(xiàng)正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)，與軸分別相交于兩點(diǎn)，將沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)處，，折痕所在直線(xiàn)交y軸正半軸于點(diǎn)C．把直線(xiàn)AB向左平移，使之經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平移后直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式是_____．【答案】【分析】先求得的坐標(biāo)，然后由勾股定理求出，再由折疊的性質(zhì)得出，求得，在中，根據(jù)勾股定理，列出方程，解方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得平移后的解析式．【詳解】解：∵直線(xiàn)，與軸分別相交于兩點(diǎn)，令，解得，令，解得，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，在中，，即，解得，∴，∴平移后的直線(xiàn)的解析式為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與折疊的性質(zhì)，一次函數(shù)的平移，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·陜西榆林·八年級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線(xiàn)相交于點(diǎn)C，過(guò)B作x軸的平行線(xiàn)l，點(diǎn)P為直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)E，使得是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為或．【分析】（1）對(duì)于直線(xiàn)，分別令x、y等于0，即可求得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，解方程組即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)三角形的面積公式列式，求解即可；（3）分①當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，②當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作y軸或x軸的垂線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，分別求出相應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得，∴．聯(lián)立解得∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）解：∵；，，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，∴，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6．解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖1：過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)G，則．∴，∴，∴，∴，∴此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖2：作軸于點(diǎn)H，則，∴，∴，∴，∴，∴此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為．綜上可知，第一象限內(nèi)存在點(diǎn)E，使得是以為直角邊的等腰直角三角形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的作出所需要的輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形、全等三角形，解題過(guò)程中還涉及數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．【經(jīng)典例題三一次函數(shù)的平移問(wèn)題】【解題技巧】知識(shí)點(diǎn)：一次函數(shù)的平移將函數(shù)向上平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b+n，將函數(shù)向下平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b-n，將函數(shù)向左平移n格，函數(shù)解析式為y=k（x+n）+b，將函數(shù)向右平移n格，函數(shù)解析式為y=k（x-n）+b。平移時(shí)：上加下減在末尾，左加右減在中間【例3】（2022秋·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，且直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，將直線(xiàn)向下平移個(gè)單位得到直線(xiàn)，直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)B，若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則m的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，求出直線(xiàn)、的關(guān)系式，得出的值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，如圖所示：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∵直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，點(diǎn)，∴，解得：，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，把，代入得：，解得：，∴，∵直線(xiàn)由直線(xiàn)平移得到，∴設(shè)直線(xiàn)的關(guān)系式為，把代入得：，解得：，∴直線(xiàn)的關(guān)系式為，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)的平移，求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般方法．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·廣東·豐順縣球山中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，將這條直線(xiàn)向左平移與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，若，則直線(xiàn)的函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出直線(xiàn)AB的解析式，再根據(jù)平移的性質(zhì)求直線(xiàn)CD的解析式．【詳解】解：設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為，∵，在直線(xiàn)AB上，∴，解得，∴直線(xiàn)AB的解析式為；∵將這直線(xiàn)向左平移與x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，平移后的圖形與原圖形平行，∴設(shè)平移以后的函數(shù)解析式為：．∵,,∴,,∴，解得，∴設(shè)平移以后的函數(shù)解析式為：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，等腰三角形的性質(zhì)，熟知利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·北京十一晉元中學(xué)八年級(jí)期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形ABCD的面積為10，且邊AB在x軸上．如果將直線(xiàn)y＝x沿x軸正方向平移，在平移過(guò)程中，記該直線(xiàn)在x軸上平移的距離為m，直線(xiàn)被平行四邊形的邊所截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)度為n，且n與m的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2所示，那么圖2中a的值是_____，b的值是_____．【答案】

7

【分析】在圖1中，過(guò)點(diǎn)D，B，C作直線(xiàn)與已知直線(xiàn)y＝x平行，交x軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)D作DG⊥x軸于G，在圖2中，?。?，0），（5，b），（a，b），（10，0），求出OE＝2，OA＝5，CF＝b，則AE＝3，OF＝a，OB＝10，根據(jù)的面積為10，求出DG＝2，得到DE即為b值．【詳解】解：在圖1中，過(guò)點(diǎn)D，A，B，C作直線(xiàn)與已知直線(xiàn)y＝x平行，交x軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)D作DG⊥x軸于G，在圖2中，?。?，0），（5，b），（a，b），（10，0），圖1中點(diǎn)A對(duì)應(yīng)圖2中的點(diǎn)，得出OA＝5，圖1中點(diǎn)E對(duì)應(yīng)圖2中的點(diǎn)，得出OE＝2，DE＝b，則AE＝3，圖1中點(diǎn)F對(duì)應(yīng)圖2中的點(diǎn)，得出OF＝a，圖1中點(diǎn)B對(duì)應(yīng)圖2中的點(diǎn)，得出OB＝10，∵a＝OB＝OB﹣BF，BF＝AE＝3，OB＝10∴a＝7，∵的面積為10，AB＝OB﹣OA＝10﹣5＝5，∴DG＝2，在Rt△DGE中，∠DEG＝45°，∴DE＝=，故答案是：7，．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形與函數(shù)圖象的結(jié)合，正確掌握平行四邊形的性質(zhì)，直線(xiàn)y＝x與坐標(biāo)軸夾角45°的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象平行的性質(zhì)，勾股定理，正確理解函數(shù)圖象得到相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·陜西·西工大附中分校八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)A（－1，0）、交y軸于點(diǎn)B（0，3）．(1)求直線(xiàn)l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線(xiàn)l沿x軸正方向平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線(xiàn)m．若直線(xiàn)m上存在點(diǎn)C，使得△ABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形，求t的值．【答案】(1)y＝3x＋3；(2)t＝．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解析式；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CG于點(diǎn)H，易證△BCH≌△CAG（AAS），設(shè)OG＝x，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得方程2?x＝x，解方程可得C點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出t的值．（1）解：設(shè)直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式：y＝kx＋b，代入A（?1，0），B（0，3），得，解得，∴直線(xiàn)l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：y＝3x＋3；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CG于點(diǎn)H，圖象如下：則∠BHC＝∠CGA＝90°，∴∠HBC＋∠HCB＝90°，∵△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，∴∠BCA＝90°，BC＝AC，∴∠BCH＋∠GCA＝90°，∴∠HBC＝∠GCA，∴△BCH≌△CAG（AAS），∴BH＝CG，HC＝AG，設(shè)OG＝x，則AG＝HC＝1＋x，∴CG＝3?（1＋x）＝2?x，∴2?x＝x，解得x＝1，∴C（1，1），設(shè)直線(xiàn)l平移后的解析式為y＝3（x?t）＋3，代入C點(diǎn)坐標(biāo)，得3（1?t）＋3＝1，解得t＝．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與等腰直角三角形的綜合，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)．【經(jīng)典例題四一次函數(shù)的增減性問(wèn)題】知識(shí)點(diǎn)：直線(xiàn)y=kx+b的圖象和性質(zhì)與k、b的關(guān)系如下表所示：k>0，b>0：經(jīng)過(guò)第一、二、三象限k>0，b<0：經(jīng)過(guò)第一、三、四象限k>0，b=0：經(jīng)過(guò)第一、三象限（經(jīng)過(guò)原點(diǎn)）結(jié)論：k>0時(shí)，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。k<0，b>0：經(jīng)過(guò)第一、二、四象限k<0，b<0：經(jīng)過(guò)第二、三、四象限k<0，b=0：經(jīng)過(guò)第二、四象限（經(jīng)過(guò)原點(diǎn)）結(jié)論：k<0時(shí)，圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小?！纠?】（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一次函數(shù)（m為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，y有最大值6，則m的值為（）A． B． C．2或6 D．或6【答案】D【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別列出關(guān)于m的方程即可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)y隨x增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，，∴，解得符合題意，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)y隨x增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，，∴，解得，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的增減性與比例系數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·安徽·天長(zhǎng)市炳輝中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知一次函數(shù)的圖像與軸的正半軸相交，隨的增大而減小，且為整數(shù)，則時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖像與y軸正半軸相交且y隨x的增大而減小，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍，結(jié)合k為整數(shù)可確定一次函數(shù)的解析式，再利用一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出當(dāng)時(shí)x的取值范圍．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖像與y軸正半軸相交，y隨x的增大而減小，∴，解得：，∵k為整數(shù)，∴k＝－2，∴一次函數(shù)的解析式為y＝?3x＋1，當(dāng)y＝－5時(shí)，即?3x＋1＝－5，解得：x＝2；當(dāng)y＝4時(shí)，即?3x＋1＝4，解得：x＝?1，∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為?1＜x＜2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元一次不等式組，熟練掌握一次函數(shù)的增減性與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·上?！ど贤飧街芯拍昙?jí)階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值恒大于0，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________．【答案】【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的圖象是一條直線(xiàn)可知要使函數(shù)的值恒大于0，則需要兩個(gè)端點(diǎn)值都大于0；再驗(yàn)證當(dāng)y是常函數(shù)，即當(dāng)時(shí)是否滿(mǎn)足題意即可．【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值恒大于0，∴當(dāng)和時(shí)，的值都大于0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像是一條直線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·江蘇南通·八年級(jí)期末）把一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，）在x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，與原來(lái)在x軸上方的圖象組合，得到一個(gè)新的圖象，我們稱(chēng)之為一次函數(shù)的“V形”圖象，例如，如圖1就是函數(shù)的“V形”圖象．(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出一次函數(shù)的“V形”圖象，并直接寫(xiě)出該圖象與x軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)是______；(2)在（1）的條件下，若直線(xiàn)與一次函數(shù)的“V形”圖象相交于B，C兩點(diǎn)，求△ABC的面積；(3)一次函數(shù)（k為常數(shù)）的“V形”圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且，求k的取值范圍．【答案】(1)圖見(jiàn)解析，(2)2(3)或【分析】（1）根據(jù)題意作出相應(yīng)函數(shù)圖象，然后由一次函數(shù)解析式確定點(diǎn)A的坐標(biāo)即可；（2）先確定出函數(shù)解析式，然后聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖形求三角形面積即可；（3）根據(jù)題意得出經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，該圖象與x軸交點(diǎn)，利用一次函數(shù)的增減性質(zhì)求解即可．（1）解：如圖所示即為所求函數(shù)圖象：y=x+1，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2）由圖可得：線(xiàn)段AE所在直線(xiàn)的解析式為y=-x-1，∴，解得∴線(xiàn)段AD所在直線(xiàn)的解析式為y=x+1，∴，解得∴由（1）得：∴△ABC的面積；（3）∵直線(xiàn)（，且為常數(shù)）當(dāng)時(shí)，∴經(jīng)過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，∴該圖象與x軸交點(diǎn)①當(dāng)時(shí)∵，由圖象可知，解之得∴②當(dāng)時(shí)，由圖象可知，始終有綜上所述，或．【點(diǎn)睛】題目主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用及兩直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題、一次函數(shù)的基本性質(zhì)等，理解題意，熟練掌握一次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五一次函數(shù)值的大小比較】【例5】（2022秋·重慶·八年級(jí)校考期中）設(shè)，分別是函數(shù)，圖象上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有恒成立，則稱(chēng)函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，為“逼近區(qū)間”．則下列結(jié)論正確的有（

）①函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；③是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；④是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)當(dāng)時(shí)，總有恒成立，則稱(chēng)函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，為“逼近區(qū)間”．逐項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：①令，，，∵，∴，∴函數(shù)，在上不是“逼近函數(shù)”；故①不正確，不符合題意；②令，，，∵，∴，∴函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，故②正確，符合題意；③令，，，∵，∴，∴不是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”，故③不正確，不符合題意；④令，，，∵，∴，∴是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”，故④正確，符合題意；綜上：正確的有②④．故選∶D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂“逼近函數(shù)”和“逼近區(qū)間”的含義，會(huì)求函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)的最大、最小值．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·江蘇泰州·八年級(jí)期末）若關(guān)于x的一次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)、、，則下列關(guān)于與的大小關(guān)系中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出y1=-2n+b，y2=-2（n+1）+b，y3=-2（n+2）+b，將y1=-2n+b，y2=-2（n+1）+b代入y1+y3中整理后可得出y1+y3=2y2．【詳解】解：∵關(guān)于x的一次函數(shù)y=-2x+b的圖象過(guò)點(diǎn)（n，y1）、（n+1，y2）、（n+2，y3），∴y1=-2n+b，y2=-2（n+1）+b，y3=-2（n+2）+b，∴y1+y3=-2n+b-2（n+2）+b=-4n-4+2b=2[-2（n+1）+b]=2y2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，牢記直線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)和函數(shù)，有以下結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，的取值范圍是②隨x的增大而增大③函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)一定在第一象限④若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①④【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及一次函數(shù)的增減性逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①當(dāng)x＝0時(shí)，y1＝?1，當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝1，而一次函數(shù)y1＝2x?1，y隨x的增大而增大，所以?1＜y1＜1，所以①正確；②一次函數(shù)y2＝?x＋m（m＞0），y隨x的增大而減小，因此②不正確；③聯(lián)立，解得，則函數(shù)y1的圖像與函數(shù)y2的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為（），當(dāng)0＜m＜時(shí)，，此時(shí)交點(diǎn)在第四象限，所以③不正確；④若點(diǎn)（a，?2）在函數(shù)y1圖像上，(b，)在函數(shù)y2圖像上，則2a?1＝?2，?b＋m，即，b＝m?，當(dāng)m＞0時(shí)，，即b＞a，因此④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①④，故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是正確解答的前提．【變式3】（2022·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)期末）已知一次函數(shù)，其中．(1)若點(diǎn)在的圖象上，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的函數(shù)解析式；(3)對(duì)于一次函數(shù)，其中，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，總有，直接寫(xiě)出m的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在y1的圖象上，待定系數(shù)法求解析式，可以求得a的值；（2）根據(jù)當(dāng)時(shí)，和分類(lèi)討論的方法可以求得a的值，從而可以寫(xiě)出y1的函數(shù)表達(dá)式；（3）根據(jù)題意，，根據(jù)，得出相應(yīng)的不等式組，即可得到m的取值范圍．（1）將點(diǎn)代入得，，∴．（2）∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)，即時(shí)，由函數(shù)的增減性，可得：當(dāng)時(shí)，，即，解得：，此時(shí)，函數(shù)解析式為：；當(dāng)，即時(shí)，由函數(shù)的增減性，可得：當(dāng)時(shí)，，即，解得：，此時(shí)，函數(shù)解析式為：，綜上可得，的函數(shù)解析式或；（3）對(duì)于一次函數(shù)，其中，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，總有，所以，，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六一次函數(shù)的規(guī)律探究題】【例6】（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谀┤鐖D.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，…和，，，…分別在直線(xiàn)和軸上，，，，…都是等腰直角三角形，如果點(diǎn)，那么的縱坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，，，…，坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)解析式，尋找縱坐標(biāo)規(guī)律，進(jìn)而解題．【詳解】解：過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，…如圖，∵在直線(xiàn)上，∴，∴，∴，設(shè)，，，…，，則有，，…又∵，，…都是等腰直角三角形，軸，軸，軸…，∴，，…∴，，…，將點(diǎn)坐標(biāo)依次代入直線(xiàn)解析式得到：，，，…，又∵，∴，，，…，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形以及規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)縱坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）正方形…按如圖所示放置，點(diǎn)和點(diǎn)…，分別在直線(xiàn)和軸上的坐標(biāo)分別為，則的坐標(biāo)是()A． B．C． D．【答案】A【分析】先由的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得正方形邊長(zhǎng)為1，正方形邊長(zhǎng)為2，即可求得的坐標(biāo)是，的坐標(biāo)是，然后又待定系數(shù)法求得直線(xiàn)的解析式，由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)，利用解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用的坐標(biāo)，利用解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，繼而可得，觀察可得規(guī)律的坐標(biāo)是．【詳解】解：∵的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴正方形邊長(zhǎng)為1，正方形邊長(zhǎng)為2，∴，∴的坐標(biāo)是，的坐標(biāo)是，設(shè)直線(xiàn)的解析式為：，∴，解得：，∴直線(xiàn)的解析式是．∵點(diǎn)的坐標(biāo)為軸，∴時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴正方形邊長(zhǎng)為，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸，∴時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴正方形邊長(zhǎng)為，∴，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為軸，∴時(shí)，，∴，∴正方形邊長(zhǎng)為，∴，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系：，…點(diǎn)橫坐規(guī)律為，，…點(diǎn)縱坐標(biāo)規(guī)律為：、…∴的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，，∴的坐標(biāo)是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，正確的求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，找到規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，以為直角邊長(zhǎng)作等腰，再過(guò)點(diǎn)作等腰△交直線(xiàn)于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)再作等腰△交直線(xiàn)于點(diǎn)，以此類(lèi)推，繼續(xù)作等腰△，，△，其中點(diǎn)都在直線(xiàn)上，點(diǎn)都在軸上，且，，都為直角．則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_．【答案】

，【分析】先求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出的長(zhǎng)，故可得出的坐標(biāo)，同理即可得出，的坐標(biāo)，找出規(guī)律即可．【詳解】解：直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，同理可得，，，，故答案為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知一次函數(shù)圖像上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．【例3】（2022·遼寧葫蘆島·八年級(jí)期末）數(shù)學(xué)精英小組利用平面直角坐標(biāo)系在研究直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時(shí)，發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)上的任意三點(diǎn)，，（），滿(mǎn)足，經(jīng)小組查閱資料，再經(jīng)請(qǐng)教老師驗(yàn)證，以上結(jié)論是成立的，即直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)，，（），都有．例如：，為直線(xiàn)上兩點(diǎn)，則．(1)已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出______．(2)如圖，直線(xiàn)于點(diǎn)，直線(xiàn)，分別交軸于，兩點(diǎn)，，，三點(diǎn)坐標(biāo)如圖所示．請(qǐng)用上述方法求出的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)求解即可；（2）根據(jù)，分別求出k1，k2的值，再代入計(jì)算即可（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)，∴k=，故答案為：；（2）解：∵y1=k1x+b1經(jīng)過(guò)A(2,0)，B(0,4)，∴k1=，∵y2=k2x+b2經(jīng)過(guò)A(2,0)，C(0,-1)，∴k1=，∴k1k2=-2×=-1．【點(diǎn)睛】本題考查求一次函數(shù)解析式，本題屬閱讀材料題，理解題目中介紹的解題方法并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問(wèn)題】【例7】（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與軸、軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，將直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與軸交于點(diǎn)，則的面積為（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】如圖，過(guò)A作交于E，過(guò)A、E分別作y軸、x軸的平行線(xiàn)交于F，交y軸于D，根據(jù)解析式求出，，由勾股定理求得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)可知，設(shè)，由勾股定理，代入點(diǎn)的坐標(biāo)有，解得，即，結(jié)合解得不合題意舍去，所以，設(shè)過(guò)，直線(xiàn)解析式為：代入法求出直線(xiàn)方程，從而得到利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)A作交于E，過(guò)A、E分別作y軸、x軸的平行線(xiàn)交于F，交y軸于D，直線(xiàn)與軸、軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，則，，，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，，，，，設(shè)，則，，，解得，，，即，解得：或，當(dāng)時(shí)（舍去），當(dāng)時(shí)，，設(shè)過(guò)，直線(xiàn)解析式為：，則有：，解得，，與x軸交點(diǎn)為：，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)解析式與交點(diǎn)坐標(biāo)以及三角形面積公式；解題的關(guān)鍵勾股定理求邊長(zhǎng)，用代入法求直線(xiàn)解析式．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023·廣西玉林·一模）如圖，已知直線(xiàn)交、軸于、兩點(diǎn)，以為邊作等邊、、三點(diǎn)逆時(shí)針排列，、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，連接、，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在x軸上方作等邊△AOF，證明△AOB≌△AFC（SAS），所以點(diǎn)C的軌跡為定直線(xiàn)CF，作點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)CF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，連接CE'，CE＝CE'，當(dāng)點(diǎn)D、C、E'在同一條直線(xiàn)上時(shí)，DE'＝CD+CE的值最小，再根據(jù)勾股定理，即可解答．【詳解】解：點(diǎn)在直線(xiàn)上，，，，，，，在軸上方作等邊，

，，即，又，，≌，，

點(diǎn)的軌跡為定直線(xiàn)，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，，當(dāng)點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上時(shí)，的值最小，，，，

∴，AG=2×2=4，，∴,∴∵關(guān)于M的對(duì)稱(chēng)，∴，的最小值故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)、根據(jù)條件好問(wèn)題作出輔助線(xiàn)【變式2】（2022·湖北·華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)光谷分校八年級(jí)階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以QP為腰作等腰，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為_(kāi)__________．【答案】【分析】作、垂直于軸于、，證明≌，推出，，設(shè)，得，求出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，找到最小值的情況，求出的解析式，再和聯(lián)立，即可求出點(diǎn)H坐標(biāo)．【詳解】解：作、垂直于軸于、，則，則，為等腰直角三角形，，即，，在和中，，≌，，，設(shè)，得，點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)最小，此時(shí)F，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將F代入，得：，解得：，，聯(lián)立：，解得：，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式3】（2022·山東濟(jì)寧·九年級(jí)期中）在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)畫(huà)函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程，以下是我們研究函數(shù)y＝性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過(guò)程，請(qǐng)按要求完成下列各小題．(1)求出表中a，b的值，其中a＝______，b＝______．x…-5-4-3-2-1012345…y=…a-303b…(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中補(bǔ)全該函數(shù)圖象；(3)根據(jù)函數(shù)圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的說(shuō)法是否正確，正確的在答題卡上相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的在答題卡上相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打“×”；①該函數(shù)圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸為y軸；②該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，有最大值和最小值．當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值3；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)取得最小值﹣3；③當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減?。?4)已知函數(shù)y＝2x﹣1的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫(huà)的函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出不等式＞2x﹣1的解集．（保留1位小數(shù)，誤差不超過(guò)0.2）【答案】(1)，(2)補(bǔ)全該函數(shù)圖象見(jiàn)解析(3)①×；②√；③√(4)不等式＞2x﹣1的解集為x＜-1或﹣0.3＜x＜1.8【分析】（1）分別將和代入解析式求得y的值即可；（2）先描點(diǎn)，再連線(xiàn)即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象和函數(shù)的增減性及對(duì)稱(chēng)性逐項(xiàng)判斷即可；（4）寫(xiě)出的圖像在下部所對(duì)應(yīng)的自變量取值范圍即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，故答案為；（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖：（3）根據(jù)函數(shù)圖象：①該函數(shù)圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，說(shuō)法錯(cuò)誤；②該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，有最大值和最小值．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值3；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值﹣3，說(shuō)法正確；③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，說(shuō)法正確；（4）由圖象可知：不等式的解集為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)與不等式，掌握用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象和數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2023秋·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線(xiàn)l是一次函數(shù)的圖象，且直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．直線(xiàn)l過(guò)坐標(biāo)為的點(diǎn)C．若點(diǎn)，在直線(xiàn)l上，則D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知，即得出，可判斷A；將點(diǎn)代入，即得出，即直線(xiàn)l的解析式為，由當(dāng)時(shí)，，即可判斷B；由圖象可知該函數(shù)y的值隨x的增大而減小，從而即可得出，可判斷C正確；由該函數(shù)y的值隨x的增大而減小，且當(dāng)時(shí)，，即得出當(dāng)時(shí)，，從而可判斷D．【詳解】∵該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，且與y軸的交點(diǎn)位于x軸下方，∴，∴，故A正確，不符合題意；將點(diǎn)代入，得：，∴，∴直線(xiàn)l的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴直線(xiàn)l過(guò)坐標(biāo)為的點(diǎn)，故B正確，不符合題意；由圖象可知該函數(shù)y的值隨x的增大而減小，又∵，∴，故C正確，不符合題意；∵該函數(shù)y的值隨x的增大而減小，且當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，即，故D錯(cuò)誤，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．由圖象確定出，y的值隨x的增大而減小是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谀┮阎?，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，在x軸上找一點(diǎn)P，使得的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由待定系數(shù)法求出的解析式，再根據(jù)的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)P，，，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，把點(diǎn)A、點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得，解得：，∴直線(xiàn)的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)?最短路線(xiàn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟知“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在函數(shù)圖像上，均垂直于軸，若均為等腰直角三角形，則的面積是（

）A．16 B．64 C．256 D．1024【答案】C【分析】根據(jù)可得，，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，可得出，則，因?yàn)榫鶠榈妊苯侨切危瑒t，可得均為等腰直角三角形，故，同理可得，則，根據(jù)規(guī)律求出，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴．∵為等腰直角三角形，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，同理可得，則，∴，∵為等腰直角三角形，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是從特殊到一般，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．4．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，將直線(xiàn)繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交x軸于點(diǎn)C，則的面積是（

）A．22 B．20 C．18 D．16【答案】B【分析】根據(jù)已知條件得到，，過(guò)A作交于F，過(guò)F作軸于E，得到是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，求得直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式，據(jù)此求解可得到結(jié)論．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，∴令，得，令，則，∴，，∴，過(guò)A作交于F，過(guò)F作軸于E，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：，∴，解得，∴直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：，∴，∴，∴的面積是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（） B．（） C．（） D．（）【答案】D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)證明和都是等邊三角形，求出直線(xiàn)解析式為，直線(xiàn)的解析式為，聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵菱形的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，，∴，∵，∴和都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴直線(xiàn)解析式為，直線(xiàn)的解析式為，聯(lián)立方程組：，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)．6．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一束光線(xiàn)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)y軸上的點(diǎn)C反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，利用反射定律，推出等角，從而證明得出，得到，得到，設(shè)的直線(xiàn)的解析式為，待定系數(shù)法求出解析式，并求出直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，如圖所示：∵由反射可知：，又∵，∴，在和中，∴，∴∵∴∴∵，設(shè)的直線(xiàn)的解析式為，∴，解得，∴的直線(xiàn)的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了反射定律，全等三角形的性質(zhì)和判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，綜合性較強(qiáng)，將知識(shí)綜合運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．7．（2022春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)烏市八中?？计谀┤鐖D，正方形的頂點(diǎn)，分別在軸，軸上，點(diǎn)在直線(xiàn)：上，直線(xiàn)分別交軸，軸于點(diǎn)，．將正方形沿軸向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，點(diǎn)恰好落在直線(xiàn)上．則的值為(

)A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】過(guò)B作BM⊥OE于M，過(guò)C作CN⊥OF于N，根據(jù)AAS定理證得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)，由待定系數(shù)法求出直線(xiàn)l的解析式為y=-x+4，設(shè)平移后點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3-m)，代入解析式即可求出m．【詳解】解：過(guò)B作BM⊥OE于M，過(guò)C作CN⊥OF于N，如圖，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=DA，∴∠DAO+∠BAM=90°，∴∠DAO=∠ABM，在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM(AAS)，∴OA=BM，OD=AM，∵B(3,1)，∴BM=1，OM=3，∴OA=1，∴AM=OM-OA=2，∴OD=2，同理可證△CDN≌△DAO，∴DN=OA=1，CN=DO=2，∴ON=OD+DN=3，∴C(2,3)，∵點(diǎn)B(3,1)在直線(xiàn)l：y=kx+4上，∴3k+4=1，∴k=-1，∴直線(xiàn)l的解析式為y=-x+4，設(shè)正方形ABCD沿y軸向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3-m)，∵點(diǎn)C在直線(xiàn)l上，∴-2+4=3-m，解得：m=1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變化-平移，全等三角形的判定與性質(zhì)定理，根據(jù)AAS定理證得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)B是直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，則的最小值是（

）A．6 B． C．9 D．【答案】D【分析】作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，則PA+PB的最小值即為A'B的長(zhǎng)，先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再待定系數(shù)法求出b的值，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得點(diǎn)A'的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出A'B的長(zhǎng)，即可確定PA+PB的最小值．【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，如圖所示：則PA+PB的最小值即為的長(zhǎng)，將點(diǎn)A（3，a）代入y=2x，得a=2×3=6，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，6），將點(diǎn)A（3，6）代入y=x+b，得3+b=6，解得b=3，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，3），根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可得點(diǎn)A'坐標(biāo)為（3，-6）∴，∴PA+PB的最小值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及兩直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，一次函數(shù)的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短路徑問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與兩條坐標(biāo)軸截得的直角三角形的面積為3，則一次函數(shù)的解析式為_(kāi)_____．【答案】或【分析】由題意可設(shè)函數(shù)解析式為，求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)面積可得出關(guān)于k的方程，解出即可得出k的值，進(jìn)而可以求出函數(shù)解析式．【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為，令，得，則一次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，解得：，∴一次函數(shù)解析式為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，結(jié)合了三角形的知識(shí)，但難度中等，注意掌握坐標(biāo)和線(xiàn)段長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)化．10．（2022春·廣東河源·八年級(jí)?？计谀┱叫?，，，按如圖所示的方式放置．點(diǎn)，，，和點(diǎn)，，，分別在直線(xiàn)和軸上，已知點(diǎn)，，則的坐標(biāo)是_____．【答案】【分析】首先利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)的解析式，求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)，，的坐標(biāo)歸納總結(jié)規(guī)律得出的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴正方形邊長(zhǎng)為，正方形邊長(zhǎng)為，∴的坐標(biāo)是，A2的坐標(biāo)是，代入得，解得，則直線(xiàn)的解析式是：，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵的橫坐標(biāo)是：，的縱坐標(biāo)是：，的橫坐標(biāo)是：，的縱坐標(biāo)是：，的橫坐標(biāo)是：，的縱坐標(biāo)是：，…∴橫坐標(biāo)是：，的縱坐標(biāo)是：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)的變化規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)總結(jié)規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)?？贾軠y(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的邊落在軸的正半軸上，且點(diǎn)，直線(xiàn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸向下平移，經(jīng)過(guò)___________秒該直線(xiàn)可將平行四邊形分成面積相等的兩部分．【答案】6【分析】依題意，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，平分平行四邊形的面積，求出對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)平移的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，設(shè)t秒后直線(xiàn)可將平行四邊形分成面積相等的兩部分，則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)∵點(diǎn)，∴平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)過(guò)時(shí)，則解得：，∴向下平移個(gè)單位得到，∴經(jīng)過(guò)秒該直線(xiàn)可將平行四邊形分成面積相等的兩部分．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的平移，平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD在第一象限內(nèi)，軸，，直線(xiàn)沿x軸向其正方向平移，在平移過(guò)程中，直線(xiàn)被四邊形截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為t，直線(xiàn)向右平移的距離為m，圖2是t與m之間的函數(shù)圖像，則四邊形的面積為_(kāi)_________．【答案】20【分析】根據(jù)圖形可得，再根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律，求出平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的函數(shù)表達(dá)式和平移后經(jīng)過(guò)的函數(shù)表達(dá)式，即可求出，最后根據(jù)梯形的面積公式求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)D分別作直線(xiàn)的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B的平行線(xiàn)交與點(diǎn)E．由圖2可知，當(dāng)時(shí)，t隨m的增大而增大，∴直線(xiàn)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∵當(dāng)時(shí)，t為定值，∴直線(xiàn)向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，t隨m的增大而減小，∴直線(xiàn)向右平移12個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∵軸，∴，直線(xiàn)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∴平移后的直線(xiàn)表達(dá)式為：，直線(xiàn)向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)，∴直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：，∴，∴四邊形的面積為．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖像，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律得出平移后的函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·山西晉中·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，直線(xiàn)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在線(xiàn)段上，將沿所在直線(xiàn)折疊后，點(diǎn)A恰好落在y軸上點(diǎn)D處，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【分析】先求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)折疊，得到，進(jìn)而求出的長(zhǎng)度，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解，得到的長(zhǎng)，即可得解．【詳解】解：∵，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴，∴，∴∵將沿所在直線(xiàn)折疊后，點(diǎn)A恰好落在y軸上點(diǎn)D處，∴，∴，，在中，，即：，∴，∵點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，折疊，以及勾股定理．熟練掌握折疊的性質(zhì)，利用勾股定理解三角形，是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線(xiàn)與軸和軸分別交與A、兩點(diǎn)，射線(xiàn)于點(diǎn)A，若點(diǎn)是射線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以、、A為頂點(diǎn)的三角線(xiàn)與全等，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】3或【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式可求出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的兩條直角邊，并運(yùn)用勾股定理求出．根據(jù)已知可得，分別從或時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，或時(shí)，，分別求得的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線(xiàn)與x軸和y軸分別交與A、B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即，解得：．當(dāng)時(shí)，，∴．∴．∴．∵，點(diǎn)C在射線(xiàn)上，∴，即．∵，∴．若以C、D、A為頂點(diǎn)的三角形與全等，則或，即或．如圖1所示，當(dāng)時(shí)，，∴；如圖2所示，當(dāng)時(shí)，，∴．綜上所述，的長(zhǎng)為3或．故答案為：3或．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).(1)求的值及的面積；(2)已知點(diǎn)，若點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e與的面積相等時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)，(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）由題意將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得k的值，根據(jù)直線(xiàn)方程求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求得相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度，由三角形的面積公式解答；（2）根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)討論：點(diǎn)P在x軸的上方和下方，兩種情況，利用三角形的面積公式和已知條件，列出方程，利用方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入直線(xiàn)，解得，∴．當(dāng)時(shí)，．∴，∴．∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．由（1）知，，∴；①當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，，∴，∵點(diǎn)在軸下方，∴．當(dāng)時(shí)，代入得，，解得：．∴；②當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，，∴，∵點(diǎn)在軸上方，∴．當(dāng)時(shí)，代入得，，