遼寧省大連市海灣高級(jí)中學(xué)2024年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

遼寧省大連市海灣高級(jí)中學(xué)2024年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出的S=2時(shí)，則輸入的S的值為（）

［開(kāi)始）

/脩入5/

22

2.洛書(shū)，古稱龜書(shū)，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一,

左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖，若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中

分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，則其和等于11的概率是（）.

3.橢圓是日常生活中常見(jiàn)的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有

一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略

不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過(guò)程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）

4.已知函數(shù)若/（%）?0（%€氏）恒成立，則滿足條件的。的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

5.已知向量。與的夾角為60°,，=1,b|=有，則。0=（）

J3?33

A.一葉B.0C.0或——D.——

222

6.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為S,,,若8a,oi9+4oi6=O,則稱的值為（）

d3

3179

A.—B.—C.—D.一

2288

7.某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無(wú)理數(shù)e的值，做法如下：首先在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A（L0）作x軸的垂線與曲線

y=短相交于點(diǎn)3,過(guò)3作y軸的垂線與y軸相交于點(diǎn)C（如圖），然后向矩形Q鉆C內(nèi)投入M粒豆子，并統(tǒng)計(jì)出

這些豆子在曲線丁="上方的有N粒（N<"）,則無(wú)理數(shù)e的估計(jì)值是（）

8.已知三棱錐P-4BC的頂點(diǎn)都在球。的球面上，PA=也,PB=^,AB=4,CA=CB=J1Q,面BLB,面ABC,

則球O的表面積為（）

107r257r40?50%

A.------B.------C.------D.------

3693

9.已知集合4={%|〃92%<1}，集合3=卜Iy=J2_,,則AB=()

A.(-oo,2)B.(-oo,2]C.(0,2)D.[0,+8)

10.已知函數(shù)/(x)=r+3x+3,g(x)=-x+m+2,若對(duì)任意玉e[1,3],總存在％e[1,3],使得/(占卜8伍)

x+1

成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

’17*

—00,——[9,+oo)

A.B.k2J

-179'ri丁-9

C.?D.一彳—,+co

_T2__2

11.直線--、1--、：=「經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)一，交橢圓于--兩點(diǎn)，交-軸于一點(diǎn)，若

~古+三=聯(lián)二〉二>。)一~~

二三=二二二，則該橢圓的離心率是()

A.jB.C.*?D.；

12.設(shè)全集U=R,集合A={x[(x—l)(x—3)20},B=<x\!^〉；>.則集合@A)A3等于()

A.(1,2)B.(2,3]C.(1,3)D.(2,3)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知直線/：丁=!與函數(shù)〃x)=sin(8+g](0〉O)的圖象在y軸右側(cè)的公共點(diǎn)從

左到右依次為A,4,…，若點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為1,則點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為.

14.某校高二(4)班統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)中午在食堂用餐時(shí)間，有7人用時(shí)為6分鐘，有14人用時(shí)7分鐘，有15人用時(shí)為

8分鐘，還有4人用時(shí)為10分鐘，則高二(4)班全體同學(xué)用餐平均用時(shí)為一分鐘.

15.直線wx-ny-l=0(機(jī)>0,">0)過(guò)圓C:%2+y2-2x+2y-1=0的圓心，則工+工的最小值是.

mn

x-y>0

16.已知實(shí)數(shù)X,y滿足約束條件x+y-4W0,則z=2-3x+v的最大值是.

二1

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

/\\\〃為奇數(shù)

17.(12分)已知數(shù)列｛4｝,也｝,數(shù)列｛c“｝滿足c〃=「不傭物，”cN*.

\bn,〃為偶數(shù)

(1)若?！?〃，2=2",求數(shù)列｛g｝的前2"項(xiàng)和應(yīng)；

⑵若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且對(duì)任意〃eN*，c.+i〉g恒成立.

①當(dāng)數(shù)列也｝為等差數(shù)列時(shí)，求證：數(shù)列｛4｝,也｝的公差相等；

②數(shù)列也｝能否為等比數(shù)列？若能，請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足條件的數(shù)列也｝;若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.(12分)已知｛%｝,｛勿｝,｛。"｝都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足囚4+。2為+…+%，”=GS,,"eN*,其中S”是數(shù)

列｛?！埃那啊?xiàng)和，｛g｝是公差為d(d70)的等差數(shù)列.

⑴若數(shù)列｛為｝是常數(shù)列，d=2,。2=3,求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

⑵若4=力?C是不為零的常數(shù))，求證：數(shù)列出｝是等差數(shù)列；

bb

(3)若q=q=d=左(女為常數(shù)，kObn=cn+k(n>2,zze^*).求證：對(duì)任意〃22/￡N*,。>上的恒

anan+l

成立.

ny

19.(12分)已知函數(shù)/?(1)==(aH0).

e

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，如果方程/'(x)=r有兩個(gè)不等實(shí)根和馬，求實(shí)數(shù)f的取值范圍，并證明石+々>2.

221

20.(12分)已知橢圓。：.+*=1(。>>>0)的焦距為2百，斜率為萬(wàn)的直線與橢圓交于A,3兩點(diǎn)，若線段

的中點(diǎn)為。，且直線8的斜率為-

2

(1)求橢圓C的方程；

11

(2)若過(guò)左焦點(diǎn)歹斜率為左的直線/與橢圓交于點(diǎn)M,N,P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足。問(wèn)：麻+師7是

否為定值？若是，求出此定值，若不是，說(shuō)明理由.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=|2x+a|-|x-3|(aeR).

(1)若a=—1,求不等式/(x)+l>0的解集；

(2)已知a>0,若/(x)+3a>2對(duì)于任意xeR恒成立，求a的取值范圍.

22.(10分)在AABC中，a、b、c分別是角4、B、C的對(duì)邊，S.(a+b+c\a+b-c)=3ab.

(1)求角C的值；

(2)若c=2,且AABC為銳角三角形，求4+力的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

1313

若輸入S=—2,則執(zhí)行循環(huán)得S=4次=2;5=彳，左=3;S=—2,Z=4;S==，左=5;5=彳次=6;

3232

133

5=-2,左=7;5=彳次=8;5=彳次=9;結(jié)束循環(huán)，輸出S=G，與題意輸出的S=2矛盾；

322

若輸入S=—1,則執(zhí)行循環(huán)得S=工次=2;S=2次=3;S=—1水=4;S=工次=5;S=2,左=6;

22

S=-1/=7;S=工次=8;S=2?=9;結(jié)束循環(huán)，輸出S=2,符合題意；

2

若輸入S=—?jiǎng)t執(zhí)行循環(huán)得S=[次=2;S=3,左=3;S=—g次=4;S=：/=5;S=3次=6;

2323

12

S=—；；次=7;S=彳次=8;S=3,攵=9;結(jié)束循環(huán)，輸出S=3,與題意輸出的S=2矛盾；

23

若輸入S=],則執(zhí)行循環(huán)得S=2,左=2;S=—1/=3;S=3,左=4;S=2,左=5;S=-1,攵=6;

22

S=!水=7;S=2#=8;S=—1次=9;結(jié)束循環(huán)，輸出S=—1,與題意輸出的S=2矛盾；

2

綜上選B.

2、A

【解析】

基本事件總數(shù)〃=4x5=20,利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個(gè)，由此能求出其和等于11的概率.

【詳解】

解：從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，

基本事件總數(shù),7=4x5=20,

其和等于11包含的基本事件有：(9,2),(3,8),(7,4),(5,6),共4個(gè),

41

其和等于n的概率2=痂=,.

故選：A-

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定

此時(shí)橢圓的離心率，進(jìn)而確定離心率的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.

此時(shí)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為J122+62=6相，短軸長(zhǎng)為6,

r2J5I

所以ee0,，一.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了楠圓的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

由不等式恒成立問(wèn)題分類(lèi)討論：①當(dāng)。=0,②當(dāng)③當(dāng)。>0,考查方程〃刈=-1的解的個(gè)數(shù)，綜合①②③得

ae

解.

【詳解】

①當(dāng)〃=0時(shí)，/(x)=^-1>0..0,滿足題意，

②當(dāng)avO時(shí)，ex-a>03xG(——,+8),ax+-<0,故/(%)..。(％￡尺)不恒成立，

0aee

③當(dāng)〃>0時(shí)，設(shè)g(%)=e*-a,h(x)=ax+-

e9

令g(x)=e"-a=O,得x=Ina,h(x)=ax+-=0,得％=--—,

eae

下面考查方程Ina=--的解的個(gè)數(shù)，

ae

設(shè)。(〃)=alna,貝!I(〃)=l+lna

由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得：

(P(a)=4也在(0」)為減函數(shù)，在(■,+◎?yàn)樵龊瘮?shù)，

ee

則。(?)

e

即/=---有一解，

ae

又g(x)=e，'-a,/7(x)=ax+」均為增函數(shù)，

e

所以存在1個(gè)。使得/W..O(xeR)成立，

綜合①②③得：滿足條件的。的個(gè)數(shù)是2個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式恒成立問(wèn)題及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的解得個(gè)數(shù)，重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難度較大的

題型.

5^B

【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量。與.+6的夾角為60°,再由/=k『，片=|『代入表達(dá)式中即可求出口./,.

【詳解】

由向量a與0+6的夾角為60°,

+=a'+?-/?=|a||a+Z7|cos60°,

所以。2+a.b=gHJ(a+))=^-1a：|yja2+2a-b+b2,

又口=1,欠=6,a2=|a|2,b=|￡?|2,

所以l+a,/?=5><lx\]1+2a.Z?+3,解得a.b=0.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長(zhǎng)平方等于向量的平方，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

求得等比數(shù)列｛4｝的公比，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得手的值.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,8%019+。2016=0，?,?/=~=一:，，4=一;，

%016"2

因此,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7,D

【解析】

利用定積分計(jì)算出矩形OABC中位于曲線y=e'上方區(qū)域的面積，進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于e的等式，

解出e的表達(dá)式即可.

【詳解】

在函數(shù)y=，的解析式中，令x=l,可得y=e,則點(diǎn)6(1,e),直線的方程為丁=6,

1

矩形Q鉆C中位于曲線y=/上方區(qū)域的面積為S=J(e-e)公=(ex—

0

矩形Q4BC的面積為lxe=e,

N1M

由幾何概型的概率公式得一=-，所以，e=—.

MeN

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算e的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域

的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

8、D

【解析】

由題意畫(huà)出圖形，找出AE45外接圓的圓心及三棱錐尸-5CZ)的外接球心0,通過(guò)求解三角形求出三棱錐P-3c。的

外接球的半徑，則答案可求.

【詳解】

如圖；設(shè)A3的中點(diǎn)為。；

,:PA=。PB=A，AB=4,

為直角三角形，且斜邊為AB,故其外接圓半徑為：r==AB=AO=2；

2

設(shè)外接球球心為。；

?:CA=CB=?,ffiPAB±^ABC,

...CDLA5可得。，面BLB；且￡>C=Jc42_AZ)2=屈.

二。在C￡)上；

L5

故有：402=002+402.2=(a_R)2+r2^R=—

50%

二球0的表面積為:4nR2=4nx‘二丫

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查思維能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

9、D

【解析】

可求出集合A,B,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

【詳解】

解：A={x|0<x<2},B={v|y>0}；

AiB=[0,+oo).

故選。.

【點(diǎn)睛】

考查描述法、區(qū)間的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及并集的運(yùn)算.

10、C

【解析】

將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，并求得廣(無(wú))，根據(jù)當(dāng)司式1,3］時(shí)/(％)＞0可得〃藥)的值域；由函數(shù)g(x)=—x+m+2

在/e［1,3］上單調(diào)遞減可得g(%)的值域，結(jié)合存在性成立問(wèn)題滿足的集合關(guān)系，即可求得加的取值范圍.

【詳解】

x"+3x+3x~+x+2(x+l)+l

依題意/(x)=

X+1X+1

=x-\--------1-2,

x+1

貝!l1(x)=l-/7,

(x+1)

當(dāng)xe［l,3］時(shí)，/(力＞0,故函數(shù)八％)在［1,3］上單調(diào)遞增,

-7

21一1

當(dāng)玉?1,3］時(shí),/(xje2-4J

-

而函數(shù)g(x)=-x+m+2在［1,3］上單調(diào)遞減,

故加+1］,

~721~|

則只需C+

m-l<—

25加IV9

，解得下《根＜7,

12142

m+l>——

4

179

故實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為了,萬(wàn).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，恒成立與存在性成立問(wèn)題的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

11、A

【解析】

由直線二一、弓二千、3=0過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)二，得到左焦點(diǎn)為二一且：:?一二

再由；=疣，求得'代入橢圓的方程‘求得_上'進(jìn)而利用橢圓的離心率的計(jì)算公式'即可求解.

【詳解】

由題意，直線-7一二」經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)-，令.，解得_1，

所以二=、;即橢圓的左焦點(diǎn)為二-，且二?一二?=；①

直線交二軸于雙的，所以，二二I=區(qū)|二口=*二二?=:，

因?yàn)?-"=---9所以...-；，所以，

J4—?—JIJ一,'3J.A

一n

又由點(diǎn)-在橢圓上，得②

己+3=4

由--，可得_.__，..，，解得-,

uu"-一“▼?一）-_:*

小一2

所以.，

「上口?/，齊/涔?\J

所以橢圓的離心率為-=

XJ丫J*

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求橢圓的離心率（或范圍），常見(jiàn)有兩種方法：①求出-，代入

公式②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于-的齊次式，轉(zhuǎn)化為-的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于-的方程，即可

MMa**WBOM***

Jj=-

得的值（范圍）.

12、A

【解析】

先算出集合用A,再與集合3求交集即可.

【詳解】

因?yàn)锳={x|無(wú)23或x<l}.所以gA={x[l<x<3},又因?yàn)?={%|2*<4}={%|%<2}.

所以&4）門(mén)5={》|1<%<2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

當(dāng)x=l時(shí)，f(x)=sin(。+')=!得。+2=2上萬(wàn)+工，或匹=2版■+20teZ),依題意可得。+工=生，可求得。，

62666666

繼而可得答案.

【詳解】

TT1

因?yàn)辄c(diǎn)4的橫坐標(biāo)為1,即當(dāng)x=l時(shí)，/(x)=sin(^+-)=-,

62

所以G+工=2左萬(wàn)+工或。+工=2左萬(wàn)+2(左eZ),

6666

1萬(wàn)

又直線/：y=—與函數(shù)/(X)=sin(5+>0)的圖象在y軸右側(cè)的公共點(diǎn)從左到右依次為A,4

26

所以0+2=?,

66

2〃

故口二—，

3

所以函數(shù)的關(guān)系式為〃x)=sin(Vx+5

36

當(dāng)％2=3時(shí)，f(1)=sin(—x3+—)=—,

362

即點(diǎn)兒的橫坐標(biāo)為1,(3,；)為二函數(shù)的圖象的第二個(gè)公共點(diǎn).

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換、正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力及思維能力，屬于中檔題.

14、7.5

【解析】

分別求出所有人用時(shí)總和再除以總?cè)藬?shù)即可得到平均數(shù).

【詳解】

7x6+14x7+15x8+4x10一廣

-----------------------------------=7.5

7+14+15+4

故答案為：7.5

【點(diǎn)睛】

此題考查求平均數(shù)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算出所有數(shù)據(jù)之和，易錯(cuò)點(diǎn)在于概念辨析不清導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).

15、4

【解析】

直線mx-〃y-l=O(m>0,n>0)經(jīng)過(guò)圓/+產(chǎn)-2%+2丁-1=。的圓心(1,-1),可得/+〃=1,再利用“乘1法”和

基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【詳解】

mx-ny-1=0(m>0,n>0)經(jīng)過(guò)圓爐+9_2x+2y-1=0的圓心(1,-1),

Am+n-1=0,BPm+n=l.

][1jntn\

/.----F—=(——F—)(m+/i)=2H------1---->2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)m=%=一時(shí)取等號(hào).

mnmnnm2

二則工+工的最小值是4.

mn

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

1

16、-

4

【解析】

令-3x+y=t,所求問(wèn)題的最大值為2』,只需求出*.即可，作出可行域，利用幾何意義即可解決.

【詳解】

作出可行域，如圖

令—3x+y=/,貝!Jy=3x+t,顯然當(dāng)直線經(jīng)過(guò)8(1,1)時(shí)，f最大，且需=-2,

1

故z=23+N的最大值為2.92=7

4

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，要做好此類(lèi)題，前提是正確畫(huà)出可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)+(2)①見(jiàn)解析②數(shù)列｛2｝不能為等比數(shù)列，見(jiàn)解析

【解析】

(1)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列，選用分組求和的方法進(jìn)行求解；

(2)①設(shè)數(shù)列｛為｝的公差為d,數(shù)列｛2｝的公差為4,當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，得出42d；當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，得出4<d,

從而可證數(shù)列｛a,,｝,也｝的公差相等；

②利用反證法，先假設(shè)他,｝可以為等比數(shù)列，結(jié)合題意得出矛盾，進(jìn)而得出數(shù)列｛〃｝不能為等比數(shù)列.

【詳解】

b

n

(1)因?yàn)閎n=29所以?！?2=2,~^~=4且q=4=1,c2=b2=4

由題意可知，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列｛。2〃｝是首項(xiàng)和公比均為4的等比數(shù)列，

n+1

uuzTn(n-l)?4(1-4")424

所以乙=〃+八——-x2+^---------二——+n2——；

2"21-433

(2)①證明：設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列也,｝的公差為4，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，c,==4+(〃-l)d,c?+1=d+1=2+”4

a,—d—b,

-

若4<d,則當(dāng)~J時(shí)，cn+1-cn-d)n+d-ax<0,

即%+i<c〃，與題意不符，所以4Nd,

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，c“=bn=偽+(〃-1)4,c“+i=an+1=%+"d,

b,—d,—ci,

若4>d,則當(dāng)"〉一^~~■時(shí)，c\~c++</i-^i<0,

〃一4n+n

即4+i<g，與題意不符，所以4<d，

綜上，d[=d,原命題得證；

②假設(shè)｛2｝可以為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,

b2

因?yàn)閏“+i>c”，所以c“+2〉c”+i〉c“，所以?！?2-4=2d>o,-^=q->l,

,,4d

因?yàn)楫?dāng)"i+咻ku時(shí),

h+2—切=同（/—i）=間.a""?①之一i）〉股，

所以當(dāng)”為偶數(shù)，且4T<bn<4+1時(shí)，％2拓（4+1，4+3））

即當(dāng)”為偶數(shù)，且GT<C“<c"+］時(shí)，c.+i<c"+2<c"+3不成立，與題意矛盾，

所以數(shù)列也｝不能為等比數(shù)列.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合，數(shù)列求和時(shí)一般是結(jié)合通項(xiàng)公式的特征選取合適的求和方法，數(shù)列綜合題要

回歸基本量，充分挖掘題目已知信息，細(xì)思細(xì)算，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

素養(yǎng).

18、（1）bn=4n-3；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

⑴根據(jù)d=2,。2=3可求得c?，再根據(jù)｛an｝是常數(shù)列代入砧］+a2b2+...+。也=c￡,“eN*,根據(jù)通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和

的關(guān)系求解｛2｝即可.

⑵取n=1,并結(jié)合通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系可求得S?c?-SnAcn.｝=anbn,再根據(jù)an=S“-Sn_x化簡(jiǎn)可得

5,"+而?！?/1幽,代入51='"（；—」化簡(jiǎn)即可知I—=|^（?>3），再證明％-4=|d也成立即可.

⑶由⑵當(dāng)“22時(shí),S,T（C“-%）+。,6,=。也,代入所給的條件化簡(jiǎn)可得心1=姐,，5〃=5日+%=（左+1）%,進(jìn)而證

7.1zj、〃-2bb

明可得a”=k%，-”即數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列?繼而求得見(jiàn)=亍，再根據(jù)作商法證明法>廣即可?

【詳解】

⑴解：d=2,c=3,

：.c=2n-l.

｛q｝是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列，

I.%=%=???=%9

則S=na19

則由cnS=01bl+a2b2+?.?+anbn,

及?！?2〃T,得〃（2〃T）=4+%+…+2，

當(dāng)〃N2時(shí),（〃T）（2〃-3）=4+偽+…+2_],

兩式作差,可得么=4〃-3.

當(dāng)片1時(shí),4=1滿足上式，

貝!|a=4〃-3；

（2）證明：+a2b2+...+anbn=cnSn,

C

當(dāng)〃22時(shí),+a2b2+…+ld-1-n-\^n-\，

兩式相減得：S//S〃_]%=qA，

aCC

即（黑1+n）n~^n-ln-l—。也,^n-l。竹（+。島—"7Ai,

即Sn_/+.

pAn（n-l）

又S〃i二」一S

An（n-l）

——-------d+=Anb,

2

n—1,,

n即rt三-d+C"

72—2

,當(dāng)3時(shí),d+c“_]=b,i，

3

兩式相減得：bn—bn_x=->3）.

??數(shù)列｛bn｝從第二項(xiàng)起是公差為-d的等差數(shù)列.

又當(dāng)〃=1時(shí)，由,得q=4,

2—1133

==

當(dāng)72^2時(shí),由力2=——d+c2~ddby-d，得Z?2—a——d,

3

故數(shù)列也｝是公差為-d的等差數(shù)列；

（3）證明：由⑵，當(dāng)〃22吐

aC

Sn-1(1-*1)+nn—4/4，即Sn-/一%(2-。九)，

'--%=一,

「?勿=?！?四，即?！?cn=kd,

=

Sn_，=c1rl?kd,即Sn_xkan.

???S〃=S〃_]+%=(k+l)%,

當(dāng)心3時(shí),sn_=(k+^an=kan，即4=呈%T.

故從第二項(xiàng)起數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，

.當(dāng)葉p+iy2

??白〃N2時(shí),%=〃21\?

bn--Cn+^-—Cn+kdr—Cy+(〃-1)左+左2=k+(〃一1)左+左2=左(〃+左).

另外，由已知條件可得(。1+%)。2=〃14+%〃2，

又c^~~2^k^b^~k^b^~-+k),

.,.2=1,

仕+1丫-2

因而a.=U-

令4=組，

an

則—]=—-]=----1-T〃_____<Q

dn4+2(?+1)(^+1)("+左)(左+1),

bb.,

故對(duì)任意的〃>2,77GN*,—恒成立.

an%+1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，需要熟練運(yùn)用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系分析數(shù)列的遞推公式繼而求解通項(xiàng)公

式或證明等差數(shù)列等.同時(shí)也考查了數(shù)列中的不等式證明等，需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項(xiàng)，再利用作商

法證明.屬于難題.

19、(1)當(dāng)。>0時(shí)，/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(l,y)；當(dāng)。<0時(shí)，/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間是

(1,十》),單調(diào)遞減區(qū)間是(-口,1)；(2)證明見(jiàn)解析.

Iej

【解析】

(1)求出/'(%),對(duì)。分類(lèi)討論，分別求出/裊)〉0,/。)<0的解，即可得出結(jié)論；

(2)由(1)得出/(%)=t有兩解時(shí)f的范圍，以及人和羽關(guān)系，將藥+%〉2,等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明(石一\乂3*+1)>2,

3一迎-1

不妨設(shè)石〉々，令根=玉一%2，則7%>0,即證(加―2)e"+加+2>0,構(gòu)造函數(shù)

g(x)=(x—2)ex+x+2(x〉0),只要證明對(duì)于任意x>0,g(x)>0恒成立即可.

【詳解】

(1)/(x)的定義域?yàn)镽,且廣。)=幺二也.

e

1—Y1—Y

由—>0,得尤<1；由r<0,得無(wú)>1.

ee

故當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,1),

單調(diào)遞減區(qū)間是(L+8);

當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)/Xx)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,口)，

單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,1).

Y1

(2)由⑴知當(dāng)。=1時(shí)，/W=-,且=f(l)=—.

e1raxe

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.

.??當(dāng)0</<!時(shí)，直線丁=1與丁=/(%)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

e

實(shí)數(shù)f的取值范圍是［o,，］.

Iej

方程/(x)=t有兩個(gè)不等實(shí)根七，％，

2

要證X]+%>2,只需證+產(chǎn)]>2,

即證("—刈(匕+匕)>2,不妨設(shè)玉〉乙.

洲一濾

令”2=七一馬，貝！17%>0,em>b

m(em+i\

則要證」_____2>2,即證(冽—2)建+加+2〉0.

em-l

令g(x)=(x-2)ex+x+2(x>0),則g'(x)=(x-l)ex+1.

令h(x)=(x-l)ex+1,貝!Jh'(x)=xex>0,

〃(x)=(x—l)e*+1在(0,+s)上單調(diào)遞增，...h(x)>h(0)=0.

.?.g'(x)〉0,??.g(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增，

r.g(x)>g(0)=0,即(％—2)ex+x+2〉0成立,

即（zn—2）e"'+加+2〉0成立％+x2>2.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)、不等式證明，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，意在

考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.

XC

20、(1)—+y2=1.

4-

115

⑵哂+所為定值“過(guò)程見(jiàn)解析.

【解析】

分析：（1）焦距說(shuō)明C=G，用點(diǎn)差法可得瓢B!?這樣可解得。力，得橢圓方程；

a4

11「

（2）若左=0,這種特殊情形可直接求得研+西T,在左W0時(shí)，直線MN方程為y=k（x+百），設(shè)

MQ，X）,N（%,力）,把直線方程代入橢圓方程，后可得然后由紡長(zhǎng)公式計(jì)算出弦長(zhǎng)

河=&+尸忖_/|，同時(shí)直線。尸方程為y=-Jx,代入橢圓方程可得P點(diǎn)坐標(biāo)，從而計(jì)算出最后計(jì)算

]]

河+研即可.

詳解：（1）由題意可知c=代，設(shè)A（x，X）,5（%,%），代入橢圓可得:

2222

W+與=1,與+與=1,兩式相減并整理可得,

a2b2a2b2

%—尤2X+%b2b2

/，^k-k=--

%一玉石+%2ABOD

又因?yàn)?^二^，%=-3,代入上式可得，々2=462.

又/="+。2,/=3,所以〃?=4,〃=1,

丫2

故橢圓的方程為L(zhǎng)+>2=1.

4-

（2）由題意可知，F(xiàn)（-A/3,0）,當(dāng)MN為長(zhǎng)軸時(shí)，0P為短半軸,此時(shí)

111,5

\MN\\0P\244;

2

X2

/—1~y=1

否則，可設(shè)直線/的方程為丁=左X+6,聯(lián)立4消y可得,

y=左1+石）

（1+4左2）尤2+8舊廿X+12左2—4=0,

86k212k2-4

貝!I有：玉+%2=------,X.x

1+4421-2l+4k2

所以1MN1=標(biāo)|…卜行/富］-4（%4+4左2

1+4左2

,2_

1Ty=11

設(shè)直線OP方程為y=-聯(lián)立「，，根據(jù)對(duì)稱性，

k1

111+4左211+4左242+45

1=---------+=+---------=—

2

故I政V|----|0P|-4+4左2(卜+4左2),----4+4/--4+442---4,

115

綜上所述，函+所為定值“

r2V2h2

點(diǎn)睛：