2024年上海市崇明區(qū)中考一模 數(shù)學 試題（學生版+解析版）

2024年上海市崇明區(qū)中考一模數(shù)學試題

（滿分150分，完卷時間100分鐘）

考生注意：

L本試卷含三個大題，共25題，答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，

在草稿紙、本試卷上答題一律無效.

2.除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計

算的主要步驟.

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙

的相應(yīng)位置上】

1.如果兩個相似三角形的周長之比為1：4,那么它們對應(yīng)邊之比為（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

2.在直角坐標平面內(nèi)有一點A（5,12）,點A與原點。的連線與x軸正半軸的夾角為那么tan。的值為

3.將拋物線>=-犬向左平移3個單位后，得到的新拋物線的表達式為（）

A.y——x~~3B.y——x~+3C.y——（x+3）2D.y——（%—3）~

4.已知非零向量下列條件中不一定能判定q〃。的是（）

A.|?|=2|/?|B.a=2bC.a//c,b//cD.a=2c,b//c

5.在一ABC中，點。、E分別在邊A5、AC上，以下能推出。石〃3C條件是（）

AD3CE_3AD_3DE3

A.-----=一，B.---———

DB4AE-4法一了BC4

AB4EC1AD_3CE_3

C.-----=一,-----——D.

AD3AE3花一了AC~4

6.在二次函數(shù)y=ax?+6x+c中，如果a<0,b>0,c<0,那么它的圖像一定不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】

7.已知@=士，那么—一的值為

b3a+b

9.已知點P是線段AB的黃金分割點，且AP>BP,則APBP的值=.

10.在RtZXABC中，NC=90°,AC=8,sin3=0.8,則AN的長為.

11.如果拋物線y=(m-1)/+根經(jīng)過原點，那么該拋物線的開口方向.

12.已知一條拋物線對稱軸是直線x=l,且在對稱軸右側(cè)的部分是上升的，那么該拋物線的表達式可以

是.(只要寫出一個符合條件的即可)

13.如圖，已知AO〃3E〃CR,它們與直線卜。依次交于點A、B、C,點。、E、F,如果

14.如圖，在平行四邊形A3CD中，點E在邊AO上，聯(lián)結(jié)3E,交對角線AC于點E如果

^AA￡F=J,AD=15,那么AE=.

15.如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔25海里的A處，它沿正北方向航行到達位于

燈塔正東方向上的8處，那么此時輪船與燈塔P的距離為海里.

北1

I

16.如圖，在.ABC中，ZABC=60°,P是ABC內(nèi)一點，且NAPB=NBPC=120°,如果

AP=3,BP=4,那么CP=

17.如圖，將矩形A3CD沿EM、FN折疊，點A、。分別與A、D'對應(yīng)，B、C兩點對應(yīng)點落在AD上

的點G處，且GMJ_GN，如果S.KEG=8，SD,GF=2,那么AB的長為

18.定義：P為.ABC內(nèi)一點，連接以、PB、PC,在aPAB、PBC和△H4C中，如果存在一個三角

形與一A3C相似，那么就稱2為_43。的自相似點，根據(jù)定義求解問題：已知在Rt^ABC中，

ZACB=90°,CD是A6邊上的中線，如果一A3C的重心尸恰好是該三角形的自相似點，那么ZPSD

的余切值為.

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)

19.計算：cos245--s'n+cot30.

3tan30

20.如圖，已知在ABC中，5C=18,點。在邊5c上，DE//AB,9DE=4AB.

(2)連接AD,設(shè)A5=a,AC=b,試用〃力表示

21.已知二次函數(shù)y=2%2+4%一6

為

1-

----------------\?

O1------------x

（1）用配方法把二次函數(shù)y=2x?+4x-6化為y=a（x+m）2+左的形式，并指出這個函數(shù)圖像的對稱軸

和頂點坐標；

（2）如果該函數(shù)圖像與無軸負半軸交于點4與y軸交于點C,頂點為。，。為坐標原點，求四邊形

ADCO的面積.

22.如圖，某校九年級興趣小組在學習了解直角三角形知識后，開展了測量山坡上某棵大樹高度的活

動.已知小山的斜坡的坡度，=1:、冷，在坡面。處有一棵樹AD（假設(shè)樹AD垂直水平線BN）,在

坡底B處測得樹梢A的仰角為45°,沿坡面方向前行30米到達C處，測得樹梢A的仰角NACQ為

60°.（點8、C、。在一直線上）

（2）求樹AD的高度（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：0合1.732）

23.如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC,E是邊3c上一點，AE與對角線相交于點R且

BE?=EF-AE.

（1）求證：,DAB^AFB；

（2）聯(lián)結(jié)AC,與3D相交于點。，若A5?05BC1AF,求證：AF2=OD^BF.

24.已知在直角坐標平面x0y中，拋物線>=依2+桁+°(。/0)經(jīng)過點4(—1,0)、5(3,0)、C(0,3)三

備用圖

備用圖

(1)求該拋物線的表達式；

(2)點。是點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點，連接A。、BD,將拋物線向下平移m(">0)個單位后，

點。落在點E處，過2、E兩點的直線與線段AD交于點尸.

①如果加=2,求tan/DBF值；

②如果VBDE與△A3。相似，求相的值.

25.己知RtZVLBC中，ZACB=90°,AC=3,AB=5,點。是AB邊上的一個動點(不與點A、B重

合)，點尸是邊3c上的一點，且滿足NCDF=NA,過點C作CE_LCD交。廠的延長線于￡

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當C石〃AB時，求AO的長；

(2)如圖2,聯(lián)結(jié)鹿，設(shè)=BE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；

(3)過點C作射線BE的垂線，垂足為X,射線S與射線DE交于點。，當△CQE是等腰三角形時,

求AO的長.

2024年上海市崇明區(qū)中考一模數(shù)學試題

（滿分150分，完卷時間100分鐘）

考生注意：

L本試卷含三個大題，共25題，答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，

在草稿紙、本試卷上答題一律無效.

2.除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計

算的主要步驟.

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙

的相應(yīng)位置上】

1.如果兩個相似三角形的周長之比為1：4,那么它們對應(yīng)邊之比為（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長之比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?兩個相似三角形的周長之比為1:4,

它們對應(yīng)邊之比為1：4,

故選B.

2.在直角坐標平面內(nèi)有一點A（5,12）,點A與原點。的連線與x軸正半軸的夾角為那么tan。的值為

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了求銳角的正切值；畫出圖形，過A作軸于8,則由點A的坐標可得OBAB,

由正切的定義即可求解.

【詳解】解：如圖，過A作軸于2,

A(5,12),

AOB=5,AB=12,

AB12

tan<7=-----=——；

OB5

故選：D.

3.將拋物線y=向左平移3個單位后，得到的新拋物線的表達式為()

A.y——%2—3B.y——x2+3C.y——(x+3)"D.y——(%—3)2

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，關(guān)鍵是抓住拋物線頂點的平移；原拋物線的頂點為原點，向左平

移3個單位后的頂點坐標為(-3,0),由此即可得平移后新拋物線的表達式.

【詳解】解：拋物線y=的頂點為原點，原點向左平移3個單位后的坐標為(-3,0),

由于平移不改變圖象的大小與形狀，則平移后的新拋物線表達式為y=-(x+3)2；

故選：C.

4.已知非零向量d,6,C,下列條件中不一定能判定q〃〃的是()

A.同=2忖B.a=2bC.a//c,b//cD.a=2c,b//c

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解題關(guān)鍵是對向量性質(zhì)的理解.根據(jù)向量的性

質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A、只能判定的模的數(shù)量關(guān)系，不能判定?！ㄈf，符合題意;

B、a=2b,能判定<2〃6，不付合題思；

C、a//c,b//c,根據(jù)平行的傳遞性得到?！?,不符合題意；

D、a=2c，得到“〃c，平行的傳遞性得到a〃〃，不符合題意;

故選A.

5.在A5C中，點。、E分別在邊A?、AC上，以下能推出。石〃3C的條件是（）

AD3CE_3AD_3DE3

A_____———.—B.

DB4AE4法一了BC-4

AB4EC1AD_3CE_3

C.-----=一,--------——D.

AD3AE3花一了AC~4

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定；畫出圖形，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)逐

一判斷即可.

【詳解】解：畫出圖形如下:

必

由3CE3

A、=—，——=—不能得出ZVIBC,AADE相似，故不能判定。石〃3C；

DB4AE4

由AD=2,匹=2不能得出ZvlBGAADE相似，故不能判定。石〃3C；

B、花

43c4

型

.：1.AC4ABAC4

C、=一，則有------=----=—,則AABC^/XADE，

1E3AE3ADAE3

：.ZADE=ZABC,從而。石〃3C；

AT）3CF3

D、由一=-,—=—不能得出"BC,AADE相似，故不能判定。石〃3C；

AB4AC4

故選：C.

6.在二次函數(shù)>=。必+。%+。中，如果。<0,b>0,c<0,那么它的圖像一定不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)）=以2+6*+。，a<0,b>0,c<0和二次函數(shù)的性

質(zhì)，可知該函數(shù)圖象的對稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交于負半軸，開口向下，然后即可判斷該函數(shù)圖象一定不

經(jīng)過第二象限.

【詳解】解：?.,二次函數(shù)y=ax?+〃x+c,a<0,b>0,c<0,

...該函數(shù)圖象的對稱軸在y軸右側(cè)，與〉軸交于負半軸，開口向下,

該函數(shù)圖象存在三種情況，如圖所示，

故選：B.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】

7.已知f=4，那么一二的值為.

b3a+b

4

【答案】-

【解析】

【分析】本題考查了分式的性質(zhì).熟練掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

a

根據(jù)一一=—2一,計算求解即可.

a+b￡+1

b

a4

【詳解】解：由題意知，二=—==

a+ba+b4+17

bb3

4

故答案為：一.

7

8.計算:ci+2bJJ.

【答案】a+3b

【解析】

【分析】本題考查了向量的線性運算；根據(jù)向量的運算法則進行計算即可.

［詳解］解:ci+2bJ—ci—bJ=~tz+2b——a+b=tz+3b,

故答案為：a+3b-

9.已知點P是線段A5的黃金分割點，n.AP>BP,貝尸的值=.

【答案】叵2

2

【解析】

【分析】根據(jù)黃金分割的定義列可得答案.

【詳解】???點尸是線段A3的一個黃金分割點，且

1_2_A/5+1

AP;BP=75-1-75-1-2-

2

故答案為：史上1.

2

【點睛】本題考查了黃金分割點的應(yīng)用，把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部

分與較大的比值，則這個比值即為黃金分割；其比值是由二1；理解黃金分割點的定義是解題的關(guān)鍵.

2

10.在中，NC=90°,AC=8,sin3=0.8,則人呂長為.

【答案】10

【解析】

【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義，進行求解即可.

AC

【詳解】解：在Rtz^ABC中，ZC=90°,sinB=—,

AB

：AC=8,sinB=0.8

——=0.8,

AB

：.AB=10；

故答案為：10.

【點睛】本題考查利用三角函數(shù)值求邊長.解題的關(guān)鍵是掌握正弦等于對邊比斜邊.

11.如果拋物線y=（根-1）/+根經(jīng)過原點，那么該拋物線的開口方向.

【答案】向下

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；根據(jù)拋物線過原點，把原點坐標代入解析式中可求得相的值，

根據(jù)二次項系數(shù)的符號可確定拋物線的開口方向.

【詳解】解：???拋物線y=（加-1）必+m經(jīng)過原點，

/.（m-1）?0m=Q,

m=0,

，拋物線為y=r\

V-l<0,

...拋物線開口向下；

故答案為：向下.

12.已知一條拋物線的對稱軸是直線x=l,且在對稱軸右側(cè)的部分是上升的，那么該拋物線的表達式可以

是.（只要寫出一個符合條件的即可）

【答案】y=f—2X+3（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；由題意知，拋物線的開口向上，根據(jù)對稱軸與開口方向?qū)懗鲆?/p>

個二次函數(shù)的表達式即可.

【詳解】解：???在對稱軸右側(cè)的部分是上升的

拋物線的開口向上；

拋物線的對稱軸是直線x=l,

，拋物線可為：y—x1—2.x+3；

故答案為：y=12—2X+3（答案不唯一）.

13.如圖，已知4?！?石〃?！?，它們與直線h4依次交于點A、B、C,點。、E、F,如果

【答案】15

【解析】

FF3DF2

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，由——=一得——=一，根據(jù)平行線分線段成比例定理即

DF5EF3

可求解.

FF3

【詳解】解：：——=-,

DF5

.DE_2

??一,

EF3

'：AD//BE//CF,

?ABDE_2

"BC^EF~3'

3

BC=-AB=15；

2

故答案為：15.

14.如圖，在平行四邊形A3CD中，點E在邊AO上，聯(lián)結(jié)8E,交對角線AC于點E如果

^AAEF=A￡)=15,那么AE=

'△BFC"

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；由平行四邊形的性質(zhì)對邊平行可得

AAEFSMBF,由相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：；四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,BC=AD=15,

△AEF^ZxCBF,

.AE_1

??—―,

BC3

即AE=-BC=5；

3

故答案：5.

15.如圖，一艘輪船位于燈塔尸的南偏東60°方向，距離燈塔25海里的A處，它沿正北方向航行到達位于

燈塔正東方向上的8處，那么此時輪船與燈塔P的距離為海里.

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；由題意，利用余弦函數(shù)即可求解.

【詳解】解：???輪船位于燈塔P的南偏東60。方向，

，-.ZAPB=90°-60°=30°,

在Rt_ABP中，PB=PAcos30?25?—空8（海里）；

22

即此時輪船與燈塔P距離為至叵海里.

2

故答案為：生

2

16.如圖，在ABC中，ZABC=60°,尸是ABC內(nèi)一點，且NAPB=NBPC=120°,如果

AP=3,BP=4,那么CP=.

【答案】—##5-

33

【解析】

【分析】由題意可以得到NR4B=NPBC,判定兩個三角形相似，然后用相似三角形的性質(zhì)計算求出最終

結(jié)果；

本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，運用相似三角形的知識解決問題是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：ZAPB=/BPC=120°

設(shè)NP3C=a

APBA=60?！猘

Z.PAB=a

所以NPAB=/PBC

APBsBPC

APPB

~BP后

24

4~PC

16

PC

3

故答案為：—.

3

17.如圖，將矩形A3CD沿石70、FN折疊，點4、。分別與A、D'對應(yīng)，B、C兩點對應(yīng)點落在上

的點G處，且GK_LGN,如果S,A，EG=8，SD，GF=2,那么筋的長為

【答案】2&

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；

由折疊的性質(zhì)及已知可和一A如GsDGF,結(jié)合面積得A柱=4。尸；設(shè)A3=a,=6,則可得a,b

的關(guān)系，再由面積可求得6,從而求得。的值.

【詳解】解：???四邊形ABD是矩形，

：.AB=CD,?A?B?C?D90?；

由折疊知，？4近彳丸B=?AGM,AG=AB；

?DUW，C=?DGN90?,D</G=CD,

：.D^=AG=CD=AB；

?：GM±GN,

：.A!kG,N三點共線，ZXG,M三點共線,

：.D^1//AE，

：.?A^EG?DGF,

:?Aii?D90?,

：._A*Gs_DGF,

A城AG

，——=----；

DX5DF

'S-A,EG=8，SD,GF=2,

1..

—A四*AG

2=4,

1.■

-DXS^DF

2

即A刑=40尸;

設(shè)AB=a,￡）妒=b,則A^E=4b；

A城AG竺a

由——得ZB:

DFab

即a=2b；

7S12**7D^G=-b^2b2,

?'"/?=V2（負值舍去）,

AB=a=2b=2A/2；

故答案為：

18.定義：P為.ABC內(nèi)一點，連接以、PB、PC,在PBC和△B4C中，如果存在一個三角

形與一A3C相似，那么就稱尸為_A5C的自相似點，根據(jù)定義求解問題：已知在Rt^ABC中，

ZACB=9Q°,CD是A5邊上的中線，如果_A3C的重心尸恰好是該三角形的自相似點，那么

的余切值為.

【答案】述##9&

22

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，重心的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識；過點E作即，A3于

E,由題意得ABC^,CAP,結(jié)合重心性質(zhì)得AB=Ji4C；設(shè)AC=a,則AB=&,由勾股定理得

BC；由E為中點及NAPC=90。，可得PE,進而得延，由中線性質(zhì)及面積關(guān)系可求得石廠，由勾股定

理求得麻\則由余切的定義即可求得結(jié)果；由相似及重心性質(zhì)得到AGA3的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，中線BE,CD交于點P,過點E作石FLAB于E,

；?APB1APD?BPD?ACP?BCP90?,2BPC?PDB90?)

不可能與,ABC相似，

/.4c與相似，

即.ABCsC4P,且NAPC=90°,

ABAC即Bn化,=.?。。；

ACJO

,“是重心，

PC=4CD；

3

VZACB=90°,CD是斜邊上中線，

/.CD=-AB,

2

：.PC=-AB,

3

/.AC2=AB?PC-AB2,

3

/.AB=y[3AC;

設(shè)AC=a,則A5=N，由勾股定理得BC=0a；

為AC中點，ZAPC=9Q0,

PE=AE=-AC=-,

22

由重心性質(zhì)得：BE=3PE=—；

2

???BE為中線，

?,S4ABE=]^AABC，

即BC,

222

.口口—Ra

??LLT-------，

6

由勾股定理得：BF=yjBE2-EF2

在RtzXEEB中，cot?PBD尤=亞￡?巫￡1

EF662

故答案為：述

2

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.計算：cos245-Sm60+cot30.

3tan30

【答案】石

【解析】

【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的混合運算，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵；利用特殊角三角

函數(shù)化簡即可.

【詳解】解：原式=

3x——

3

石

=A/3?

20.如圖，己知在中,BC=18,點。在邊3C上，DE//AB,9DE=4AB.

(2)連接AD,設(shè)AB=a,AC=6,試用a/表示

【答案】⑴10

45,

(2)—aH—b

99

【解析】

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，向量的線性運算：

CDDF44

(1)證明,CDEsCB4得到——=——=-,則。=—CB=8,由此可得瓦)=5C—CD=10；

CBAB99

444445

(2)先求出CB=O—。，再由CD=—CB得到CD=—CB=—a——b,則A￡>=AC+CD=—a+—b.

999999

【小問1詳解】

解：'：DE^AB，

：..CDEs.CBA,

.CD_DE4

4

/.CD=-CB=8,

9

:.BD=BC—CD=10；

【小問2詳解】

解：??"=A3-AC，

CB=a-b>

4

CD=-CB,

9

444

/.CD=-CB=-a——b,

999

—---4-44-5

:.AD=AC+CD=b+—a——b=-a+-b

9999

21.已知二次函數(shù)y=2》2+4x-6

斗

1-

-------------1>

O1-------x

(1)用配方法把二次函數(shù)y=2/+4x-6化為y=a(x+根產(chǎn)+左的形式，并指出這個函數(shù)圖像的對稱軸

和頂點坐標；

(2)如果該函數(shù)圖像與無軸負半軸交于點A,與y軸交于點C,頂點為。，。為坐標原點，求四邊形

ADCO的面積.

【答案】(1)y=2(x+l)2—8,對稱軸為直線x=—1,頂點坐標為(—L—8)

(2)15

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；

(1)配方法配方即可，配方后即可求得對稱軸與頂點坐標；

(2)設(shè)對稱軸交無軸于點E；令y=。，可求得點A的坐標；令x=0,可求得點C的坐標；由

S四邊形ADC。=SADE+S梯形》cOE即可求解?

【小問1詳解】

解：y=2f+4x—6配方得：y=2(x+l)2—8,

則拋物線的對稱軸為直線x=-1,頂點坐標為(T-8)；

【小問2詳解】

解：設(shè)對稱軸交x軸于點E；

令y=0,即y=2x?+4x-6=0,

解得：石=-3,々=1,

點A的坐標為(一3,0),即。4=3,

令x=0,得y=-6,

AC(0,-6),即OC=6；

:拋物線的對稱軸為直線x=—1,頂點坐標為(-1,-8),

OE=1,DE=8,

：.AE=OA-OE=3-1=2,

?,S四邊形AOCO-SADE+S梯形DC0E

=1AE?DE|(DE+OC)?(9E

=；倉吻8+1?(86)?1

=15.

y」

D\

22.如圖，某校九年級興趣小組在學習了解直角三角形知識后，開展了測量山坡上某棵大樹高度的活

動.已知小山的斜坡90的坡度，=1：、回，在坡面。處有一棵樹AD（假設(shè)樹AD垂直水平線）,在

坡底8處測得樹梢A的仰角為45°,沿坡面方向前行30米到達C處，測得樹梢A的仰角NACQ為

60°.（點8、C、。在一直線上）

（1）求A、C兩點的距離；

（2）求樹的高度（結(jié)果精確到Q1米）.（參考數(shù)據(jù)：73^1.732）

【答案】⑴30m

（2）樹AO的高度約為17.3m

【解析】

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，三角形外角的性質(zhì)，等角對等邊等等：

（1）如圖所示，延長AO交于G,過點C作CHLAG于”，先RtCHD得到/DCH=30°,進

而推出NACD=30。，再求出N4BC=15。，則可推出NABC=NG4B,得到AC=5C=30m；

（2）先解RtAHC得至【JCH=15m,AH=15Gm，再解RtACDH得到DH=56m，則

AD=AH—DH=1073ma17.3m.

【小問1詳解】

解：如圖所示，延長40交于G,過點C作CHLAG于

VAH±CH,AG±BN,

：.CH//BN,

,/小山的斜坡BM的坡度i=l：5

...在RtCHD中，ianZDCH=^-=-^=—,

CH63

：.ZDCH=30°,

ZACH=60°,

：.ZACD=30°,

同理可得NDBG=30°,

?/ZABG=45°,

：.ZABC=\50,

ZCAB=ZACD-ZABC=15°,

ZABC=ZCAB,

AC=JBC=30m；

【小問2詳解】

30x^-=15Gm，

CH=AC-cosZACH=30x-=15m,AH=AC-cinZACH=

22

在RtACDH中，DH=CHtan/DCH=15x—=56m，

3

???AD=AH—DH=10V3mx17.3m，

.?.樹AD的高度約為17.3m.

23.如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC,E是邊BC上一點,AE與對角線BD相交于點R且

BE?=EF-AE.

AD

（1）求證：^DAB^AFB；

（2）聯(lián)結(jié)AC,與BD相交于點。，若AB20BBC2AF,求證：AF~=OD^BF.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

（1）由BE?=EF?AE及NAEB=/BEF可得AAEBs^BEF，則有N￡B尸=44石；再由平行條件

得/BAE=ZADB,則可證明DAB匕AFB；

（2）由BC2AF及ZEBF=ZBAE,可得5c0,則可得NAO/=NATO,進而得

AF=OA；再證明AODs5E4即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：VBE2=EFAE>

.BE_AE

■:ZAEB=ZBEF，

AAEBsABEF，

：.ZEBF=NBAE；

?：AD//BC,

:ADB?EBF,

/.ZBAE=ZADB；

,：ZABF=ZDBA,

'DAB^-AFB；

【小問2詳解】

證明：BC2AF

.AB_BC

"AF-QB；

由（1）知/EBF=/BAE,

：.ABFsBCO,

:.ZAFB^ZBOC,

ZAFO=ZAOF,

：.AF=OA-,

???ZBOC=ZAOD,

:.ZAFB=ZAOD-,

由（1）知Nfi4E=N4DB，

AOD^BFA,

OAOD

---=----,

BFAF

即。4?AF0D1BF.

?：AF=OA,

AF2=ODxBF.

24.已知直角坐標平面x0y中，拋物線>=以2+法+c（a/0）經(jīng)過點川3,0）、。（0,3）三

名用圖

備用圖

（1）求該拋物線的表達式；

（2）點。是點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點，連接A。、BD,將拋物線向下平移〃2（">0）個單位后,

點。落在點E處，過8、E兩點的直線與線段AD交于點尸.

①如果加=2,求tan/DBF的值；

②如果VBDE與△A3。相似，求相的值.

【答案】（1）y=-x2+2x+3

（2）①;；②相=3或機=*

22

【解析】

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）①先求出拋物線對稱軸為直線x=l,則。（2,3）,進而得到￡（2,1）；求出直線BE的解析式為

y=—x+3,同理可得直線AO的解析式為y=x+l,進而求出?（1,2）；利用勾股定理求出。尸=夜，

BF=2叵,BD=廂,進而利用勾股定理的逆定理證明VBD尸是直角三角形，且"￡8=90°,則

DF1

tanZDBF=—=—；②AABD^AFBD時，則此時點尸與點A重合，則B戶與AB重合，可得

BF2J

m=DE=3；當一ABDs—BED時，則ND5/=NZMB，如圖所示，設(shè)直線OE交x軸于G,貝U

G（2,0）,推出NZMG=NAT）G=45°,得到=NZM3=45。，如圖所示，取點（—1,2）,則

DH=M,BH=而，BD=回,證明是等腰直角三角形，得至U=45°,則點尸

13131

在直線上，同理可得直線的解析式為y=--x+—，在丁=——x+—中，當％=2時，y=一，

2222

則卻2,1],即可得到根=3-工=*；綜上所述，根=3或加=9.

<2）222

【小問1詳解】

解：把A（—l,0）、3（3,0）、。（0,3）代入丁=依2+法+c（〃w0）中，

a-b-^-c-Q

得：<9。+3。+。=0,

。二3

a=-1

.?.</?=2,

c=3

???拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

【小問2詳解】

解：①???拋物線解析式為y=—J+2x+3=—（%—1丫+4,

???拋物線對稱軸為直線x=l,

???點D是點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點，

/.D（2,3）,

?.?將拋物線向下平移m（m>0）個單位后，點。落在點E處，且加=2,

/.￡（2,1）；

設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b',

.3k+b'=0

2k+b'=l'

卜=-1

"<b'=3'

直線BE的解析式為y=—x+3,

同理可得直線AD的解析式為>=尤+1,

y=-x+3

聯(lián)立，，

y=x+l

x=l

解得《c，

b=2

??./（1,2）；

???DF=J（2—+（3-2）2=立,BF=J（3-1）?+（0-2）2=2也,

BD=J（3-2）2+（0—3）2=回,

：.DF2+BF2=（亞『+（2亞『=10=（A/10）2=BD2,

???NBDF是直角三角形，且ZDFB=90°,

DF1

tanZDBF=—=—；

BF2

②當△ABAAFBD時，則此時點尸與點A重合，則與AB重合,

m=DE=3；

當，ABD^.BFD時，則/DBF=ZDAB,

如圖所示，設(shè)直線OE交x軸于G,則G（2,0）,

DG=AG=3,

/.ZDAG=ZADG=45°,

：.ZDBF=ZDAB=45°,

如圖所示，取點H（—1,2）,則=J（-l_2y+（2_3）2=回，

BH=J（T_3『+（2-0）2=咽,BD=J（3-2）2+（0-3）2=回,

DH=BD,DH-+BD-=BH2-

A是等腰直角三角形,

NDBH=45°,

，點尸在直線3〃上，