東北四市一模試題2024年高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

東北四市一模試題2024年高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．在中，，，則的最小值是（）A．2 B．4 C． D．123．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．4．在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）中，若，，，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．如圖，在正方體中，，分別是，中點，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．6．下列各數(shù)中最小的數(shù)是（）A． B． C． D．7．在區(qū)間內(nèi)隨機取一個實數(shù)a，使得關(guān)于x的方程有實數(shù)根的概率為（）A． B． C． D．8．已知是等差數(shù)列，，其前10項和，則其公差A(yù)． B． C． D．9．在鈍角三角形ABC中,若B=45°,a=2,則邊長cA．(1,2) B．(0,1)∪(10．過點且與直線垂直的直線方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)一個周期的圖象（如下圖），則這個函數(shù)的解析式為__________．12．已知點P是矩形ABCD邊上的一動點，，，則的取值范圍是________.13．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________．14．數(shù)列滿足，則等于______.15．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.04，出現(xiàn)丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為________.16．每年五月最受七中學(xué)子期待的學(xué)生活動莫過于學(xué)生節(jié)，在每屆學(xué)生節(jié)活動中，著七中校服的布偶“七中熊”尤其受同學(xué)和老師歡迎.已知學(xué)生會將在學(xué)生節(jié)當天售賣“七中熊”，并且會將所獲得利潤全部捐獻于公益組織.為了讓更多同學(xué)知曉，學(xué)生會宣傳部需要前期在學(xué)校張貼海報宣傳，成本為250元，并且當學(xué)生會向廠家訂制只“七中熊”時，需另投入成本，（元），.通過市場分析，學(xué)生會訂制的“七中熊”能全部售完.若學(xué)生節(jié)當天，每只“七中熊”售價為70元，則當銷量為______只時，學(xué)生會向公益組織所捐獻的金額會最大.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大??；（2）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.18．如圖，三棱錐中，，、、、分別是、、、的中點.（1）證明：平面；（2）證明：四邊形是菱形19．已知，是實常數(shù)．（1）當時，判斷函數(shù)的奇偶性，并給出證明；（2）若是奇函數(shù)，不等式有解，求的取值范圍．20．設(shè)．（1）若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式（R）．21．已知所在平面內(nèi)一點，滿足：的中點為，的中點為，的中點為.設(shè)，，如圖，試用，表示向量.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

將,分別代入中,整理可得,即可得到,進而得到結(jié)論【詳解】由題可得,即在中,,,即又,是直角三角形,故選B【點睛】本題考查三角形形狀的判定,考查和角公式,考查已知三角函數(shù)值求角2、C【解析】

根據(jù)，，得到，，平方計算得到最小值.【詳解】故答案為C【點睛】本題考查了向量的模，向量運算，均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力.3、A【解析】

分別考慮即時；即時，原不等式的解集，最后求出并集?！驹斀狻慨敿磿r，，則等價于，即，解得：，當即時，，則等價于，即，所以，綜述所述，原不等式的解集為故答案選A【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，一元二次不等式的解集，屬于基礎(chǔ)題。4、A【解析】

根據(jù)題意，將直三棱柱擴充為長方體，其體對角線為其外接球的直徑，可得半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】∵，，∠ABC=90°，∴將直三棱柱擴充為長、寬、高為2、2、3的長方體,其體對角線為其外接球的直徑,長度為，∴其外接球的半徑為,表面積為=17π.故選：A.【點睛】本題考查幾何體外接球，通常將幾何體進行割補成長方體，幾何體外接球等同于長方體外接球，利用長方體外接球直徑等于體對角線長求出半徑，再求出球的體積和表面積即可，屬于簡單題.5、D【解析】

如圖，平移直線到，則直線與直線所成角，由于點都是中點，所以，則，而，所以，即，應(yīng)選答案D．6、D【解析】

將選項中的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制的數(shù)，由此求得最小值的數(shù).【詳解】依題意，，，，故最小的為D.所以本小題選D.【點睛】本小題主要考查不同進制的數(shù)比較大小，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求得，再結(jié)合長度比的幾何概型，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則滿足，解得，所以在區(qū)間內(nèi)隨機取一個實數(shù)a，使得關(guān)于x的方程有實數(shù)根的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”，再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】，解得，則，故選D．9、D【解析】試題分析：解法一：，由三角形正弦定理誘導(dǎo)公式有，利用三角恒等公式能夠得到，當A為銳角時，0°<A<45°，，即，當A為鈍角時，90°<A<135°，，綜上所述，；解法二：利用圖形，如圖，，，當點A（D）在線段BE上時（不含端點B,E）,為鈍角，此時；當點A在線段EF上時，為銳角三角形或直角三角形；當點A在射線FG（不含端點F）上時，為鈍角，此時，所以c的取值范圍為．考點：解三角形．【思路點睛】解三角形需要靈活運用正余弦定理以及三角形的恒等變形，在解答本題時，利用三角形內(nèi)角和，將兩角化作一角，再利用正弦定理即可列出邊長c與角A的關(guān)系式，根據(jù)角A的取值范圍即可求出c的范圍，本題亦可利用物理學(xué)中力的合成，合力的大小來確定c的大小，正如解法二所述．10、A【解析】

先根據(jù)求出與之垂直直線的斜率，再利用點斜式求得直線方程?！驹斀狻坑煽傻弥本€斜率，根據(jù)兩直線垂直的關(guān)系，求得，再利用點斜式，可求得直線方程為，化簡得，選A【點睛】當直線斜率存在時，直線垂直的斜率關(guān)系為二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由函數(shù)的圖象可得T=﹣，解得：T==π，解得ω=1．圖象經(jīng)過（，1），可得：1=sin（1×+φ），解得：φ=1kπ+，k∈Z，由于：|φ|＜，可得：φ=，故f（x）的解析式為：f（x）=．故答案為f（x）=．12、【解析】

如圖所示，以為軸，為軸建立直角坐標系，故，，設(shè).，根據(jù)幾何意義得到最值，【詳解】如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標系，故，，設(shè).則.表示的幾何意義為到點的距離的平方減去.根據(jù)圖像知：當為或的中點時，有最小值為；當與中的一點時有最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積的范圍，轉(zhuǎn)化為幾何意義是解題關(guān)鍵.13、【解析】

首先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有個交點，再畫出與的圖象，根據(jù)圖象即可得到的取值范圍.【詳解】有題知：函數(shù)恰有個零點，等價于函數(shù)與有個交點.當函數(shù)與相切時，即：，，，解得或（舍去）.所以根據(jù)圖象可知：.故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點問題，同時考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.14、15【解析】

先由，可求出，然后由，代入已知遞推公式即可求解?！驹斀狻抗蚀鸢笧?5.【點睛】本題考查是遞推公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題。15、0.95【解析】

根據(jù)抽查一件產(chǎn)品是甲級品、乙級品、丙級品是互為互斥事件，且三個事件對立，再根據(jù)抽得正品即為抽得甲級品的概率求解.【詳解】記事件A={甲級品}，B={乙級品}，C={丙級品}因為事件A，B，C互為互斥事件，且三個事件對立，所以抽得正品即為抽得甲級品的概率為故答案為：0.95【點睛】本題主要考查了互斥事件和對立事件概率的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、200【解析】

由題意求得學(xué)生會向公益組織所捐獻的金額的函數(shù)解析式，再由對勾函數(shù)的性質(zhì)求得取最大值時的值即可.【詳解】由題意，設(shè)學(xué)生會向公益組織所捐獻的金額為，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，在時取得最小值，所以時，取得最大值.故答案為：200【點睛】本題主要考查利用函數(shù)解決實際問題和對勾函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，則B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．結(jié)合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得詳解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因為，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因為a<c，故．因此，所以，點睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．18、(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，證得,由此證得平面.（2）先根據(jù)三角形中位線和平行公理，證得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)已知,證得，由此證得四邊形是菱形.【詳解】解（1）因為，是的中點，所以因為，是的中點，所以又，平面，平面所以平面（2）因為、分別是、的中點所以且同理且所以且，即四邊形為平行四邊形又，所以所以四邊形是菱形.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查證明四邊形是菱形的方法，考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1）為非奇非偶函數(shù)，證明見解析；（2）．【解析】

（1）當時，，計算不相等，也不互為相反數(shù)，可得出結(jié)論；（2）由奇函數(shù)的定義，求出的值，證明在上單調(diào)遞減，有解，化為有解，求出的值域，即可求解.【詳解】（1）為非奇非偶函數(shù)．當時，，，，因為，所以不是偶函數(shù)；又因為，所以不是奇函數(shù)，即為非奇非偶函數(shù)．（2）因為是奇函數(shù)，所以恒成立，即對恒成立，化簡整理得，即．下用定義法研究的單調(diào)性；設(shè)任意，且，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為有解，且函數(shù)為奇函數(shù)，所以有解，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以有解，，的值域為，所以，即．【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，單調(diào)性證明及應(yīng)用，以及求函數(shù)的值域，屬于較難題.20、（1）（2）見解析【解析】

（1）由不等式對于一切實數(shù)恒成立等價于對于一切實數(shù)恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．（2）不等式化為，根據(jù)一元二次不等式的解法，分類討論，即可求解．【詳解】（1）由題意，不等式對于一切實數(shù)恒成立，等價于對于一切實數(shù)恒成立．當時，不等式可化為，不滿足題意；當時，滿足，即，解得．（2）不等式等價于．當時，不等式可化為，所以不等式的解集為；當時，不等式可化為，此時，所以不等式的解