《2.4圓的方程》同步練習(xí)及答案

《2.4圓的方程》同步練習(xí)一、單選題1．曲線(xiàn)方程表示一個(gè)圓的充要條件為（）A． B． C． D．2．圓心在上，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．3．設(shè)則以線(xiàn)段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．4．圓心為且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是（）A．B．C．D．5．已知點(diǎn)，，，則外接圓的圓心坐標(biāo)為()A． B． C． D．6．若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線(xiàn)和軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．7．已知圓M與直線(xiàn)和都相切，圓心在直線(xiàn)上，則圓的方程為（）A． B．C． D．8．已知圓，點(diǎn)，內(nèi)接于圓，且，當(dāng)，在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，中點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．9．已知圓過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的最大值為（）A．100 B．25 C．50 D．10．已知2，，成等差數(shù)列，則圓：上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為（）A．1 B．2 C．5 D．二、多選題11．圓（）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)12．已知點(diǎn)，直線(xiàn)，下列結(jié)論正確的是（）A．恒過(guò)定點(diǎn)B．（為坐標(biāo)原點(diǎn)）C．到直線(xiàn)的距離有最小值，最小值為3D．到直線(xiàn)的距離有最大值，最大值為513．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái),人們將這個(gè)圓以他的名字命名,稱(chēng)為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的軌跡為,下列結(jié)論正確的是（）A．的方程為B．在軸上存在異于的兩定點(diǎn),使得C．當(dāng)三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí),射線(xiàn)是的平分線(xiàn)D．在上存在點(diǎn),使得三、填空題14．圓關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圓的方程為_(kāi)____.15．方程表示圓C中，則圓C面積的最小值等于_____.16．已知點(diǎn)，，是圓上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________17．（已知圓心在直線(xiàn)上的圓與軸的正半軸相切，且截軸所得的弦長(zhǎng)為，則圓的方程為_(kāi)_____，則點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離最大值為_(kāi)_____.四、解答題18．求過(guò)點(diǎn)A(0,6)且與圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原點(diǎn)的圓的方程．19．已知一個(gè)圓與軸相切，在直線(xiàn)上截得弦長(zhǎng)為2，且圓心在直線(xiàn)上，求此圓的方程.20．已知圓：，圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，圓心在第二象限，半徑為.（1）求圓的方程；（2）直線(xiàn)與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，求直線(xiàn)的方程.21．已知圓P過(guò).（1）求圓P的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l被圓P所截得的弦長(zhǎng)為8，求直線(xiàn)l的方程.22．圓C過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)上.（1）求圓C的方程；（2）P為圓C上的任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，求線(xiàn)段中點(diǎn)M的軌跡方程.23．已知圓C的圓心在直線(xiàn)上，并且與x軸的交點(diǎn)分別為.（1）求圓C的方程；（2）若直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)，直線(xiàn)l交圓C于M，N，求的面積.答案解析一、單選題1．曲線(xiàn)方程表示一個(gè)圓的充要條件為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】表示圓的充要條件是，即.故選：C．2．圓心在上，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】圓心在上，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：故選：B3．設(shè)則以線(xiàn)段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，圓半徑為，圓方程為.故選：.4．圓心為且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)圓的方程為，且圓過(guò)原點(diǎn)，即，得，所以圓的方程為.故選D.5．已知點(diǎn)，，，則外接圓的圓心坐標(biāo)為()A． B． C． D．【答案】A【解析】線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線(xiàn)段斜率為，所以線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的斜率為，故線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，即.線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線(xiàn)段斜率為，所以線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的斜率為，故線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，即.由.所以外接圓的圓心坐標(biāo)為.故選：A6．若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線(xiàn)和軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），由圓與直線(xiàn)4x-3y=0相切，可得圓心到直線(xiàn)的距離d=，化簡(jiǎn)得：|4a-3b|=5①，又圓與x軸相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-（舍去），∴圓心坐標(biāo)為（2，1），則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）2+（y-1）2=1．故選A7．已知圓M與直線(xiàn)和都相切，圓心在直線(xiàn)上，則圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】到兩直線(xiàn)及的距離都相等的直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程組，解得.兩平行線(xiàn)之間的距離為，所以，半徑為，從而圓的方程為.選.8．已知圓，點(diǎn)，內(nèi)接于圓，且，當(dāng)，在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，中點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)中點(diǎn)為，圓心角等于圓周角的一半，，，在直角三角形中，由，故中點(diǎn)的軌跡方程是：，如圖，由的極限位置可得，.故選：D9．已知圓過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的最大值為（）A．100 B．25 C．50 D．【答案】D【解析】設(shè)圓的方程為，將代入可得，，解得.故圓的一般方程為，即，故的面積.面積的最大值為.故選：.10．已知2，，成等差數(shù)列，則圓：上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為（）A．1 B．2 C．5 D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，成等差數(shù)列，所以，可得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，圓心，則圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大值為.故選：C二、多選題11．圓（）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)【答案】ABC【解析】，所以圓心的坐標(biāo)為.A：圓是關(guān)于圓心對(duì)稱(chēng)的中心對(duì)稱(chēng)圖形，而點(diǎn)是圓心，所以本選項(xiàng)正確；B：圓是關(guān)于直徑對(duì)稱(chēng)的軸對(duì)稱(chēng)圖形，直線(xiàn)過(guò)圓心，所以本選項(xiàng)正確；C：圓是關(guān)于直徑對(duì)稱(chēng)的軸對(duì)稱(chēng)圖形，直線(xiàn)過(guò)圓心，所以本選項(xiàng)正確；D：圓是關(guān)于直徑對(duì)稱(chēng)的軸對(duì)稱(chēng)圖形，直線(xiàn)不過(guò)圓心，所以本選項(xiàng)不正確.故選：ABC12．已知點(diǎn)，直線(xiàn)，下列結(jié)論正確的是（）A．恒過(guò)定點(diǎn)B．（為坐標(biāo)原點(diǎn)）C．到直線(xiàn)的距離有最小值，最小值為3D．到直線(xiàn)的距離有最大值，最大值為5【答案】ABD【解析】直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，故A正確；，故B正確；點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，位置如圖：由圖可知，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小值為0，當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離最大，最大值為4，所以到直線(xiàn)的距離有最大值，最大值為5.故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.13．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái),人們將這個(gè)圓以他的名字命名,稱(chēng)為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的軌跡為,下列結(jié)論正確的是（）A．的方程為B．在軸上存在異于的兩定點(diǎn),使得C．當(dāng)三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí),射線(xiàn)是的平分線(xiàn)D．在上存在點(diǎn),使得【答案】BC【解析】設(shè)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)整理得，即，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，,要證PO為角平分線(xiàn)，只需證明，即證，化簡(jiǎn)整理即證，設(shè)，則，，則證，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè),由可得，整理得，而點(diǎn)M在圓上，故滿(mǎn)足，聯(lián)立解得，無(wú)實(shí)數(shù)解，于是D錯(cuò)誤.故答案為BC.三、填空題14．圓關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圓的方程為_(kāi)____.【答案】【解析】的圓心為，關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)設(shè)為，則有:，解得，所以對(duì)稱(chēng)后的圓心為，故所求圓的方程為.故答案為：15．方程表示圓C中，則圓C面積的最小值等于________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，半徑最小為，故面積為故答案為16．已知點(diǎn)，，是圓上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，則又因?yàn)?，則，故，，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增.則的最小值為，故的最小值為.故答案為：17．已知圓心在直線(xiàn)上的圓與軸的正半軸相切，且截軸所得的弦長(zhǎng)為，則圓的方程為_(kāi)_____，則點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離最大值為_(kāi)_____.【答案】8【解析】設(shè)圓的方程為由題意可得，解得，所以圓的方程為；設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為，則點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離最大值為.故答案為：；8四、解答題18．求過(guò)點(diǎn)A(0,6)且與圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原點(diǎn)的圓的方程．【答案】(x－3)2＋(y－3)2＝18.【解析】設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．由題意得解得∴圓的方程為(x－3)2＋(y－3)2＝18.點(diǎn)睛：確定圓的方程方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，從而求出的值；②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進(jìn)而求出D、E、F的值．19．已知一個(gè)圓與軸相切，在直線(xiàn)上截得弦長(zhǎng)為2，且圓心在直線(xiàn)上，求此圓的方程.【答案】，【解析】設(shè)圓的方程為：，則：，，，所以或，因此圓的方程為：，.20．已知圓：，圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，圓心在第二象限，半徑為.（1）求圓的方程；（2）直線(xiàn)與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，求直線(xiàn)的方程.【答案】（1）（2）或.或【解析】分析：（1）通過(guò)圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，可知圓心在直線(xiàn)上，再結(jié)合半徑為，得到關(guān)于的方程組，求解方程組，選擇在第二象限中的根，即可求得圓的方程；（2）分截距為零和不為零兩種情況討論，利用圓心到直線(xiàn)距離等于半徑求解直線(xiàn)方程。詳解：（1）由知圓心的坐標(biāo)為，圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，則，又，圓心在第二象限，，，所求圓的方程為（2）當(dāng)切線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零時(shí)，可設(shè)的方程為，圓的方程可化為，圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑，即，，或當(dāng)切線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距為零，設(shè)，求得：所求切線(xiàn)方程或或21．已知圓P過(guò).（1）求圓P的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l被圓P所截得的弦長(zhǎng)為8，求直線(xiàn)l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）設(shè)圓P的方程為：.∵A，B，C都在圓上，∴，解得.∴所求圓P的方程為.（2）由，知圓心，半徑，由直線(xiàn)l被圓p截得的弦長(zhǎng)為8，得圓心距當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l方程為：，即，∴圓心P到直線(xiàn)l距離，化簡(jiǎn)得，則.∴直線(xiàn)l方程為：，即當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，直線(xiàn)l方程為，代入圓方程得，解得，∴弦長(zhǎng)仍為8，滿(mǎn)足題意.綜上，直線(xiàn)l的方程為或22．圓C過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)上.（1）求圓C的方程；（2）P為圓C上的任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，求線(xiàn)段中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直線(xiàn)的斜率，所以的垂直平分線(xiàn)m的斜率為1.的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為，.因此，直線(xiàn)m的方程為.即.又圓心在直線(xiàn)上，所以圓心是直線(xiàn)m與直線(xiàn)的交點(diǎn).聯(lián)立方程組，解得所以圓心坐標(biāo)為，又半徑，則所求圓的方程是.（