2021屆跳出題海之高中數(shù)學必做100題82求曲線方程或軌跡方程（解析版）

2021屆跳出題海之高中數(shù)學必做100題

第82題求曲線方程或軌跡方程

題源探究?黃金母題

如圖，在圓f+y2=4上任取一點p,過點P作X軸的垂線段P。，。為垂足.當點P在圓上運動時，線

段PD的中點M的軌跡是什么？

【答案】動點M的軌跡是中心在原點，長軸長為4,短軸長為【試題來源】：人教A版選修2-1P34例2.

2的橢圓.【母題評析】本題軌跡方程的求法，考查

【解析】設點M的坐標為（x,y）,點P的坐標為（%。，%）,考生的分析問題、解決問題以及轉化與化

歸能力.

【思路方法】可以采用直接法、定義法、

相關點法、交軌法、參數(shù)法等解題.

yg',=2,.

點P（不，％）在圓x2+y2=4上，，x；+y；=4.

2

即f+（2y）2=4,亦即亍+/=1,二動點用的軌跡是中心

在原點，長軸長為4,短軸長為2的橢圓.

二.考場精彩?真題回放

【2020年全國II卷理數(shù)】已知橢圓Ci：5+2^=l（a>b>（））的右焦點尸與拋物線C2的焦點重合，G的中

ab

心與C2的頂點重合.過戶且與X軸垂直的直線交G于A,5兩點，交C2于GO兩點，且|。|=才.

（1）求G的離心率；

（2）設M是G與C2的公共點，若|MP|=5,求G與C2的標準方程.

【命題意圖】這類主要考查軌跡（方程）

【解析】（1）由已知可設G的方程為V=4cx,其中

的求法、橢圓、拋物線、雙曲線簡單的幾

c=J/_12.

何性質等.本題能較好的考查考生分析問

不妨設AC在第一象限，由題設得A5的縱坐標分別為題解決問題的能力、基本計算能力等.

h2

—-—；C。的縱坐標分別為2c,-2c,故

a9a【考試方向】這類試題在考查題型上，可

以選擇題或填空題，也可以是解答題第（I）

2b2

|AB|=—,\CD\=4c.

a小題，難度中等偏易.

4Q/,2cc

由|CD|=一|A6|得4c=竺即3x^=2—2（上月，解【學科素養(yǎng)】數(shù)學運算、直觀想象

33aaa

得￡=—2（舍去），￡=」.【難點中心】1.利用待定系數(shù)法求圓錐曲

aa2

線方程是高考常見題型，求雙曲線方程最

所以G的離心率為;.

基礎的方法就是依據(jù)題目的條件列出關于

22

（2）由（1）知a=2c,b=Kc，故+=a,4c的方程，解方程組求出a力.另外

求雙曲線方程要注意巧設雙曲線：

22

設則工+烏=1,野=45，故

4c~3c（1）雙曲線過兩點可設為

mx2-ny1—\(mn>0)；

X2y2

（2）與二1共漸近線的雙曲線可

由于。2的準線為％=一c，所以|MF|=%+c，而a

IMb1=5,故x°=5—c,代入①得2y2

設為二—4(4w0)；

a'

^4^-+4（5—^1，即C2—2C—3=0,解得C=-1

4c23c

（3）等軸雙曲線可設為

（舍去），c=3.

x2-/=2（4豐0）等,均為待定系數(shù)法求

22

所以G的標準方程為二+匕=1，G的標準方程為標準方程.

3627

y2=12x.2.求軌跡方程的常用方法有:

（1）直接法：直接利用條件建立工，y之

間的關系網(wǎng)x,y）=0求軌跡方程.

（2）待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，

求曲線方程.

（3）定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡

是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫

出動點的軌跡方程.

（4）代入（相關點）法：動點P（x,y）依

賴于另一動點。（小，K）的變化而運動，

常利用代入法求動點P（x,＞）的軌跡方

程.

(5)參數(shù)法：根據(jù)動點坐標的參數(shù)表示形

式消去參數(shù)得到方程.

三.理論基礎?解題原理

考點一曲線與方程

在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實

數(shù)解建立了如下的關系：

(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解；

(2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上.

那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.

考點二求動點的軌跡方程的一般步驟

(1)建系——建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>

(2)設點——設軌跡上的任一點P(x,y)；

(3)列式——列出動點P所滿足的關系式；

(4)代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關于x,y的方程式，并化簡;

(5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程.

四.題型攻略?深度挖掘

【考試方向】這類試題在考查題型上，可以選擇題或填空題，也可以是解答題第(I)小題，難度中等偏易.

考向1直接法求軌跡方程

一條線段AB的長等于2a,兩個端點4和8分別在x軸和y軸上滑動，求【溫馨提醒】搬

A8中點尸的軌跡方程？直譯法有下列幾種情

況：

【解析】設M點的坐標為(x,y)由平面幾何的中線定理：在直角三角形408中，

(1)代入題設中的

已知等量關系：若動點

的規(guī)律由題設中的已知

等量關系明顯給出，則

采用直接將數(shù)量關系代

0M=a,x~+y~=a2,M點的軌跡是以O

gAB=；x2a=a,Jx?+y?=數(shù)化的方法求其軌跡.

為圓心，a為半徑的圓.

(2)列出符合題設

條件的等式：有時題中

無坐標系，需選定適當

位置的坐標系，再根據(jù)

題設條件列出等式，得

出其軌跡方程.

(3)運用有關公

式：有時要運用符合題

設的有關公式，使其公

式中含有動點坐標，并

作相應的恒等變換即得

其軌跡方程.

(4)借助平幾中的

有關定理和性質：有時

動點規(guī)律的數(shù)量關系不

明顯，這時可借助平面

幾何中的有關定理、性

質、勾股定理、垂徑定

理、中線定理、連心線

的性質等等，從而分析

出其數(shù)量的關系，這種

借助幾何定理的方法是

求動點軌跡的重要方

法.

考向2定義法求軌跡方程

已知A4BC的頂點A,B的坐標分別為（,4,0）,（4,0）,C為動點，且滿【溫馨提醒】熟悉

足sin8+sinA=9sinC,求點C的軌跡

4

用定義法求曲線方程的

解析：由血B+sin4=2sinC可知6+a=2c=10,即|,4C|+||=10,力關鍵?

44

X’"V'??，大（1）圓：到定點的距罔

方程為F+F=1，則。=5笛=4=6=3,則軌跡方程為宏+、■

a**259等于定長：

（不含左，右頂點）.

（2）橢圓：到兩定點的

距離之和為常數(shù)（大于

兩定點的距離）；

（3）雙曲線：到兩定點

距離之差的絕對值為常

數(shù)（小于兩定點的距

離）；

（4）到定點與定直線距

離相等.

考向3代入法求軌跡方程

M是拋物線了2=為上一動點，。為原點，以0M為一邊作正方形MNPO,【溫馨提醒】

定比分點問題，對稱問

求動點P的軌跡方程.

題或能轉化為這兩類的

軌跡問題，都可用相關

點法.

思路分析：動點P的位置，依賴于拋物線上的點M,故可考慮用相關點法求

P的軌跡方程.

解析：設P(x,y),M(x??y0)?

?.,正方形MNPO

.'.|OI|=|OP|fiOP±OM

+(1)

??匕也=-1(2)

x毛

又???點H在拋物線y：=x上，...4=%)(3)

2

由⑵得此=一生，代人⑶得吃=當(4)

VX

將⑶代人⑴得君+毛=/+/(5)

42

將⑷代人⑸得與+與=丁+F

XX

化簡得y2=x4

二動點P的軌跡方程為X2=±y(yH0)

考向4參數(shù)法求軌跡方程

過點P(2,4)作兩條互相垂直的直線h,12,若h交x軸于A點，L交y軸【技能方法】解法

于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程.1用了參數(shù)法，消參時

應注意取值范圍.解法

思路分析1：從運動的角度觀察發(fā)現(xiàn)，點M的運動是由直線h引發(fā)的，可設

2,3為直譯法，運用了

出h的斜率k作為參數(shù)，建立動點M坐標(x,y)滿足的參數(shù)方程.

kPA?kPB=—1,

解析1：設M(x,y),設直線L的方程為y-4=k(x-2),(k^O)

\MP\=^\AB\

2,這些

等量關系.用參數(shù)法求

解時，一般參數(shù)可選用

具有某種物理或幾何意

義的量，如時間，速度,

距離，角度，.有向線段

二與才由交點N的坐標為(2-±,0),的數(shù)量，直線的斜率，

k

4與｝軸交點3的坐標為(0,4+1),點的橫，縱坐標等.也

可以沒有具體的意義，

為AB的中點，

選定參變量還要特別注

意它的取值范圍對動點

2

1無媯參數(shù))坐標取值范圍的影響：

4+-1

y=一^=2+-此類方法主要在于設置

I2k

合適的參數(shù)，求出參數(shù)

消去k,得x+2y—5=0.

方程，最后消參，.化為

另外，當k=0時,AB中點為M(l,2),滿足上述軌跡方程；

普通方程.注意參數(shù)的

當k不存在時，AB中點為M(1,2),也滿足上述軌跡方程.

取值范圍.參數(shù)法求軌

綜上所述，M的軌跡方程為x+2y-5=0.

跡方程，關鍵有兩點：

思路分析2：解法1中在利用k!k2=-l時，需注意ki、k2是否存在，故而一是選參，容易表示出

分情形討論，能否避開討論呢？只需利用APAB為直角三角形的幾何特性：動點；二是消參，消參

的途徑靈活多變.

解析2：設M(x,y),連結MP,則A(2x,0),B(0,2y),

VI,±12,.-.APAB為直角三角形，由直角三角形的性質，=

/.7U-2)2+(y-4)2=1-7(2x)2+(2y)2,化簡，得x+2y—5=0,此即M

的軌跡方程.

思路分析3：設M(x,y),由已知hJ_b,聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：

kIk2=-b即可列出軌跡方程，關鍵是如何用M點坐標表示A、B兩點坐標.事

實上，由M為AB的中點，易找出它們的坐標之間的聯(lián)系.

解析3:設M(x,y)，為AB中點，「.A(2x,0)，B(0,2y).

又L,L過點P(2,4),且Lib

.'.PAlPB,從而k“-k?9=-l,

布4-0,4-2y

而kpA=,Apo=

"2-2x2-0

二一---——=-1?化簡,得x+2y-5=0

2-2x2

注意到Llx軸時，Lly軸，此時A(2,0),B(0,4)

中點M(1,2),經(jīng)檢蠟，它也滿足方程x+2y-5=O

綜上可知，點M的軌跡方程為x+2y-5=O.

考向5交軌法求軌跡方程

如圖，已知拋物線C：y=/,動點p在直線/：x-y-2=0上運動，過P【技能方法】交軌法是

參數(shù)法的簡單處理方

作拋物線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點.求AAPB

法，求兩動曲線交點軌

的重心G的軌跡方程.

跡問題常用交軌法，即

直接聯(lián)立兩動曲線方程

消參數(shù)，而不必先解出

動點軌跡參數(shù)方程，再

消參數(shù)，值得我們重視

的是在求軌跡時應注意

充分利用平面兒何知

識.

思路分析：重心G的變化受動點A,B的影響，動點A,B的變化又受動點

P的限制，可采用交軌法求軌跡方程.

解析：設切點A、B坐標分別為（%君）和（再1H毛）,

二切線AP的方程為：2x°x-y-君=6

切線BP的方程為：2x1x-y-x?=0;

解得P點的坐標為：Xp=Jp=xf>x1

所以^APB的重心G的坐標為XG=*。+彳+孫=Xp,

_y0+y+%_X；+X；+/$_(4+$)2—x°X|_4x--y?

%=3=3=3=3'

:.yp=-3%+43，由點P在直線/上運動，從而得到重心G的軌跡方程

為：

x-(-3y+4x2)-2=0,即y=；(4,—x+2).

考向6點差法求軌跡方程

XC【技能方法】利用

已知橢圓萬+丁=1,

點差法求軌跡方程時①

注意：點差法的不等價

（I）求過點且被p平分的弦所在直線的方程

性；（考慮AMD②“點

（II）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程差法”常見題型有：求

中點弦方程、求（過定.

（III）過A（2,l）引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程.

點、平行弦）弦中點軌

解析：設弦兩端點分別為丸），”（七，%），線段的中點d（x，y逃、垂自平分線、定值

問題.在解答平面解析

M+2g=2①

幾何中的某些問題時，

年+2工=2②

百+七=2x>③如果能適時運用點差

y+乃=2y,④法，可以達到“設而不

求”的目的，同時:還

①一②得（X+士Xx一X2）+2（乂+%XM一%）=0.

可以降低解題的運算.

由題意知工產(chǎn)工2，則上式兩端同除以％-9有量，優(yōu)化解題過程.這

類問題通常與直線斜率

（芭+々）2（＞|+必）"+=0'

和弦的中點有關或借助

曲線方程中變量的取值

.將③④代入得x+2y＞二a=0.⑤范圍求出其他變量的范

玉一々

圍.

（1）將xj,代入⑥,得"=巨驪求直2捌枷2x+4y-3=0,@

22再2

;娜人腿質f+2廣=2得6廣6）」=0,A=36-4x6xl＞0符合第，2x+4y-3=0為

44

（2）將心=2代於御球靦方程為："4尸0.（橢圓內部分）

再F

⑶將乜二四=二代人睡所求觸方程為：￡+2y：-2x-2y=0.（棚內斷）

x-2

五.限時訓練*提升素養(yǎng)

1.（2020.梧州期中）已知定點4（2,0）,它與拋物線丁=%上的動點P連線的中點M的軌跡方程為（）

A.y2=2（x-l）B.y2=4（x-l）C.y2=x-lD.y2=^（x-l）

【答案】D

【詳解】

設P（x（）,%）,己知定點A（2,0）,

x+2

x=0

2x0=2x-2

利用中點坐標公式知＜則

%Jo=2y

y=

2

乂動點P在拋物線上，所以$=/，即（2y）2=2x—2,即y2=；（x—1）.

故選：D.

2.（2020?浙江期末）已知點P是正四面體V—A5C側面VBC上一點，且點P到底面ABC的距離與它到頂

點V的距離相等，則動點P的軌跡（）

A.線段B.圓的一部分C.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分

【答案】C

【詳解】

過尸作平面A8C手￡＞，過。作?！╛L3CFH，連接P".如圖,

可得BC±平面DPH■所以BCLPH,

故為二面角V—BC-A的平面角，令其為a,

則在RPDH中，|叫：|叨|=sina,

又點P到平面ABC距離與到點V的距離相等，W|PV|=|PD|,

/.|PV|:|PH|=sina<l,

所以在平面NBC中，點尸到點V的距離與到直線8C的距離之比為sina<l,

故由橢圓定義知P點軌跡為橢圓在平面KBC內的?部分.

故選：C.

3.(2020?四川成都市期中)已知AABC的頂點B(-3,0),C(l,0),頂點A在拋物線y=f上運動，點G滿

足關系GA+G8+GC=0，則點G的軌跡方程為()

44

A.y=3x2+4x+—B.y=3x2+4xH>—("0)

,4,4

C.x=3y+4y+§D.x=3y2+4y+§(x#0)

【答案】B

【詳解】

設4%,%),G(x,y),

又8(—3,0),C(l,0),

GA=(xQ-x,yQ-y),GB=(-3-x,-y),GC=(l-x,-y),

由GA+GB+GC=0，得(x()_x_3-x+l-x,%_y-y_y)=0,

fx?-3x-2=014=3x+2

即(x0-3x-2,3y)=0,得〈.，即a，

[%-3y=0[%=3y

22

A在拋物線y=x上，二%=x0,

4

即3y=(3x+2)2,得y=3x2+4x+§,

2

若y=o,求得x=—§,此時A(0,0),A，3，C三點共線，不合題意，

,4

點G的軌跡方程為y=3爐+4x+](y￥0).

故選：B.

4.(2020.吉安縣月考)已知圓C：/+V=25,過點M(—2,3)作直線/交圓C于A,B兩點，分別過4,B

兩點作圓的切線，當兩條切線相交于點。時，點Q的軌跡方程為.

【答案】3y+25=0

【詳解】

如圖所示：

圓C：/+產(chǎn)=25的圓心C為(0,0),

設A(xi,yi),8(X2,yi),Q(xo,yo),

因為A。與圓C相切，

所以A。，。，

所以(xi—xo)(xi—0)+(yi—州)。1—0)=0,

即x；-XoX+必2_)，0弘=0，

因為x：+y：=25,

所以XOXI+)必=25,同理XOX2+了0竺=25,

所以過點4,8的直線方程為M)+yyo=25.

因為直線A8過點M(—2,3),

所以得一2比+3州=25,

所以點Q的軌跡方程為2x—3y+25=0.

故答案為：2r-3y+25=0

5.（2020?福建期中）雙曲線工一上=1,巴、尸2為其左右焦點，曲線。是以工為圓心且過原點的圓.

124

（1）求曲線。的方程；

（2）動點p在C上運動，M滿足“/=癡，求M的軌跡方程.

【答案】（1）（x—4f+y2=i6；（2）/+丁=4.

【詳解】

（1）由已知得/=12，b2=4.故c=Ja2+方=4,

所以耳（-4,0）、6（4,0）,

因為C是以工為圓心且過原點的圓，故圓心為（4,0）,半徑為4,

所以C的軌跡方程為（X-4）2+/=16：

⑵設動點M（x,y），尸（%,為），則或f=（x+4,y），MP=（x0-x,y0-yy

由瓶=詁，得（x+4,y）=（x°一匕為一〉），

，+：=中,解得］.%=2x+4

y=（%-y）Jo=2y

因為點P在C上，所以（%—4）2+巾=16,

代入得（2X+4—4）2+（2y）2=16，化簡得f+丁=4.

所以M的軌跡方程為x2+y2=4.

6.（2020?江蘇省期中）在平面直角坐標系xOy中，已知圓F:（x-2）'+j2=1.動圓M與直線/:x=—1相

切且與圓尸外切.

（1）記圓心M的軌跡為曲線C,求曲線C的方程；

（2）已知A（—2,0）,曲線C上一點P滿足訓=行歸尸|,求NPAF1的大小.

【答案】（1）/=8x；（）ZPAF=~.

24

【詳解】

解：（I）設M（x,y）,圓M的半徑為r.

由題意知，MF^r+l,用到直線/的距離為

方法一：

點M到點廠（2,0）的距離等于M到定直線為=—2的距離，

根據(jù)拋物線的定義知，曲線C是以尸（2,0）為焦點，％=-2為準線的拋物線.

故曲線C的方程為V=8x.

方法二：

因為MFnJlx—Zy+V=/+1，|x+l|=r,x>-l,

所以J（X—2）2+/=%+2,化簡得V=8x,

故曲線C的方程為V=8x.

（2）方法一：設尸（如為）,由網(wǎng)=閨叫

得（x（）+2）+%~=2［（尤0—2）+城，

又%2=8XO,解得/=2,故P（2,±4）,

JT

所以⑥A=±1，從而NPAF=j.

方法二：過點尸向直線》=—2作垂線，垂足為Q.

由拋物線定義知，PQ=",所以P4=J5P。，

7T

在APQ中，因為NP3=i，

所以sin/QAP="=立.

PA2

從而NQAP=jIT,故NH4F=；TT.

22

7.（2020?遼寧期中）已知雙曲線G的方程為？-十1，橢圓G與雙曲線有相同的焦距，%乃是橢圓

的上、下兩個焦點，已知P為橢圓上一點，且滿足PK1P弱,若百鳥的面積為9.

（1）求橢圓C2的標準方程；

（2）點A為橢圓的上頂點，點3是雙曲線G右支上任意一點，點M是線段A3的中點,求點M的軌跡

方程.

【答案】⑴^-+—=1；（2）2_（2>-4）］）

1693

【詳解】

22

（1）設雙曲線的半焦距為由題c?=4+3=7,設橢圓方程:+==1(a>8>0)

a2b2

；附1附|=9

+1P用2=4c2=28,4/=|P用2+歸用2+413尸周|尸居0=64

厄|+冏|=2。°J

22

?**=16???b1=a2*4—c2=16—7=9?C:+—=1；

2169

（2）由題點A（0,4）.設雙曲線右支上任意一點B的坐標為（%。,%）,A3中點M的坐標為（x,y），

2x=2x

則<“，；?nC”，

v_〉o+4、％=2》—4

尸丁

22

又點B在雙曲線上，...E—范=1

43

；.=］（X>1）.

3

8.（2020南昌市期中）己知尸是圓O:f+y2=4上一動點，P點在x軸上的射影是。，點M滿足

DM=-DP.

2

（1）求動點M的軌跡曲線C的方程；

（2）若點N（、歷1）在曲線C上，求△耳叫的面積.

【答案】（1）—+/=1；（2）見.

42

【詳解】

(I)設例(x,y),則O(x,0),

由QM=-DP,

2

知尸(x,2y),

因為點P在圓￡+y2=4上，

所以J?+4y2-4,

故動點M的軌跡C的方程為L+V=1；

4'

r2

(2)由(1)得曲線C的方程為：—+/=1,

4

得|耳目=2c=2sla2-h2=274-1=273，

又點N(、后，。在曲線C上，

得—+t2=1=>川=,

4112

所以S片明=g恒閭M=g*2>/5x曰=乎.

所以△耳N居的面積為Xj.

2

22

9.已知橢圓C:=+3=l(a>〃>0)的左、右焦點分別為耳，工，點〃(°，2)是橢圓的一個頂點,

a~b-

△耳加工是等腰直角三角形.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設點p是橢圓。上一動點，求線段尸M的中點。的軌跡方程；

（3）過點M分別作直線M4,交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為尤，k2，且尤+心=8,

探究：直線A8是否過定點，并說明理由.

【答案】（1）上+旦=1；（2）二+（y_l）2=i；（3）直線A3是過定點（一1,一21，理由見解析.

842＜2）

【詳解】

（I）由點M（0,2）是橢圓的一個頂點，可知力=2,

乂是等腰直角三角形，可得a=岳，即a=20，所以標=8，。？=4

22

所以橢圓的標準方程為三+二=1;

84

上?