山東省煙臺(tái)重點(diǎn)中學(xué)2024屆高考診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)模擬試題（一）（含答案）

2024年高考診斷性測(cè)試

數(shù)學(xué)模擬試題(一)

(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)

、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4={1|—N+x2o},5={x|x—1<O},則43=().

A.{x|尤W1}B.[x|x<l}C{x|O?l}D.{九|O4W"

—2—z

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z=-1—i(i為虛數(shù)單位)，z的共物復(fù)數(shù)是z，則上==().

z

A.B.-2+iC.-l+2iD.l+2i

3.已知Ia|=2,|b|=3,|a+b|=M，貝IIa-b\等于().

B.岳C.y/15D.V17

4.下列四組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)表示的是同一個(gè)函數(shù)的是().

A./U)=X?與/(X)=%+42B.f(x)=—log3X2與/(x)=log3X

2

C.D./(X)=R(x-1)3與/(%)=%—1

5.一個(gè)暗箱裝有若干個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，每次從中摸出1個(gè)球，直到摸出的三種顏色的球都有為止.若小明

第4次摸球后終止摸球，則他依次摸出的4個(gè)球的顏色的不同情形有().

A.9種B.12種C.18種D.24種

已知sina+sin(a+二)=皿3,貝！Jsin(Q—決)的值是().

6.

356

2m空_44

A.B.C.D.-

555

7.設(shè)。=log0.60.8,c=logi.i0.8,則().

A.b<.a<icB.c<b〈aC.D.

8.已知A,5為拋物線y=2力(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以A3為直徑的圓C經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)居且面積為4Tl.若過(guò)圓心C

作該拋物線準(zhǔn)線/的垂線，垂足為。，則的最大值為().

A.4B.2^2C.4A/2D.6

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的

得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，若長(zhǎng)方體ABC。一的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4,E是。。1的中點(diǎn)，貝1|().

A.

B.平面BiCE〃平面48。

Di

Q

C.三棱錐C1-B1CE的體積為一

3

D.三棱錐Ci-BiCD的外接球的表面積為24TI

10.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)e^(x-l).則下列結(jié)論|正硒具(/).

A.當(dāng)xVO時(shí)，/(x)=ex(x+l)

B.函數(shù)/(x)有五個(gè)零點(diǎn)

1

C.若關(guān)于x的方程/（x）=m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是/（—2）WmW/（2）

D.uXi,X2（R,1/3）—/（X1）IV2恒成立

n.已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,過(guò)F2的直線與雙曲線的右支交于48兩點(diǎn),若|斯1|=|行2|=2|川2|,則（）.

A.ZAF1B=ZF1AB

B.雙曲線的離心率6=亙

3

C.雙曲線的漸近線方程為y=±亞尤

3

D.原點(diǎn)。在以Fz為圓心，AFz為半徑的圓上

12.如圖，已知點(diǎn)E是ABCD的邊AB的中點(diǎn)，心（小N*）為邊BC上的一列點(diǎn)，連接AF〃交BD于G.,點(diǎn)G.（nN*）滿足G,Q

=an+i'GnA—2（2a.+3）?G“E,其中數(shù)列｛為｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)歹ll,S〃是數(shù)列｛aj的前"項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）.

A.03—13B.數(shù)列｛為+3｝是等比數(shù)列

D.S=2n+1-n-2

C.an—4n—3n

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題后的橫線上.

13.若—5］的二項(xiàng)展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則"的最小值是.

14.圓x2+y2—2x—6y+9=0關(guān)于直線2x+y+5=0對(duì)稱(chēng)的圓的方程是.

15.已知“X）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，/6）=2好―3x2+a,則/（—2）=,曲線y=/（x）在點(diǎn)（一2,

/（—2））處的切線方程為.（本小題第一空2分，第二空3分）

22

16.如圖，A,B是雙曲線當(dāng)=1（a>0,匕>0）上的兩點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn).△4F8是以下為頂點(diǎn)的等腰

a2b2

直角三角形，延長(zhǎng)BF交雙曲線于點(diǎn)C.若4,C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則雙曲線的離心率為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量m=（a,幣b）,n=（cosZl,sinB）,且/7?〃。.

⑴求角A;

（2）若。=b=2,求△ABC的面積.

2

18.（12分）設(shè)5"為數(shù)列｛或｝的前"項(xiàng)和，且$2=8,2S?=（n+l）an+n—1.

（1）求ai,az,并證明數(shù)列｛a八為等差數(shù)列；

（2）若不等式;I?2"—5”>0對(duì)任意正整數(shù)“恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABC。，PA=6,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，ZBCD=60°,E是

CD的中點(diǎn).

（1）證明：平面P8E_L平面以B；

（2）求二面角A-BE-P的平面角的大小.

（第19題圖）

20.（12分）“南澳牡蠣”是我國(guó)地理標(biāo)志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營(yíng)養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美譽(yù).根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模

與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量（克）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布N（32,16）.

（1）購(gòu)買(mǎi)10只該基地的“南澳牡蠣”，會(huì)買(mǎi)到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性有多大？

（2）2019年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x（單位：人）與年收益增量y（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：

人工投入增量x/人234681013

年收益增量y/萬(wàn)元13223142505658

該基地為了預(yù)測(cè)人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型:

模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程為y=4.1x+11.8；

模型②：由散點(diǎn)圖（如圖）的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線y=b?+a的附近，對(duì)人工投入增量x做變換，令

7__7

,則y="/+a，且有％=2.5,y=38.9,=81.0,=3.8.

⑴根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中V關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到0.1）；

（ii）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)R2,并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)人工投入增量為16

人時(shí)的年收益增量.

3

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.1x+11.8y=b\[x-\~a

必)2182.479.2

Z=1

附：若隨機(jī)變量z?A/(〃，a2),貝I」P(4-3bWZW〃+3b)=0.9974,0.998710^0.9871；

樣本(3y/)(/=1,2,…,c)的最小二乘估計(jì)公式為〃=221，---------------，4=廠加.

f(4-)

Z=1

21.(12分)已知M是拋物線C：必=4*上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，|MF|=4.

(1)求直線MF的斜率；

nm

⑵己知?jiǎng)訄AE的圓心E在拋物線C上，點(diǎn)D(2,0)在圓E上，且圓E與y軸交于4B兩點(diǎn)，令|DA|=m,|DB|=c,求一+—

mn

最大值.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=(a+l)lnx+ax2+l.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

⑵設(shè)aW2,求證：對(duì)任意方,(0,+°°),都有|/(a)一/(%2)|N4|?一%2|.

2024年高考診斷性測(cè)試

數(shù)學(xué)模擬試題(一)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題

1.A.2.C.3.A.4.D.

5.C.提示：小明第4次才湊齊紅、白、黑三種顏色，則第4次摸出的球的顏色有3種情形，前3次摸出的球的顏色為

另外2種顏色，有23—2=6種情形.故不同情形共有18種.

6.C.7.C.8.B.

二、選擇題

9.CD.解析：以｛鉆，AD'A4｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,

0),0(0,2,0),Ai(0,0,4),8i(2,0,4),E(0,2,2),

所以B]E=(—2,2,-2),4&=(2,0,-4).

4

因?yàn)橛?+0+8=4片0,所以與4出不垂直.故A錯(cuò)誤.

CBt=(0,-2,4),CE=(—2,0,2),設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為〃=(xi,yi,zi),則

n?。41=0,—2yl+4z1=0,yi=2z],

由<得-2#2「。所以

n-CE=O,X]=Z].

不妨取Z1=1,則》=1,yi=2,所以幾=(1,2,1).

同理可得平面AiBD的一個(gè)法向量為m=(2,2,1).

故不存在實(shí)數(shù)A使得.

故平面8CE與平面48。不平行，故B錯(cuò)誤.

在長(zhǎng)方體ABC。-AiBiCiDj中，BiCi±平面CDDiCi,故BiCi是三棱錐Bi-CECi的高，所以

1118

匕棱錐G-B[CE=匕棱錐B.-CEC；=g5ACEC,,BG=gX-X4X2X2=-.故C正確.

三棱錐Ci-BiCDi的外接球即為長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi的外接球，故外接球的半徑尺=正王亙?nèi)?/p>

=76.所以三棱

2

錐C1-B1CD1的外接球的表面積8=4兀/?2=24兀，故D正確.

故選CD.

10.AD.提示：設(shè)x〈0,則一x>0,所以/(—x)=e'(—x—1),

又函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(—x)=—/(x),

所以一/(x)=e*(—x—1),即/(x)=e'(x+l),故A正確.

ex—(x—l)ex2—x

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=----，所以/'(1)=

ex(e1)2

令尸(x)=O,解得x=2.當(dāng)0Vx<2時(shí)，r(x)>0；當(dāng)x>2時(shí)，尸(x)VO,

所以函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)/(x)取得極大值e-2>0.

當(dāng)0VxV2時(shí)，f(O)-/(2)<0,又/(1)=0,故函數(shù)/(x)在(0,2)內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)1.

當(dāng)x>2時(shí)，f(x)==>0,所以函數(shù)f(x)在(2,+8)上沒(méi)有零點(diǎn)，

所以函數(shù)f(x)在(0,+8)上僅有一個(gè)零點(diǎn).

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)在(一8,0)上僅有一個(gè)零點(diǎn)一1.

又/(0)=0,故函數(shù)/(x)是定義在R上有3個(gè)零點(diǎn).故B錯(cuò)誤.

作出函數(shù)/(x)的大致圖象，由圖可知，

若關(guān)于x的方程/(x)=m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是一l〈m<1.故C錯(cuò)誤.

由圖可知，對(duì)Uxi,x2i'R,I/(X2)-f(xi)I<11-(-1)I=2,故D正確.故選AD.

11.ABC.提示：如圖，設(shè)一尸2|=%,則|8&|=|AFI|=2X,所以2a=\AFi\—|AB|=x，

|BF\|=\BFi\+2a=2x+2?=6<7,\AB\=3x=6af所以18/11=|A8],所以NAQ5=ZFxAB,A選

項(xiàng)正確.

因?yàn)镮AB|=2x=4a,\BF\\=\A.B\=6af

2Q]

所以在山中，cosFiAB—————.

6a3

又在△AR1@中，|QR2|2=|AQ|2+|A&|2-2|AB||AF2|COSNBAR2,

144Q2C211c、國(guó)

4c2=16tz2+4<72—2X4（2X2tzX—=----,—一，所以e=—=-----，B選項(xiàng)正確.

33a23a3

121

,cc^+b11,Bb8b2A/2淑:、匚在七工口心?2y/2八、生丁否定工岳

由一7=——；一=一，得一7=一，一=----,漸近線萬(wàn)程為y=±-----%,C選項(xiàng)正確.

42123a23Q33

若原點(diǎn)。在以尸2為圓心，AB為半徑的圓上，貝?。﹟0凡|=出放|,c=2a,

即e=9=2與B矛盾，不成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

a

故選ABC.

uuumUUUL1UUUTUUUT

12.AB.提示：GnD=On+i?GnA—2（2an+3）?]（G〃A+G〃5）,

UUUUUUULUUULUUUIUUUUL

故=（如+112?！?3）?GnA~~（2an+3）?GnB，GnD，G“6共線，故O"+1—2?！?3=0,即?！?1+3=2（?！?3）,Qi

1

=1,故an+3=4X2"一'故如=？"+—3.

G3=24—3=13,A正確；數(shù)列｛?！?3｝是等比數(shù)列，B正確；

1—2n

n+1n+2

an=2-3,C錯(cuò)誤；S〃=4------3n=2-3n-4,故D錯(cuò)誤.故選AB.

1-2

三、填空題

C7V3——10K1Q

13.10.提示：乙］=c：（%3）…一品=（_2）「c；Jr,因?yàn)檎归_(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，所以3〃一行-=0,即r-（r

=0,1,2,…，n）,故“的最小值是10.

14.（x+7）2+（y+l）2=l.

15.—4,12x—y+20=0.提示：/（%）是定義在R上的奇函數(shù)，則/（0）=。=0,故〃=0,/（—2）=—/（2）=—（16—12）=—

4,

當(dāng)xVO時(shí)，一%>0,故/（一%）=—2%3—3%2,/（x）=—/（~x）=2x3+3x2,

尸（x）=6/+6x,/（-2）=12,故切線方程為y=12（%+2）—4,

即12x—y+20=0.故答案為一4,12x—y+20=0.

9V2

8

四、解答題

17.解：（1）因?yàn)閙〃"，所以asin5—J%cosA=0.（2分）

由正弦定理，得sinAsin5-J5sin5cosA=0.（3分）

又sinBwO,從而tanA=b.（4分）因?yàn)?<4<兀，所以人=工.（5分）

3

⑵由余弦定理得片=/?2+_2bccosA,（6分）而〃=5/7,b=2,A=—>

3

得7=4+H—2C,即。2一2?！?=0,（8分）因?yàn)閏>0,所以c=3,

13^/3

故△A8C的面積S=—bcsinA=----.（10分）

22

18.解：（1）因?yàn)?s2=302+1,52=8,得。2=5,所以6=3.因分）

6

2Sn=（n+1）an+n—1,又25〃+1=（〃+2）a〃+i+〃，（2分）

—

兩式相減得2an+i=（n+2）an+i（n+l）an+l,（3分）

nan+i~（n+1）an+l=O,①

所以（"+l）0n+2-（“+2）?！?1+1=0.②

②—①得（〃+1）%+2—（2n+2）an+i+（“+1）?！?0,（4分）

即?！?2—2?！?1+。/7=0,即?！?2-On+1=Qn+1-…=。2—。1=2,（5分）

故數(shù)列｛分｝為首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，所以O(shè)n=2〃+1.（6分）

（2）因?yàn)?=2〃+1,所以5n=工/?（3+2〃+1）=標(biāo)+2〃，（8分）

2

〃（九+2）

由4?2〃-5〃>0,得4>------------對(duì)任意正整數(shù)。恒成立，（9分）

X

H2）3—2九2

令2=F--則。+1一2=-+I'（1°分）所以…,

乙乙

所以Sn）max=b2=2,（H分）故A>2.（12分）

19.解：（1）如圖，連接8。，

由488是菱形且NBCD=60°知，△BC。是等邊三角形.（1分）

*/E是CD的中點(diǎn)，BELCD.*：CD//AB,：.BE1AB.（3分）

（第19題圖）

,?%_L平面ZBC。，PALBE.（4分）PA\~AB=A,：.8E_L平面以8.（5分）

又BEu平面P8E,平面P8E_L平面%8.（6分）

（2）VB￡_L平面以8,BE.LPB,（8分）

N48P即為二面角A-BE-P的平面角.（9分）

在Rt△%B中，AB=1,PA=6,tan/Z8P=括，（10分）Z.ZABP=60°.（11分）

???二面角WE-P的平面角為60°.（12分）

20.解：（1）由已知，單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量J?N（32,16）,則〃=32,o=4.（1分）

由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知，

P（J<20）=-[l-P（20<^<44）]=-[l-P（4-3crVj<//+3cr）]=-（1-0.9974）=0.0013.（2分）

222

設(shè)購(gòu)買(mǎi)10只該基地的“南澳牡蠣”，其中質(zhì)量小于20g的牡蠣為X只，則X?8（10,0.0013）,

故P（XNl）=l-p（x=o）=1一（1—0.0013）10=1-0.9871=0.0129,（3分）

所以這10只“南澳牡蠣”中，會(huì)買(mǎi)到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性僅為1.29%.（4分）

__7__7士（l）5-，）81.0

（2）（i）由t—2.5,y—38.9,〉：（〈，）（yV）=81.0,〉：（4—/）=3.8,有jy—~~~,—--------^21.3,且q=

EE￡"）23.8

z=l

y—bt=38.9-21.3X2.5^-14.4.（6分）

7

所以，模型②中y關(guān)于x的回歸方程為y=21.3正一14.4.（7分）

182.479.2

（ii）由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4>79.2,即.（9分）

z=li=l

模型①的R2小于模型②，說(shuō)明回歸模型②刻畫(huà)的擬合效果更好.（10分）

當(dāng)x=16時(shí)，模型②的收益增量的預(yù)測(cè)值為

y=21.3X7^—14.4=21.3X4—14.4=70.8（萬(wàn)元）.（11分）

這個(gè)結(jié)果比模型①的預(yù)測(cè)精度更高、更可靠.（12分）

21.⑴設(shè)/W（xo,⑻，因?yàn)閨MF|=4,所以刈+1=4,解得X0=3,（1分）所以“（3,+273）-又F（l,0）,所以直線

MF的斜率為望=（3分）

3-1

b2b2b1

（2）設(shè)圓心E（幺，b）,圓E的方程為（x—幺）2+（y—b）2=（幺-2）2+爐，（4分）

444

b2

2

化簡(jiǎn)得乂2+必一—x—2/?y+b—4=0.令x=0,得p—2卯+〃-4=0,（5分）

2

即［y—（b+2）］［y-（b—2）］=0,所以）/=6+2或）/=6—2.（6分）

不妨設(shè)八（0,b+2）,4（0,b—2）,則

m=IDA|=y/4+(b+2y=yJb2+4b+8，(7分)“=|D81=,4+(〃-2>=正一41升8，(8分)

4+里=，+〃「=