2024年西安市高三數(shù)學(xué)（理）第四次模擬聯(lián)考試卷附答案解析

2024年西安市高三數(shù)學(xué)（理）第四次模擬聯(lián)考試卷

（滿分：150分，考試時間：120分鐘）

必考題部分

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.設(shè)集合/={x|log03(x-l)>0},5={中,<9},則()

A.A=BB./c8=0C.AC\B=BD.ADB=B

?7

2.已知i是虛數(shù)單位，若z=」是純虛數(shù)，則實數(shù)。=()

2+i

A.-2B.2C.--D.v

22

3.已知>B=-24,a+2^=(-5,2),若之與B模相等，則w=().

A.3B.4C.5D.6

4.以下四個選項中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖的是（）

A.尸史

2x

5.已知圓錐的頂點和底面圓周都在球。面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為三，面積為3兀，則球O

的表面積等于（）

817182兀12171121兀

A.-----B.-----C.——D.——

8882

6.下列說法不正確的是（）

A.若直線。不平行于平面a,則a內(nèi)不存在與。平行的直線

B.若一個平面二內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個平面力，則a〃月

C.設(shè)/,m,〃為直線，加，〃在平面a內(nèi)，則“/_L（z”是“/_L加且/_L〃”的充分條件

D.若平面a_L平面oq,平面/_L平面4，則平面7與平面尸所成的二面角和平面必與平面片所成的二

面角相等或互補

7.化簡-----面叱5。+1___=()

tan27.5°-7sin27.5°+cos27.5°

A.—B.—C.百D.2

33

8.已知一個古典概型的樣本空間。和事件A,8如圖所示.其中

"(。)=12,〃(/)=6,〃(8)=4,"(4。8)=8,則事件A與事件萬()

A.是互斥事件，不是獨立事件

B.不是互斥事件，是獨立事件

C.既是互斥事件，也是獨立事件

D.既不是互斥事件，也不是獨立事件

9.數(shù)學(xué)對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達國家常常把保持數(shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大

學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)

學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3H,大一到大三三學(xué)年必須將四門選修課程選完,

則每位同學(xué)的不同選修方式有()

A.60種B.78種C.84種D.144種

10.函數(shù)/(x)=2sin(ox+°)|?>0,帆<9的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓C與/(x)的圖象交于

M,N兩點，且M在y軸上，貝1J()

A.函數(shù)/(x)在H，-“上單調(diào)遞增

B.圓的半徑為漢I

3

2

C.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點[-,,()]成中心對稱

2021712023兀

D.函數(shù)/(x)在上單調(diào)遞減

12?12

11.已知點M,N是拋物線「：V=2"(p>0)和動圓C：(x-iy+(y-3)2=尸2(r>0)的兩個公共點,

點方是r的焦點，當(dāng)TW是圓。的直徑時，直線的v的斜率為2,則當(dāng)尸變化時，一+|防1的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

12.定義在(0,+")上的可導(dǎo)函數(shù)“X),滿足廣(尤)+祖”=?，且〃e)=；,若

xx

。/['普)c=/(ln&),則應(yīng)仇c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知/(1,2),8(3,4),。(-2,2),。(-3,5),則冠在而上的投影為.

14.數(shù)列｛0“｝的前〃項積為“2,那么當(dāng)〃上2時，an=.

22

15.已知雙曲線0-與=l(a,b>0)左右焦點分別為耳，匕，過點耳作與一條漸近線垂直的直線/,且/與

ab

雙曲線的左右兩支分別交于M,N兩點，若|"N|=|環(huán)則該雙曲線的漸近線方程為.

16.在銳角“8c中,內(nèi)角4,3,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,且2csin(8-/)=2asinZcosB+6sin24,

則￡的取值范圍是.

a

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.記S”是公差為整數(shù)的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，?,=1,且。5-1，&-2,%-3成等比數(shù)列.

⑴求％和5.；

(2)若bnSn=1,求數(shù)列也｝的前20項和T20.

18.今天，中國航天仍然邁著大步向浩瀚字宙不斷探索，取得了舉世矚目的非凡成就.某學(xué)校為了解學(xué)生

對航天知識的知曉情況，在全校學(xué)生中開展了航天知識測試(滿分100分)，隨機抽取了100名學(xué)生的

測試成績，按照[60.70),[70,80),[80,90),[90,100]分組，得到如圖所示的樣本頻率分布直方圖：

3

「驪相心R距

0.041------------------------

0.03------------

0.02????????+????1????

0.01--1------

6070809010()rf}?ifzkx

(i)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校學(xué)生測試成績的中位數(shù)；

(2)從測試成績在［90,100］的同學(xué)中再次選拔進入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機挑選出4道題進

行測試，至少答對3道題者才可以進入復(fù)賽.現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對4道，乙

能答對3道，且甲、乙兩人各題是否答對相互獨立，記甲、乙兩人中進入復(fù)賽的人數(shù)為九求4分布列

及期望.

19.如圖，三棱柱/8C-421G中，AB=BC=B1A=B}C=B}B=41,。是NC的中點，ABX±BD.

(1)證明：耳。,平面48C；

(2)求點與到平面/CQ4的距離;

⑶求平面44。與平面AB,C的夾角的余弦值.

已知且。/

20./(x)=alnx+gx2—2x(aeR0)g(x)=cos尤+xsin龍.

(1)求g(x)在［-］,句上的最小值;

⑵如果對任意的國4-%,句，存在乙?1/,使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.

_e」x2

22

21.已知橢圓E：，+mMl(a>b>0)過兩點(2詞(A-1),橢圓的上頂點為尸，圓C：

(x-1)2+/=r2(0<r<V3)在橢圓E內(nèi).

4

(1)求橢圓E的方程；

⑵過點P作圓C的兩條切線，切點為4B,切線以與橢圓E的另一個交點為N,切線尸5與橢圓￡的

另一個交點為直線N3與y軸交于點S,直線與y軸交于點T.求囚”的最大值，并計算出此時

圓C的半徑r.

選考題部分

請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個

題目計分.

fx=2+2cos(z

22.平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(口為參數(shù))，以坐標原點。為極點，尤

[y=zsina

軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為0cos，+：)=字.

(1)求圓C的極坐標方程和直線I的直角坐標方程；

⑵已知點且直線/與圓C交于A、3兩點，求焉-焉的值.

<2)\MA\\MB\

23.不等式選講已知。也c均為正實數(shù)，函數(shù)/卜)=卜-%|+卜+處|+。的最小值為4.

⑴求證：ab+bc+ca>9abc；

(2)求證：6y[ab+3y/bc+2y[ca<4.

5

1.D

【分析】解指數(shù)，對數(shù)不等式，求出集合48后，結(jié)合集合的運算即可求出結(jié)果。

［詳解］不等式10go,3卜_1）>0，即可logo3（X_l）>logo_31，

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，O<X-1<1,解得l<x<2,

所以Z={x［l<x<2},8={中<2},顯然集合A是3的真子集,

所以=B,即D正確。

故選：D

2.D

【分析】根據(jù)虛數(shù)性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運算可得z=『-REi,再根據(jù)z是純虛數(shù)列式求解.

_-i+Q_（-i+a）（2-2+a.

【詳解】----=-----------------=----------]

2+i2+i（2+i）（2-i）55

Bzl

.75=0

又因為Z=二是純虛數(shù)，所以：所以

2+iNwO

[5

故選：D.

3.C

【分析】利用坐標求出￡+25的模長，進而根據(jù)已知條件可以得到一個關(guān)于口的方程，問題即可得到解

決.

【詳解】因為￡+2否=(-5,2),所以『+2可=回，

故卜+20=|a|+4慟+4a-b-29,而又已知工.5=-24，且卜卜,，

所以忖+4忖-96=29,解得忖=5.

故選：C

4.C

【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)值的符號和定義域逐項分析判斷.

【詳解】根據(jù)題意，用排除法分析：

|x|

對于選項A：/(x)=—,當(dāng)x<0時，有/'(x)<0,不符合題意；

6

對于選項B：當(dāng)x<0時，〃x)=(d+l)e"<0,不符合題意；

對于選項D:y=苦■的定義域為R,不符合題意；

故選：C.

5.A

【分析】求得圓錐的底面半徑和高，利用勾股定理求得球的半徑，從而求得球的表面積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為人母線長為/,高為h=&二，

2兀/_2兀

/-3

依題意1,解得，=3/=1,所以〃=2A/L

一?2兀/?/=3兀

[2

設(shè)球的半徑為R,貝1],+僅一火)2=尺2,

尸2+b21+8__9_

r2+h2-2hR=0,7?=---------

2h472~A41

(9丫_81兀

所以球的表面積為4兀R?=4兀?I4V2J=V

故選：A

6.D

【分析】對于選項ABC,可根據(jù)線面平行的判定定理，面面平行的判定定理和線面垂直的判定定理進行

判定；對于選項D,可在長方體中尋找特殊平面進行排除.

【詳解】對于選項A：若存在直線，則由直線和平面平行的判定定理知直線〃與平面。平行，與條件相

矛盾，故A正確；

對于選項B：由面面平行的判定定理可知B正確；

對于選項C：由線面垂直的性質(zhì)定理知：由/_La,可得/_L次且/_L〃，故C正確；

對于選項D：例如在正方體48co中,

平面0為平面45cZ),平面片為平面平面a為平面CCQi。，平面/?為平面A4QZ),

AB

7

此時平面?與平面B所成的二面角為90。,平面?1與平面注所成的二面角為0。，故D錯誤.

故選：D.

7.B

【分析】利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化切為弦，然后利用平方關(guān)系和正弦的二倍角公式化簡轉(zhuǎn)化為特

殊角的三角函數(shù)即可得解.

▼'堊raftan27.50+1sin27.5°+cos27.5°

［詳解］原式=-；----------------=一、----------------彳--------；----

tan27.5°-8sin27.50+1sin27.5°-8sin527.5°cos27.5°+cos27.5°

11_273

一l-2sin215°Zos30。'

故選：B.

【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，特殊角三角函數(shù)值，二倍角的正弦公式，利用商數(shù)關(guān)系切化弦

是解決問題的關(guān)鍵.

8.B

【解析】由〃(4n可=4可判斷事件是否為互斥事件，由P(/町=P(/戶(萬)可判斷事件是否為獨立事件.

［詳解】因為"(0=12,”(⑷=6,MB)=4,n(AU3)=8,

所以"(/ns)=2,(nZ)=4,炳=8,

所以事件A與事件豆不是互斥事件，

所以叩耳?尸⑷叩)=、*小

所以尸(疝)=尸⑷尸(J),所以事件A與事件不是獨立事件.

故選：B.

9.B

【分析】先分類，再每一類中用分步乘法原理即可.

【詳解】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為11,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2,

則先將4門學(xué)科分成三組共￡室

種不同方式.再分配到三個學(xué)年共有團種不同分配方式，由乘法原理

可得共有當(dāng)力?團=36種，若是0,1,3,則先將4門學(xué)科分成三組共C：C；種不同方式，再分配到三個

學(xué)年共有耳種不同分配方式，由乘法原理可得共有C：C1W=24種，若是0,2,2,則先將門學(xué)科分成三

8

z^?2y~i2

組共竽種不同方式，再分配到三個學(xué)年共有團種不同分配方式，由乘法原理可得共有空?團=18

種

所以每位同學(xué)的不同選修方式有36+24+18=78種,

故選：B.

10.D

【分析】根據(jù)已知圖象得出7=兀，。=2.然后結(jié)合“五點法”得出。=g,?。?2$叩》+三；進而即可

代入檢驗A、C、D項；結(jié)合圖象，求出",C點的坐標，即可得出半徑.

【詳解】對于A項，由圖象結(jié)合對稱性易得7=孑-=兀，

3I6/6

所以g=生=2,/（%）=2sin（2x+夕）.

又由圖象結(jié)合"五點法''可得，2x[—：]+夕=如,左￡2,

TT

解得，（p=—+2kji,keZ.

又網(wǎng)<5，所以夕=:,/（x）=2sin^2x+y^.

.、r3兀廣廣.?87r_兀5兀

因為---<X<-7T,所以----<2%+—<----.

2333

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)/（X）在1g,-j上不是單調(diào)遞增，故A項錯誤;

對于B項，由A可知，/（0）=2sing=百，M^0,^3j,

C點橫坐標為迎=-丁Tl+-T=^Tl,

623

所以，|MC|=僅一6）2=厚；，故B項錯誤；

rIFVL.、IC（5兀、兀4兀

對于C項，因為2義--—+—=--—,

\o733

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)/（X）的圖象不關(guān)于點，成中心對稱,

故C錯誤;

a-rTHe且2021兀202371

對于D項，因為二一

,7兀_2023兀,兀2025兀3兀__,

所以Is一+336兀=-----<2x+-<------=一+33671.

66362

7兀3兀

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，y=sinx在上單調(diào)遞減,

62

9

結(jié)合函數(shù)的周期性，可知函數(shù)[（X）在節(jié)匕,上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：D.

11.B

【分析】直線的方程為了=2尤+1,聯(lián)立直線與拋物線的方程得到國+工2=2寧，結(jié)合C是九W的

中點，可得。=6,由拋物線的定義可將，—+|"列轉(zhuǎn)化為的。+性因，當(dāng)三點在一條直線時，可求

得，+|〃F|的最小值.

【詳解】圓C：（x-l）2+（y-3『=/（r>0）的圓，lL、C（l,3）,

當(dāng)MN是圓C的直徑時，直線"N的斜率為2,

設(shè)直線MN的方程為了-3=2（》-1）,化簡為：y=2x+l,

[y=2x+1、

2c，消去了可得：4x2+（4-2p）x+l=0,

3=2px

設(shè)“（國,必），"（乙,%）,所以=2：4,

因為C是的中點，所以"逗=1=區(qū)二=2,解得：p=6,

24

故尸（3,0）,/：x=-3,由拋物線的定義可知，過點〃■作必/，/交/于點H,

過點C作CP，/交/于點尸，

所以=,所以廠+|〃^=根。|+|〃7*|。尸|=4,

當(dāng)。,尸,〃三點在一條直線時取等.

故選：B.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件求導(dǎo)可得/（x）在（0,+e）上為減函數(shù)，由其單調(diào)性即可判斷b,c的大小關(guān)

10

系.

2

【詳解】由已知可得：xr(x)+2V(x)=lnx,令g(x)=x2〃x),

則g，(x)=_r2/，(x)+2V(x)=]nx,且

心)=手/3=xg'(x)-2g(x)xlwc-2g(x)

再令/z(x)=xlnx-2g(x),貝！Jh'^x)=l+lnx-2gr(x)=l-lnx,

當(dāng)x￡(O,e)時，"(x)>O,/z(x)為增函數(shù);

當(dāng)x￡(e,+8)時，〃(x)<O，Mx)為減函數(shù);

/./z(x)</z(e)=e-2g(e)=e-2e2/(e)=0,

二./'(x)K0在(0,+功上恒成立；.?./(%)在(0,+句上為減函數(shù);

又因為二魴,回i=噌,出亞=叱

ee4V22

故令9(x)=^d(x)=二產(chǎn),當(dāng)xe(O,e)時,”(x)>O，e(x)為增函數(shù)；

1,r-V21n2,

->lnV2>-----:.a<c<b

e4

故選：c

13.^l^##-VTo

55

【分析】先求海，CD,再求|同，|西J,ABCD，利用向量夾角余弦公式求夾角，再由投影向量的模

長公式求解.

【詳解】因為/(1,2),3(3,4),C(-2,2)。(-3,5),

所以罰=(2,2),C5=(-1,3),

所以園="+2。=2/,|co|=Vi+9=Vio,君.而=-2+6=4,

ABCD

設(shè)向量Z5與麗的夾角為。,cos6=

\'AB\CD\2V2-V10-5

那么焉在而上的投影為卜,cos。=2V2x^y-=2^^

I故答案為：馬何.

11

n2

14.r

(?-l)2

【分析】設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項積為北，利用?！?六■求出答案.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項積為《，則7；=",當(dāng)〃22時，冊=白n2

2

1n-\n-1)

n2

故答案為:

(?-1)2

15.y=±(VJ+l)x

【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求陽結(jié)合余弦定理可求2的值.

a

/且垂足為S,

所以后M=4a,

而々S_L/,故々S=b,故cos/巧瑪=2,

c

在中，由余弦定理可得16a2=4a2+4c2-2x2cx2“x2,

c

整理得到：24+2"-/=0,故2=1+6,

a

因此該雙曲線的漸近線方程為丫=±(百+1口.

故答案為：y=±(V3+l)x.

16.(1,2)

【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式將已知化為sin(3-N)=sin/,根據(jù)為銳角三角形可得

5=2/,。=兀-3/以及,再由正弦定理可得￡=當(dāng)=又當(dāng)，利用兩角和的正弦展開式和

64asinAsinA

COSA的范圍可得答案.

12

【詳解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得

2sinCsin(B-Z)=2sinAsinAcosB+sinBsin2A

=2sin力sin4cos8+2sin5sin力cos力=2sin力(sinZcosB+sinBcos/)

=2sin4sin(/+5),

因為兀一0=4+5，所以sin(兀一C)=sin(%+5)=sinCwO,

可得sin(8_4)=sin/,

因為0<Z<色,0<B〈工，所以—工<5—

2222

所以8=24,。=兀—34,

ITITITIT

由0<8=2/<-,0<C=TI-3/<—可得一</<—,

2264

所以<cosZ<,—<cos2A<—,

2224

由正弦定理得€=皿=吧刎sin(24+4)_sin2AcosA+cos2AsinA

asinAsinAsinAsin力

=2cos2Z+cos2/=4cos2^4-1G(1,2),

故答案為：（1,2）.

cn(n+Y)

17.⑴%=〃，Sn=-

40

(2)—

v721

【分析】（1）根據(jù)已知條件求出公差d,由公式即可確定％和

2

口）根據(jù)已知條件求出"=即,裂項相消法求心即可?

【詳解】(1)設(shè)%=l+(〃—l)d,由(〃8-2)2=(%-1)(%2-3),

1

得(7d—1)9=4d(lld—2),所以4=1或4=/,

IT,“LLl、tT-LL…〃(〃+1)

由于dwZ,所以d=l.所以，an=n,Sn=-=~.

(2)由"S〃=l知：bn=,故

13

40

所以&=2

21

18.(1)82.5

【分析】（1）計算出成績落在各組的頻率，得到該校學(xué)生測試成績的中位數(shù)落在［80,90）,設(shè)出中位數(shù),

得到方程，求出答案；

（2）先得到甲乙分別能進行復(fù)賽的概率，進而得到4的可能取值及對應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)

期望.

【詳解】（1）成績落在［60,70）內(nèi)的頻率為0.01x10=0.1,

成績落在［70,80）內(nèi)的頻率為0.03x10=0.3,

成績落在［80,90）內(nèi)的頻率為0.04x10=0.4,

由于0.1+0.3=0.4<0.5,0.1+0.3+0.4=0.8>0.5,

故該校學(xué)生測試成績的中位數(shù)落在［80,90）內(nèi)，

設(shè)中位數(shù)為x,則（x-80）x0.04=0.5-0.4,解得x=82.5,

故估計該校學(xué)生測試成績的中位數(shù)為82.5

（2）從6道題中選4道共有C：=15種選擇，

因為甲能答對其中的4道，故甲能進行復(fù)賽的情況有C；C；+C：C；=9種，

故甲能進行復(fù)賽的概率為己9=不3，不能進復(fù)賽的概率為1-：3=《2，

因為乙能答對其中的3道，故乙能進行復(fù)賽的情況有C；C；=3種，

3114

故乙能進行復(fù)賽的概率為2=：,不能進復(fù)賽的概率為1-￡=￡,

4的可能取值為0,1,2,

故J分布列如下：

J012

14

8143

P

252525

數(shù)學(xué)期望為黨=0x卷8+lx1^4+2x?3=j4

19.(1)證明見解析

Q

V2

eV3

【分析】(1)先證明平面NBC，得到AD_L8Q,再證明與。，平面NBC.

(2)方法一幾何法，取4G的中點2,過點用作用于點石，可證8"，平面NCG4,點用到

平面NCG4的距離即為與〃，求解得解；方法二向量法，建立空間直角坐標系利用向量法求點面距；

(3)建立空間直角坐標系利用向量法求解.

【詳解】(1)因為48=BC,。是/C的中點，所以ADL/C,

因為N4_L5D,ABtC\AC=A,45],/Cu平面NB。，

所以2D1平面48c,

又u平面48。，所以2。_1為0,

因為3/=5C，。是NC的中點，

所以BQ./C,BDcAC=D,8Z>,/Cu平面/8C,

所以BQ1平面ABC.

(2)法一:取4。的中點2,連接DDX,BR可得四邊形BBQQ是平行四邊形，

因為BD_L/C,BQ,AC,BDCBQ=D,BD,BQu平面BBQQ,

所以/C_L平面，又/Cu平面NCC/i，

所以平面83QQ，平面NCG4,

過點用作4〃，DR于點、H,5/u平面BBQQ,

平面BB.D.Dc平面/CG4=DD,,則BiH1平面ACCXAX,

所以點用到平面ZCG4的距離即為4H，

15

jr

因為N8=BC=8/=3C，所以BD=BQ=BiDi，又NDRD=ZB、DB=3,

所以=工=Y2,故點B1到平面ACQA,的距離為也.

法二：由(1)知耳。，平面48C,BDVAC,所以。8,DC,兩兩垂直，以。為原點，

以DB,DC,。片所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為N3=BC=8/=5C，所以AD=3Q,又BDLBQ,B、B=亞,

所以耳。=3。=1,

AB=BC=母，BDYAC,所以。N=OC=1,

所以。(0,0,0),4(0,-1,0),5(1,0,0),C(0,1,0),耳(0,0,1),

就=(0,2,0),五《=麗=(-1,0,1),設(shè)平面NCCH的一個法向量為。=(a,6,c),

m-AC=0f6=0

則，一——.，即〈人，令“=1,

m-AAf=0[-。+c=0

則而=(1,0,1)為平面/eq4的一個法向量，

又DBi=0,0,1,所以點Bx到平面/CG4的距離d=3,

\m\V22

故點A到平面ZCG4的距離為Y2.

2

(3)由(2)法二得函=(0,—1,1),麗=毋=(1,1,0),設(shè)平面44。的一個法向量為歷=(x),z),

nCB,=0[-y+z=0

則,得，c,令尤=1,貝ljy=-l,z=T,

n-AxB}=0Ix+y=0

所以亢=(1,-1,-1)為平面48c的一個法向量,

16

又平面所以。3=(1,0,0)是平面的一個法向量,

n-DB1_73

cosn,DB=

同.國V3xl3，

故平面AXBXC與平面ABtC的夾角的余弦值為由.

3

20.(1)-1

⑵-g，o］u(o,+<?)

【分析】(1)對g(x)求導(dǎo)，因為g(x)為偶函數(shù)，求出g(x)在xe(O/)的單調(diào)性,即可求出卜犯句上

的最小值;

(2)由(1)知，g(x)在［-鞏乃］上的最小值為-1,所以現(xiàn)€—,e,使得井-1成立,即

2

1-X-Xlr2_r「11,、

a(x2-Inx2)-xf-x2即心2：°,設(shè)。3二2______，尤?，即只需。》。⑺而口即可?

2L(?

x2-lnx2叭'x-lnx」

【詳解】(1)gf(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx,

顯然g(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，

xe(。,,］時，xcosx>0,g'(x)>0,g(x)在((J,'］單調(diào)遞增；

xe(會萬J時，xcosx<0,g'(x)<0,g(x)在匕,乃)單調(diào)遞減；

g(O)=L=y,g⑺=T,；.g(x)在(0㈤上的最小值為-1.

由偶函數(shù)圖象的對稱性可知g(x)在(-乃，乃)上的最小值為-1.

11_T

(2)先證InxWx-l,設(shè)〃(x)=lnx-x+l,則，(%)=——1=----,

令>0n0<x<1,令/(x)<0=>x>1,

?,?力(%)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(L+8)上單調(diào)遞減.A(x)<A(l)=0

故InxWx-1①恒成立.

由題意可得壬c,e-,e,使得“xJ—aWT成立,

e%

即4(%2-In、2)2；4-X2成立.

17

由①可知％-ln%221>0,

12_

參變分離得&22々尤2

x2-Inx2

-x2-x1

設(shè)g(x)=xe—

2e

x-lnx

即只需a1nhi即可.

(x-l)(x-lnx)

0'(%)=

(x-lnx)2

由①知In%—1得一

.11r7l1._I4—X_

??一x—Inx+1三—x+1—x+1—2—x------->0

2222

令e'(x)>0=l<x<e,令夕—<x<l,

e

：.0(x)在上單調(diào)遞減，在(I,e)上單調(diào)遞增.

???9(x)min=0(l)=T，

.*?aN—，

2

又已知aw0

故a的取值范圍為1,0)U(0,+8).

X2y2

21.(I)—+—=I

84

(2)|ST|的最大值為9-4有，此時r=2-G

【分析】(I)根據(jù)題意代入兩點(2,后)，(布,-1)即可得橢圓方程;

(2)設(shè)二==無21(占,乂)也(%2,%),5(0,%),7(0,”)，過點尸的直線/的方程為了=米+2,根據(jù)

y=kx+2

點到直線的距離公式得至匹/一1袂2一轉(zhuǎn)+/一4=0,則可得桃廣^,再聯(lián)立,

*y2，求出

184

坐標，設(shè)出直線血W的方程，代入",N坐標計算，再求解即可.

18

3+2

/=8v22

1b，解得v

【詳解】（1）由題意可得：所以橢圓方程為9+?=】?

611

+=1

L—a7bT

（2）過點尸（0,2）作圓C的兩條切線,

當(dāng)兩條切線均存在斜率時，設(shè)％=%,%=左2川（再,必）,屈（%2/2），8（0/3）,7（0/4）

I左+2|

經(jīng)過點P的直線/的方程為歹=履+2,則生房二一，

yjl+k

整理得卜2-1伏2-4左+/一4=0,所以有勺+&=島,hh=

5

又以尸C為直徑的圓的方程為

4

則直線AB的方程為（x-+（y—一［（尤—1>+?。?：_/，

2/21

整理得x-2y—l+/=o,令x=0得力=一，即S0,^^

y=kx+2

聯(lián)立//,消去了得（1+2-卜2+8丘=0,

---1---=1

184

—8左-8左2nn-8k,2—4左2\.,（—8危2-4kl}

所以*=T7而也—yr，即M----彳,-----\,M——j------1-

1+2e11+2/1+2好）[1+2片1+2%

2—4公—8匕

-----?=----=/+加

1+2肝1+2片（2m+4）k；-8tk[+加一2=0

不妨設(shè)直線跖V的方程為歹=a+加，貝!］，；,整理得

2—4代—8Q（2加+4）k；一8tk,+m—2=0

-----=r=----彳，+m

1+2抬1+2后

2廠2—4

所以《右為方程（2機+4）k-Stk+m-2=0的兩個根，貝1］%h=又

2m+4k,b=K

r-r-IsI〃Z—2廠—4A77Z067,"-18

所以------=F—，解得機=-----丁

2m+4r2-17-r2

r2-lr2-l6r2-18=118-（7-r2+48

此時岡="3_/上------m<||18-2V48|=9-473,

2F7-r27-r2

48

當(dāng)且僅當(dāng)7-r=#^,即『=2-6時取等號，

7-r

當(dāng)兩條切線中一條斜率不存在時，廠=1,此時以