八年級數(shù)學(xué)暑假輔導(dǎo)及解析

八年級數(shù)學(xué)暑假專題復(fù)習(xí)一一函數(shù)解題中的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用

重點、難點

數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用

【典型例題】

方程思想的應(yīng)用

例1.己知點P(x,x+y)與點Q(y+5,x-7)關(guān)于x軸對稱，則點Q坐標為

分析：P點關(guān)于x軸對稱時，橫坐標不變，縱坐標相反

x=y+5

構(gòu)造方程組4

x+y+x-7=0

；.Q點坐標為(4,-3)

例2.已知一次函數(shù)丁=2%〃,-2，-2+m—2的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，求m的值。

分析：一次函數(shù)條件：x的次數(shù)為1

即：m2-2m-2=1

得：m2—2m-3=0

解得：叫二-1,77?2=3

而當班二一1時，加一2=-3

此時y=2%>-2吁2圖像經(jīng)過一、三、四象限

不符合題意，舍去

故m=3

例3.已知：在AABC中，ZC=90°，AB=1Q,BC=6,P為AB上一動點(P不

與A、B重合)，過點P作PE〃BC交AC于E,連結(jié)BE,設(shè)AP=x,4BPE的面積為y,

求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求自變量x的取值范圍。

分析：???5.卷=3尸石.石0

，知道PE的長、EC的長是關(guān)鍵，而PE、EC與三角形相似有關(guān)。

所以此題借助比例式找出PE、EC與x之間的等量關(guān)系。

即：用含x的式子表示PE、EC,進而得到函數(shù)關(guān)系式。

解：vPE//BC

PEAP

"1BC~^B

vBC=6,AB=10,AP=x

：.PE^-x

又???——=—,AC=y]AB2-BC2=8

ABAC

“4

AE=—x

4

??.EC=S--x

5

S^PEB~5PE?EC

—x-----X

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

例1.一次函數(shù)>=左2%—|川的圖像經(jīng)過第象限。

分析：攵2充當y=丘+。中的k,此時大于0

一伙|充當y=正+。中的b,此時小于0

則依據(jù)直線y=H+b,當％>0,6<0的圖象示意圖：可知圖像經(jīng)過一、三、四象

k

例2.已知反比例函數(shù)y=—(&<0),(項，％),(x,y),(x,當)是反比例函數(shù)圖

x223

象上的三個點，若不<0<工2<13,試判斷%，%的大小關(guān)系。

k

分析：反比例函數(shù)y=2(A<0)的圖像位于二、四象限

只需將X1,%2,匕在圖像上找到相對應(yīng)的點，則可確定相應(yīng)的函數(shù)值凹，%，為。從

而根據(jù)位置判斷大小。

例3.如圖所示，一次函數(shù)y=+)的圖像過第一、三、四象限，且與雙曲線y=&的

X

圖像交于A、B兩點，與y軸交于C,A(x,y)是NxOA終邊上的一點，若tanNxO4=」，

原點0到A點的距離為而

(1)求A點坐標；

(2)求反比例函數(shù)的解析式；

(3)若5刖%=〃-6,求一次函數(shù)的解析式。

分析：此題關(guān)鍵是在平面直角坐標系中借助tanNxOA=>!■及。4=而，在Rt△中

5

求A點坐標。從而進一步借助goCxA到y(tǒng)軸距離等于So。。=〃-6,求出b,確定一

次函數(shù)的解析式。

解：(1)設(shè)點A坐標為(a,b),且Q>0,b>0

過A作AM」/軸交x軸于M

則OM=|a|,AM=\b\

在R/A40M中，tanZxOA=,且。4=病

貝！Ja=5,b=1

所以點A坐標為（5,1）

（2）此反比例函數(shù)解析式為y=*

X

2

（3）?/SMOC=b-6,且6<0（OC=|b|,C在x軸下方）

1,

.?.：創(chuàng)-5=^-6

——b=/?2—6

2

2b?+5/?-12=0

3

解得：*=—（舍去），b--4

22

；.一次函數(shù)解析式，為：y=&|X-4

又?.?直線y=6x—4過點4（5，1）

/.1=5Z]—4,占=1

一次函數(shù)解析式為y=x—4

三.分類討論思想的應(yīng)用

例1.已知點N在x軸下方，且到x軸距離為2,到y(tǒng)軸距離為6,則點N的坐標為

分析：設(shè)點N坐標為（x,y）

由題意得：|x|=J5,|y|=2

則x=土百，y-±2

又?.?點N在x軸下方，y<0

x=±V3>y=—2

：.7V（V3,-2）或N卜瓜-2）

例2.已知直線丁=丘-3與直角坐標系的兩坐標軸圍成的三角形的面積為9,則直線解

析式為。

分析：設(shè)直線y=6一3與x軸交點為A,與y軸交點為B

則0）,B（0,-3）

??3=9,-AO-BO=9,孫3=9

131A3,,,.1

\k\k2

...直線解析式為y=gx—3或y=—gx—3

例3.已知點A為平面直角坐標系內(nèi)第四象限夾角平分線上一點，且OA=5,試在坐標軸

上找一點C,使得aAOC為等腰三角形，并寫出C點坐標。

分析：首先應(yīng)分別在x軸和y軸上找點C

其次，△AOC應(yīng)分類找：（1）OA為腰；（2）0A為底

G（-5,0）、（OC,=OA）

C^|V2,0）、（℃2=AG）

C3（5,0）、（Og=OA）

C4（5V2,0）、（OA=AC4）

G（。，-|

Q（0--5）、（OA=OC6）

C7（0--5悶、（QA=AG）

C8（0,5）、（OA=OC8）

四.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

例1.已知一次函數(shù)了=（左一1）%+（-氏一5）的圖像經(jīng)過二、三、四象限,求k的取值范

圍。

分析：直線經(jīng)過二、三、四象限

所以一5〈左＜1

例2.待定系數(shù)解題(轉(zhuǎn)化為方程組)

如：已知y+〃與x+加成正比例，其中m,n是常數(shù)，當x=l時，y=-1；當x=T

時，y=-7,求y與x的函數(shù)關(guān)系。

分析：設(shè)y+〃=Z(x+m)

當x=l時，y=-1得：-l+n=k(\+m)

當x=—l時，y=—7得：-7+〃=左(一1+加)

“，*,-1+n=k(\+m)

解方程組4

-7+〃=k(-l+m)

—\-k+km-n

<

-J=-k-\rkm-n

解得：F=3

km—n--A-

所求函數(shù)關(guān)系式為：y+n-k{x+tri),y=kx+Ian—n-3x-4

例3.如圖所示，直線y=H+。與y軸交于點A（0,3）與x軸交于點B,正方形OPQR

的兩邊在坐標軸上，Q在直線AB上，OP：PB=1：2,求直線的解析式。

分析：求直線AB解析式，需要知道A、B坐標。而A點（0,3）,則OA=3,求B點

即可，即求OB長，此問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。

?.?A4OB中，RQ/IOB

ARRQ

,~AO~~OB

又知PQRO為正方形，設(shè)正方形邊長為x,則RQ=OR=OP=x

?：OP：PB=1：2

PB=lx

貝ij08=3x,AR=3-x

OB=6

；.B點坐標為（6,0）

???直線解析式為y=—gx+3

五.幾何解題思想的綜合應(yīng)用

k

例：已知反比例函數(shù)了=—和一次函數(shù)y=2x—l,其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a,b）,

2x

（a+1,b+k）兩點。

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）如圖所示，已知點A是上述兩個函數(shù)的圖象在第一象限的交點，求點A的坐標;

（3）利用（2）的結(jié)果，回答：在x軸上是否存在點P,使AAOP為等腰三角形？若

存在，把符合條件的P點坐標都求出來；若不存在，請說明理由。

分析：（1）由一次函數(shù)y=2x—1的圖象經(jīng)過兩點（a,b）,（a+1,b+k）,代入消

去a,b,可得k=2,進而可確定反比例函數(shù)的關(guān)系式。

（2）將丁=2%-1與〉=,聯(lián)立成方程組，易求出點A的坐標:

（3）應(yīng)根據(jù)0A為腰和底進行分類，結(jié)合（2）探求出點P的存在性。

解：（1）依題意可得：\b=2a-\

b+k=2（a+1）—1

兩式相減，得k=2

所以反比例函數(shù)的解析式為y=-

y=2x-l

⑵由《12

%=1

y=一-2

經(jīng)檢驗4X1=1與4X2-=5-都是原方程組的解。

[y=1v__2

因為A點在第一象限,所以A點坐標為（1,1）

（3）0A=Vl2+I2=V2,0A與x軸所夾銳角為45°

如圖下所示①，當0A為腰時，由OA=OP,得々（JI,0）,巴卜、反，0）

由。4=AP,得6（2,0）

②當OA為底時，得舄（1,0）

所以這樣的點有4個，分別是（、歷,0）、（—J5,o1（2,o）、（l,o）

-j_--->

PTP^x

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）

1.反比例函數(shù)y=--”的圖象上兩點A（X],yj,3（*2,%），當玉＜0＜尤2時，有

yv＞2，則m的取值范圍是o

2.已知反比例函數(shù)y=人的圖象在第一、三象限，則一次函數(shù)y=-丘+2的圖象不經(jīng)過

第象限。

3.直線y=（加一2）x+3加-5與y軸的交點在x軸上方,且y隨的取值范圍是

4.三角形三邊長為3cm,5cm,xcm,則三角形的周長為y（cm）與㈤的函數(shù)關(guān)系式是

,自變量取何值時，函數(shù)丁=（加一2?〉一3+2+〃7是*的一次函數(shù)？它是

否是正比例函數(shù)？

6.已知一次函數(shù)y=(機一2)工+加一3的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，求m的取值范圍。

7.直線y=2x—2和直線y=x—5的交點在第象限。

8.兩個一次函數(shù)的圖象交于y軸上一點A,分別交x軸于點B、C,如圖所示,若已知|0B|：

|0A|：|OC|=1：2：3,且aABC的面積是16,求兩函數(shù)的解析式。

9.在平面直角坐標系中，已知點4(7—2加，5—〃7)在第二象限，且m為整數(shù)，則過點A

的反比例函數(shù)的解析式為。

10.如果一次函數(shù)y=丘-2的圖象與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為10,則此一次函

數(shù)為。

Q

11.已知點A是正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)y=2在第一象限的交點

x

(1)求點A的坐標；

4、

(2)如果直線y=+b經(jīng)過點A且與x軸交于點C,求b及點C的坐標。

12.如圖所示，在第四象限內(nèi)的矩形OABC,兩邊在坐標軸上，一個頂點在一次函數(shù)

y3的圖象上，當點A從左向右移動時，矩形的周長與面積也隨之發(fā)生變化，設(shè)線

-2

段OA長m,矩形的周長為/,面積為s。

(1)試分別寫出/、S與m的函數(shù)關(guān)系；

(2)能否求出當m取何值時，矩形的周長/最大？為什么？

(3)你能否估計矩形的面積是否有最大值，簡單說一下你的想法?

【試題答案】

1.771<-2.三

2

3.-<m<24.y=8+x；2cx<8

3

f—3=1[m=±2

5.解：〈，〈

m一2w0\inw2

則m=-2

y=-4x,它是一次函數(shù)也是正比例函數(shù)。

[m-2>0fm>2

6.解：???{，/.<

m-3<0[m<3

/.2<m<3

7.三

8.解：設(shè)03=x,OA=2x,OC=3x

SMBC=EBCxOA=—?4x?2x

16=4x2,x2=4,x=2

：,0B=2,0A=4,0C=6

/.A（0,4）,0）,C（6,0）

2

???直線AB解析式為y=2x+4,直線AC解析式為y=-耳x+4

1

9.y=——

x

10.y=gx-2或y=-gx-2

y