《1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示》課件與同步練習(xí)

第一課時(shí)空間直角坐標(biāo)系第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示復(fù)習(xí)引入共線向量定理:共面向量定理:單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用{}表示空間向量的基本定理：

若是空間的一個(gè)基底，是空間任意一向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組使．

xyze1e2e3O學(xué)習(xí)新知空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底,以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O--xyz

點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量都叫做坐標(biāo)向量.通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面。它們把空間分成八個(gè)部分畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使∠xOy=135°(或45),∠yOz=90°.在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，本書建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系。xyzOA(x,y,z)ijk

此時(shí)向量OA的坐標(biāo)恰是點(diǎn)A在直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)A(x,y,z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).學(xué)習(xí)新知在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中（如圖),為坐標(biāo)向量，對空間任意一點(diǎn)A,對應(yīng)一個(gè)向量OA,且點(diǎn)A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使在單位正交基底也就是說,以O(shè)為起點(diǎn)的有向線段(向量)的坐標(biāo)可以和終點(diǎn)的坐標(biāo)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系,從而互相轉(zhuǎn)化.xyzOA(x,y,z)jki學(xué)習(xí)新知

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，對空間任一向量,作(如圖),由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),上式可簡記作＝(x,y,z).學(xué)習(xí)新知1、在空間坐標(biāo)系Oxyz中，(分別是與x軸、y軸、z軸的正方向相同的單位向量)則的坐標(biāo)為

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

。2、點(diǎn)M（2,-3,-4）在坐標(biāo)平面xoy、xoz、yoz內(nèi)的正投影的坐標(biāo)分別為

，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為

，關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為

，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為

，關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)為

，（2,-3,0）（2,0,-4）（0,-3,-4）（-2,3,4）（2,3,4）（-2,-3,4）（-2,3,-4）(1,-2,-3)不確定鞏固練習(xí)例題講評例題講評求某點(diǎn)P的坐標(biāo)的方法：先找到點(diǎn)P在xOy平面上的射影M，過點(diǎn)M向x軸作垂線，確定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即為點(diǎn)P坐標(biāo)的絕對值，再按O→N→M→P確定相應(yīng)坐標(biāo)的符號與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎?，反向?yàn)樨?fù)，即可得到相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．鞏固練習(xí)在正三棱柱ABC－A1B1C1中AB＝2，AA1＝1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各頂點(diǎn)及下列向量的坐標(biāo).鞏固練習(xí)1.點(diǎn)A(－1,2,1)在x軸上的投影點(diǎn)和在xOy平面上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（）A.(－1,0,1),(－1,2,0)B.(－1,0,0),(－1,2,0)C.(－1,0,0),(－1,0,0)D.(－1,2,0),(－1,2,0)達(dá)標(biāo)練習(xí)解析：點(diǎn)A在x軸上的投影點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱、豎坐標(biāo)都為0,在xOy平面上的投影點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)為0,故應(yīng)選B.2．點(diǎn)P(1,－2,5)到xOy平面的距離為()A.1 B.2C.－2 D.5D達(dá)標(biāo)練習(xí)3．已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為

，側(cè)棱長為13，建立的空間直角坐標(biāo)系如圖，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．能力訓(xùn)練如圖所示，已知三棱錐P-ABC中，PA=PC,∠APC=∠ACB=90°,且∠BAC=30°,且平面PAC⊥平面ABC,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出每一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解：分別取AC、AB的中點(diǎn)為H、D,連接PH,HD,∵PA=PC,∴PH⊥AC又平面PAC⊥平面ABC,交線為AC,PH在平面PAC內(nèi)，∴PH⊥平面ABC.又BC⊥AC,∴HD⊥AC.第二課時(shí)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示系1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．空間向量的基本定理：

若是空間的一個(gè)基底，是空間任意一向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組使．

2．空間直角坐標(biāo)系：

（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為1，這個(gè)基底叫單位正交基底

(2)在空間選定一點(diǎn)

和一個(gè)單位正交基底

，以點(diǎn)

為原點(diǎn)，分別以

的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系

,點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量都叫坐標(biāo)向量．通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；

復(fù)習(xí)引入3．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量，設(shè)為坐標(biāo)向量,則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作．在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，

記作

，

叫橫坐標(biāo)，

叫縱坐標(biāo)，

叫豎坐標(biāo)．

復(fù)習(xí)引入xyzOA(x,y,z)ijk向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)習(xí)新知設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).

一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).

空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則，關(guān)鍵是注意空間幾何關(guān)系與向量坐標(biāo)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，為此在利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷空間幾何關(guān)系時(shí)，首先要選定單位正交基底，進(jìn)而確定各向量的坐標(biāo)。學(xué)習(xí)新知例1．已知

解:例題講評1.距離公式（1）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。三．距離與夾角在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則學(xué)習(xí)新知2.兩個(gè)向量夾角公式注意：（1）當(dāng)時(shí)，同向；（2）當(dāng)時(shí)，反向；（3）當(dāng)時(shí)，。思考：當(dāng)及時(shí)，夾角在什么范圍內(nèi)？學(xué)習(xí)新知1.求下列兩個(gè)向量的夾角的余弦：2.求下列兩點(diǎn)間的距離：鞏固練習(xí)例2已知A(3,3,1)、B(1,0,5),求：（1）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；解：設(shè)是的中點(diǎn)，則∴點(diǎn)的坐標(biāo)是.

例題講評例2已知A(3,3,1)、B(1,0,5),求：例題講評（2）到A,B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P(x,y,z,)的坐標(biāo)x,y,z滿足的條件。解：點(diǎn)到的距離相等，則化簡整理，得即到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件是解：設(shè)正方體的棱長為1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

例3如圖,在正方體中，，求與所成的角的余弦值.

例題講評例題講評證明:設(shè)正方體的棱長為1,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系xyzA1D1C1B1ACBDFE例題講評達(dá)標(biāo)練習(xí)達(dá)標(biāo)練習(xí)練習(xí)3已知垂直于正方形所在的平面,分別是的中點(diǎn),并且,求證:證明:分別以為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系則達(dá)標(biāo)練習(xí)達(dá)標(biāo)練習(xí)練習(xí)4：如圖，已知線段AB?α，AC⊥α，BD⊥AB，DE⊥α

，∠DBE=30o，如果AB=6，AC=BD=8，求CD的長及異面直線CD與AB