天津市新四區(qū)示范校2024屆數(shù)學高一下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

天津市新四區(qū)示范校2024屆數(shù)學高一下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度2．若a＜b，則下列不等式中正確的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B． C．a(chǎn)2+b2＞2ab D．a(chǎn)c2＜bc23．已知是等差數(shù)列，且，，則（）A．-5 B．-11 C．-12 D．34．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．35．在中，，，，，則（）A．或 B． C． D．6．執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的是（）A． B．C． D．7．等差數(shù)列，，，則此數(shù)列前項和等于（）．A． B． C． D．8．等差數(shù)列中，，則().A．110 B．120 C．130 D．1409．各項不為零的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A．4 B．8 C．16 D．6410．已知是奇函數(shù)，且.若，則（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．____________.12．已知球的表面積為4，則該球的體積為________．13．已知數(shù)列的前項和為，，，則__________．14．已知向量a=(2,-4)，b=(-3,-4)，則向量a與15．圓臺兩底面半徑分別為2cm和5cm，母線長為cm，則它的軸截面的面積是________cm2.16．若函數(shù)是奇函數(shù)，其中，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，設.（1）若圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于，求的取值范圍；（2）若的最小正周期為，且當時，的最大值是，求的解析式，并說明如何由的圖象變換得到的圖象.18．如圖，是邊長為2的正三角形.若，平面，平面平面，，且.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.19．某百貨公司1～6月份的銷售量與利潤的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月份123456銷售量x（萬件）1011131286利潤y（萬元）222529261612附：（1）根據(jù)2～5月份的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出關于的回歸直線方程（2）若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過萬元，則認為得到的回歸直線方程是理想的，試問所得回歸直線方程是否理想？（參考公式：，）20．已知函數(shù)，其中．（1）當時，求的最小值；（2）設函數(shù)恰有兩個零點，且，求的取值范圍．21．習主席說：“綠水青山就是金山銀山”.某地相應號召，投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，2018年投入1000萬元，以后每年投入將比上一年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為500萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增加.（1）設年內(nèi)（2018年為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出、的表達式；（2）至少到哪一年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.（參考數(shù)據(jù)：，，）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由，則只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度.【詳解】解：因為，所以要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度.故選：C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎題.2、C【解析】

利用特殊值對錯誤選項進行排除，然后證明正確的不等式.【詳解】取代入驗證可知，A、D選項錯誤；取代入驗證可知，B選項錯誤.對于C選項，由于，所以，即成立.故選：C【點睛】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎題.3、B【解析】

由是等差數(shù)列，求得，則可求【詳解】∵是等差數(shù)列，設,∴故故選：B【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查計算能力，是基礎題4、B【解析】

先由三視圖判斷該幾何體為底面是直角三角形的直三棱柱，由棱柱的體積公式即可求出結果.【詳解】據(jù)三視圖分析知，該幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱，且三棱柱的底面直角三角形的直角邊長分別為1和，三棱柱的高為，所以該幾何體的體積.【點睛】本題主要考查幾何體的三視圖，由三視圖求幾何體的體積，屬于基礎題型.5、C【解析】

由三角形面積公式可得，進而可得解.【詳解】在中，，，,，可得，所以，所以【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式，屬于基礎題.6、A【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結果的值.【詳解】滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，，；不成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖的計算，解題時要根據(jù)算法框圖計算出算法的每一步，考查分析問題和計算能力，屬于中等題.7、B【解析】由a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，得得a1+a20=所以S20=故選D8、B【解析】

直接運用等差數(shù)列的下標關系即可求出的值.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，因此，故本題選B.【點睛】本題考查了等差數(shù)列下標性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.9、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求得，再利用等比數(shù)列性質(zhì)求得結果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得：又各項不為零，即由等比數(shù)列性質(zhì)可得：本題正確選項：【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的應用，屬于基礎題.10、C【解析】

根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，變形可得：，結合題意計算可得的值，進而計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，是奇函數(shù)，則，變形可得：，則有，即，又由，則，，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應用，涉及誘導公式的應用，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

在分式的分子和分母中同時除以，然后利用常見數(shù)列的極限可計算出所求極限值.【詳解】由題意得.故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)列極限的計算，熟悉一些常見數(shù)列的極限是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.12、【解析】

先根據(jù)球的表面積公式求出半徑，再根據(jù)體積公式求解.【詳解】設球半徑為，則，解得，所以【點睛】本題考查球的面積、體積計算，屬于基礎題.13、【解析】

先利用時，求出的值，再令，由得出，兩式相減可求出數(shù)列的通項公式，再將的表達式代入，可得出.【詳解】當時，則有，；當時，由得出，上述兩式相減得，，得且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，，那么，因此，，故答案為.【點睛】本題考查等比數(shù)列前項和與通項之間的關系，同時也考查了等比數(shù)列求和，一般在涉及與的遞推關系求通項時，常用作差法來求解，考查計算能力，屬于中等題.14、5【解析】

先求出a?b，再求【詳解】由題得a所以向量a與b夾角的余弦值為cosα=故答案為5【點睛】(1)本題主要考查向量的夾角的計算，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)求兩個向量的夾角一般有兩種方法,方法一：cos<a,b>=a·bab,方法二：設a=(x1,y15、63【解析】

首先畫出軸截面，然后結合圓臺的性質(zhì)和軸截面整理計算即可求得最終結果.【詳解】畫出軸截面，如圖，過A作AM⊥BC于M，則BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9(cm)，所以S四邊形ABCD＝＝63(cm2)．【點睛】本題主要考查圓臺的空間結構特征及相關元素的計算等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16、【解析】

定義域上的奇函數(shù)，則【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，所以,又，則所以填【點睛】定義域上的奇函數(shù)，我們可以直接搭建方程，若定義域中則不能直接代指.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）;平移變換過程見解析.【解析】

（1）根據(jù)平面向量的坐標運算,表示出的解析式,結合輔助角公式化簡三角函數(shù)式.結合相鄰兩條對稱軸間的距離不小于及周期公式,即可求得的取值范圍;（2）根據(jù)最小正周期,求得的值.代入解析式,結合正弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)與的最大值是,即可求得的解析式.再根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換,即可描述變換過程.【詳解】∵∴∴（1）由題意可知,∴又,∴（2）∵,∴∴∵,∴∴當即時∴∴將圖象上所有點向右平移個單位,得到的圖象；再將得到的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標不變,得到的圖象（或?qū)D象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標不變,得到的圖象；再將得到的圖象上所有點向右平移個單位,得到的圖象）【點睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應用,根據(jù)最值求三角函數(shù)解析式,三角函數(shù)圖象平移變換過程,屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）取的中點，連接，由平面平面，得平面，再證即可證明（2）證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理從而進行證明．【詳解】（1）取的中點，連接，因為，且，.所以，.又因為平面平面，所以平面，又平面，所以又因為平面，平面，所以平面.（2）連接，由（1）知，又，，所以四邊形是平行四邊形，所以.又是正三角形，為的中點，∴，因為平面平面，所以平面，所以平面.又平面，所以.因為，，所以平面.因為平面，所以平面平面.【點睛】本題考查了線面平行的證明，線面垂直，面面垂直的判定定理，考查空間想象和推理能力，熟記定理是關鍵，是一道中檔題．19、(1)；（2）見解析.【解析】

（1）求出，由公式，得的值，從而求出的值，從而得到關于的線性回歸方程；（2）將月份和月份的銷售量值代入回歸直線方程，求出預測值，并計算預測值與實際值之間的誤差，結合題意來判斷（1）中所得回歸直線方程是否理想。【詳解】（1）計算得，，，則，；故關于的回歸直線方程為．（2）當時，，此時；當時，，此時．故所得的回歸直線方程是理想的．【點睛】本題考查回歸直線方程的應用，解題的關鍵就是弄清楚最小二乘法公式，并準確代入數(shù)據(jù)計算，著重考察計算能力，屬于中等題。20、(1)；(2)【解析】

（1）當時，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）分段討論討論函數(shù)在相應的區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù)，函數(shù)在時，至多有一個零點，函數(shù)在時，可能僅有一個零點，可能有兩個零點，分別求出的取值范圍，可得解．【詳解】（1）當時，函數(shù)，當時，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，且；當時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又由函數(shù)，當時，函數(shù)取得最小值為；故當時，最小值為．（2）因為函數(shù)恰有兩個零點，所以（ⅰ）當時，函數(shù)有一個零點，令得，因為時，，所以時，函數(shù)有一個零點，設零點為且，此時需函數(shù)在時也恰有一個零點，令，即，得，令，設，，因為，所以，，，當時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；而當時，，又時，，所以要使在時恰有一個零點，則需，要使函數(shù)恰有兩個零點，且，設在時的零點為，則需，而當時，，所以當時，函數(shù)恰有兩個零點，并且滿足；（ⅱ）若當時，函數(shù)沒有零點，函數(shù)在恰有兩個零點，且滿足，也符合題意，而由（?。┛傻?，要使當時，函數(shù)沒有零點，則，要使函數(shù)在恰有兩個零點，則，但不能滿足，所以沒有的范圍滿足當時，函數(shù)沒有零點，函數(shù)在恰有兩個零點，且滿足，綜上可得：實數(shù)的取值范圍為．故得解.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用，以及函數(shù)與方程，函數(shù)的零點問題的綜合應用，屬于難度題，關鍵在于分析分段函數(shù)在相應的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，以及其圖像趨勢，可運用數(shù)形結合方便求解，注意在討論二次函數(shù)的根的情況時的定義域?qū)ζ涞挠绊懀?1、（1），；（2）2022年【解析】

（1）根據(jù)題意，知每年投入資金和旅游業(yè)收入是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和