2023-2024學(xué)年甘肅省涇川縣第三中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年甘肅省涇川縣第三中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．32．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1500石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得250粒內(nèi)夾谷30粒，則這批米內(nèi)夾谷約為多少石？A．180 B．160 C．90 D．3603．某高中三個(gè)年級(jí)共有3000名學(xué)生，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從高一、高二、高三年級(jí)的全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為30的樣本進(jìn)行視力健康檢查，若抽到的高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)與高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比為3∶2，抽到高三年級(jí)學(xué)生10人，則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為（）A．600 B．800 C．1000 D．12004．的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，則原的面積為（）A． B．1 C． D．25．在ΔABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A=π3，B=π4，A．23 B．2 C．3 D．6．如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點(diǎn)C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，M,N分別為VA,VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．MN//AB B．平面VAC⊥平面VBCC．MN與BC所成的角為45° D．OC⊥平面VAC7．在數(shù)列{an}中，若a1，且對(duì)任意的n∈N*有，則數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．8．直線的傾斜角的大小為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)和的定義域都是，則它們的圖像圍成的區(qū)域面積是（）A． B． C． D．10．已知圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面圓周長(zhǎng)為，則它的體積是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，且與垂直，則的值為______.12．設(shè)三棱錐滿足，，則該三棱錐的體積的最大值為____________.13．在正四面體中，棱與所成角大小為________.14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問題：在平面上給定兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足（其中和是正常數(shù)，且），則的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，該圓的半徑為__________．15．函數(shù)的最小正周期為______________.16．若實(shí)數(shù)滿足，，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．18．共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場(chǎng)所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)+”，符合“低碳出行”的理念，已越來(lái)越多地引起了人們的關(guān)注.某部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了50人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)査，并將問卷中的這50人根據(jù)其滿意度評(píng)分值（百分制）按照分成5組，請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：頻率分布表組別分組頻數(shù)頻率第1組80.16第2組▆第3組200.40第4組▆0.08第5組2合計(jì)▆▆（1）求的值；（2）若在滿意度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求所抽取的2人中至少一人來(lái)自第5組的概率.19．如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（三條邊，是直角頂點(diǎn)）來(lái)處理污水，管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點(diǎn)，分別落在線段上，已知米，米，記.(1)試將污水凈化管道的總長(zhǎng)度（即的周長(zhǎng)）表示為的函數(shù)，并求出定義域；(2)問取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的總長(zhǎng)度.20．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為等邊三角形，且平面平面.為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的平面交于.（1）求證：平面；（2）若時(shí)，求二面角的余弦值.21．在中，角的平分線交于點(diǎn)D，是面積的倍.（I）求的值；（II）若，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】，則，所以，元素個(gè)數(shù)為2個(gè)。故選C。2、A【解析】

根據(jù)數(shù)得250粒內(nèi)夾谷30粒，根據(jù)比例，即可求得結(jié)論?！驹斀狻吭O(shè)批米內(nèi)夾谷約為x石，則，解得：選A?！军c(diǎn)睛】此題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，根據(jù)部分的比重計(jì)算整體值。3、B【解析】

根據(jù)題意可設(shè)抽到高一和高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)分別為和，則，繼而算出抽到的各年級(jí)人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的原理可以推得該校高二年級(jí)的人數(shù)．【詳解】根據(jù)題意可設(shè)抽到高一和高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)分別為和，則，即，所以高一年級(jí)和高二年級(jí)抽到的人數(shù)分別是12人和8人，則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為人．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的方法，屬于容易題．4、D【解析】

根據(jù)直觀圖可計(jì)算其面積為，原的面積為，由得結(jié)論.【詳解】由題意可得，所以由，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了斜二側(cè)畫直觀圖，三角形的面積公式，需要注意的是與原圖與直觀圖的面積之比為，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

利用正弦定理asinA=【詳解】在ΔABC中，由正弦定理得asinA=故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求邊，要記得正弦定理所適用的基本類型，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。6、B【解析】

對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】A.∵M(jìn)，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，∴MN//AC，又AC⊥BC，∴MN與BC所成的角為90°，故C不正確；∵M(jìn)N//AC，AC∩AB=A，∴MN//AB不成立，故A不正確．B.∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，∴AC⊥BC，∵VA垂直⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面，∴VA⊥BC，又AC∩VA=A，∴BC⊥平面VAC，又BC?平面VBC，∴平面VAC⊥平面VBC，故B正確；C.∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，∴AC⊥BC，又A、B、C、O共面，∴OC與AC不垂直，∴OC⊥平面VAC不成立，故B不正確；∵M(jìn)，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，∴MN//AC，又AC⊥BC，∴MN與BC所成的角為90°，故C不正確；D.∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，∴AC⊥BC，又A、B、C、O共面，∴OC與AC不垂直，∴OC⊥平面VAC不成立，故D不正確.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查異面直線所成的角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

用累乘法可得．利用錯(cuò)位相減法可得S，即可求解S10＝22．【詳解】∵，則．∴，．Sn，．∴，∴S，則S10＝22．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了累乘法求通項(xiàng)，考查了錯(cuò)位相減法求和，意在考查計(jì)算能力，屬于中檔題．8、B【解析】

由直線方程,可知直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，故選．9、C【解析】

由可得，所以的圖像是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的上半部分；再結(jié)合圖形求解.【詳解】由可得，作出兩個(gè)函數(shù)的圖像如下：則區(qū)域①的面積等于區(qū)域②的面積，所以他們的圖像圍成的區(qū)域面積為半圓的面積，即.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于的識(shí)別.10、D【解析】

圓錐的底面周長(zhǎng)，求出底面半徑，然后求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．【詳解】∵圓錐的底面周長(zhǎng)為

∴圓錐的底面半徑

雙∵圓錐的母線長(zhǎng)∴圓錐的高為∴圓錐的體積為故選D.【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查計(jì)算能力，圓錐的高的求法，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)與垂直即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出x的值．【詳解】；；．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

取中點(diǎn)，連，可證平面，，要使最大，只需求最大值，即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，連，所以，，，平面，平面，設(shè)中邊上的高為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查錐體的體積計(jì)算，考查線面垂直的判定，屬于中檔題.13、【解析】

根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，取中點(diǎn)，連，，利用線面垂直的判定證得平面，進(jìn)而得到，即可得到答案.【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，連，，正四面體是四個(gè)全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長(zhǎng)都相等，所以，，且，所以平面，又由平面，所以，所以棱與所成角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，以及直線與平面垂直的判定及應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)，由動(dòng)點(diǎn)滿足（其中和是正常數(shù)，且），可得，化簡(jiǎn)整理可得.【詳解】設(shè)，由動(dòng)點(diǎn)滿足（其中和是正常數(shù)，且），所以，化簡(jiǎn)得，即，所以該圓半徑故該圓的半徑為.【點(diǎn)睛】本題考查圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和兩點(diǎn)距離公式，難點(diǎn)主要在于計(jì)算.15、【解析】

利用函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為，得出結(jié)論．【詳解】函數(shù)y＝3tan（3x）的最小正周期是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為．16、【解析】

由反正弦函數(shù)的定義求解．【詳解】∵，∴，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反正弦函數(shù)，解題時(shí)注意反正弦函數(shù)的取值范圍是，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)或，(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為或．【解析】(1)設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂徑定理，得圓心C1到直線l的距離d＝＝1，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得＝1，化簡(jiǎn)得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.所求直線l的方程為y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，n)，直線l1、l2的方程分別為y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0.因?yàn)橹本€l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等．由垂徑定理，得圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等．故有，化簡(jiǎn)得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.因?yàn)殛P(guān)于k的方程有無(wú)窮多解，所以有解得點(diǎn)P坐標(biāo)為或.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布表可得b.先求得內(nèi)的頻數(shù),即可由總數(shù)減去其余部分求得.結(jié)合頻率分布直方圖,即可求得的值.（2）根據(jù)頻率分布表可知在內(nèi)有4人,在有2人.列舉出從這6人中選取2人的所有可能,由古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布表可得內(nèi)的頻數(shù)為,∴∴內(nèi)的頻率為∴∵內(nèi)的頻率為0.04∴（2）由題意可知,第4組共有4人,第5組共有2人,設(shè)第4組的4人分別為、、、；第5組的2人分別為、從中任取2人的所有基本事件為：,,,,,,,,,,,,,,共15個(gè).至少一人來(lái)自第5組的基本事件有：,,,,,,,共9個(gè).所以.∴所抽取2人中至少一人來(lái)自第5組的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布表及頻率分布直方圖的應(yīng)用,列舉法表示事件的可能,古典概型概率計(jì)算方法,屬于基礎(chǔ)題.19、（1），；（2）或時(shí)，L取得最大值為米．.【解析】

（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長(zhǎng)度L的函數(shù)解析式，并注明θ的范圍．（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，根據(jù)函數(shù)L=在[，]上是單調(diào)減函數(shù)，可求得L的最大值．所以當(dāng)時(shí)，即

或

時(shí)，L取得最大值為米．【詳解】由題意可得，，，由于

，，所以，，，即，設(shè)，則，由于，由于在上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，L取得最大值為米．【點(diǎn)睛】三角函數(shù)值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函數(shù)式變換成的形式求值域3.通過(guò)換元，轉(zhuǎn)化成其他類型函數(shù)求值域20、(1)證明見解析；(2)【解析】

（1）首先證明平面，由平面平面，可說(shuō)明，由此可得四邊形為平行四邊形，即可證明平面；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，則即為二面角的平面角，求出的余弦值即可得到答案．【詳解】（1）∵為矩形∴，平面，平面∴平面.又因?yàn)槠矫嫫矫妫?為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形所以，平面，平面所以平面（2）不妨設(shè)，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為等邊三角形，所以，，且∵，所以有平面，故因?yàn)槠矫嫫矫妗嗥矫?，又，∴平面，則延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，由于平行且等于，所以為中點(diǎn)，，由于，，，所以平面，則，所以即為二面角的平面角在