人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修一同步練習(xí)全套（基礎(chǔ)題）

人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修一同步練習(xí)全套（基礎(chǔ)題）《1.1空間向量及其運算》同步練習(xí)一、選擇題1．下列說法中正確的是（）A．若，則，的長度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，則C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形中，一定有2．如圖，在四棱柱的上底面中，，則下列向量相等的是（）A．與B．與C．與D．與3．如圖，直三棱柱中，若，，，則等于（）A． B． C． D．4．在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是（）A． B．C． D．5．（多選題）已知平行六面體，則下列四式中其中正確的有（）A． B．C． D．6．（多選題）在四面體中，以上說法正確的有（）A．若，則可知B．若Q為的重心，則C．若，，則D．若四面體各棱長都為2，M，N分別為，的中點，則二、填空題7．在正方體中，點是的中點，已知，，，用，，表示，則______.8．在空間四邊形中，若分別是的中點，是上點，且，記，則_____.9．已知平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，，則________.________.10．平行六面體中，已知底面四邊形為正方形，且，其中，設(shè)，，體對角線，則的值是______.三、解答題11．如圖，已知、、、、、、、、為空間的個點，且，，，，，，.求證：（1）、、、四點共面，、、、四點共面；（2）；（3）.12.如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是，為與的交點.若，，，（1）用表示；（2）求對角線的長；（3）求《1.1空間向量及其運算》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．下列說法中正確的是（）A．若，則，的長度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，則C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形中，一定有【答案】B【解析】對于A,向量的模相等指的是向量的長度相等,方向具有不確定性,因而不一定方向相同或相反,所以A錯誤.對于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的兩個向量.因而相反向量滿足模長相等,所以B正確.對于C,減法結(jié)合律指的是,因而由運算可得空間向量減法不滿足結(jié)合律.所以C錯誤.對于D滿足的一定是平行四邊形,一般四邊形是不滿足的,因而D錯誤.綜上可知,正確的為B2．如圖，在四棱柱的上底面中，，則下列向量相等的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】D【解析】對于A,與的方向相反,因而不是相等向量,所以A錯誤;對于B,與的方向相反,因而不是相等向量,所以B錯誤;對于C,與的方向成,不是相同方向,因而不是相等向量,所以C錯誤;對于D,與的方向相同,大小相等,屬于相等向量,因而D正確.3．如圖，直三棱柱中，若，，，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，.4．在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】空間的四點M、A、B、C四點共面，只需滿足，且即可，對于A，中，故此時四點M、A、B、C四點不共面；對于B，中，此時四點M、A、B、C四點不共面；對于C，，，即，，此時四點M、A、B、C四點共面；對于D，，則，，此時四點M、A、B、C四點不共面；故選：C5．（多選題）已知平行六面體，則下列四式中其中正確的有（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】作出平行六面體的圖像如圖，可得，則A正確；，則B正確；C顯然正確；，則D不正確.綜上，正確的有ABC.6．（多選題）在四面體中，以上說法正確的有（）A．若，則可知B．若Q為的重心，則C．若，，則D．若四面體各棱長都為2，M，N分別為，的中點，則【答案】ABC【解析】對于，，，，，即，故正確；對于，若Q為的重心，則，即，故正確；對于，若，，則,,,,,,故正確；對于，,,故錯誤.二、填空題7．在正方體中，點是的中點，已知，，，用，，表示，則______.【答案】【解析】,又是的中點,，，,8．在空間四邊形中，若分別是的中點，是上點，且，記，則_____.【答案】【解析】因為，分別是的中點,所以所以9．已知平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，，則________.________.【答案】3;【解析】設(shè)，則由題意得：,10．平行六面體中，已知底面四邊形為正方形，且，其中，設(shè)，，體對角線，則的值是______.【答案】【解析】，故，解得.三、解答題11．如圖，已知、、、、、、、、為空間的個點，且，，，，，，.求證：（1）、、、四點共面，、、、四點共面；（2）；（3）.【答案】詳見解析【解析】證明：（1）∵，，∴A、B、C、D四點共面．∵，，∴E、F、G、H四點共面．（2），∴.（3）.12.如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是，為與的交點.若，，，（1）用表示；（2）求對角線的長；（3）求【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）連接,，，如圖：，，在，根據(jù)向量減法法則可得：底面是平行四邊形且又為線段中點在中（2）頂點為端點的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是由（1）可知平行四邊形中故：故：對角線的長為：.（3），又《1.2空間向量基本定理-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1.有以下命題：如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；為空間四點，且向量不構(gòu)成空間的一個基底，則點一定共面；已知向量是空間的一個基底，則向量也是空間的一個基底其中正確的命題是

A. B.

C.

D.

2.設(shè)向量a,b,c不共面,則下列可作為空間的一個基底的是()A.{a+b,b-a,a} B.{a+b,b-a,b}C.{a+b,b-a,c} D.{a+b+c,a+b,c}3.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AC與BD的交點為點M,AB=a,AD=b,AA1=c,則下列向量中與C1A.-12a+12b+c B.12a+12b+cC.-12a-12b-c D.-14.已知O,A,B,C為空間不共面的四點,且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-A.OA B.OB C.OC D.OA5．（多選題）給出下列命題，其中正確命題有（

）A．空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基底B．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底C．是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，那么共面D．已知向量組是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底6．（多選題）設(shè)，，是空間一個基底A．若，，則 B．則，，兩兩共面，但，，不可能共面 C．對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，，，使 D．則，，一定能構(gòu)成空間的一個基底二、填空題7.在空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,點M在線段AC上,且AM=2MC,點N是OB的中點,則MN=______.8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,A1C1與B1D1的交點為E,則BE=9.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,當(dāng)d=αa+βb+γc時,α+β+γ=.

10．在正四面體中，，分別為棱、的中點，設(shè)，，，用，，表示向量______，異面直線與所成角的余弦值為______.三、解答題11.已知{e1,e2,e3}是空間的一個基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,試判斷{}能否作為空間的一個基底?若能,試以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,請說明理由.12.如圖,已知正方體ABCD-A'B'C'D',點E是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB,AD,AA'為基底的基向量,在下列條件下,分別求x,(1)BD'=xAD+yAB+zAA(2)AE=xAD+yAB+zAA'《1.2空間向量基本定理-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1.有以下命題：如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；為空間四點，且向量不構(gòu)成空間的一個基底，則點一定共面；已知向量是空間的一個基底，則向量也是空間的一個基底其中正確的命題是

A. B.

C.

D.

【答案】C【解析】如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線，不正確．反例：如果中有一個向量為零向量，共線但不能構(gòu)成空間向量的一組基底，所以不正確．，A，B，C為空間四點，且向量不構(gòu)成空間的一個基底，那么點O，A，B，C一定共面；這是正確的．已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底；因為三個向量非零不共線，正確．故選C．2.設(shè)向量a,b,c不共面,則下列可作為空間的一個基底的是()A.{a+b,b-a,a} B.{a+b,b-a,b}C.{a+b,b-a,c} D.{a+b+c,a+b,c}【答案】C【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作為空間的一個基底.3.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AC與BD的交點為點M,AB=a,AD=b,AA1=c,則下列向量中與C1A.-12a+12b+c B.12a+12b+cC.-12a-12b-c D.-1【答案】C【解析】C1M=AM-AC1=12(AB+4.已知O,A,B,C為空間不共面的四點,且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-A.OA B.OB C.OC D.OA【答案】C【解析】∵a=OA+OB+OC,b=OA+OB-OC,∴OC=12(∴OC,a,b不能構(gòu)成空間的一個基底.5．（多選題）給出下列命題，其中正確命題有（

）A．空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基底B．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底C．是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，那么共面D．已知向量組是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底【答案】ABCD【解析】選項中，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個不共面的向量都可以作為一個空間基底，所以正確；選項中，根據(jù)空間基底的概念，可得正確；選項中，由不能構(gòu)成空間的一個基底，可得共面，又由過相同點B，可得四點共面，所以正確；選項中：由是空間的一個基底，則基向量與向量一定不共面，所以可以構(gòu)成空間另一個基底，所以正確．故選：ABCD.6．（多選題）設(shè)，，是空間一個基底A．若，，則 B．則，，兩兩共面，但，，不可能共面 C．對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，，，使 D．則，，一定能構(gòu)成空間的一個基底【分析】利用，，是空間一個基底的性質(zhì)直接求解．【解答】解：由，，是空間一個基底，知：在中，若，，則與相交或平行，故錯誤；在中，，，兩兩共面，但，，不可能共面，故正確；在中，對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，，，使，故正確；在中，，，一定能構(gòu)成空間的一個基底，故正確．故選：．二、填空題7.在空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,點M在線段AC上,且AM=2MC,點N是OB的中點,則MN=______.【答案】-13a+12b-【解析】MA=23CA23(a-c)-a+12b=-13a+12b8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,A1C1與B1D1的交點為E,則BE=【答案】-12a+12b+【解析】如圖,BE=BB1+B1E=AA1+9.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,當(dāng)d=αa+βb+γc時,α+β+γ=.

【答案】3【解析】由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3,所以α+γ=1,10．在正四面體中，，分別為棱、的中點，設(shè)，，，用，，表示向量______，異面直線與所成角的余弦值為______.【答案】..【解析】畫出對應(yīng)的正四面體,設(shè)棱長均為1則(1).(2)由(1),又.又.設(shè)異面直線與所成角為則.三、解答題11.已知{e1,e2,e3}是空間的一個基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,試判斷{}能否作為空間的一個基底?若能,試以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,請說明理由.【答案】能，=17-5-30．【解析】能作為空間的一組基底．假設(shè)共面,由向量共面的充要條件知存在實數(shù)x,y使=x+y成立又因為是空間的一個基底,所以不共面.因此此方程組無解,即不存在實數(shù)x,y使=x+y,所以不共面.故{}能作為空間的一個基底.設(shè)=p+q+z,則有因為為空間的一個基底,所以解得故=17-5-30.12.如圖,已知正方體ABCD-A'B'C'D',點E是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB,AD,AA'為基底的基向量,在下列條件下,分別求x,(1)BD'=xAD+yAB+zAA(2)AE=xAD+yAB+zAA'【答案】見解析【解析】(1)因為BD'=BD+DD'=BA+AD+所以x=1,y=-1,z=1.(2)因為AE=AA'+A'又AE=xAD+yAB+zAA'所以x=12,y=12,z=《1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1．在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中,點A（2,﹣1,3）關(guān)于yOz平面對稱的點的坐標(biāo)是()A．（2,1,3） B．（﹣2,﹣1,3）C．（2,1,﹣3） D．（2,﹣1,﹣3）2．已知點B2,-3,1，向量AB=-3,5,2A．1,2,3 B．-1,2,33．若向量，，則=（）A． B． C． D．4．已知向量.若，則x的值為（）A． B．2 C．3 D．5．（多選題）如圖，在長方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則()A．點的坐標(biāo)為B．點關(guān)于點對稱的點為C．點關(guān)于直線對稱的點為D．點關(guān)于平面對稱的點為6．（多選題）對于任意非零向量，，以下說法錯誤的有()A．若，則B．若，則C．D．若，則為單位向量二、填空題7．如圖，以長方體的頂點為坐標(biāo)原點，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為________8．已知空間直角坐標(biāo)系中有點A(－2，1，3)，B(3，1，0)，則_______.9．若向量的坐標(biāo)滿足，，則等于.10．已知向量，，若，則實數(shù)m的值是________.若，則實數(shù)m的值是________.三、解答題11．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.單位正方體頂點A位于坐標(biāo)原點，其中點，點，點.(1)若點E是棱的中點，點F是棱的中點，點G是側(cè)面的中心，則分別求出向量,，.的坐標(biāo)；(2)在(1)的條件下，分別求出；的值.12．已知長方體中,，點N是AB的中點，點M是的中點．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出點的坐標(biāo)；（2）求線段的長度；（3）判斷直線與直線是否互相垂直，說明理由．《1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中,點A（2,﹣1,3）關(guān)于yOz平面對稱的點的坐標(biāo)是()A．（2,1,3） B．（﹣2,﹣1,3）C．（2,1,﹣3） D．（2,﹣1,﹣3）【答案】B【解析】在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中,點A（2,﹣1,3）關(guān)于yOz平面對稱的點的坐標(biāo)是（﹣2,﹣1,3）.2．已知點B2,-3,1，向量AB=-3,5,2A．1,2,3 B．-1,2,3【答案】D【解析】設(shè)點A(x,y,z)，則向量AB=(2-x,-3-y,1-z)=(-3,5,2)所以2-x=-3-3-y=51-z=2?3．若向量，，則=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以.4．已知向量.若，則x的值為（）A． B．2 C．3 D．【答案】A【解析】∵，∴，解得.故選：A5．（多選題）如圖，在長方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則()A．點的坐標(biāo)為B．點關(guān)于點對稱的點為C．點關(guān)于直線對稱的點為D．點關(guān)于平面對稱的點為【答案】ACD【解析】根據(jù)題意知：點的坐標(biāo)為，正確；的坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，故點關(guān)于點對稱的點為，錯誤；點關(guān)于直線對稱的點為，正確；點關(guān)于平面對稱的點為，正確；故選：.6．（多選題）對于任意非零向量，，以下說法錯誤的有()A．若，則B．若，則C．D．若，則為單位向量【答案】BD【解析】對于A選項，因為，則，A選項正確；對于B選項，若，且，，若，但分式無意義，B選項錯誤；對于C選項，由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可知，C選項正確；對于D選項，若，則，此時，不是單位向量，D選項錯誤.故選：BD.二、填空題7．如圖，以長方體的頂點為坐標(biāo)原點，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為________【答案】【解析】如圖所示，以長方體的頂點為坐標(biāo)原點，過的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為的坐標(biāo)為，所以,所以.8．已知空間直角坐標(biāo)系中有點A(－2，1，3)，B(3，1，0)，則_______.【答案】【解析】.9．若向量的坐標(biāo)滿足，，則等于.【答案】【解析】因為，，兩式相加得，解得，，所以.10．已知向量，，若，則實數(shù)m的值是________.若，則實數(shù)m的值是________.【答案】;【解析】，，若，則，解得；若，則，解得.三、解答題11．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.單位正方體頂點A位于坐標(biāo)原點，其中點，點，點.(1)若點E是棱的中點，點F是棱的中點，點G是側(cè)面的中心，則分別求出向量,，.的坐標(biāo)；(2)在(1)的條件下，分別求出；的值.【答案】（1）；；；（2）；.【解析】(1)因為點E是棱的中點，點F是棱的中點，點G是側(cè)面的中心，可得，所以；；；(2)由（1）可得；又由，所以.12．已知長方體中,，點N是AB的中點，點M是的中點．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出點的坐標(biāo)；（2）求線段的長度；（3）判斷直線與直線是否互相垂直，說明理由．【答案】（1），，；（2）線段的長度分別為；（3）不垂直，理由見解析【解析】解：（1）兩直線垂直，證明：由于為坐標(biāo)原點，所以，由得：，因為點N是AB的中點，點M是的中點，，；（2）由兩點距離公式得：，；（3）直線與直線不垂直，理由：由（1）中各點坐標(biāo)得：，，與不垂直，所以直線與直線不垂直.《1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（1）-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分別是直線l1,l2的方向向量,若l1∥l2,則()A.x=6,y=15 B.x=3,y=152C.x=3,y=15 D.x=6,y=2.設(shè)a=(3,-2,-1)是直線l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的法向量,則()A.l⊥α B.l∥αC.l∥α或l?αD.l⊥α或l?α3.設(shè)α,β是不重合的兩個平面,α,β的法向量分別為n1,n2,l和m是不重合的兩條直線,l,m的方向向量分別為e1,e2,那么α∥β的一個充分條件是()A.l?α,m?β,且e1⊥n1,e2⊥n2B.l?α,m?β,且e1∥e2C.e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2D.e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e24.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定5．（多選題）若直線l的方向向量為m,平面α的法向量為n,則不可能使l∥α的是()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1) C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)6．（多選題）在如圖所示的坐標(biāo)系中,為正方體,則下列結(jié)論中正確的是()A.直線的一個方向向量為(0,0,1);B.直線的一個方向向量為(0,1,1);C.平面的一個法向量為(0,1,0);D.平面的一個法向量為(1,1,1).二、填空題7.已知直線l∥平面ABC,且l的一個方向向量為a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),則實數(shù)m的值是.

8.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=-1,y,12,已知α∥9．在平面中，，，，若，且為平面的法向量，則_______，.

10.已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),平面ABC的單位法向量為..三、解答題11．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一個法向量n.12.在三棱錐O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC兩兩垂直,試找出一點D,使BD∥AC,DC∥AB.《1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（1）-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分別是直線l1,l2的方向向量,若l1∥l2,則()A.x=6,y=15 B.x=3,y=152C.x=3,y=15 D.x=6,y=【答案】D【解析】由題意,有a∥b,則32=x4=y52.設(shè)a=(3,-2,-1)是直線l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的法向量,則()A.l⊥α B.l∥αC.l∥α或l?αD.l⊥α或l?α【答案】C【解析】∵a·n=0,∴a⊥n,可知l∥α或l?α.3.設(shè)α,β是不重合的兩個平面,α,β的法向量分別為n1,n2,l和m是不重合的兩條直線,l,m的方向向量分別為e1,e2,那么α∥β的一個充分條件是()A.l?α,m?β,且e1⊥n1,e2⊥n2B.l?α,m?β,且e1∥e2C.e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2D.e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e2【答案】C【解析】對于C,有n1∥n2,則α∥β.故選C.4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定【答案】B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由圖可知平面BB1C1C的法向量n=(0,1,0).∵A1M=AN=2a3,∴Ma,2a3,a3,N2a3,2a3,a,5．（多選題）若直線l的方向向量為m,平面α的法向量為n,則不可能使l∥α的是()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1) C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)【答案】ABC【解析】若l∥α,則需m⊥n,即m·n=0,根據(jù)選擇項驗證可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故選A,B,C.6．（多選題）在如圖所示的坐標(biāo)系中,為正方體,則下列結(jié)論中正確的是()A.直線的一個方向向量為(0,0,1);B.直線的一個方向向量為(0,1,1);C.平面的一個法向量為(0,1,0);D.平面的一個法向量為(1,1,1).【答案】ABC【解析】DD1∥AA1,=(0,0,1)，故A正確；BC1∥AD1,=(0,1,1),故B正確；直線AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0).故C正確；點C1的坐標(biāo)為(1,1,1),與平面B1CD不垂直,故D錯.二、填空題7.已知直線l∥平面ABC,且l的一個方向向量為a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),則實數(shù)m的值是.

【答案】-3【解析】∵直線l∥平面ABC,∴存在實數(shù)x,y,使a=xAB+yAC,AB=(1,0,-1),AC=(0,1,∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴2=x,m=8.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=-1,y,12,已知α∥【答案】15【解析】因為α∥β,所以u∥v.則x-1=1y=-9．在平面中，，，，若，且為平面的法向量，則_______，.

【答案】1；0【解析】，，與平面ABC垂直的向量應(yīng)與上面的向量的數(shù)量積為零，向量=（﹣1，y，z），且為平面ABC的法向量，則⊥且⊥，即?=0，且?=0，即﹣1+y+0=0且1﹣y﹣2z=0，即.10.已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),平面ABC的單位法向量為..【答案】15【解析】AB=(4,2,-2),AC=(2,4,-2),設(shè)n=(x,y,z)是平面ABC的單位法向量,則有|n|2=1,n·AB=0,n·AC=0?x三、解答題11．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一個法向量n.【答案】見解析【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).設(shè)平面ACD1的法向量n=(x,y,z).∵AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),又∵n為平面∴n·AC=0,令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一個法向量n=(1,1,1).12.在三棱錐O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC兩兩垂直,試找出一點D,使BD∥AC,DC∥AB.【答案】見解析【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),設(shè)所求點D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB?BD∥因此(即點D的坐標(biāo)為(-1,1,2).《1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（2）-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A． B．C． D．與斜交2．若平面，的法向量分別為，，則（）A． B．C．，相交但不垂直 D．以上均不正確3．空間直角坐標(biāo)中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．無法確定4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則(A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面5．（多選題）已知v為直線l的方向向量,n1,n2分別為平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列說法中,正確的有()A.n1∥n2?α∥β B.n1⊥n2?α⊥βC.v∥n1?l∥α D.v⊥n1?l⊥α6．（多選題）在菱形ABCD中,若PA是平面ABCD的法向量,則以下等式中一定成立的是()A.PA·AB=0 B.PC·BD=0C.PC·AB二、填空題7．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則______,______．8.已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),點P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,則點P的坐標(biāo)為.

9.如圖所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD,則a的值等于.

10．如圖，正四棱柱的底面邊長為4，記，，若，則此棱柱的體積為______．三、解答題11.如圖所示,△ABC是一個正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求證:平面DEA⊥平面ECA.12.如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點,AC=BC=BB1.求證:(1)BC1⊥AB1;(2)BC1∥平面CA1D.《1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（2）-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A． B．C． D．與斜交【答案】B【解析】∵，，∴，即.∴.2．若平面，的法向量分別為，，則（）A． B．C．，相交但不垂直 D．以上均不正確【答案】C【解析】分別是平面的法向量，且，與不垂直，與不垂直.又與不共線，與不平行.與相交但不垂直.故選：.3．空間直角坐標(biāo)中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．無法確定【答案】A【解析】∵空間直角坐標(biāo)系中，A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），∴=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），∴=﹣2，∴直線AB與CD平行．故選：A．4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則(A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面【答案】B【解析】建立分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系(圖略),不妨設(shè)正方體的棱長為1,則DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0),E(13,0,13),F(23,1,∴EF·DA1=0,EF·AC=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.又BD1=(-1,-1,1),∴BD15．（多選題）已知v為直線l的方向向量,n1,n2分別為平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列說法中,正確的有()A.n1∥n2?α∥β B.n1⊥n2?α⊥βC.v∥n1?l∥α D.v⊥n1?l⊥α【答案】AB【解析】∵平面α,β不重合,∴平面α,β的法向量平行(垂直)等價于平面α,β平行(垂直),∴AB正確;直線l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等價于直線l垂直(平行)于平面α,∴CD都錯誤.故選AB.6．（多選題）在菱形ABCD中,若PA是平面ABCD的法向量,則以下等式中一定成立的是()A.PA·AB=0 B.PC·BD=0C.PC·AB【答案】ABD【解析】∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又AC⊥BD,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∵PC?平面PAC,∴PC⊥BD.故ABD成立.二、填空題7．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則______,______．【答案】【解析】，，且，，，解得，.8.已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),點P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,則點P的坐標(biāo)為.

【答案】(-1,0,2)【解析】由題意得PA=(-x,1,-z),AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),由PA⊥AB,得PA·AB=x-由PA⊥AC,得PA·AC=-2x-z=0,解得x=-9.如圖所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD,則a的值等于.

【答案】2【解析】以A為原點,建立如圖所示坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),設(shè)Q(1,x,0),P(0,0,z),PQ=(1,x,-z),QD=(-1,a-x,0).由PQ·QD=0,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.當(dāng)Δ=a2-4=0,即a=2時,點Q10．如圖，正四棱柱的底面邊長為4，記，，若，則此棱柱的體積為______．【答案】【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，則，，，，，，，，即．此棱柱的體積為．三、解答題11.如圖所示,△ABC是一個正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求證:平面DEA⊥平面ECA.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,不妨設(shè)CA=2,則CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以EA=(3,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,-1).分別設(shè)平面ECA與平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),則n解得y即3x2不妨取n1=(1,-3,0),n2=(3,1,2),因為n1·n2=0,所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA.12.如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點,AC=BC=BB1.求證:(1)BC1⊥AB1;(2)BC1∥平面CA1D.【解析】如圖,以C1點為原點,C1A1,C1B1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC=BC=BB1=2,則A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)因為BC1=(0,-2,-2),AB1=(所以BC1·AB1=0因此BC1⊥AB1,故(2)由于CA1=(2,0,-2),CD若設(shè)BC1=xCA1+yCD即BC1=CA1-2CD,所以BC1《1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(1)-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1.若O為坐標(biāo)原點,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),則線段AB的中點P到點C的距離為()A.1652 B.214 C.53 D.2.已知平面α的一個法向量n=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則平面α外的點P(-2,1,4)到平面α的距離為()A.10 B.3 C.83 D.3．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點A到直線BC的距離為（）A． B．1 C． D．24.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中點,則點A1到平面MBD的距離是()A.6a6 B.3a65．已知空間直角坐標(biāo)系中有一點，點是平面內(nèi)的直線上的動點，則，兩點的最短距離是（）A． B． C． D．6．（多選題）在正方體中，，分別是和的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．平面 B．平面C． D．點與點到平面的距離相等二、填空題7．空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)是______，______.8.如圖,P為矩形ABCD所在平面外一點,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,則點P到直線BD的距離為.

9.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,M,N,E,F分別為A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中點,則平面AMN與平面EFBD的距離為.

10．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝，E為BC中點，F(xiàn)在棱PD上，AF⊥PD，點B到平面AEF的距離為．三、解答題11.四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=4,E是PA的中點,求PC與平面BED的距離,并說明直線PC上各點到平面BED的距離間的關(guān)系.12.如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．《1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(1)-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1.若O為坐標(biāo)原點,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),則線段AB的中點P到點C的距離為()A.1652 B.214 C.53 D.【答案】D【解析】∵OP=12(OA+OB)∴PC=OC-OP=-22.已知平面α的一個法向量n=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則平面α外的點P(-2,1,4)到平面α的距離為()A.10 B.3 C.83 D.【答案】D【解析】由題意可知PA=(1,2,-4).設(shè)點P到平面α的距離為h,則h=|PA3．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點A到直線BC的距離為（）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴點A到直線BC的距離為：d＝||＝1×＝．4.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中點,則點A1到平面MBD的距離是()A.6a6 B.3a6【答案】A【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),Ma,0,a2,B(a,a,0),A1∴DM=a,0,a2,DB=(a,a,0設(shè)平面MBD的法向量為n=(x,y,z),則n令x=1,則y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).∴點A1到平面MBD的距離d=|D5．已知空間直角坐標(biāo)系中有一點，點是平面內(nèi)的直線上的動點，則，兩點的最短距離是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為點是平面內(nèi)的直線上的動點,所以可設(shè)點，由空間兩點之間的距離公式,得,令,當(dāng)時,的最小值為,所以當(dāng)時,的最小值為,即兩點的最短距離是,故選B.6．（多選題）在正方體中，，分別是和的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．平面 B．平面C． D．點與點到平面的距離相等【答案】AC【解析】對A,因為,分別是和的中點故,故平面成立.對B,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體邊長為2則，.故.故不互相垂直.又屬于平面.故平面不成立.對C,同B空間直角坐標(biāo)系有,.故成立.對D,點與點到平面的距離相等則點與點中點在平面上.連接易得平面即平面.又點與點中點在上,故點不在平面上.故D不成立.故選AC二、填空題7．空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)是______，______.【答案】；【解析】①空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)分別與的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)互為相反數(shù)即；②利用空間直角坐標(biāo)系中兩點距離公式即可求得.故答案為：①；②8.如圖,P為矩形ABCD所在平面外一點,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,則點P到直線BD的距離為.

【答案】135【解析】如圖,分別以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),∴點P到直線BDd=|PB|2-PB·BD|BD9.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,M,N,E,F分別為A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中點,則平面AMN與平面EFBD的距離為.

【答案】83【解析】如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).∴EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),∴EF=∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩AM=M.∴平面AMN∥平面EFBD.設(shè)n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,則n·MN取z=1,則x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).平面AMN到平面EFBD的距離就是點B到平面EFBD的距離.∵AB=(0,4,0),∴平面AMN與平面EFBD間的距離d=|n10．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝，E為BC中點，F(xiàn)在棱PD上，AF⊥PD，點B到平面AEF的距離為．【答案】【解析】∵四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，∴以A為原點，AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵AB＝2，PA＝，E為BC中點，F(xiàn)在棱PD上，AF⊥PD，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），E（），P（0，0，），D（0，2，0），設(shè)F（a，b，c），，則（a，b，c﹣）＝（0，2λ，﹣），解得a＝0，b＝2λ，c＝，∴＝（0，2λ，），＝（0，2，﹣），∵AF⊥PD，∴＝4λ﹣，解得λ＝，∴＝（），＝（），＝（0，，），設(shè)平面AEF的法向量＝（x，y，z），則，取y＝，得＝（0，），∴點B到平面AEF的距離為：d＝＝．三、解答題11.四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=4,E是PA的中點,求PC與平面BED的距離,并說明直線PC上各點到平面BED的距離間的關(guān)系.【解析】以A為原點,AB所在直線為x軸,△ACD中CD邊上的高AF所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則F為CD的中點,A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,23,0),C(2,23,0),D(-2,23,0),P(0,0,4),E(0,0,2).設(shè)平面BED的一個法向量為n=(x,y,z),由BE=(-4,0,2),DE=(2,-23,2),得n·BE取z=2,則x=1,y=3,得n=(1,3,2).∵PC=(2,23,-4),∴n·PC=2+6-8=0,∴n⊥PC,故PC∥平面BED,∴PC到平面BED的距離就是點P到平面BED的距離.∵EP=(0,0,2),∴點P到平面BED的距離d=|EP即PC到平面BED的距離為2,且直線PC上各點到平面BED的距離都相等.12.如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．【解析】解法一：證明：（1）連結(jié)B1C，ME，∵M(jìn)，E分別是BB1，BC的中點，∴ME∥B1C，又N為A1D的中點，∴ND＝A1D，由題設(shè)知A1B1DC，∴B1CA1D，∴MEND，∴四邊形MNDE是平行四邊形，MN∥ED，又MN?平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．解：（2）過C作C1E的垂線，垂足為H，由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，∴CH⊥平面C1DE，故CH的長即為C到時平面C1DE的距離，由已知可得CE＝1，CC1＝4，∴C1E＝，故CH＝，∴點C到平面C1DE的距離為．解法二：證明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，以D為原點，DA為x軸，DE為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，M（1，，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，，0），C1（﹣1，，4），＝（0，﹣，0），＝（﹣1，），＝（0，），設(shè)平面C1DE的法向量＝（x，y，z），則，取z＝1，得＝（4，0，1），∵?＝0，MN?平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．解：（2）C（﹣1，，0），＝（﹣1，，0），平面C1DE的法向量＝（4，0，1），∴點C到平面C1DE的距離：d＝＝＝．《1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(2)-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1.若平面α的一個法向量為n1=(1,0,1),平面β的一個法向量是n2=(-3,1,3),則平面α與β所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),則直線AB和直線CD所成角的余弦值為()A.52266 B.-52266C.3.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,則AA1與平面AB1C1所成角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°4．在底面為銳角三角形的直三棱柱中，是棱的中點，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A． B． C． D．5．（多選題）正三棱柱中，，則（）A．與底面的成角的正弦值為B．與底面的成角的正弦值為C．與側(cè)面的成角的正弦值為D．與側(cè)面的成角的正弦值為6．（多選題）如圖，已知四棱錐中，平面，底面為矩形，，.若在直線上存在兩個不同點，使得直線與平面所成角都為.則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題7．在直三棱柱中,若，則異面直線與所成的角等于_________.8.已知正方形ABCD所在平面外一點P,PA⊥平面ABCD,若PA=PB,則平面PAB與平面PCD的夾角為_________.9．如圖，在底面邊長均為2，高為1的長方體中，E、F分別為、的中點，則異面直線、所成角的大小為_______；平面與平面所成銳二面角的余弦值為__________.10．設(shè)動點在棱長為1的正方體的對角線上，記.當(dāng)為銳角時，的取值范圍是__________．三、解答題11.如圖所示,四邊形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC與平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夾角的余弦值.12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,且∠BCD=π4,PD⊥(1)求證:PC=PD;(2)若底面ABCD是菱形,PA與平面ABCD所成的角為π6,求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值《1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(2)-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1.若平面α的一個法向量為n1=(1,0,1),平面β的一個法向量是n2=(-3,1,3),則平面α與β所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】D【解析】因為n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α與β所成的角等于90°.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),則直線AB和直線CD所成角的余弦值為()A.52266 B.-52266C.【答案】A【解析】AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),而cosAB,CD=AB·CD|AB||3.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,則AA1與平面AB1C1所成角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】取AB的中點D,連接CD,分別以DA,DC,DE所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,3,3),設(shè)平面AB1C1的法向量為m=(a,b,根據(jù)m·AB1=0,m·AC1=0,解得m=(3,-3,2),cos<m,AA1>=m·AA14．在底面為銳角三角形的直三棱柱中，是棱的中點，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，直三棱柱的底面為銳角三角形，是棱的中點，設(shè)三棱柱是棱長為的正三棱柱，以為原點，在平面中，過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，直線與直線所成的角為，，，直線與平面所成的角為，，平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，二面角的平面角為，由圖可知，為銳角，即，，，由于在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則.故選：A.5．（多選題）正三棱柱中，，則（）A．與底面的成角的正弦值為B．與底面的成角的正弦值為C．與側(cè)面的成角的正弦值為D．與側(cè)面的成角的正弦值為【答案】BC【解析】如圖，取中點，中點，并連接，則，，三條直線兩兩垂直，則分別以這三條直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；設(shè)；則；，，，，1，，，，，，1，；，0，，．底面的其中一個法向量為：，與底面的成角的正弦值為，；錯對．的中點的坐標(biāo)為，，；側(cè)面的其中一個法向量為：；與側(cè)面的成角的正弦值為：，；故對錯；故選：．6．（多選題）如圖，已知四棱錐中，平面，底面為矩形，，.若在直線上存在兩個不同點，使得直線與平面所成角都為.則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】假設(shè)在直線BC上有一點Q，使得直線PQ與平面ABCD所成角為，此時，易得，在中，由于，可得.所以，在直線BC上存在兩個不同點Q，使得直線PQ與平面ABCD所成角都為，等價于在直線BC上有兩個點到點A的距離為，由此可得.故選：ABC二、填空題7．在直三棱柱中,若，則異面直線與所成的角等于_________.【答案】【解析】三棱柱為直三棱柱,且以點為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則,,,，，又異面直線所成的角在異面直線與所成的角等于．8.已知正方形ABCD所在平面外一點P,PA⊥平面ABCD,若PA=PB,則平面PAB與平面PCD的夾角為_________.【答案】【解析】如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA=AB=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴AD=(0,1,0).取PD的中點E,則E0,12,12,∴AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的一個法向量,9．如圖，在底面邊長均為2，高為1的長方體中，E、F分別為、的中點，則異面直線、所成角的大小為_______；平面與平面所成銳二面角的余弦值為__________.【答案】；【解析】以D為原點建立如圖所示空間之間坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)異面直線、所成角的大小為，所以，因為，所以.又，設(shè)平面的一個法向量為：，則，即，令，則，平面一個法向量為：，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以.故答案為：①；②10．設(shè)動點在棱長為1的正方體的對角線上，記.當(dāng)為銳角時，的取值范圍是__________．【答案】【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由得，則，因為為銳角，所以，解得或，又因為動點在棱長為1的正方體的對角線上，所以的取值范圍為.三、解答題11.如圖所示,四邊形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC與平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夾角的余弦值.【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一個法向量為AB=(0,2,0),設(shè)SC與平面ASD所成的角為θ,則sinθ=|cos<SC,AB>|=|SC·AB||SC||AB(2)平面SAB的一個法向量為m=(1,0,0),∵SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),設(shè)平面SCD的一個法向量為n=(x,y,z),由SC·n=0,SD·n=0?x+y-z=0,x-2z=0,令z=12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,且∠BCD=π4,PD⊥(1)求證:PC=PD;(2)若底面ABCD是菱形,PA與平面ABCD所成的角為π6,求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值【解析】(1)如圖①,過P作PE⊥BC,垂足為E,連接DE.圖①因為平面PBC⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.因為PD⊥BC,所以BC⊥平面PDE,所以DE⊥BC.因為∠BCD=π4,所以DE=CE.在△PED和△PECPE=PE,∠PED=∠PEC=90°,DE=CE,所以△PED≌△PEC,所以PD=PC.(2)因為BC⊥平面PDE,PE⊥平面ABCD,所以∠PAE是直線PA與平面ABCD所成的角,即∠PAE=π6,且DE⊥BC,DE⊥設(shè)PE=a,則AE=3a,PA=2a.在△DEC中,設(shè)DE=m,則EC=m,DC=2m,所以在Rt△EDA中,(3a)2=m2+(2m)2,所以m=a.以E為坐標(biāo)原點,ED,EB,EP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系,圖②則D(a,0,0),A(a,2a,0),P(0,0,a),則平面PBC的一個法向量為a=(1,0,0).設(shè)平面PAD的一個法向量為b=(x,y,z),因為AP=(-a,-2a,a),AD=(0,-2a,0),所以-2ay=0,-ax設(shè)平面PAD與平面PBC的夾角為θ,則cosθ=|b所以平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為22《2.1.1傾斜角與斜率-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1．已知直線l：x，則直線l的傾斜角為（）A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系中,一條直線的斜率等于,則此直線的傾斜角等于（）A．30° B．60° C．120° D．150°3．若圖中的直線、、的斜率分別為、、則（）A． B．C． D．4．已知直線的傾斜角為，若，則直線的斜率為（）A． B． C． D．5．（多選題）下列說法中正確的是（）A．若是直線的傾斜角，則B．若是直線的斜率，則C．任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角D．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率6．（多選題）下列說法中，正確的是（）A．直線的傾斜角為，則此直線的斜率為B．一條直線的傾斜角為C．若直線的傾斜角為，則D．任意直線都有傾斜角，且時，斜率為二、填空題7．若直線過點，則此直線的傾斜角是_________.8．直線的一個方向向量，則直線的傾斜角是_____，直線的斜率是______.9．若經(jīng)過兩點、的直線的傾斜角為，則等于____________.10．過點的直線的傾斜角的范圍是，則實數(shù)的取值范圍是___________.三、解答題11．經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．12．已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).(1)當(dāng)m為何值時，直線MN的傾斜角為銳角？(2)當(dāng)m為何值時，直線MN的傾斜角為鈍角？(3)直線MN的傾斜角可能為直角嗎？《2.1.1傾斜角與斜率-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．已知直線l：x，則直線l的傾斜角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，直線l：x，是與x軸垂直的直線，其傾斜角為.故選：B.2．在平面直角坐標(biāo)系中,一條直線的斜率等于,則此直線的傾斜角等于（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【解析】設(shè)此直線的傾斜角為θ,θ∈[0°,180°）,∵tanθ,∴θ＝60°.故選：B.3．若圖中的直線、、的斜率分別為、、則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于直線的傾斜角為鈍角，所以；由于直線的傾斜角為銳角，且的傾斜角小于的傾斜角，所以，所以.故選：A4．已知直線的傾斜角為，若，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，故選C.5．（多選題）下列說法中正確的是（）A．若是直線的傾斜角，則B．若是直線的斜率，則C．任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角D．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率【答案】BD【解析】對A，若是直線的傾斜角，則，故A錯誤；對B，根據(jù)，即正切函數(shù)的值域為實數(shù)，故B正確；對C，因為傾斜角為時沒有斜率，故C錯誤；對D，由傾斜角的定義可得任意一條直線都有傾斜角，由直線的斜率定義可得，傾斜角為的直線，沒有斜率，故D正確；故選：BD.6．（多選題）下列說法中，正確的是（）A．直線的傾斜角為，則此直線的斜率為B．一條直線的傾斜角為C．若直線的傾斜角為，則D．任意直線都有傾斜角，且時，斜率為【答案】CD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于，直線的傾斜角為，當(dāng)時，斜率不存在，錯誤；對于，直線的傾斜角的范圍為，，錯誤；對于，直線的傾斜角的范圍為，，則有，正確；對于，任意直線都有傾斜角，且時，斜率為，正確；故選：.二、填空題7．若直線過點，則此直線的傾斜角是_________.【答案】【解析】直線過點則直線的斜率設(shè)傾斜角為,根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系可得由直線傾斜角可得.8．直線的一個方向向量，則直線的傾斜角是____，直線的斜率是_____.【答案】；【解析】由，設(shè)，則由向量是直線的一個方向向量，則也為直線的一個方向向量.由也為直線的一個方向向量，則直線的斜率為，所以傾斜角為9．若經(jīng)過兩點、的直線的傾斜角為，則等于_______.【答案】【解析】由于直線的傾斜角為，則該直線的斜率為，由斜率公式得，解得，故選D.10．過點的直線的傾斜角的范圍是，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】當(dāng)時，直線的傾斜角為，滿足題意；當(dāng)時，直線的斜率為，或，所以或，解得或.綜上，實數(shù)的取值范圍是.三、解答題11．經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．【解析】(1)存在．直線AB的斜率kAB＝＝1，即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝45°.(2)存在．直線CD的斜率kCD＝＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝135°.(3)不存在．因為xP＝xQ＝－3，所以直線PQ的斜率不存在，傾斜角α＝90°.12．已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).(1)當(dāng)m為何值時，直線MN的傾斜角為銳角？(2)當(dāng)m為何值時，直線MN的傾斜角為鈍角？(3)直線MN的傾斜角可能為直角嗎？【解析】(1)若傾斜角為銳角，則斜率大于0，即k＝＝>0，解得m>－2.(2)若傾斜角為鈍角，則斜率小于0，即k＝＝<0，解得m<－2.(3)當(dāng)直線MN垂直于x軸時直線的傾斜角為直角，此時m＋3＝m－2，此方程無解，故直線MN的傾斜角不可能為直角.《2.1.2兩條直線平行和垂直的判定-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1．下列說法中正確的是()A．若直線與的斜率相等，則B．若直線與互相平行，則它們的斜率相等C．在直線與中，若一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則與定相交D．若直線與的斜率都不存在，則2．過點和點的直線與軸的位置關(guān)系是（）A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直3．已知直線經(jīng)過，兩點，直線的傾斜角為，那么與（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直4．已知的三個頂點坐標(biāo)分別為，，，則其形狀為()A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷5．（多選題）下列說法錯誤的是（）A．平行的兩條直線的斜率一定存在且相等B．平行的兩條直線的傾斜角一定相等C．垂直的兩條直線的斜率之積為一1D．只有斜率都存在且相等的兩條直線才平行6．（多選題）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行，則m的值為()A．1B．0C．2D．-1二、填空題7．已知直線l1的斜率為3，直線l2經(jīng)過點A(1,2)，B(2，a)，若直線l1∥l2，則a＝_____；若直線l1⊥l2，則a＝_______8．直線的傾斜角為，直線過，，則直線與的位置關(guān)系為______.9.已知點A（－2，－5），B（6,6），點P在y軸上，且∠APB＝90°，則點P的坐標(biāo)為.10．已知，，，點滿足，且，則點的坐標(biāo)為______三、解答題11．判斷下列各小題中的直線l1與l2的位置關(guān)系．(1)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點A(10,2)，B(20,3)；(2)l1過點A(3,4)，B(3,100)，l2過點M(－10,40)，N(10,40)；(3)l1過點A(0,1)，B(1,0)，l2過點M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1過點A(－3,2)，B(－3,10)，l2過點M(5，－2)，N(5,5)．12．已知在平行四邊形ABCD中，.（1）求點D的坐標(biāo)；（2）試判斷平行四邊形ABCD是否為菱形.《2.1.2兩條直線平行和垂直的判定-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．下列說法中正確的是()A．若直線與的斜率相等，則B．若直線與互相平行，則它們的斜率相等C．在直線與中，若一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則與定相交D．若直線與的斜率都不存在，則【答案】C【解析】對于A,若直線與的斜率相等，則或與重合；對于B，若直線與互相平行，則它們的斜率相等或者斜率都不存在；對于D，若與的斜率都不存在，則或與重合.2．過點和點的直線與軸的位置關(guān)系是（）A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直【答案】B【解析】兩點的縱坐標(biāo)都等于直線方程為：直線與軸平行.3．已知直線經(jīng)過，兩點，直線的傾斜角為，那么與（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【答案】A【解析】直線經(jīng)過，兩點直線的斜率：直線的傾斜角為直線的斜率：，，.4．已知的三個頂點坐標(biāo)分別為，，，則其形狀為()A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【答案】A【解析】由題意得：；,,,為直角三角形.5．（多選題）下列說法錯誤的是（）A．平行的兩條直線的斜率一定存在且相等B．平行的兩條直線的傾斜角一定相等C．垂直的兩條直線的斜率之積為一1D．只有斜率都存在且相等的兩條直線才平行【答案】ACD【解析】當(dāng)兩直線都與軸垂直時，兩直線平行，但它們斜率不存在．所以A錯誤．由直線傾斜角定義可知B正確，當(dāng)一條直線平行軸，一條平行軸，兩直線垂直，但斜率之積不為-1，所以C錯誤，當(dāng)兩條直線斜率都不存在時，兩直線平行，所以D錯誤，故選B．6．（多選題）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行，則m的值為()A．1B．0C．2D．-1【答案】AB【解析】當(dāng)AB與CD斜率均不存在時，故得m=0，此時兩直線平行；此時AB∥CD，當(dāng)kAB=kCD時，，得到m=1，此時AB∥CD.故選AB．二、填空題7．已知直線l1的斜率為3，直線l2經(jīng)過點A(1,2)，B(2，a)，若直線l1∥l2，則a＝_____；若直線l1⊥l2，則a＝_______【答案】5；.【解析】直線l2的斜率k==a﹣2．（1）∵l1∥l2，∴a﹣2=3，即a＝5（2）∵直線l1⊥l2，∴3k=﹣1，即3（a﹣2）=﹣1，解得a=．8．直線的傾斜角為，直線過，，則直線與的位置關(guān)系為______.【答案】平行或重合【解析】傾斜角為，的斜率，過點，，的斜率，，與平行或重合.9.已知點A（－2，－5），B（6,6），點P在y軸上，且∠APB＝90°，則點P的坐標(biāo)為.【答案】（0，－6）或（0,7）【解析】設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，y）．因為∠APB＝90°，所以AP⊥BP，又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1，所以·＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以點P的坐標(biāo)為（0，－6）或（0,7）．10．已知，，，點滿足，且，則點的坐標(biāo)為______【答案】【解析】設(shè)，則，，，，，解得：，即：三、解答題11．判斷下列各小題中的直線l1與l2的位置關(guān)系．(1)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點A(10,2)，B(20,3)；(2)l1過點A(3,4)，B(3,100)