《1.4空間向量的應(yīng)用》同步練習及答案

《1.3空間向量的應(yīng)用》同步練習一、單選題1．已知兩個異面直線的方向向量分別為，，且||＝||＝1，?，則兩直線的夾角為（）A．B．C．D．2．若平面的法向量分別為，則（）A． B．與相交但不垂直C． D．或與重合3．已知直線的方向向量為,平面的法向量為,則“”是“∥”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在平面ABCD中，，，，若，且為平面ABCD的法向量，則等于（）A．2 B．0 C．1 D．無意義5．（2019·四川省雙流中學高三月考）已知點是正方體的棱的中點，給出以下結(jié)論：①；②；③；④平面其中正確命題的序號是（）A．① B．② C．③ D．④6．如圖，在正方體ABCD-中，以D為原點建立空間直角坐標系，E為B的中點，F(xiàn)為的中點，則下列向量中，能作為平面AEF的法向量的是()A．(1，－2，4)B．(－4,1，－2)C．(2，－2，1)D．(1，2，－2)7．在棱長為2的正方體中，，分別為棱、的中點，為棱上的一點，且，設(shè)點為的中點，則點到平面的距離為（） B． C． D．8．已知直三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．9．過正方形的頂點，作平面，若，則平面和平面所成的銳二面角的大小是A．B．C．D．10．在正方形中，棱，的中點分別為，，則直線EF與平面所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、多選題11．已知ν為直線l的方向向量，,分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列選項中，正確的是（）A． B．C． D．12．正方體的棱長為1，分別為的中點．則（）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點和點到平面的距離相等13．正方體中，E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．平面平面C．面AEF D．二面角的大小為三、填空題14．若平面的一個法向量為，直線l的一個方向向量為，則l與所成角的正弦值為________.15．如圖，在正三棱柱中，分別是的中點.設(shè)是線段上的（包括兩個端點）動點，當直線與所成角的余弦值為，則線段的長為_______．16．正方體中，分別是的中點，則與直線所成角的大小為______；與對角面所成角的正弦值是__________．17．已知正方體的棱長為，點E，F(xiàn)，G分別為棱AB，，的中點，下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是___________.①過E，F(xiàn)，G三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形；②平面EFG；③平面；④異面直線EF與所成角的正切值為；⑤四面體的體積等于.四、解答題18．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點．（1）求證：；（2）求證：平面.19．如圖，在棱長為2的正方體中E，F(xiàn)分別為AB，的中點.（1）求；（2）求證：平面20.如圖，在直三棱柱中，，，，，點是的中點．（1）求異面直線與所成的角；（2）求證：平面．21．如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.22．直四棱柱中，，，E、F分別為棱AB、上的點，，.求證：（1）平面；（2）線段AC上是否存在一點G，使面面.若存在，求出AG的長；若不存在，請說明理由.23．如圖，在底面是正方形的四棱錐中，平面，，是的中點.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.答案解析一、單選題1．已知兩個異面直線的方向向量分別為，，且||＝||＝1，?，則兩直線的夾角為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)兩直線的夾角為θ，則由題意可得1×1×cos，，∴cos，，∴，，∴θ，故選：．2．若平面的法向量分別為，則（）A． B．與相交但不垂直C． D．或與重合【答案】D【解析】因為，所以平面的法向量共線，故或與重合.故選：D.3．已知直線的方向向量為,平面的法向量為,則“”是“∥”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】,即,不一定有∥,也可能“”是“∥”的不充分條件∥,可以推出,“”是“∥”是必要條件,綜上所述,“”是“∥”必要不充分條件.故選:B.4．在平面ABCD中，，，，若，且為平面ABCD的法向量，則等于（）A．2 B．0 C．1 D．無意義【答案】C【解析】由題得，，，又為平面ABCD的法向量，則有，即，則，那么.故選：C5．已知點是正方體的棱的中點，給出以下結(jié)論：①；②；③；④平面其中正確命題的序號是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】設(shè)正方體邊長為2,建立如圖空間直角坐標系.則.對①,,因為,故①錯誤.對②,,因為,故②錯誤.對③,,因為,故③正確.對④,由②有不成立,故平面不成立.故④錯誤.故選：C6．如圖，在正方體ABCD-中，以D為原點建立空間直角坐標系，E為B的中點，F(xiàn)為的中點，則下列向量中，能作為平面AEF的法向量的是()A．(1，－2，4) B．(－4,1，－2)C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)【答案】B【解析】設(shè)正方體棱長為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），F(xiàn)（1，0，2），∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2）設(shè)向量=（x，y，z）是平面AEF的一個法向量則，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一個法向量因此可得：只有B選項的向量是平面AEF的法向量故選：B．7．在棱長為2的正方體中，，分別為棱、的中點，為棱上的一點，且，設(shè)點為的中點，則點到平面的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，則M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F(xiàn)（2，2，1），＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），設(shè)平面D1EF的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，0，2），∴點M到平面D1EF的距離為：d＝，N為EM中點，所以N到該面的距離為，選D．8．已知直三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】立空間坐標系如圖，設(shè)邊長為2，得到A（2，0，0），（1，，2），B（1，，0），（0，0，2）向量設(shè)異面直線夾角為，則故答案為C9．過正方形的頂點，作平面，若，則平面和平面所成的銳二面角的大小是A． B．C． D．【答案】B【解析】法一：建立如圖(1)所示的空間直角坐標系，不難求出平面APB與平面PCD的法向量分別為n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為＝，故所求的二面角的大小是45°.法二：將其補成正方體．如圖(2)，不難發(fā)現(xiàn)平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小為45°.10．在正方形中，棱，的中點分別為，，則直線EF與平面所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，則，，，平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，，則．所以直線與平面所成角的余弦值為．故選：．二、多選題11．已知ν為直線l的方向向量，,分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列選項中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】A選項，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等價于平面α，β平行，正確；B選項，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等價于平面α，β垂直，正確；C選項，直線的方向向量平行于平面的法向量等價于直線垂直于平面，錯誤；D選項，直線的方向向量垂直于平面的法向量等價于直線平行于平面或直線在平面內(nèi)，錯誤.故選：AB12．正方體的棱長為1，分別為的中點．則（）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點和點到平面的距離相等【答案】BC【解析】對選項A：（方法一）以點為坐標原點，、、所在的直線分別為、、軸，建立空間直角坐標系，則、、、、、.從而，，從而，所以與直線不垂直，選項A錯誤；（方法二）取的中點，連接，則為直線在平面內(nèi)的射影，與不垂直，從而與也不垂直，選項A錯誤；取的中點為，連接、，則，，易證，從而，選項B正確；對于選項C，連接，，易知四邊形為平面截正方體所得的截面四邊形（如圖所示），且，，所以，而，從而選項C正確；對于選項D：（方法一）由于，而，而，，所以，即，點到平面的距離為點到平面的距離的二倍.從而D錯誤.（方法二）假設(shè)點與點到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過的中點，連接交于點，易知不是的中點，故假設(shè)不成立，從而選項D錯誤.13．正方體中，E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．平面平面C．面AEF D．二面角的大小為【答案】BC【解析】由題可知，在底面上的射影為，而不垂直，則不垂直于，則選項不正確；連接和，E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點，可知，所以平面，則平面平面，所以選項正確；由題知，可設(shè)正方體的棱長為2，以為原點，為軸，為軸，為軸，則各點坐標如下：，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，得平面的法向量為，所以，所以平面，則選項正確；由圖可知，平面，所以是平面的法向量，則.得知二面角的大小不是，所以不正確.故選：BC.三、填空題14．若平面的一個法向量為，直線l的一個方向向量為，則l與所成角的正弦值為________.【答案】【解析】由題，設(shè)l與所成角為，可得.故答案為：15．如圖，在正三棱柱中，分別是的中點.設(shè)是線段上的（包括兩個端點）動點，當直線與所成角的余弦值為，則線段的長為_______．【答案】【解析】以E為原點，EA,EC為x,y軸建立空間直角坐標系，如下圖．解得t=1，所以，填．點睛：利用空間向量求解空間角與距離的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.16．正方體中，分別是的中點，則與直線所成角的大小為______；與對角面所成角的正弦值是__________．【答案】【解析】如圖所示建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的邊長為，則，，，，故，.故，故與直線所成角的大小為.易知對角面的一個法向量為，設(shè)與對角面所成角為，故.故答案為：；.17．已知正方體的棱長為，點E，F(xiàn)，G分別為棱AB，，的中點，下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是___________.①過E，F(xiàn)，G三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形；②平面EFG；③平面；④異面直線EF與所成角的正切值為；⑤四面體的體積等于.【答案】①③④【解析】延長EF分別與，的延長線交于N，Q，連接GN交于H，設(shè)HG與的延長線交于P，連接PQ交于，交BC于M，連FH，HG，GI，IM，ME,,如圖:則截面六邊形EFHGIM為正六邊形，故①正確：因為與HG相交，故與平面EFG相交，所以②不正確：(三垂線定理)，(三垂線定理)，且AC與相交，所以平面，故③正確；以為原點,分別為軸建立空間直角坐標系,則,則,,所以,所以,所以,所以異面直線EF與的夾角的正切值為，故④正確；因為四面體的體積等于正方體的體積減去四個正三棱錐的體積，即為，故⑤不正確．故答案為：①③④四、解答題18．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點．（1）求證：；（2）求證：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】三棱柱為直三棱柱平面，又，則兩兩互相垂直，可建立如下圖所示的空間直角坐標系則，，，，，（1），（2）由題意知：是平面的一個法向量，平面平面19．如圖，在棱長為2的正方體中E，F(xiàn)分別為AB，的中點.（1）求；（2）求證：平面【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由題知,,,∴,∴（2）由題知,,,∴,∴,故,又平面,平面∴EF∥平面.20.如圖，在直三棱柱中，，，，，點是的中點．（1）求異面直線與所成的角；（2）求證：平面．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）因為，，，所以，所以是直角三角形，所以，所以因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，所以，以為原點，分別以、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，4，，，0，所以直線的方向向量為，直線的方向向量為，設(shè)異面直線與所成的角為，因為，所以，所以異面直線與所成的角為．（2）由（1）可知，，4，，則，設(shè)平面的法向量為，則，所以令，則，，所以直線的方向向量為，因為，平面，所以平面．21．如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點.（1）求直線與平面所成角的正弦值