北師大版-選修1－1 第二章　圓錐曲線與方程 1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGEPAGE1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時）教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容：橢圓的定義，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用.2.內(nèi)容解析：從本章知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)看，橢圓、雙曲線、拋物線的研究背景、研究問題、研究方法具有高度的相似性，橢圓的學(xué)習(xí)為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式，因而本單元的學(xué)習(xí)在全章的學(xué)習(xí)中具有基礎(chǔ)和示范性作用.本單元是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)良好的知識載體，學(xué)生通過動手畫、觀察抽象圖形的幾何特征，直觀感知橢圓形狀，選擇適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)做好鋪墊.培養(yǎng)了學(xué)生從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等思想，通過觀察-猜想-論證-應(yīng)用，不僅滲透了研究新問題的科學(xué)方法，還提升了學(xué)生的思維品質(zhì)和科學(xué)的態(tài)度，通過師生交流，生生交流與探究活動，引導(dǎo)學(xué)生積極動手操作、勤于思考、善于思考，鼓勵學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題.學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，尊重學(xué)生的自我發(fā)現(xiàn)，落實(shí)新課標(biāo)中學(xué)生發(fā)展為本、立德樹人、提升素養(yǎng)的理念.在本節(jié)課中，“橢圓的定義”部分，先在問題“橢圓具有怎樣的幾何特性?”的引領(lǐng)下進(jìn)行畫圖操作，從中發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何特征，進(jìn)而獲得橢圓的概念，明晰研究的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn).“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”部分，先根據(jù)橢圓的幾何特征建立坐標(biāo)系，然后通過代數(shù)運(yùn)算得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.上述過程體現(xiàn)了研究圓錐曲線的一般思路和方法，包括如何發(fā)現(xiàn)曲線的幾何特征、如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系、如何簡化和優(yōu)化方程.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：橢圓的定義及坐標(biāo)法推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.二、教學(xué)目標(biāo)1.在軌跡生成的操作中掌握橢圓定義，學(xué)會推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2、學(xué)會通過研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程獲得橢圓的簡單幾何性質(zhì)3、進(jìn)一步理解和研究坐標(biāo)法，感悟數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，三、教學(xué)策略分析1.已具備的認(rèn)知基礎(chǔ)：本課時的教學(xué)對象具有良好的知識儲備和較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力.學(xué)生對坐標(biāo)法已有初步的認(rèn)識，通過直線和圓的方程的學(xué)習(xí)，對用坐標(biāo)法研究曲線的基本思路與方法已有了解，學(xué)生具備較強(qiáng)的探究意識和團(tuán)隊(duì)合作意識，有較好的語言表達(dá)能力，積累了一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，具有較強(qiáng)的動手實(shí)踐能力.2.可能存在的認(rèn)知困難：化簡由橢圓的幾何特征直接得到的方程.這個方程是二元無理方程，是初高中教材銜接的空白點(diǎn)，化簡這個方程需要兩次兩邊平方，并且涉及的字母多，對學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：問題鏈引導(dǎo)學(xué)生對需要化簡的式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析，對可能的方案進(jìn)行預(yù)判，選擇相對計(jì)算量小的方案進(jìn)行化簡，在化簡過程中遇到的問題，通過小組合作探究解決.3.教法分析結(jié)合本課時的內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)情分析，本節(jié)課主要采用任務(wù)驅(qū)動、問題啟發(fā)、直觀演示的教學(xué)方法.本課時以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)為根本出發(fā)點(diǎn)，知識上以抽象生成橢圓的概念和直觀感受橢圓的對稱性，化簡橢圓方程為核心，思想方法上以坐標(biāo)法為核心，用例1和課堂測驗(yàn)作為課堂反饋，以完成課前探究和課后作業(yè)作為課堂的延伸和拓展，充分增加課堂的深度和廣度.4.學(xué)法分析學(xué)生主要采取自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)模式.在課前作業(yè)中既有全體參與的活動，也有小組合作的活動.在課堂教學(xué)中始終以學(xué)生為核心，鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑，通過小組合作、交流分享，突破難點(diǎn)，提升學(xué)生的合作探究意識，提高分析問題、解決問題的能力.5.教學(xué)支持條件教師充分利用暢言智慧課堂教學(xué)輔助系統(tǒng)授課，利用該系統(tǒng)實(shí)時地展示學(xué)生的探究過程和結(jié)果，讓每個學(xué)生參與到探究的過程中來，及時分享學(xué)生的不同方法，充分發(fā)揮生生互評、師生互評的評價效能，引發(fā)學(xué)生更加深入的思考，加深對新知的理解與應(yīng)用.四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)五、教學(xué)過程（一）情景設(shè)置，引入新課師：嫦娥奔月，北斗指路，祝融探火，天宮攬勝，神舟啟航。把古老的什么神話變成這是中國航天人驕傲與浪漫。在過去的一年里中國，中國航天又都取得了成績，請大家一直跟著視頻一起來回望中國航天的2022.【設(shè)計(jì)意圖】：增強(qiáng)學(xué)生的民族自信心和自豪感。師（視頻播放結(jié)束）每一幀都是中國驕傲，每一幀都讓我們每一個中國人感到自豪。那么，大家知道視頻中的天體運(yùn)行的軌道是什么圖形嗎？生：橢圓師：對，橢圓。除了天體運(yùn)行的軌道是橢圓，你在生活中見過中見過橢圓形狀的物品嗎？生：舉例師：橢圓不僅適用于我們的高科技，而且與我們的生活還息息相關(guān)、這就更加證明了研究橢圓的必要性。今天就我們一起學(xué)習(xí)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》。（二）、合作探究，形成概念師：將一細(xì)繩的兩端固定在同一個點(diǎn)上，用筆尖把繩子拉緊，慢慢移動筆尖就得到了一個圓。那么仍然就這條細(xì)繩的兩端分別固定在兩個定點(diǎn)F1,F2上，用筆尖把細(xì)繩拉緊又會得到什么圖形呢？請大家以小組為單位共同完成屏幕上的實(shí)驗(yàn)？結(jié)論：小組合作，大家畫出的曲線就是橢圓師：你能從剛才畫圖的過程中發(fā)現(xiàn)筆尖這個動點(diǎn)P滿足什么條件嗎？生：筆尖這個動點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1,F2兩定點(diǎn)的距離之和始終等于繩長。師：肯定學(xué)生的答案，強(qiáng)調(diào)筆尖這個動點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1,F2距離之和始終等于繩長。師：那么大家還發(fā)現(xiàn)有什么關(guān)系嗎？生：繩長得大于半徑師：繩長與兩定點(diǎn)F1,F2的距離有幾種關(guān)系？小組繼續(xù)討論得出結(jié)論：>d表示的是橢圓，=d表示的是線段段，<d不表示任何圖形。【設(shè)計(jì)意圖】：通過小組合作進(jìn)行畫橢圓操作，在曲線的形成過程中產(chǎn)生對橢圓的特征的感性認(rèn)識。引導(dǎo)學(xué)生觀察、想象、概括、激發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的興趣，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象等素養(yǎng)。借助Geogebra軟件，動態(tài)展示剛才的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，引導(dǎo)學(xué)生自主探究得出橢圓的軌跡定義．讓學(xué)生嘗試去總結(jié)橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的集合（或軌跡）叫做橢圓兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)的距離|F1F2|叫做焦距。（三）、主體互動，研究問題師：類比前面圓的學(xué)習(xí)過程，學(xué)完定義好我們應(yīng)該開始干什么呢？生：求橢圓的方程師：求曲線的一般過程是什么？生：建，設(shè)，限，代，化教師引導(dǎo)(1)建系以F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系．(2)設(shè)點(diǎn)設(shè)P(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1F2＝2c，則有F1(－c，0)、F2(c，0)．(3)限制橢圓上的點(diǎn)滿足|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞2c)．(4)代入EQ\R((x＋c)2＋y2)＋EQ\R((x－c)2＋y2)＝2a(2a＞2c)．提出問題：下面怎樣化簡化簡？小組進(jìn)行討論，并讓小組代表展示結(jié)果方法1(移項(xiàng)平方法)：因?yàn)镋Q\R((x＋c)2＋y2)＋EQ\R((x－c)2＋y2)＝2a，所以EQ\R((x＋c)2＋y2)＝2a－EQ\R((x－c)2＋y2)，兩邊平方可得：EQ\R((x－c)2＋y2)＝a－eq\f(cx,a)，兩邊再平方可得：eq\f((a2－c2)x2,a2)＋y2＝a2－c2，所以橢圓的方程為：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－c2)＝1(a＞c＞0)．方法2(直接平方法)：因?yàn)镋Q\R((x＋c)2＋y2)＋EQ\R((x－c)2＋y2)＝2a，兩邊平方可得：x2＋c2＋y2＋EQ\R((x2＋c2＋y2)2－4c2x2)＝2a2，整理得：EQ\R((x2＋c2＋y2)2－4c2x2)＝2a2－(x2＋c2＋y2)，兩邊再平方可得：a2(x2＋c2＋y2)＝a4＋c2x2，即：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，所以橢圓的方程為：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－c2)＝1(a＞c＞0)【設(shè)計(jì)意圖】該環(huán)節(jié)對運(yùn)算能力的要求頗高，學(xué)生會遇到運(yùn)算的困難，是直接兩邊平方？還是移項(xiàng)后再兩邊平方？先讓學(xué)生自己嘗試，發(fā)現(xiàn)問題，通過交流，解決問題，使學(xué)生掌握含根號等式化簡的方法與技巧，提高學(xué)生的計(jì)算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的提升.師：同學(xué)們認(rèn)為是我們化簡的最簡形式了嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，在橢圓的圖形中去發(fā)現(xiàn)所對應(yīng)的線段長，找出它們之間的關(guān)系，讓學(xué)生了解的幾何含義，最終令，讓橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程達(dá)到最簡。【設(shè)計(jì)意圖】說明的幾何意義，進(jìn)一步解釋引進(jìn)的好處，讓學(xué)生體會解析幾何數(shù)形結(jié)合的思想，感受數(shù)學(xué)方程的簡潔美。思考：焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？（由學(xué)生動手列式，，引導(dǎo)學(xué)生觀察焦點(diǎn)在軸上與焦點(diǎn)在軸上式子的差異，從而用類比的方法得到焦點(diǎn)在軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）如果橢圓的焦點(diǎn)在軸上，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，用同樣的方法可以推出它的標(biāo)準(zhǔn)方程.（四）學(xué)以致用，典例分析例1.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.方法一：解：由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由橢圓的定義知，則，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.方法二：由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由橢圓的定義知，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步理解橢圓的定義，掌握標(biāo)準(zhǔn)方程，使知識內(nèi)化為素養(yǎng)，并在解題過程中感受解析幾何的思想，使數(shù)學(xué)概念在應(yīng)用中得以鞏固.解題感悟：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：①先定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；②再定量：求a,b的值.例2:P是圓上的任意一點(diǎn)，是圓F1內(nèi)一點(diǎn),線段PF2的垂直平分線MN交PF1于點(diǎn)M,交PF2于點(diǎn)N，求點(diǎn)M的軌跡方程教師借助Geogebra軟件展示完整過程【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步提升對橢圓定義的理解（五）反思小結(jié)，信息反饋知識橢圓的定義橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方法坐標(biāo)法數(shù)形結(jié)合法橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)距離之和常數(shù)(大于