2023-2024學(xué)年福建省高考模擬卷數(shù)學(xué)試題含解析

2023-2024學(xué)年福建省高考卷數(shù)學(xué)試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

、5

1.二項(xiàng)式-X2的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（)

7

A.-80B.80C.-160D.160

2.五名志愿者到三個(gè)不同的單位去進(jìn)行幫扶，每個(gè)單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為（）

2222C

3.已知橢圓G的方程\+==1,雙曲線(xiàn)C的方程為與-4=1,G和的離心率之積為火，則

a2b2a2b-2

C2的漸近線(xiàn)方程為（）

A.x±V2y=0B.72x±y=0C.x+2y=0D.2x±y=0

函數(shù)y=21

4.在［-6,6］的圖像大致為

-2X+2T

5.若向量a=(1,5)]=(一2,1),則q?(a+2Z?)=()

A.30B.31C.32D.33

)

7.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(%)=/(—%),且在(0,+8)上是增函數(shù)，不等式〃改+2)<〃-1)對(duì)于

恒成立，則。的取值范圍是

A.-力B.C.4°D.[0,1]

8.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦

九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入x的

值為2,則輸出的u值為()

A.9x210-2B.9x210+2C.9x2n+2D.9x2n-2

9.己知拋物線(xiàn)C:y2=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為I,氤M,N分別在拋物線(xiàn)C上，且“歹+3人下=0,直線(xiàn)

交/于點(diǎn)P,NN'±l,垂足為N',若尸的面積為246,則P至心的距離為（）

A.12B.10C.8D.6

10.已知函數(shù)“X）是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xe[O,a）時(shí)，函數(shù)/（X）是單調(diào)遞減函數(shù)，則/（1,25）,

f（log53）的大小關(guān)系是（）

A.flog311</(log53)</(log25)B.flog311</(log25)</(log53)

、(、

c./(log53)</10g31|</(log25)

D./(log25)</log3-</(log53)

\3J

x-y>Q

11.已知X,y滿(mǎn)足約束條件<x+y<2,則z=2x+y的最大值為

y>0

A.1B.2C.3D.4

22

12.已知雙曲線(xiàn)C:^-與=1（。>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為《，K,點(diǎn)尸是C的右支上一點(diǎn)，連接尸耳與y軸交

于點(diǎn)M,若閨O|=2|OM|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），PFXLPF?則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為（）

A.y=+3xB.y=+s/3xC.y=±2xD.y=+42x

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y+1..0,

13.已知實(shí)數(shù)x,V滿(mǎn)足約束條件「x-y-3,,0,則z=2x+y的最大值為.

x>0

14.滿(mǎn)足線(xiàn)性的約束條件的目標(biāo)函數(shù)Z=2x-y的最大值為

x+y<2

21的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512,其展開(kāi)式中第四項(xiàng)的系數(shù)

15.已知二項(xiàng)式%2

16.已知（l+2x）”的展開(kāi)式中含有/的項(xiàng)的系數(shù)是60,則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，已知橢圓E的右焦點(diǎn)為工（1,0）,P,。為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ8周長(zhǎng)的最大值為8.

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)心，交橢圓E于點(diǎn)A,3,直線(xiàn)機(jī)與直線(xiàn)/的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓E于點(diǎn)"，N,\MNf^4\AB\,

求證：直線(xiàn)僧與直線(xiàn)/的交點(diǎn)T在定直線(xiàn)上.

18.(12分)平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C：(x-If+>2=1.直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(私0),且傾斜角為以。為極點(diǎn),

X軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.

(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)。的極坐標(biāo)方程與直線(xiàn)/的參數(shù)方程；

(2)若直線(xiàn)/與曲線(xiàn)。相交于A,B兩點(diǎn),且12AH尸理=1,求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

19.(12分)已知函數(shù)〃x)=alnx+L

X

(1)討論/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)證明：當(dāng)0<a<1時(shí)，

20.(12分)如圖，橢圓C:二+4=1(。〉6〉0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,上、下頂點(diǎn)分別為⑸，與，且用(0,1),

ab

44耳為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)(1，。)的直線(xiàn)與橢圓。在丁軸右側(cè)的部分交于"、N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求四邊形為MNg面積的取值范圍.

21.(12分)在某外國(guó)語(yǔ)學(xué)校舉行的IffiWCN(高中生數(shù)學(xué)建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為1:3,且成績(jī)

分布在[40』00],分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的同學(xué)獲獎(jiǎng).按女生、男生用分層抽樣的方法抽取200人的成績(jī)作為樣本，得到

成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.

(I)求。的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值1(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(H)填寫(xiě)下面的2x2列聯(lián)表，并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”.

女生男生總計(jì)

獲獎(jiǎng)5

不獲獎(jiǎng)

總計(jì)200

附表及公式:

j)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

甘土匠2n(ad-bc)2

其中K---------------------------------,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

x=l+2cos。

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程是c.為參數(shù))，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正

y=2sma

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)/的極坐標(biāo)方程為夕COS6+(=應(yīng).

(I)求曲線(xiàn)C的普通方程與直線(xiàn)/的直角坐標(biāo)方程;

(II)已知直線(xiàn)/與曲線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn),與X軸交于點(diǎn)尸，求4H

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通式，再令X的次數(shù)為零，可得結(jié)果.

【詳解】

解：二項(xiàng)式[亍—展開(kāi)式的通式為&=c(5](-x2)r=(-l)rC；25-r￡^+2r,

5—r

令一一—+2r=0,解得r=1,

2

則常數(shù)項(xiàng)為(—l)y2’=—80.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通式，是基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率，利用互為對(duì)立事件的概率和為1

即可解決.

【詳解】

「2「2廠3「1

由題意，三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1；基本事件總數(shù)有

=150種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有尺種情況；若為第二

種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有C；C；尺種，故甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率

曳=色，乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為p=i—二=9.

150252525

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算，涉及到排列與組合的應(yīng)用，在正面情況較多時(shí)，可以先求其對(duì)立事件，即甲、

乙兩人在同一個(gè)單位的概率，本題有一定難度.

3、A

【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線(xiàn)離心率的表示形式，結(jié)合G和02的離心率之積為走，即可得的關(guān)系，進(jìn)而得雙曲線(xiàn)的離心率

2

方程.

【詳解】

2222

橢圓G的方程吞+2=1，雙曲線(xiàn)的方程為十-￡=1，

則橢圓離心率G=5—3，雙曲線(xiàn)的離心率4=力?△，

aa

由G和G的離心率之積為—，

一2

，〃廬+廬&

gn2―1a2

ele2------------x------------=—

aa2

解得2=±交，

a2

所以漸近線(xiàn)方程為y=±-x，

2

化簡(jiǎn)可得x±0y=O,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓與雙曲線(xiàn)簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)應(yīng)用，橢圓與雙曲線(xiàn)離心率表示形式，雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程求法，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由/(4)的近似值即可得出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)丁=y(x)=2-,則/(-X)=2(r)3=一"二=一/⑴，所以/(X)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),

2%+2r2T+2、2X+2~X

7x43

排除選項(xiàng)C.又/(4)=：4〉0,排除選項(xiàng)口；/(6)=；「7,排除選項(xiàng)A,故選B.

24+2-426+1-6

【點(diǎn)睛】

本題通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過(guò)計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇.本題較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基

本計(jì)算能力的考查.

5,C

【解析】

先求出a+2b，再與a相乘即可求出答案.

【詳解】

因?yàn)閍+2〃=(1,5)+(-4,2)=(―3,7),所以。?(a+2份=—3+5x7=32.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計(jì)算x=1時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng).

【詳解】

x>0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，排除B,T<x<0時(shí)，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D,又x=l時(shí)，y=l—ln2>0,排除C,

只有A可滿(mǎn)足.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過(guò)解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等等排除，可通過(guò)

特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除，最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng).

7、A

【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在(-8,0)上是減函數(shù)，由此可將不等式化為-1W公+2W1；利用分

離變量法3可得1求得-三3的最大值和--1的最小值即可得到結(jié)果.

XXXx

【詳解】

/(%)=/(-%)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

又/(X)在(0,+8)上是增函數(shù)f(x)在(-8,0)上是減函數(shù)

/(ta+2).'.|ar+2|<l,即-

31

—1W4U+2W1對(duì)于xG［L4恒成立二—二VaV——在［1,2］上恒成立

JCJC

3「3一

.-.--<?<-1,即。的取值范圍為：一彳,—1

2L2

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題，涉及到恒成立問(wèn)題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單

調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來(lái)處理恒成立問(wèn)題.

8、C

【解析】

由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的左，v的值，當(dāng)左=-1時(shí)，不滿(mǎn)足條件左.0,跳出循環(huán)，輸出v

的值.

【詳解】

解：初始值丫=10,尤=2,程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示：

k=9,

v=10x2+9,左=8,

V=10X22+9X2+8>k=I,

v=10x23+9x2~+8x2+7>k=6,

v=10x24+9x23+8x22+7x2+6,k=5,

v=10x25+9x24+8x23+7x22+6x2+5.k=4,

v=10x26+9x25+8x24+7x23+6x22+5x2+4,k=3,

v=10x27+9x26+8x25+7x24+6x23+5x22+4x2+3,k=2,

v=10x28+9x27+8x26+7x25+6x24+5x23+4x22+3x2+2,k=l,

v=10x29+9x28+8x27+7x26+6x25+5x24+4x23+3x22+2x2+1,k=G,

v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x26+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0,k=-L,

跳出循環(huán)，輸出v的值為

1098765432

^^V=10X2+9X2+8X2+7X2+6X2+5X2+4X2+3X2+2X2+1x2+0?

2V=10x2"+9x21°+8x29+7x2'+6x2’+5x26+4x2,+3x2,+2x23+1x22+0②

①一^得

-v=-10x2n+lx210+lx29+lx28+lx27+lx26+lx25+lx24+lx23+lx22+lx2

1-2

v=9x2n+2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到左，v的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

作"腿」/,垂足為V,過(guò)點(diǎn)N作NG'M”,垂足為G,設(shè)|NF|=m（加＞0）,貝!=結(jié)合圖形可

n\MG\=2m,\MN\^4m,從而可求出NWG=60°,進(jìn)而可求得|VP|=6w,加川=百根，由AMZV'P的面

積Sz^N7=g.|MM'HN'P|=24月即可求出機(jī)，再結(jié)合產(chǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，即可求出/至U/的距離?

【詳解】

如圖所示，

作垂足為AT,-^|A^F|=m(m>0),由MR+3NB=0，^\MF\=3m.,=\NN'\=m.

過(guò)點(diǎn)N作NG_LMM',垂足為G,則\M'G\=m,|MG\=2m,

所以在小AMZVG中，|MG|=2〃z,|M2V|=4m,所以85/6削=坐1=(，

11\MN\2

??MMr

所以NNMG=60。，在RAPMM'中，根，所以MP=--------=6m

cos60f

所以|貓|=2〃?，回尸|=4〃，

所以SAMN,P1-3m-y/3m=24^3.解得機(jī)=4,

因?yàn)镮FP|=|FN\+\NP\=3m=\FM\,所以尸為線(xiàn)段“尸的中點(diǎn),

門(mén)A”-、，IMM,|3m,

所以F到l的距離為p=---=—=6.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

10、D

【解析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得log25>log35>log53,再根據(jù)/(x)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)閘ogs5>log33=1,0=log51<log53<log55=1,

^log35>log53>0.

Xlog25>log24=2=log39>log35>0,故log25>log35>log53.

因?yàn)楫?dāng)xe[0,+8)時(shí)，函數(shù)/(%)是單調(diào)遞減函數(shù)，

所以/(log25)</(log35)</(log53).

因?yàn)?(%)為偶函數(shù)，故/卜g3m=/(-log35)=/(log35),

(\\

所以“l(fā)og?5)〈/log3-</(log53).

\3J

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用，比較大小時(shí)注意選擇合適的中間數(shù)

來(lái)傳遞不等關(guān)系，本題屬于中檔題.

11、D

【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【詳解】

作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，

x+y-.

z=2%+y等價(jià)于y=-2x+z,作直線(xiàn)y=-2x,向上平移，

易知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)時(shí)z最大，所以入砍=2x2+0=4,故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法.

12、C

【解析】

利用三角形AOA/耳與AP/y相似得歸周=2歸引，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義求得“，仇。的關(guān)系，從而求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)

方程。

【詳解】

設(shè)耳(―c,0),g(c,0),

由閨O|=2|OM|,AOMK與相似，

所以\EO命\=IP局FI=2,即|,3|,=2|,理,|,

又因?yàn)閨「耳卜|尸閶=2即

所以|尸制=4匹|尸鳥(niǎo)|=2a,

所以4c2=16/+44,Bpc2=5a2>b1=4a2>

所以雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=±2x.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)、漸近線(xiàn)方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)時(shí)，直線(xiàn)的截距最大,

取得最大值，即得解.

【詳解】

是以A(2,3),B(-1,O),C(1,O),為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)時(shí)，直線(xiàn)的截距最大

此時(shí)z=2x2+3=7取得最大值1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、1

【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，將直線(xiàn)進(jìn)行平移，利用z=2x-y的幾何意義，可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值。

【詳解】

由z=2x—y,得y=2x—z,作出可行域，如圖所示：

平移直線(xiàn)y=2x-z,由圖像知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，截距最小，此時(shí)z取得最大值。

x-y=0\x=l

由‘c八，解得，，代入直線(xiàn)z=2x—y，得z=2xl—l=l。

x+y-2=0[y=l

【點(diǎn)睛】

本題主要考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的解法——平移法。

15、-672

【解析】

先令x=l可得其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和，又由題意得2〃=512,解得〃=9,進(jìn)而可得其展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】

令x=l,則有2〃=512,解得〃=9,

則二項(xiàng)式—2]的展開(kāi)式的通項(xiàng)為I.=C；(x2)9-r(-1)r=(-2)r-C；？8-3r,

令r=3,則其展開(kāi)式中的第4項(xiàng)的系數(shù)為(-2)3Cl=-672,

故答案為：-672

【點(diǎn)睛】

此題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題時(shí)需要區(qū)分展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和與各二項(xiàng)式系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題.

16、1

【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)公式得：22戲=60,解得〃=6,令x=l得：展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和，得解.

【詳解】

解：由(l+2x)"的展開(kāi)式的通項(xiàng)M=C：(2尤)，，

令r=2,

得含有X2的項(xiàng)的系數(shù)是2?C；=60,

解得〃=6,

令尤=1得：展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為(1+2)6=729,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)公式，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17、（I）—+^=1；（II）詳見(jiàn)解析.

43

【解析】

（I）由橢圓的定義可得，PQ8周長(zhǎng)取最大值時(shí)，線(xiàn)段PQ過(guò)點(diǎn)月，可求出。，從而求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)直線(xiàn)/:丁=左（％-1）（化工0）,直線(xiàn)77z:y=—左（1+",A（%,yJ,B（x2,y2）,M（x3,y3）,刈4”）?把

直線(xiàn)旭與直線(xiàn)/的方程分別代入橢圓E的方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出|MN『和,根據(jù)=4|A可求

出t的值.最后直線(xiàn)m與直線(xiàn)I的方程聯(lián)立，求兩直線(xiàn)的交點(diǎn)即得結(jié)論.

【詳解】

（I）設(shè)PQK的周長(zhǎng)為L(zhǎng),

則L=|P閶+|Q閭+|PQ|=2a—|P片|+2a—|Q4|+|PQ|=4a—（|P周+|Q周）+|PQ|

<4a-\PQ\+\P^=4a,當(dāng)且僅當(dāng)線(xiàn)段PQ過(guò)點(diǎn)耳時(shí)“=”成立.

「.4。=8,:.a=2,又c=1>b=^3>

22

二橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1.

43

（II）若直線(xiàn)/的斜率不存在，則直線(xiàn)的斜率也不存在，這與直線(xiàn)相與直線(xiàn)/相交于點(diǎn)T矛盾，所以直線(xiàn)/的斜率存

在.

設(shè)/:丁=左（十一1）（左力0）,加：y=一左（兀+7），4（%,%），5（孫%），/（&，％），陽(yáng)％”）。

將直線(xiàn)心的方程代入橢圓方程得：（3+4左2）爐+8左2b+4（左2/-3）=0.

8k~t4（居2—3

4A/9k2+9_12（1+左2）

同理,1AB|=J1+左2

3+4左23+4左2

由|腦V「=川45|得f=0,此時(shí)△=64/產(chǎn)—16（3+4左2）儼產(chǎn)—3）>0.

直線(xiàn)m:y=-kx,

聯(lián)立直線(xiàn)機(jī)與直線(xiàn)/的方程得

即點(diǎn)T在定直線(xiàn)兀=」.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題.

18、（1）|2（f為參數(shù)）；（U）771=1或加=1+0或加=1—四.

y=-t

I2

【解析】

試題分析：本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查

學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，用/+/=夕2,XUQCOS?；?jiǎn)表達(dá)式，得到曲

線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程，由已知點(diǎn)和傾斜角得到直線(xiàn)的參數(shù)方程；第二問(wèn)，直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消參，解出M的值.

試題解析：⑴曲線(xiàn)相勺普通方程為：（x-1『+丁2=1,即V+y2=2x,即夕2=2pcos6,

即曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為:p=2cos。.

6

x=m-\---1

直線(xiàn)/的參數(shù)方程為｛2。為參數(shù)）.

1

y=—t

-2

（2）設(shè)A,3兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為將直線(xiàn)/的參數(shù)方程代入x2+/=2x中，

得產(chǎn)+（也m-垂>）t+m2-2m=0,所以4>0,=m2-2m,,A>0=>—l<m<3

由題意得帆2-2司=1,得m=U+3或1-V2符合題意

考點(diǎn)：本題主要考查：1.極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化；2.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系.

19、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

/TV—1

（1）求出/=分別以當(dāng)a<。，a=0,。>0時(shí)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（2）令

/:（%）=talnx+1,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出/z（x"/4）=，+l?L同理可求出g（x）=\ez滿(mǎn)足g（x）?g6=L從

ee222

而可得以Inx+bgxeiT,進(jìn)而證明了（'〉2-.

【詳解】

解析：(1)/(x)=^1rA：e(o,-H?),

當(dāng)a<。時(shí)，/,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，/[]=—a+e〉O,fy=—l+e"O,此時(shí)/(%)有1個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)。=0時(shí)，/(%)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，由尸(x)<0得xe(0,：),由尸(x)>0得xegy),二/(%)在(0,：)單調(diào)遞減，在(：,+?))單調(diào)遞

增，，/(尤)在x=L處取得最小值了(工)=—alna+a,

aa

若-〃lnQ+Q>0,則〃<e,此時(shí)/(x)沒(méi)有零點(diǎn)；

若—〃lnQ+Q=0,則〃=e,此時(shí)/(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

若—alna+a<0,貝！Ja〉e,/(1)>0,求導(dǎo)易得f(《)>0,此時(shí)在(」」)，(±1)上各有1個(gè)零點(diǎn).

aaaa

綜上可得OVave時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，avO或〃=e時(shí)，/(%)有1個(gè)零點(diǎn)，〃>e時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).

(2)^h^x)-ax\ax+\,則"(x)=Q(l+lnx),當(dāng)％一時(shí)，>0；當(dāng)0<%<工時(shí)，"(x)<0,

h(x\>/z(—)=-—+!>—.

ee2

令g(%)=g尤3'，則g'(犬)=；/'(1_九)，

當(dāng)Ovxvl時(shí)，g'(x)>。，當(dāng)％>1時(shí)，g'(x)<0,Ag(x)<g(l)=^,

~l]e1-％e1-x

??k(x)>g(x),ctxIn%+1>—xc9??aInx—>---,即/(%)>----?

2x22

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，考查了分類(lèi)的數(shù)學(xué)思想.本題的難點(diǎn)在于第二問(wèn)

不等式的證明中，合理設(shè)出函數(shù)，通過(guò)比較最值證明.

【解析】

(1)根據(jù)與坐標(biāo)和A4,與耳為等邊三角形可得a,。，進(jìn)而得到橢圓方程;

(2)①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，易求坐標(biāo)，從而得到所求面積；②當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為

y=k(x-1),與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，并確定左的取值范圍；利用S=S/oB,+代

S-6i/—/-i-\

入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得S關(guān)于左的表達(dá)式，采用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為‘一機(jī)+百_20，相€(&+后2碼的值

m

域的求解問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域；結(jié)合兩種情況的結(jié)論可得最終結(jié)果.

【詳解】

(1)4(0,1),.?2=1,

_2

的耳不為等邊三角形，.?.a=其=G，.?.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:+>2=i.

(2)設(shè)四邊形用的面積為S.

②當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為丁=左(％-1),

設(shè)以(4%)，"(%,%)，

(2

X?2_]

+V1222

聯(lián)立T-=得：(3k+1)x-6kx+3A:-3=0,

y=^(x-1)

6k23k°—3

.口+”訴r中2=F7T，??.|x_%|二卜&_z)卜S狀:+1

%；>0,x2>0,xYx2>0,>1,

面積

11_3k2回k\12k2_3

S=S+S+S

ANOB,AOMNAMOB,=~X(X1+X2)X1+-X|-^2|X13K+13^+131

223+記

3+F

令42+（,則/e（0,百）,

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