人教版八年級數(shù)學下冊重難點專題提升精講精練專題14一次函數(shù)的圖象與性質綜合重難點題型專訓(原卷版+解析)

專題14一次函數(shù)的圖象與性質綜合重難點題型專訓【題型目錄】題型一正比例函數(shù)的圖象與性質問題題型二一次函數(shù)的圖象問題題型三一次函數(shù)的平移問題題型四一次函數(shù)的增減性問題題型五一次函數(shù)值的大小比較題型六一次函數(shù)的規(guī)律探究題題型七一次函數(shù)的圖象與性質綜合問題【經(jīng)典例題一正比例函數(shù)的圖象與性質問題】【知識歸納】一、正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是一條過原點的直線。（1）k>0時，從左向右看圖象呈上升趨勢；（2）k<0時，從左向右看圖象呈下降趨勢。二、正比例函數(shù)的圖象和性質1、正比例函數(shù)y=kx(k≠0)中x和y的取值均為全體實數(shù)，又因為x=0時總有y=0，所以其圖象是一條過原點(0,0)的直線。根據(jù)正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k≠0)，當x=1時，可得y=k。所以，正比例函數(shù)的圖象除原點外，還過(1,k)點。正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k的正負（即斜率k的正負）決定著正比例函數(shù)的增減和所過的象限。（1）當正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k>0時為增函數(shù)，其函數(shù)圖象從左向右看時呈現(xiàn)上升趨勢，并且除原點外還過一、三象限。（2）當正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k<0時為減函數(shù)，其函數(shù)圖象從左向右看時呈現(xiàn)下降趨勢，并且除原點外還過二、四象限。正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k的絕對值決定著正比例函數(shù)的圖象的傾斜程度。（1）|k|越大時，圖象與y軸的夾角就越小，圖象就越“陡峭”，函數(shù)值y隨自變量x變化的就越“快”。（2）|k|越小時，圖象與y軸的夾角就越大，圖象就越“平緩”，函數(shù)值y隨自變量x變化的就越“慢”。【例1】（2023秋·陜西西安·八年級西安市鐵一中學?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，放置如圖所示的等邊，已知，若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．2【變式訓練】【變式1】（2022·安徽·金寨縣天堂寨初級中學八年級階段練習）一次函數(shù)與正比例函數(shù)（m，n為常數(shù)、且）在同一平面直角坐標系中的圖可能是（）A． B．C． D．【變式2】（2022·廣東·廣州市第二中學九年級開學考試）如圖，在平面直角坐標系中擺放16個邊長為1的正方形，直線l：y＝kx將這16個正方形分成面積相等的兩部分，則k的值是_____．【變式3】（2022·陜西·西安市第三中學八年級期中）已知正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點，求：(1)這個函數(shù)的解析式；(2)判斷點是否在這個函數(shù)圖像上；(3)圖像上兩點，，如果，比較，的大?。窘?jīng)典例題二一次函數(shù)的圖象問題】【解題技巧】一次函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象與性質：【例2】（2023秋·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）已知，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，下列說法中不正確的是（）A．若x滿足，則當時，函數(shù)y有最小值B．該函數(shù)的圖象與坐標軸圍成的三角形面積為C．該函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相互平行D．若函數(shù)值y滿足時，則自變量x的取值范圍是【變式訓練】【變式1】（2022·四川省成都市七中育才學校八年級期中）對于函數(shù)，下列結論正確的是（

）A．它的圖象必經(jīng)過點 B．它的圖象經(jīng)過第一、三、四象限C．當時， D．隨的增大而減小【變式2】（2022·河南省實驗中學八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線，與軸分別相交于兩點，將沿過點的直線折疊，使點落在x軸負半軸上的點處，，折痕所在直線交y軸正半軸于點C．把直線AB向左平移，使之經(jīng)過點，則平移后直線的函數(shù)關系式是_____．【變式3】（2022·陜西榆林·八年級期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，與直線相交于點C，過B作x軸的平行線l，點P為直線l上的動點．(1)求點A、B、C的坐標；(2)若，求點P的坐標；(3)在第一象限內(nèi)是否存在點E，使得是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題三一次函數(shù)的平移問題】【解題技巧】知識點：一次函數(shù)的平移將函數(shù)向上平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b+n，將函數(shù)向下平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b-n，將函數(shù)向左平移n格，函數(shù)解析式為y=k（x+n）+b，將函數(shù)向右平移n格，函數(shù)解析式為y=k（x-n）+b。平移時：上加下減在末尾，左加右減在中間【例3】（2022秋·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）已知直線與x軸交于點，且直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，將直線向下平移個單位得到直線，直線交x軸于點B，若點A與點B關于y軸對稱，則m的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【變式訓練】【變式1】（2022·廣東·豐順縣球山中學八年級階段練習）如圖，已知一條直線經(jīng)過點，，將這條直線向左平移與軸、軸分別交于點、點，若，則直線的函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·北京十一晉元中學八年級期中）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，平行四邊形ABCD的面積為10，且邊AB在x軸上．如果將直線y＝x沿x軸正方向平移，在平移過程中，記該直線在x軸上平移的距離為m，直線被平行四邊形的邊所截得的線段的長度為n，且n與m的對應關系如圖2所示，那么圖2中a的值是_____，b的值是_____．【變式3】（2022·陜西·西工大附中分校八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線l交x軸于點A（－1，0）、交y軸于點B（0，3）．(1)求直線l對應的函數(shù)表達式；(2)在直線l沿x軸正方向平移t個單位長度，得到直線m．若直線m上存在點C，使得△ABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形，求t的值．【經(jīng)典例題四一次函數(shù)的增減性問題】知識點：直線y=kx+b的圖象和性質與k、b的關系如下表所示：k>0，b>0：經(jīng)過第一、二、三象限k>0，b<0：經(jīng)過第一、三、四象限k>0，b=0：經(jīng)過第一、三象限（經(jīng)過原點）結論：k>0時，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。k<0，b>0：經(jīng)過第一、二、四象限k<0，b<0：經(jīng)過第二、三、四象限k<0，b=0：經(jīng)過第二、四象限（經(jīng)過原點）結論：k<0時，圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小?！纠?】（2022秋·安徽合肥·八年級?？茧A段練習）已知一次函數(shù)（m為常數(shù)），當時，y有最大值6，則m的值為（）A． B． C．2或6 D．或6【變式訓練】【變式1】（2022·安徽·天長市炳輝中學八年級階段練習）已知一次函數(shù)的圖像與軸的正半軸相交，隨的增大而減小，且為整數(shù)，則時，應滿足的條件是（）A． B． C． D．【變式2】（2022·上海·上外附中九年級階段練習）當時，函數(shù)的值恒大于0，則實數(shù)k的取值范圍是___________．【變式3】（2022·江蘇南通·八年級期末）把一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，）在x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，與原來在x軸上方的圖象組合，得到一個新的圖象，我們稱之為一次函數(shù)的“V形”圖象，例如，如圖1就是函數(shù)的“V形”圖象．(1)請在圖2中畫出一次函數(shù)的“V形”圖象，并直接寫出該圖象與x軸交點A的坐標是______；(2)在（1）的條件下，若直線與一次函數(shù)的“V形”圖象相交于B，C兩點，求△ABC的面積；(3)一次函數(shù)（k為常數(shù)）的“V形”圖象經(jīng)過，兩點，且，求k的取值范圍．【經(jīng)典例題五一次函數(shù)值的大小比較】【例5】（2022秋·重慶·八年級?？计谥校┰O，分別是函數(shù)，圖象上的點，當時，總有恒成立，則稱函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，為“逼近區(qū)間”．則下列結論正確的有（

）①函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；③是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；④是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【變式訓練】【變式1】（2022·江蘇泰州·八年級期末）若關于x的一次函數(shù)的圖像過點、、，則下列關于與的大小關系中，正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2022·江蘇·八年級專題練習）關于函數(shù)和函數(shù)，有以下結論：①當時，的取值范圍是②隨x的增大而增大③函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點一定在第一象限④若點在函數(shù)的圖像上，點在函數(shù)的圖像上，則其中所有正確結論的序號是______．【變式3】（2022·河南省直轄縣級單位·八年級期末）已知一次函數(shù)，其中．(1)若點在的圖象上，求a的值；(2)當時，，求的函數(shù)解析式；(3)對于一次函數(shù)，其中，若對于任意實數(shù)x，總有，直接寫出m的取值范圍．【經(jīng)典例題六一次函數(shù)的規(guī)律探究題】【例6】（2023秋·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學校考期末）如圖.在平面直角坐標系中，點，，，…和，，，…分別在直線和軸上，，，，…都是等腰直角三角形，如果點，那么的縱坐標是（

）A． B． C． D．【變式訓練】【變式1】（2022·河南省實驗中學八年級期中）正方形…按如圖所示放置，點和點…，分別在直線和軸上的坐標分別為，則的坐標是()A． B．C． D．【變式2】（2022·浙江·八年級專題練習）如圖，直線交軸于點，以為直角邊長作等腰，再過點作等腰△交直線于點，再過點再作等腰△交直線于點，以此類推，繼續(xù)作等腰△，，△，其中點都在直線上，點都在軸上，且，，都為直角．則點的坐標為__，點的坐標為__．【例3】（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）數(shù)學精英小組利用平面直角坐標系在研究直線上點的坐標規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)直線上的任意三點，，（），滿足，經(jīng)小組查閱資料，再經(jīng)請教老師驗證，以上結論是成立的，即直線上任意兩點的坐標，，（），都有．例如：，為直線上兩點，則．(1)已知直線經(jīng)過，兩點，請直接寫出______．(2)如圖，直線于點，直線，分別交軸于，兩點，，，三點坐標如圖所示．請用上述方法求出的值．【經(jīng)典例題七一次函數(shù)的圖象與性質綜合問題】【例7】（2022秋·陜西西安·八年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸交于點、點，將直線繞點順時針旋轉與軸交于點，則的面積為（

）A． B．3 C．4 D．5【變式訓練】【變式1】（2023·廣西玉林·一模）如圖，已知直線交、軸于、兩點，以為邊作等邊、、三點逆時針排列，、兩點坐標分別為、，連接、，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·湖北·華中師范大學第一附屬中學光谷分校八年級階段練習）在平面直角坐標系中，已知，，點P為x軸上一動點，以QP為腰作等腰，當最小時，點H的坐標為___________．【變式3】（2022·山東濟寧·九年級期中）在初中階段的函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，并結合圖象研究函數(shù)性質的過程，以下是我們研究函數(shù)y＝性質及其應用的部分過程，請按要求完成下列各小題．(1)求出表中a，b的值，其中a＝______，b＝______．x…-5-4-3-2-1012345…y=…a-303b…(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中補全該函數(shù)圖象；(3)根據(jù)函數(shù)圖象，判斷下列關于該函數(shù)性質的說法是否正確，正確的在答題卡上相應的括號內(nèi)打“√”，錯誤的在答題卡上相應的括號內(nèi)打“×”；①該函數(shù)圖象是軸對稱圖形，它的對稱軸為y軸；②該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，有最大值和最小值．當x＝1時，函數(shù)取得最大值3；當x＝﹣1時，函數(shù)取得最小值﹣3；③當x＜﹣1時，y隨x的增大而減??；當﹣1＜x＜1時，y隨x的增大而增大；當x＞1時，y隨x的增大而減?。?4)已知函數(shù)y＝2x﹣1的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式＞2x﹣1的解集．（保留1位小數(shù)，誤差不超過0.2）【培優(yōu)檢測】1．（2023秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線l是一次函數(shù)的圖象，且直線l過點，則下列結論錯誤的是（

）A．B．直線l過坐標為的點C．若點，在直線l上，則D．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學?？计谀┮阎?，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，在x軸上找一點P，使得的周長最小，則點P的坐標為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像交軸于點，交軸于點，點在軸上，點在函數(shù)圖像上，均垂直于軸，若均為等腰直角三角形，則的面積是（

）A．16 B．64 C．256 D．10244．（2023春·八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別交x、y軸于點A、B，將直線繞點B按順時針方向旋轉，交x軸于點C，則的面積是（

）A．22 B．20 C．18 D．165．（2022秋·河南鄭州·九年級?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標系中，菱形的頂點為原點，交軸于點，連接，交于點，則點的坐標為（）A．（） B．（） C．（） D．（）6．（2022秋·八年級課時練習）如圖，一束光線從點出發(fā)，經(jīng)y軸上的點C反射后經(jīng)過點，則點C的坐標是（

）A． B． C． D．7．（2022春·新疆烏魯木齊·八年級烏市八中?？计谀┤鐖D，正方形的頂點，分別在軸，軸上，點在直線：上，直線分別交軸，軸于點，．將正方形沿軸向下平移個單位長度后，點恰好落在直線上．則的值為(

)A．0.5 B．1 C．1.5 D．28．（2022秋·八年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，點是直線與直線的交點，點B是直線與y軸的交點，點P是x軸上的一個動點，連接PA，PB，則的最小值是（

）A．6 B． C．9 D．9．（2022秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點且與兩條坐標軸截得的直角三角形的面積為3，則一次函數(shù)的解析式為______．10．（2022春·廣東河源·八年級?？计谀┱叫?，，，按如圖所示的方式放置．點，，，和點，，，分別在直線和軸上，已知點，，則的坐標是_____．11．（2023春·江蘇泰州·八年級?？贾軠y）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的邊落在軸的正半軸上，且點，直線以每秒1個單位長度的速度沿軸向下平移，經(jīng)過___________秒該直線可將平行四邊形分成面積相等的兩部分．12．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD在第一象限內(nèi)，軸，，直線沿x軸向其正方向平移，在平移過程中，直線被四邊形截得的線段長為t，直線向右平移的距離為m，圖2是t與m之間的函數(shù)圖像，則四邊形的面積為__________．13．（2022秋·山西晉中·八年級?？计谀┤鐖D，直線與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C在線段上，將沿所在直線折疊后，點A恰好落在y軸上點D處，則點C的坐標為______．14．（2023秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與軸和軸分別交與A、兩點，射線于點A，若點是射線上的一個動點，點是軸上的一個動點，且以、、A為頂點的三角線與全等，則的長為________．15．（2022秋·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線經(jīng)過點，與軸交于點，與軸交于點.(1)求的值及的面積；(2)已知點，若點是直線上的一個動點，當?shù)拿娣e與的面積相等時，求點的坐標.16．（2023秋·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為，．(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)在x軸上有一點P，滿足，求P點的坐標；(3)在（2）的條件下，過點P作，交y軸于點Q，直接寫出點Q的坐標．17．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，，過點A的直線交于點D，交y軸于點G．的面積為面積的．(1)點D的坐標為___________；(2)過點C作，交交于F，垂足為E，求證：；(3)請?zhí)骄吭诘谝幌笙迌?nèi)是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P坐標；若不存在，請說明提由．18．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點A，B，點C是x軸上一動點（不與點O，A重合），連結BC，作，且，過點D作軸，垂足為點E．(1)求點A，B的坐標．(2)若點C在線段上，連結，猜想的形狀，并證明結論．(3)若點C在x軸上，點D在x軸下方，是以為底邊的等腰三角形，求點D的坐標．19．（2022秋·浙江金華·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，，與函數(shù)的圖象交于點．(1)求和的值；(2)函數(shù)的圖象與軸交于點，點從點出發(fā)沿方向，以每秒個單位長度勻速向軸正方向運動．設點的運動時間為秒．當?shù)拿娣e為時，求的值；20．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶一中?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標系中，直線：與x軸交于點，與y軸交于點．直線：與直線交于點C．(1)求直線的解析式．(2)如圖2，點P是射線上的任意一點，過點P作軸且與交于點D，連接．當時，求的面積．(3)如圖3，在（2）的條件下，將先向右平移2個單位，再向上平移4個單位，點P的對應點為點F．在x軸上確定一點G，使得以點A，F(xiàn)，G為頂點的三角形是等腰三角形，直接寫出所有符合條件的點G的坐標．專題14一次函數(shù)的圖象與性質綜合重難點題型專訓【題型目錄】題型一正比例函數(shù)的圖象與性質問題題型二一次函數(shù)的圖象問題題型三一次函數(shù)的平移問題題型四一次函數(shù)的增減性問題題型五一次函數(shù)值的大小比較題型六一次函數(shù)的規(guī)律探究題題型七一次函數(shù)的圖象與性質綜合問題【經(jīng)典例題一正比例函數(shù)的圖象與性質問題】【知識歸納】一、正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是一條過原點的直線。（1）k>0時，從左向右看圖象呈上升趨勢；（2）k<0時，從左向右看圖象呈下降趨勢。二、正比例函數(shù)的圖象和性質1、正比例函數(shù)y=kx(k≠0)中x和y的取值均為全體實數(shù)，又因為x=0時總有y=0，所以其圖象是一條過原點(0,0)的直線。根據(jù)正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k≠0)，當x=1時，可得y=k。所以，正比例函數(shù)的圖象除原點外，還過(1,k)點。正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k的正負（即斜率k的正負）決定著正比例函數(shù)的增減和所過的象限。（1）當正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k>0時為增函數(shù)，其函數(shù)圖象從左向右看時呈現(xiàn)上升趨勢，并且除原點外還過一、三象限。（2）當正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k<0時為減函數(shù)，其函數(shù)圖象從左向右看時呈現(xiàn)下降趨勢，并且除原點外還過二、四象限。正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的正比例系數(shù)k的絕對值決定著正比例函數(shù)的圖象的傾斜程度。（1）|k|越大時，圖象與y軸的夾角就越小，圖象就越“陡峭”，函數(shù)值y隨自變量x變化的就越“快”。（2）|k|越小時，圖象與y軸的夾角就越大，圖象就越“平緩”，函數(shù)值y隨自變量x變化的就越“慢”?！纠?】（2023秋·陜西西安·八年級西安市鐵一中學?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，放置如圖所示的等邊，已知，若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】過點B作于點C，首先根據(jù)點A的坐標可求得，再根據(jù)等邊三角形的性質及勾股定理，即可求得點B的坐標，再把點B的坐標代入解析式，即可求解．【詳解】解：如圖：過點B作于點C，，，是等邊三角形，，，，點B的坐標為，把點B的坐標代入解析式，得，故選：C．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，根據(jù)等邊三角形的性質求解是解決本題的關鍵．【變式訓練】【變式1】（2022·安徽·金寨縣天堂寨初級中學八年級階段練習）一次函數(shù)與正比例函數(shù)（m，n為常數(shù)、且）在同一平面直角坐標系中的圖可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)“兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負”分兩種情況討論mn的符號，然后根據(jù)m、n同正時，同負時，一正一負或一負一正時，利用一次函數(shù)的性質進行判斷．【詳解】解：A、一次函數(shù)m＞0，n＞0；正比例函數(shù)mn＜0，矛盾；B、一次函數(shù)m＞0，n＜0；正比例函數(shù)mn＞0，矛盾；C、一次函數(shù)m＞0，n＜0，正比例函數(shù)mn＜0，成立；D、一次函數(shù)m＜0，n＞0，正比例函數(shù)mn＞0，矛盾，故選：C．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象性質，要掌握它的性質才能靈活解題．一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象有四種情況：①當k＞0，b＞0，經(jīng)過第一、二、三象限；②當k＞0，b＜0，經(jīng)過第一、三、四象限；③當k＜0，b＞0時，經(jīng)過第一、二、四象限；④當k＜0，b＜0時，經(jīng)過第二、三、四象限．【變式2】（2022·廣東·廣州市第二中學九年級開學考試）如圖，在平面直角坐標系中擺放16個邊長為1的正方形，直線l：y＝kx將這16個正方形分成面積相等的兩部分，則k的值是_____．【答案】【分析】設直線l：y＝kx與正方形的上邊緣交點為A，作AB⊥y軸于B，再利用三角形的面積求解A的坐標，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可．【詳解】解：設直線l：y＝kx與正方形的上邊緣交點為A，作AB⊥y軸于B，∵16個邊長為1的正方形面積為16，∴△AOB的面積為8﹣4+1＝5，∵OB＝4，∴AB＝5×2÷4＝，∴A（，4），即4＝k，解得k＝，故答案為：．【點睛】本題考查的是坐標與圖形，利用待定系數(shù)法求解正比例函數(shù)的解析式，求解A的坐標是解本題的關鍵．【變式3】（2022·陜西·西安市第三中學八年級期中）已知正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點，求：(1)這個函數(shù)的解析式；(2)判斷點是否在這個函數(shù)圖像上；(3)圖像上兩點，，如果，比較，的大?。敬鸢浮?1)(2)不在(3)【分析】（1）將代入，利用待定系數(shù)法求解；（2）將代入（1）中所求解析式，看y值是否為即可；（3）根據(jù)k值判斷正比例函數(shù)圖象的增減性，即可求解．【詳解】（1）解：正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，時，解得這個函數(shù)的解析式為；（2）解：將代入中得：，點不在這個函數(shù)圖象上；（3）解：，隨x的增大而減小，又．【點睛】本題考查正比例函數(shù)的圖象及性質，解題的關鍵是利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，根據(jù)比例系數(shù)判斷函數(shù)圖象的增減性．【經(jīng)典例題二一次函數(shù)的圖象問題】【解題技巧】一次函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象與性質：【例2】（2023秋·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）已知，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，下列說法中不正確的是（）A．若x滿足，則當時，函數(shù)y有最小值B．該函數(shù)的圖象與坐標軸圍成的三角形面積為C．該函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相互平行D．若函數(shù)值y滿足時，則自變量x的取值范圍是【答案】A【分析】根據(jù)待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，再由一次函數(shù)的性質及與坐標軸的交點依次判斷即可．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，解得：，∴，∵，∴y隨x的增大而減小，A、x滿足，則當時，函數(shù)y有最大值，選項錯誤，符合題意；B、當時，，當時，，∴與坐標軸的兩個交點分別為，，∴函數(shù)的圖象與坐標軸圍成的三角形面積為：，選項正確，不符合題意；C、與，k都為，圖象相互平行，選項正確，不符合題意；D、當時，，解得：；當時，，解得：；∴函數(shù)值y滿足時，則自變量x的取值范圍是，選項正確，不符合題意；故選：A．【點睛】題目主要考查確定一次函數(shù)解析式的方法、與坐標軸的交點問題，圍成的三角形面積等，理解題意，熟練掌握一次函數(shù)的基本性質是解題關鍵．【變式訓練】【變式1】（2022·四川省成都市七中育才學校八年級期中）對于函數(shù)，下列結論正確的是（

）A．它的圖象必經(jīng)過點 B．它的圖象經(jīng)過第一、三、四象限C．當時， D．隨的增大而減小【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、當時，，圖象不經(jīng)過點，選項錯誤，不符合題意；B、它的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，選項錯誤，不符合題意；C、與軸交于，選項錯誤，不符合題意；D、，∴隨的增大而減小，選項正確，符合題意；故選D．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．【變式2】（2022·河南省實驗中學八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線，與軸分別相交于兩點，將沿過點的直線折疊，使點落在x軸負半軸上的點處，，折痕所在直線交y軸正半軸于點C．把直線AB向左平移，使之經(jīng)過點，則平移后直線的函數(shù)關系式是_____．【答案】【分析】先求得的坐標，然后由勾股定理求出，再由折疊的性質得出，求得，在中，根據(jù)勾股定理，列出方程，解方程即可求得點的坐標，即可求得平移后的解析式．【詳解】解：∵直線，與軸分別相交于兩點，令，解得，令，解得，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，設，∴，在中，，即，解得，∴，∴平移后的直線的解析式為．故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理與折疊的性質，一次函數(shù)的平移，一次函數(shù)與坐標軸的交點，求得點的坐標是解題的關鍵．【變式3】（2022·陜西榆林·八年級期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，與直線相交于點C，過B作x軸的平行線l，點P為直線l上的動點．(1)求點A、B、C的坐標；(2)若，求點P的坐標；(3)在第一象限內(nèi)是否存在點E，使得是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；；(2)點P的坐標為或；(3)點E的坐標為或．【分析】（1）對于直線，分別令x、y等于0，即可求得點A、B坐標，解方程組即可求得點C的坐標；（2）根據(jù)三角形的面積公式列式，求解即可；（3）分①當點B為直角頂點，②當點A為直角頂點時，過點E作y軸或x軸的垂線，構造全等三角形，分別求出相應的點E的坐標即可．【詳解】（1）解：對于，當時，；當時，，解得，∴．聯(lián)立解得∴點C的坐標為；（2）解：∵；，，點P在直線l上，∴，點P的縱坐標為6．解得，∴點P的坐標為或；（3）解：①當點B為直角頂點時，如圖1：過點E作軸于點G，則．∴，∴，∴，∴，∴此時點E的坐標為；②當點A為直角頂點時，如圖2：作軸于點H，則，∴，∴，∴，∴，∴此時點E的坐標為．綜上可知，第一象限內(nèi)存在點E，使得是以為直角邊的等腰直角三角形，點E的坐標為或．【點睛】此題考查一次函數(shù)的圖象與性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確的作出所需要的輔助線，構造直角三角形、全等三角形，解題過程中還涉及數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想的運用．【經(jīng)典例題三一次函數(shù)的平移問題】【解題技巧】知識點：一次函數(shù)的平移將函數(shù)向上平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b+n，將函數(shù)向下平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b-n，將函數(shù)向左平移n格，函數(shù)解析式為y=k（x+n）+b，將函數(shù)向右平移n格，函數(shù)解析式為y=k（x-n）+b。平移時：上加下減在末尾，左加右減在中間【例3】（2022秋·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）已知直線與x軸交于點，且直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，將直線向下平移個單位得到直線，直線交x軸于點B，若點A與點B關于y軸對稱，則m的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，求出直線、的關系式，得出的值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，如圖所示：設點C的坐標為：，∵點A與點B關于y軸對稱，∴點B的坐標為，∵直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，點，∴，解得：，∴點C坐標為，設直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴，∵直線由直線平移得到，∴設直線的關系式為，把代入得：，解得：，∴直線的關系式為，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了直線的平移，求一次函數(shù)解析式，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般方法．【變式訓練】【變式1】（2022·廣東·豐順縣球山中學八年級階段練習）如圖，已知一條直線經(jīng)過點，，將這條直線向左平移與軸、軸分別交于點、點，若，則直線的函數(shù)解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出直線AB的解析式，再根據(jù)平移的性質求直線CD的解析式．【詳解】解：設直線AB的解析式為，∵，在直線AB上，∴，解得，∴直線AB的解析式為；∵將這直線向左平移與x軸負半軸、y軸負半軸分別交于點C、點D，平移后的圖形與原圖形平行，∴設平移以后的函數(shù)解析式為：．∵,,∴,,∴，解得，∴設平移以后的函數(shù)解析式為：故選：B．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，等腰三角形的性質，熟知利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式是解答此題的關鍵．【變式2】（2022·北京十一晉元中學八年級期中）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，平行四邊形ABCD的面積為10，且邊AB在x軸上．如果將直線y＝x沿x軸正方向平移，在平移過程中，記該直線在x軸上平移的距離為m，直線被平行四邊形的邊所截得的線段的長度為n，且n與m的對應關系如圖2所示，那么圖2中a的值是_____，b的值是_____．【答案】

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【分析】在圖1中，過點D，B，C作直線與已知直線y＝x平行，交x軸于點E，F(xiàn)，過D作DG⊥x軸于G，在圖2中，?。?，0），（5，b），（a，b），（10，0），求出OE＝2，OA＝5，CF＝b，則AE＝3，OF＝a，OB＝10，根據(jù)的面積為10，求出DG＝2，得到DE即為b值．【詳解】解：在圖1中，過點D，A，B，C作直線與已知直線y＝x平行，交x軸于點E，F(xiàn)，過D作DG⊥x軸于G，在圖2中，?。?，0），（5，b），（a，b），（10，0），圖1中點A對應圖2中的點，得出OA＝5，圖1中點E對應圖2中的點，得出OE＝2，DE＝b，則AE＝3，圖1中點F對應圖2中的點，得出OF＝a，圖1中點B對應圖2中的點，得出OB＝10，∵a＝OB＝OB﹣BF，BF＝AE＝3，OB＝10∴a＝7，∵的面積為10，AB＝OB﹣OA＝10﹣5＝5，∴DG＝2，在Rt△DGE中，∠DEG＝45°，∴DE＝=，故答案是：7，．【點睛】此題考查了平行四邊形與函數(shù)圖象的結合，正確掌握平行四邊形的性質，直線y＝x與坐標軸夾角45°的性質，一次函數(shù)圖象平行的性質，勾股定理，正確理解函數(shù)圖象得到相關信息是解題的關鍵．【變式3】（2022·陜西·西工大附中分校八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線l交x軸于點A（－1，0）、交y軸于點B（0，3）．(1)求直線l對應的函數(shù)表達式；(2)在直線l沿x軸正方向平移t個單位長度，得到直線m．若直線m上存在點C，使得△ABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形，求t的值．【答案】(1)y＝3x＋3；(2)t＝．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解析式；（2）過點C作CG⊥x軸于點G，過點B作BH⊥CG于點H，易證△BCH≌△CAG（AAS），設OG＝x，根據(jù)全等三角形的性質可得方程2?x＝x，解方程可得C點坐標，即可求出t的值．（1）解：設直線l的函數(shù)表達式：y＝kx＋b，代入A（?1，0），B（0，3），得，解得，∴直線l對應的函數(shù)表達式：y＝3x＋3；（2）過點C作CG⊥x軸于點G，過點B作BH⊥CG于點H，圖象如下：則∠BHC＝∠CGA＝90°，∴∠HBC＋∠HCB＝90°，∵△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，∴∠BCA＝90°，BC＝AC，∴∠BCH＋∠GCA＝90°，∴∠HBC＝∠GCA，∴△BCH≌△CAG（AAS），∴BH＝CG，HC＝AG，設OG＝x，則AG＝HC＝1＋x，∴CG＝3?（1＋x）＝2?x，∴2?x＝x，解得x＝1，∴C（1，1），設直線l平移后的解析式為y＝3（x?t）＋3，代入C點坐標，得3（1?t）＋3＝1，解得t＝．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與等腰直角三角形的綜合，熟練掌握一次函數(shù)的性質與等腰直角三角形的性質，構造全等三角形是解題的關鍵，本題綜合性較強．【經(jīng)典例題四一次函數(shù)的增減性問題】知識點：直線y=kx+b的圖象和性質與k、b的關系如下表所示：k>0，b>0：經(jīng)過第一、二、三象限k>0，b<0：經(jīng)過第一、三、四象限k>0，b=0：經(jīng)過第一、三象限（經(jīng)過原點）結論：k>0時，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。k<0，b>0：經(jīng)過第一、二、四象限k<0，b<0：經(jīng)過第二、三、四象限k<0，b=0：經(jīng)過第二、四象限（經(jīng)過原點）結論：k<0時，圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小?！纠?】（2022秋·安徽合肥·八年級?？茧A段練習）已知一次函數(shù)（m為常數(shù)），當時，y有最大值6，則m的值為（）A． B． C．2或6 D．或6【答案】D【分析】分兩種情況：當時，當時，分別列出關于m的方程即可求解．【詳解】解：當時，一次函數(shù)y隨x增大而增大，∴當時，，∴，解得符合題意，當時，一次函數(shù)y隨x增大而減小，∴當時，，∴，解得，符合題意，故選：D．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質，掌握一次函數(shù)的增減性與比例系數(shù)的關系是關鍵．【變式訓練】【變式1】（2022·安徽·天長市炳輝中學八年級階段練習）已知一次函數(shù)的圖像與軸的正半軸相交，隨的增大而減小，且為整數(shù)，則時，應滿足的條件是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖像與y軸正半軸相交且y隨x的增大而減小，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍，結合k為整數(shù)可確定一次函數(shù)的解析式，再利用一次函數(shù)圖像上點的坐標特征可求出當時x的取值范圍．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖像與y軸正半軸相交，y隨x的增大而減小，∴，解得：，∵k為整數(shù)，∴k＝－2，∴一次函數(shù)的解析式為y＝?3x＋1，當y＝－5時，即?3x＋1＝－5，解得：x＝2；當y＝4時，即?3x＋1＝4，解得：x＝?1，∴當時，x的取值范圍為?1＜x＜2．故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上點的坐標特征、一次函數(shù)的性質以及解一元一次不等式組，熟練掌握一次函數(shù)的增減性與系數(shù)的關系是解題的關鍵．【變式2】（2022·上?！ど贤飧街芯拍昙夒A段練習）當時，函數(shù)的值恒大于0，則實數(shù)k的取值范圍是___________．【答案】【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的圖象是一條直線可知要使函數(shù)的值恒大于0，則需要兩個端點值都大于0；再驗證當y是常函數(shù)，即當時是否滿足題意即可．【詳解】解：∵當時，函數(shù)的值恒大于0，∴當和時，的值都大于0，當時，，當時，，∴，解得：，當時，，∴實數(shù)k的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像和性質，熟練掌握一次函數(shù)的圖像是一條直線是解題的關鍵．【變式3】（2022·江蘇南通·八年級期末）把一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，）在x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，與原來在x軸上方的圖象組合，得到一個新的圖象，我們稱之為一次函數(shù)的“V形”圖象，例如，如圖1就是函數(shù)的“V形”圖象．(1)請在圖2中畫出一次函數(shù)的“V形”圖象，并直接寫出該圖象與x軸交點A的坐標是______；(2)在（1）的條件下，若直線與一次函數(shù)的“V形”圖象相交于B，C兩點，求△ABC的面積；(3)一次函數(shù)（k為常數(shù)）的“V形”圖象經(jīng)過，兩點，且，求k的取值范圍．【答案】(1)圖見解析，(2)2(3)或【分析】（1）根據(jù)題意作出相應函數(shù)圖象，然后由一次函數(shù)解析式確定點A的坐標即可；（2）先確定出函數(shù)解析式，然后聯(lián)立求出交點坐標，結合圖形求三角形面積即可；（3）根據(jù)題意得出經(jīng)過定點，該圖象與x軸交點，利用一次函數(shù)的增減性質求解即可．（1）解：如圖所示即為所求函數(shù)圖象：y=x+1，當y=0時，x=-1，∴點A的坐標為（2）由圖可得：線段AE所在直線的解析式為y=-x-1，∴，解得∴線段AD所在直線的解析式為y=x+1，∴，解得∴由（1）得：∴△ABC的面積；（3）∵直線（，且為常數(shù)）當時，∴經(jīng)過定點當時，∴該圖象與x軸交點①當時∵，由圖象可知，解之得∴②當時，由圖象可知，始終有綜上所述，或．【點睛】題目主要考查一次函數(shù)的應用及兩直線的交點問題、一次函數(shù)的基本性質等，理解題意，熟練掌握一次函數(shù)的基本性質是解題關鍵．【經(jīng)典例題五一次函數(shù)值的大小比較】【例5】（2022秋·重慶·八年級?？计谥校┰O，分別是函數(shù)，圖象上的點，當時，總有恒成立，則稱函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，為“逼近區(qū)間”．則下列結論正確的有（

）①函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；③是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；④是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)當時，總有恒成立，則稱函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，為“逼近區(qū)間”．逐項進行分析判斷即可．【詳解】解：①令，，，∵，∴，∴函數(shù)，在上不是“逼近函數(shù)”；故①不正確，不符合題意；②令，，，∵，∴，∴函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，故②正確，符合題意；③令，，，∵，∴，∴不是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”，故③不正確，不符合題意；④令，，，∵，∴，∴是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”，故④正確，符合題意；綜上：正確的有②④．故選∶D．【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應用，解題的關鍵是讀懂“逼近函數(shù)”和“逼近區(qū)間”的含義，會求函數(shù)在某個范圍內(nèi)的最大、最小值．【變式訓練】【變式1】（2022·江蘇泰州·八年級期末）若關于x的一次函數(shù)的圖像過點、、，則下列關于與的大小關系中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用一次函數(shù)的性質可得出y1=-2n+b，y2=-2（n+1）+b，y3=-2（n+2）+b，將y1=-2n+b，y2=-2（n+1）+b代入y1+y3中整理后可得出y1+y3=2y2．【詳解】解：∵關于x的一次函數(shù)y=-2x+b的圖象過點（n，y1）、（n+1，y2）、（n+2，y3），∴y1=-2n+b，y2=-2（n+1）+b，y3=-2（n+2）+b，∴y1+y3=-2n+b-2（n+2）+b=-4n-4+2b=2[-2（n+1）+b]=2y2．故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=kx+b是解題的關鍵．【變式2】（2022·江蘇·八年級專題練習）關于函數(shù)和函數(shù)，有以下結論：①當時，的取值范圍是②隨x的增大而增大③函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點一定在第一象限④若點在函數(shù)的圖像上，點在函數(shù)的圖像上，則其中所有正確結論的序號是______．【答案】①④【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖像上點的坐標特征以及一次函數(shù)的增減性逐項進行判斷即可．【詳解】解：①當x＝0時，y1＝?1，當x＝1時，y1＝1，而一次函數(shù)y1＝2x?1，y隨x的增大而增大，所以?1＜y1＜1，所以①正確；②一次函數(shù)y2＝?x＋m（m＞0），y隨x的增大而減小，因此②不正確；③聯(lián)立，解得，則函數(shù)y1的圖像與函數(shù)y2的圖像的交點坐標為（），當0＜m＜時，，此時交點在第四象限，所以③不正確；④若點（a，?2）在函數(shù)y1圖像上，(b，)在函數(shù)y2圖像上，則2a?1＝?2，?b＋m，即，b＝m?，當m＞0時，，即b＞a，因此④正確；綜上所述，正確的結論有①④，故答案為：①④．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖像上點的坐標特征以及一次函數(shù)的圖像和性質，掌握一次函數(shù)的圖像和性質是正確解答的前提．【變式3】（2022·河南省直轄縣級單位·八年級期末）已知一次函數(shù)，其中．(1)若點在的圖象上，求a的值；(2)當時，，求的函數(shù)解析式；(3)對于一次函數(shù)，其中，若對于任意實數(shù)x，總有，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)點在y1的圖象上，待定系數(shù)法求解析式，可以求得a的值；（2）根據(jù)當時，和分類討論的方法可以求得a的值，從而可以寫出y1的函數(shù)表達式；（3）根據(jù)題意，，根據(jù)，得出相應的不等式組，即可得到m的取值范圍．（1）將點代入得，，∴．（2）∵當時，，∴當，即時，由函數(shù)的增減性，可得：當時，，即，解得：，此時，函數(shù)解析式為：；當，即時，由函數(shù)的增減性，可得：當時，，即，解得：，此時，函數(shù)解析式為：，綜上可得，的函數(shù)解析式或；（3）對于一次函數(shù)，其中，若對于任意實數(shù)x，總有，所以，，解得：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的性質，平行線的性質，掌握一次函數(shù)的性質是解題的關鍵．【經(jīng)典例題六一次函數(shù)的規(guī)律探究題】【例6】（2023秋·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學?？计谀┤鐖D.在平面直角坐標系中，點，，，…和，，，…分別在直線和軸上，，，，…都是等腰直角三角形，如果點，那么的縱坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設點，，，…，坐標，結合函數(shù)解析式，尋找縱坐標規(guī)律，進而解題．【詳解】解：過作軸于，過作軸于，過作軸于，…如圖，∵在直線上，∴，∴，∴，設，，，…，，則有，，…又∵，，…都是等腰直角三角形，軸，軸，軸…，∴，，…∴，，…，將點坐標依次代入直線解析式得到：，，，…，又∵，∴，，，…，故選：A．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形以及規(guī)律型：點的坐標，通過運算發(fā)現(xiàn)縱坐標的規(guī)律是解題的關鍵．【變式訓練】【變式1】（2022·河南省實驗中學八年級期中）正方形…按如圖所示放置，點和點…，分別在直線和軸上的坐標分別為，則的坐標是()A． B．C． D．【答案】A【分析】先由的坐標為，點的坐標為，可得正方形邊長為1，正方形邊長為2，即可求得的坐標是，的坐標是，然后又待定系數(shù)法求得直線的解析式，由點的坐標，利用解析式求得點的坐標，利用坐標，利用解析式求得點的坐標，利用的坐標，利用解析式求得點的坐標，進而求出，繼而可得，觀察可得規(guī)律的坐標是．【詳解】解：∵的坐標為，點的坐標為，∴正方形邊長為1，正方形邊長為2，∴，∴的坐標是，的坐標是，設直線的解析式為：，∴，解得：，∴直線的解析式是．∵點的坐標為軸，∴時，，∴點的坐標為，∴正方形邊長為，∵點的坐標為，軸，∴時，，∴點的坐標為，∴正方形邊長為，∴，∵點的坐標為軸，∴時，，∴，∴正方形邊長為，∴，點的坐標分別為，點橫坐標關系：，…點橫坐規(guī)律為，，…點縱坐標規(guī)律為：、…∴的橫坐標是，縱坐標是，，∴的坐標是．故選：A．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象的性質，點的坐標規(guī)律，正確的求出相關點的坐標，找到規(guī)律是解決問題的關鍵．【變式2】（2022·浙江·八年級專題練習）如圖，直線交軸于點，以為直角邊長作等腰，再過點作等腰△交直線于點，再過點再作等腰△交直線于點，以此類推，繼續(xù)作等腰△，，△，其中點都在直線上，點都在軸上，且，，都為直角．則點的坐標為__，點的坐標為__．【答案】

，【分析】先求出點坐標，根據(jù)等腰三角形的性質可得出的長，故可得出的坐標，同理即可得出，的坐標，找出規(guī)律即可．【詳解】解：直線交軸于點，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，同理可得，，，，故答案為：，，．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖像上點的坐標特點，熟知一次函數(shù)圖像上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關鍵．【例3】（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）數(shù)學精英小組利用平面直角坐標系在研究直線上點的坐標規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)直線上的任意三點，，（），滿足，經(jīng)小組查閱資料，再經(jīng)請教老師驗證，以上結論是成立的，即直線上任意兩點的坐標，，（），都有．例如：，為直線上兩點，則．(1)已知直線經(jīng)過，兩點，請直接寫出______．(2)如圖，直線于點，直線，分別交軸于，兩點，，，三點坐標如圖所示．請用上述方法求出的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)求解即可；（2）根據(jù)，分別求出k1，k2的值，再代入計算即可（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)，∴k=，故答案為：；（2）解：∵y1=k1x+b1經(jīng)過A(2,0)，B(0,4)，∴k1=，∵y2=k2x+b2經(jīng)過A(2,0)，C(0,-1)，∴k1=，∴k1k2=-2×=-1．【點睛】本題考查求一次函數(shù)解析式，本題屬閱讀材料題，理解題目中介紹的解題方法并能靈活運用是解題的關鍵．【經(jīng)典例題七一次函數(shù)的圖象與性質綜合問題】【例7】（2022秋·陜西西安·八年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸交于點、點，將直線繞點順時針旋轉與軸交于點，則的面積為（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】如圖，過A作交于E，過A、E分別作y軸、x軸的平行線交于F，交y軸于D，根據(jù)解析式求出，，由勾股定理求得，結合旋轉可知，設，由勾股定理，代入點的坐標有，解得，即，結合解得不合題意舍去，所以，設過，直線解析式為：代入法求出直線方程，從而得到利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，過A作交于E，過A、E分別作y軸、x軸的平行線交于F，交y軸于D，直線與軸、軸交于點、點，則，，，順時針旋轉，，，，，，，設，則，，，解得，，，即，解得：或，當時（舍去），當時，，設過，直線解析式為：，則有：，解得，，與x軸交點為：，，，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉、勾股定理、等腰直角三角形的性質、一次函數(shù)解析式與交點坐標以及三角形面積公式；解題的關鍵勾股定理求邊長，用代入法求直線解析式．【變式訓練】【變式1】（2023·廣西玉林·一模）如圖，已知直線交、軸于、兩點，以為邊作等邊、、三點逆時針排列，、兩點坐標分別為、，連接、，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在x軸上方作等邊△AOF，證明△AOB≌△AFC（SAS），所以點C的軌跡為定直線CF，作點E關于直線CF的對稱點E'，連接CE'，CE＝CE'，當點D、C、E'在同一條直線上時，DE'＝CD+CE的值最小，再根據(jù)勾股定理，即可解答．【詳解】解：點在直線上，，，，，，，在軸上方作等邊，

，，即，又，，≌，，

點的軌跡為定直線，作點關于直線的對稱點，連接，，，當點、、在同一條直線上時，的值最小，，，，

∴，AG=2×2=4，，∴,∴∵關于M的對稱，∴，的最小值故選：D．【點睛】本題考查最短路徑，勾股定理，軸對稱等知識點，解題關鍵是熟練掌握以上知識點、根據(jù)條件好問題作出輔助線【變式2】（2022·湖北·華中師范大學第一附屬中學光谷分校八年級階段練習）在平面直角坐標系中，已知，，點P為x軸上一動點，以QP為腰作等腰，當最小時，點H的坐標為___________．【答案】【分析】作、垂直于軸于、，證明≌，推出，，設，得，求出點的運動軌跡，找到最小值的情況，求出的解析式，再和聯(lián)立，即可求出點H坐標．【詳解】解：作、垂直于軸于、，則，則，為等腰直角三角形，，即，，在和中，，≌，，，設，得，點在直線上運動，作點關于直線的對稱點，連交于點，當點與點重合時最小，此時F，設直線的解析式為，將F代入，得：，解得：，，聯(lián)立：，解得：，即，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱最短問題，全等三角形的判定和性質，一次函數(shù)的應用等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式3】（2022·山東濟寧·九年級期中）在初中階段的函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，并結合圖象研究函數(shù)性質的過程，以下是我們研究函數(shù)y＝性質及其應用的部分過程，請按要求完成下列各小題．(1)求出表中a，b的值，其中a＝______，b＝______．x…-5-4-3-2-1012345…y=…a-303b…(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中補全該函數(shù)圖象；(3)根據(jù)函數(shù)圖象，判斷下列關于該函數(shù)性質的說法是否正確，正確的在答題卡上相應的括號內(nèi)打“√”，錯誤的在答題卡上相應的括號內(nèi)打“×”；①該函數(shù)圖象是軸對稱圖形，它的對稱軸為y軸；②該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，有最大值和最小值．當x＝1時，函數(shù)取得最大值3；當x＝﹣1時，函數(shù)取得最小值﹣3；③當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小；當﹣1＜x＜1時，y隨x的增大而增大；當x＞1時，y隨x的增大而減?。?4)已知函數(shù)y＝2x﹣1的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式＞2x﹣1的解集．（保留1位小數(shù)，誤差不超過0.2）【答案】(1)，(2)補全該函數(shù)圖象見解析(3)①×；②√；③√(4)不等式＞2x﹣1的解集為x＜-1或﹣0.3＜x＜1.8【分析】（1）分別將和代入解析式求得y的值即可；（2）先描點，再連線即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象和函數(shù)的增減性及對稱性逐項判斷即可；（4）寫出的圖像在下部所對應的自變量取值范圍即可．【詳解】（1）當時，；當時，，∴，故答案為；（2）畫出函數(shù)的圖象如圖：（3）根據(jù)函數(shù)圖象：①該函數(shù)圖象是軸對稱圖形，它的對稱軸為y軸，說法錯誤；②該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，有最大值和最小值．當時，函數(shù)取得最大值3；當時，函數(shù)取得最小值﹣3，說法正確；③當時，y隨x的增大而減??；當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小，說法正確；（4）由圖象可知：不等式的解集為或．【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質、函數(shù)與不等式，掌握用描點法畫出函數(shù)圖象和數(shù)形結合的思想是解答本題的關鍵．【培優(yōu)檢測】1．（2023秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線l是一次函數(shù)的圖象，且直線l過點，則下列結論錯誤的是（

）A．B．直線l過坐標為的點C．若點，在直線l上，則D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知，即得出，可判斷A；將點代入，即得出，即直線l的解析式為，由當時，，即可判斷B；由圖象可知該函數(shù)y的值隨x的增大而減小，從而即可得出，可判斷C正確；由該函數(shù)y的值隨x的增大而減小，且當時，，即得出當時，，從而可判斷D．【詳解】∵該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，且與y軸的交點位于x軸下方，∴，∴，故A正確，不符合題意；將點代入，得：，∴，∴直線l的解析式為，當時，，∴直線l過坐標為的點，故B正確，不符合題意；由圖象可知該函數(shù)y的值隨x的增大而減小，又∵，∴，故C正確，不符合題意；∵該函數(shù)y的值隨x的增大而減小，且當時，，∴當時，，即，故D錯誤，符合題意．故選D．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質．由圖象確定出，y的值隨x的增大而減小是解題關鍵．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學校考期末）已知，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，在x軸上找一點P，使得的周長最小，則點P的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作點B關于x軸的對稱點，由待定系數(shù)法求出的解析式，再根據(jù)的解析式即可求出點P的坐標．【詳解】解：如圖，作點B關于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，，，設直線的解析式為，把點A、點的坐標分別代入，得，解得：，∴直線的解析式為，當時，，，故選：B．【點睛】本題考查的是軸對稱?最短路線問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟知“兩點之間，線段最短”是解答此題的關鍵．3．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像交軸于點，交軸于點，點在軸上，點在函數(shù)圖像上，均垂直于軸，若均為等腰直角三角形，則的面積是（

）A．16 B．64 C．256 D．1024【答案】C【分析】根據(jù)可得，，因為為等腰直角三角形，可得出，則，因為均為等腰直角三角形，則，可得均為等腰直角三角形，故，同理可得，則，根據(jù)規(guī)律求出，然后根據(jù)三角形面積公式計算即可．【詳解】解：∵對于，當時，；當時，，∴．∵為等腰直角三角形，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，同理可得，則，∴，∵為等腰直角三角形，∴．故選C．【點睛】本題考查規(guī)律型：點的坐標、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是從特殊到一般，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．4．（2023春·八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別交x、y軸于點A、B，將直線繞點B按順時針方向旋轉，交x軸于點C，則的面積是（

）A．22 B．20 C．18 D．16【答案】B【分析】根據(jù)已知條件得到，，過A作交于F，過F作軸于E，得到是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質得到，求得，求得直線的函數(shù)表達式，據(jù)此求解可得到結論．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象分別交x、y軸于點A、B，∴令，得，令，則，∴，，∴，過A作交于F，過F作軸于E，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設直線的函數(shù)表達式為：，∴，解得，∴直線的函數(shù)表達式為：，∴，∴，∴的面積是，故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．5．（2022秋·河南鄭州·九年級?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標系中，菱形的頂點為原點，交軸于點，連接，交于點，則點的坐標為（）A．（） B．（） C．（） D．（）【答案】D【分析】根據(jù)菱形的性質證明和都是等邊三角形，求出直線解析式為，直線的解析式為，聯(lián)立方程組即可求出點的坐標．【詳解】解：∵菱形的頂點為原點，，∴，∵，∴和都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴直線解析式為，直線的解析式為，聯(lián)立方程組：，解得：，∴點的坐標為，故選：D．【點睛】本題考查菱形的性質，坐標與圖形性質，等邊三角形的判定與性質，一次函數(shù)的性質，解決本題的關鍵是掌握菱形的性質．6．（2022秋·八年級課時練習）如圖，一束光線從點出發(fā)，經(jīng)y軸上的點C反射后經(jīng)過點，則點C的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長交x軸于點D，利用反射定律，推出等角，從而證明得出，得到，得到，設的直線的解析式為，待定系數(shù)法求出解析式，并求出直線與y軸的交點坐標，即C點坐標．【詳解】延長交x軸于點D，如圖所示：∵由反射可知：，又∵，∴，在和中，∴，∴∵∴∴∵，設的直線的解析式為，∴，解得，∴的直線的解析式為，∴當時，，∴．故選C．【點睛】本題考查了反射定律，全等三角形的性質和判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，綜合性較強，將知識綜合運用是本題的關鍵．7．（2022春·新疆烏魯木齊·八年級烏市八中?？计谀┤鐖D，正方形的頂點，分別在軸，軸上，點在直線：上，直線分別交軸，軸于點，．將正方形沿軸向下平移個單位長度后，點恰好落在直線上．則的值為(

)A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】過B作BM⊥OE于M，過C作CN⊥OF于N，根據(jù)AAS定理證得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根據(jù)全等三角形的性質求出C點的坐標為(2,3)，由待定系數(shù)法求出直線l的解析式為y=-x+4，設平移后點C的坐標為(2,3-m)，代入解析式即可求出m．【詳解】解：過B作BM⊥OE于M，過C作CN⊥OF于N，如圖，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=DA，∴∠DAO+∠BAM=90°，∴∠DAO=∠ABM，在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM(AAS)，∴OA=BM，OD=AM，∵B(3,1)，∴BM=1，OM=3，∴OA=1，∴AM=OM-OA=2，∴OD=2，同理可證△CDN≌△DAO，∴DN=OA=1，CN=DO=2，∴ON=OD+DN=3，∴C(2,3)，∵點B(3,1)在直線l：y=kx+4上，∴3k+4=1，∴k=-1，∴直線l的解析式為y=-x+4，設正方形ABCD沿y軸向下平移m個單位長度后點C的坐標為(2,3-m)，∵點C在直線l上，∴-2+4=3-m，解得：m=1，故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的特征，正方形的性質，坐標與圖形的變化-平移，全等三角形的判定與性質定理，根據(jù)AAS定理證得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C點的坐標是解決問題的關鍵．8．（2022秋·八年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，點是直線與直線的交點，點B是直線與y軸的交點，點P是x軸上的一個動點，連接PA，PB，則的最小值是（

）A．6 B． C．9 D．【答案】D【分析】作點A關于x軸的對稱點A'，連接A'B，則PA+PB的最小值即為A'B的長，先求出點A坐標，再待定系數(shù)法求出b的值，根據(jù)軸對稱的性質可得點A'的坐標，進一步求出A'B的長，即可確定PA+PB的最小值．【詳解】解：作點A關于x軸的對稱點，連接，如圖所示：則PA+PB的最小值即為的長，將點A（3，a）代入y=2x，得a=2×3=6，∴點A坐標為（3，6），將點A（3，6）代入y=x+b，得3+b=6，解得b=3，∴點B坐標為（0，3），根據(jù)軸對稱的性質，可得點A'坐標為（3，-6）∴，∴PA+PB的最小值為．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應用，涉及兩直線的交點問題，一次函數(shù)的性質，利用軸對稱解決最短路徑問題，熟練掌握軸對稱的性質以及一次函數(shù)的性質是解題的關鍵．9．（2022秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點且與兩條坐標軸截得的直角三角形的面積為3，則一次函數(shù)的解析式為______．【答案】或【分析】由題意可設函數(shù)解析式為，求出與坐標軸的交點坐標，再根據(jù)面積可得出關于k的方程，解出即可得出k的值，進而可以求出函數(shù)解析式．【詳解】解：設一次函數(shù)的解析式為，令，得，則一次函數(shù)的圖象與x軸交點坐標為，∴，解得：，∴一次函數(shù)解析式為：或．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，結合了三角形的知識，但難度中等，注意掌握坐標和線段長度的轉化．10．（2022春·廣東河源·八年級?？计谀┱叫?，，，按如圖所示的方式放置．點，，，和點，，，分別在直線和軸上，已知點，，則的坐標是_____．【答案】【分析】首先利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，求得的坐標，然后根據(jù)，，的坐標歸納總結規(guī)律得出的坐標即可．【詳解】解：∵的坐標為，點的坐標為，∴正方形邊長為，正方形邊長為，∴的坐標是，A2的坐標是，代入得，解得，則直線的解析式是：，∵點的坐標為，∴點的坐標為，∴，∴點的坐標為，∵的橫坐標是：，的縱坐標是：，的橫坐標是：，的縱坐標是：，的橫坐標是：，的縱坐標是：，…∴橫坐標是：，的縱坐標是：，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標的變化規(guī)律等知識點，根據(jù)B點的坐標總結規(guī)律是解答本題的關鍵．11．（2023春·江蘇泰州·八年級?？贾軠y）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的邊落在軸的正半軸上，且點，直線以每秒1個單位長度的速度沿軸向下平移，經(jīng)過___________秒該直線可將平行四邊形分成面積相等的兩部分．【答案】6【分析】依題意，直線經(jīng)過平行四邊形對角線的交點時，平分平行四邊形的面積，求出對角線交點坐標，進而根據(jù)一次函數(shù)平移的性質即可求解．【詳解】解：∵平行四邊形是中心對稱圖形，設t秒后直線可將平行四邊形分成面積相等的兩部分，則直線經(jīng)過平行四邊形的對角線的交點∵點，∴平行四邊形對角線的交點坐標為當過時，則解得：，∴向下平移個單位得到，∴經(jīng)過秒該直線可將平行四邊形分成面積相等的兩部分．故答案為：6．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的平移，平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的中心對稱性質，直線經(jīng)過對角線的交點是解題的關鍵．12．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD在第一象限內(nèi)，軸，，直線沿x軸向其正方向平移，在平移過程中，直線被四邊形截得的線段長為t，直線向右平移的距離為m，圖2是t與m之間的函數(shù)圖像，則四邊形的面積為__________．【答案】20【分析】根據(jù)圖形可得，再根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律，求出平移后經(jīng)過點A的函數(shù)表達式和平移后經(jīng)過的函數(shù)表達式，即可求出，最后根據(jù)梯形的面積公式求解即可．【詳解】解：過點A、點B和點D分別作直線的平行線，過點B的平行線交與點E．由圖2可知，當時，t隨m的增大而增大，∴直線向右平移3個單位長度后經(jīng)過點A，∵當時，t為定值，∴直線向右平移5個單位長度后經(jīng)過點B，向右平移6個單位長度后經(jīng)過點D，當時，t隨m的增大而減小，∴直線向右平移12個單位長度后經(jīng)過點C，∵軸，∴，直線向右平移3個單位長度后經(jīng)過點A，∴平移后的直線表達式為：，直線向右平移5個單位長度后經(jīng)過，∴直線的函數(shù)表達式為：，∴，∴四邊形的面積為．故答案為：20．【點睛】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖像，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想，根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律得出平移后的函數(shù)表達式是解題的關鍵．13．（2022秋·山西晉中·八年級?？计谀┤鐖D，直線與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C在線段上，將沿所在直線折疊后，點A恰好落在y軸上點D處，則點C的坐標為______．【答案】【分析】先求出兩點的坐標，根據(jù)折疊，得到，進而求出的長度，在中，利用勾股定理進行求解，得到的長，即可得解．【詳解】解：∵，當時，；當時，；∴，∴，∴∵將沿所在直線折疊后，點A恰好落在y軸上點D處，∴，∴，，在中，，即：，∴，∵點在軸的負半軸上，∴．故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，折疊，以及勾股定理．熟練掌握折疊的性質，利用勾股定理解三角形，是解題的關鍵．14．（2023秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與軸和軸分別交與A、兩點，射線于點A，若點是射線上的一個動點，點是軸上的一個動點，且以、、A為頂點的三角線與全等，則的長為________．【答案】3或【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式可求出A點和B點坐標，從而求出的兩條直角邊，并運用勾股定理求出．根據(jù)已知可得，分別從或時，即當時，，或時，，分別求得的值，即可得出結論．【詳解】解：∵直線與x軸和y軸分別交與A、B兩點，當時，即，解得：．當時，，∴．∴．∴．∵，點C在射線上，∴，即．∵，∴．若以C、D、A為頂點的三角形與全等，則或，即或．如圖1所示，當時，，∴；如圖2所示，當時，，∴．綜上所述，的長為3或．故答案為：3或．【點睛】此題考查了一次函數(shù)的應用、全等三角形的判定和性質以及勾股定理等知識，掌握一次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．15．（2022秋·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線經(jīng)過點，與軸交于點，與軸交于點.(1)求的值及的面積；(2)已知點，若點是直線上的一個動點，當?shù)拿娣e與的面積相等時，求點的坐標.【答案】(1)，(2)點的坐標為或【分析】（1）由題意將點A的坐標代入函數(shù)解析式求得k的值，根據(jù)直線方程求得點B的坐標，然后求得相關線段的長度，由三角形的面積公式解答；（2）根據(jù)題意進行分類討論：點P在x軸的上方和下方，兩種情況，利用三角形的面積公式和已知條件，列出方程，利用方程求得點P的坐標即可．【詳解】（1）解：將點代入直線，解得，∴．當時，．∴，∴．∵當時，，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．由（1）知，，∴；①當點在軸下方時，，∴，∵點在軸下方，∴．當時，代入得，，解得：．∴；②當點在軸上方時，，∴，∵點在軸上方，∴．當時，代入得，，