專題22 【五年中考+一年模擬】 幾何壓軸題-備戰(zhàn)2023年溫州中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編（解析版）

專題22幾何壓軸題1．（2022?龍港市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，以為直徑構(gòu)造，交軸于另一點，直線經(jīng)過點，分別交于點，（點在左側(cè)），連結(jié)，，，．（1）求的值．（2）求的度數(shù)和的長．（3）點在上，連結(jié)．當(dāng)與的一個內(nèi)角相等時，求所有滿足條件的點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2），；（3）當(dāng)與的一個內(nèi)角相等時，滿足條件的點的坐標(biāo)為或或【詳解】（1）過點作于點，如圖，為的直徑，，，，．．，，，，．，，，．直線經(jīng)過點，，解得：．（2），直線．設(shè)直線與軸交與點，如圖，令，則，，．，，．，，．，．．，，即，，．，，，為等腰直角三角形，．，．（3）①當(dāng)時，連接，，如圖，，，為的直徑，．在和中，，，，四邊形為平行四邊形，，平行四邊形為矩形，軸，，，；②當(dāng)時，連接，過點作于點，如圖，由（2）知：，，，，，點與點重合．，，，，設(shè)，則，，．，，解得：或（不合題意，舍去），，，，；③當(dāng)時，連接，，過點作軸于點，如圖，，，，．，，．，，．為圓內(nèi)接四邊形的外角，，軸，為等腰直角三角形，，，．綜上，當(dāng)與的一個內(nèi)角相等時，滿足條件的點的坐標(biāo)為或或．2．（2022?洞頭區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交的外接圓于點，點，交軸于點，交軸于點．點是的中點，連結(jié)，．點，點．（1）求的長和的解析式．（2）求點的坐標(biāo)．（3）點在軸上，連結(jié)，與的任意一邊平行時，求的長．【答案】（1）=10，的解析式為：；（2）；（3）或或【詳解】（1）連接交于點，，點，，，，點是的中點，，，，，把點代入直線，得，的解析式為：；（2）連接，直線交軸于點，交軸于點，，，設(shè)點，點在上，，，，或（舍去），；（3）設(shè)，要使與的任意一邊平行，分以下三種情況：①，，，，即，，；②，過點、作軸垂線，分別交軸于點、，，又，，，即，，；③，連接交于點，作軸垂線，交軸于點，，，，，，，，，，又，，，即，，，綜上所述，或或．3．（2022?溫州）如圖1，為半圓的直徑，為延長線上一點，切半圓于點，，交延長線于點，交半圓于點，已知，，點，分別在線段，上（不與端點重合），且滿足．設(shè)，．（1）求半圓的半徑．（2）求關(guān)于的函數(shù)表達式．（3）如圖2，過點作于點，連結(jié)，．①當(dāng)為直角三角形時，求的值．②作點關(guān)于的對稱點，當(dāng)點落在上時，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）①或；②【詳解】（1）如圖1，連接，設(shè)半徑為，切半圓于點，，，，，，，解得，半圓的半徑為；（2）由（1）得，，，，，，；（3）①顯然，所以分兩種情形，當(dāng)時，則四邊形是矩形，，，，，當(dāng)時，過點作于點，如圖，則四邊形是矩形，，，，，，，，由得：，，綜上，的值為或；②如圖，連接，，由對稱可知，，，，，，，，，，是半圓的直徑，，，，，．4．（2021?溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點，分別交軸、軸于點，，連結(jié)．直線分別交于點，（點在左側(cè)），交軸于點，連結(jié)．（1）求的半徑和直線的函數(shù)表達式；（2）求點，的坐標(biāo)；（3）點在線段上，連結(jié)．當(dāng)與的一個內(nèi)角相等時，求所有滿足條件的的長．【答案】（1）圓的半徑為，；（2）、的坐標(biāo)分別為、；（3）5或10或【詳解】（1），為的直徑，點是的中點，則點，則圓的半徑為，設(shè)直線的表達式為，則，解得，故直線的表達式為；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，由得：，解得或，故點、的坐標(biāo)分別為、；（3）過點作于點，則，，故，由點、的坐標(biāo)，同理可得；由點、、、的坐標(biāo)得，，同理可得：，，①當(dāng)時，則為等腰直角三角形，，故點的坐標(biāo)為，故；②時，，，，即，解得，故；③時，，，，即，解得，則，綜上所述，為5或10或．5．（2020?溫州）如圖，在四邊形中，，，分別平分，，并交線段，于點，（點，不重合）．在線段上取點，（點在之間），使．當(dāng)點從點勻速運動到點時，點恰好從點勻速運動到點．記，，已知，當(dāng)為中點時，．（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．（2）求，的長．（3）若．①當(dāng)時，通過計算比較與的大小關(guān)系．②連接，當(dāng)所在直線經(jīng)過四邊形的一個頂點時，求所有滿足條件的的值．【答案】（1）見解析；（2），；（3）①見解析；②當(dāng)或或時，所在的直線經(jīng)過四邊形的一個頂點【詳解】（1）與的位置關(guān)系為：，理由如下：如圖1所示：，，、分別平分、，，，，，，；（2）令，得，，令，得，，把代入，解得：，即，，是中點，，，，解得：，，；（3）①連接并延長交于點，如圖2所示：，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，，，，，由勾股定理得：，，當(dāng)時，，解得：，，，；②（Ⅰ）當(dāng)經(jīng)過點時，如圖3所示：，則；（Ⅱ）當(dāng)經(jīng)過點時，如圖4所示：，，，，，，，，，解得：；（Ⅲ）當(dāng)經(jīng)過點時，如圖5所示：，，，由勾股定理得：，，，解得：，由圖可知，不可能過點；綜上所述，當(dāng)或或時，所在的直線經(jīng)過四邊形的一個頂點．6．（2019?溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于點，，正方形的頂點在第二象限內(nèi)，是中點，于點，連接．動點在上從點向終點勻速運動，同時，動點在直線上從某一點向終點勻速運動，它們同時到達終點．（1）求點的坐標(biāo)和的長．（2）設(shè)點為，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．（3）根據(jù)（2）的條件，當(dāng)點運動到中點時，點恰好與點重合．①延長交直線于點，當(dāng)點在線段上時，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達式．②當(dāng)與的一邊平行時，求所有滿足條件的的長．【答案】（1），；（2）；（3）①；②當(dāng)與的一邊平行時，的長為或【詳解】（1）令，則，，，，，，在中，，又為中點，；（2）如圖1，作于，則，是的中點是的中點，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，，，；（3）①動點、同時做勻速直線運動，關(guān)于成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)，當(dāng)點運動到中點時，點恰好與點重合，時，，，，，，時，，將和代入得，解得：，，，，且，隨的增大而增大，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，與重合，點在線段上，綜上，關(guān)于的函數(shù)表達式為：；②當(dāng)時，如圖2，，作軸于點，則，中，，，，，，，，，；當(dāng)時，如圖3，過點作于點，過點作于點，由△得：，，，，，，，，，，由圖形可知不可能與平行，綜上，當(dāng)與的一邊平行時，的長為或．7．（2018?溫州）如圖，已知為銳角內(nèi)部一點，過點作于點，于點，以為直徑作，交直線于點，連接，，交于點．（1）求證：．（2）連接，，當(dāng)，時，在點的整個運動過程中．①若，求的長．②若為等腰三角形，求所有滿足條件的的長．（3）連接，，交于點，當(dāng)，時，記的面積為，的面積為，請寫出的值．【答案】（1）見解析；（2）①2；②、3或時，為等腰三角形；（3）【詳解】（1）、，，，又，；（2）①如圖1，，，，，，，，；②當(dāng)時，，，，，，；當(dāng)時，，、，，，過點作于點，得四邊形是矩形，、，，；當(dāng)時，，，，設(shè)，則，，，，，綜上所述，當(dāng)、3或時，為等腰三角形；（3）如圖3，過點作于點，，，設(shè)、，則、，過點作于點，則，，，且，，，，，，即，，，即、，則，，，即，則，，且，為的中位線，，．8．（2022?鹿城區(qū)校級一模）如圖，在矩形中，，，點是射線上一動點，且以每秒3個單位的速度從出發(fā)向右運動，連結(jié)交于點，作于，交直線于，設(shè)點運動時間為秒．（1）若將線段繞點旋轉(zhuǎn)后恰好落在直線上，則．（2）當(dāng)點在線段上運動時，若，求的值．（3）連結(jié)，點在運動過程中，是否存在的值，使為等腰三角形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）3；（2）；（3）見解析【詳解】（1）由題意得：，，，，，，，若將線段繞點旋轉(zhuǎn)后恰好落在直線上，則，，即，此時與重合，，即，，故答案為：3；（2）在中，由勾股定理得：，，，，，，，，解得：；（3）存在，當(dāng)或，使為等腰三角形．①當(dāng)時，如圖，在中，，在中，，即為鈍角，，由（2）得：，，即，解得或（舍去），②當(dāng)時，如圖，延長交于點，，在中，，即為鈍角，，，，即，在中，，，，即，化簡得：，解得；或（舍去），綜上所述，當(dāng)或，使為等腰三角形．9．（2022?溫州一模）如圖1，在矩形中，，，點，分別在邊，上，且，延長交的延長線于點，為中點，連結(jié)分別交，于點，．（1）求證：．（2）當(dāng)時．①求的值．②在線段上取點，以為圓心，為半徑作（如圖，當(dāng)與四邊形某一邊所在直線相切時，求所有滿足條件的的長．【答案】（1）見解析；（2）①；②【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，為的中點，，，，；（2）解：①由（1）得，，，，，設(shè)，則，，，解得，（不合題意，舍去），，，，同理，，，，，，；②顯然不與直線相切，故分三種情況：Ⅰ當(dāng)與直線相切時，如圖：，，，若點與點重合，，若點不與點重合，，，，，故的長為；，；Ⅱ當(dāng)與直線相切時，如圖：可得；Ⅲ當(dāng)與直線相切時，如圖：，，，綜上所述，當(dāng)與四邊形某一邊所在直線相切時，的長為，，，．10．（2022?平陽縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，的坐標(biāo)分別為，，以為直徑的圓交軸于點，為圓上一點，，直線交軸于點，交軸于點，連結(jié)．（1）求的值和直線的函數(shù)表達式．（2）求點，的坐標(biāo)．（3）動點，分別在線段，上，連結(jié)．若，當(dāng)與的一邊平行時，求所有滿足條件的的長．【答案】（1），；（2），；（3）或或【詳解】（1）如圖，連接，是直徑，，軸，，，，，，，設(shè)，，，，，；（2）過點作軸，垂足為點，連接，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，軸，軸，，，，，，，，；（3）當(dāng)時，如圖，延長交于，過作交于點，過點作軸于點，，，，，，，，，，，，，，即，．當(dāng)時，如圖，，，，，，，，，，，，；當(dāng)時，如圖，延長交軸于點，，令，，，，，，，，，，，綜上，或或．11．（2022?樂清市一模）如圖，是的直徑，，點為弧的中點，，交于點，過點作的切線交的延長線于點，．（1）求證：．（2）求的值．（3）若點為上一點，連接，，當(dāng)與三邊中的一條邊平行時，求所有滿足條件的的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或或【詳解】（1）證明：連接，為弧的中點，，與相切于點，，，是的直徑，，，．（2）解：連結(jié)交于點，，，，，，，設(shè)，則，，，，解得，，，，．（3）解：①當(dāng)時，得弧弧，，，．②當(dāng)時，得弧弧，，，，分別為，的中點為的中位線，．③當(dāng)時，過點作于，，，，設(shè)，則，，，，，，．綜上所述，的長度為或或．12．（2022?甌海區(qū)一模）如圖，在中，，是上的一點，且，于點，交的平行線于點．（1）求證：．（2）若，．①求的長．②過點作于點，在射線上取一點與某一邊的兩端點，構(gòu)成以為頂點的角等于，求所有滿足條件的的長．【答案】（1）見解析；（2）①；②或或【詳解】（1）證明：，，，，，，，，；（2）①，，，，，，，；②如圖1，當(dāng)以的兩個端點與點組成的時，作交的延長線于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、、、在以為圓心，為半徑的圓上，，點和點重合，此時，如圖2，當(dāng)以的兩個端點時，在上截取，，，，，，，，，，；如圖3，當(dāng)以的兩個端點時，此時點在點處，在和中，，，，，，，，，，，，，點在處，，綜上所述：或或．13．（2022?瑞安市一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，的坐標(biāo)分別為，，．點是軸正半軸（包括原點）上一動點，連結(jié)，過點作軸交于點，連結(jié)，設(shè)的橫坐標(biāo)為．（1）用含的代數(shù)式表示的長．（2）當(dāng)平分時，求的值．（3）如圖2，過點作交軸于點，過作交的延長線于點．①當(dāng)時，試說明，并求出和的面積之比．②當(dāng)時，且，求的坐標(biāo)，并求出此時和的面積之差．【答案】（1）；（2）1；（3）①；②0【詳解】（1）軸交于點，軸，，，為與的同角，，，點，，，，，，，點的橫坐標(biāo)為，，，．（2）記與軸的交點為點，平分，軸，，，，，，，，，，，．（3）①如圖2，，點與點重合，點與點重合，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，在中，，，，，和的面積之比為．②如圖3，過點作軸于點，過點作交于點，過點作軸于點，軸，軸，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，，軸交于點，軸，軸，，，，，，軸，軸，，，，，，，，，，，，，，，，，，，點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，令，得，，點的坐標(biāo)為，，，，，點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，令，得，，點的坐標(biāo)為，，，，，，在中，，，和的面積之差為．14．（2022?龍港市一模）如圖，在四邊形中，，，點，分別在邊，上，且，．當(dāng)點從點沿方向勻速運動到點時，點恰好從點沿方向勻速運動到點．記，，已知．（1）求證：．（2）求的值．（3）若，連結(jié)．①當(dāng)時，求的長．②當(dāng)所在直線平行于四邊形的某一邊時，求所有滿足條件的的值．（直接寫出答案即可）【答案】（1）見解析；（2）20；（3）①；②或或【詳解】（1）證明：，，，又，，，，，；（2）解：，由題意可知，令，則，令，則，，，；（3）解：①如圖，由（2）可知，，，又，，，，，，，，，，即，，作于點，，，，②如圖，當(dāng)時，過點作于，過點作于，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，即，；當(dāng)時，，四邊形是平行四邊形，，即，，；當(dāng)時，作交于，，，，，，即，，，，，，綜上，的值為：或或．15．（2022?蒼南縣一模）如圖，直線分別交軸、軸于點，，以為圓心，為半徑作半圓，交半圓弧于點，弦軸，交軸正半軸于點，連結(jié)，．（1）求的半徑長及直線的函數(shù)表達式．（2）求的值．（3）為軸上一點．①當(dāng)平行于四邊形的一邊時，求出所有符合條件的的長．②若直線恰好平分五邊形的面積，求點的橫坐標(biāo)．（直接寫出答案即可）【答案】（1）；（2）2；（3）①2，5，；②【詳解】（1）如圖，過點作軸，直線分別交軸、軸于點，，令，則；令，則，，，，，，，，，，，，，，，，直線的解析式為：．（2）如圖，連接，過點作軸，，軸，，，．，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，，在中，，，，．（3），，由（2）可知，，，．當(dāng)時，，，令，得，，當(dāng)時，，，，；當(dāng)時，，，，設(shè)直線的解析式為：，過點，，直線的解析式為：，令時，，，．當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為：，，，，令，得，，，．綜上所述，的長分別為2，5，．②如圖，設(shè)與，分別交于點，，過點作軸，，平分五邊形，．，，．①，由①可知，，，，，②，由①②得，，，，，，．，．，直線的解析式為：，令，得，則點的橫坐標(biāo)為．16．（2022?溫州模擬）如圖1，在矩形中，，，是的中點，是邊上一點，作的外接圓交直線于點．（1）求的值．（2）當(dāng)是等腰三角形時，求的長．（3）連結(jié)，當(dāng)點在上時（如圖．①求證：．②求的面積．【答案】（1）；（2）或或；（3）①見解析；②【詳解】（1）如圖1，連接，四邊形是矩形，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，，，是的中點，，，，的值為．（2）如圖2，是等腰三角形，且，連接，，，，，，，解得；如圖3，是等腰三角形，且，作于點，，四邊形是矩形，，，，，，，；如圖4，是等腰三角形，且，，，，綜上所述，的長為或或．（3）如圖5，連接，作于點，，是的直徑，點在上，且，，①，，，．②，，，，，，設(shè)，則，由（2）得四邊形是矩形，，，，，解得，，，的面積為.17．（2022?溫州模擬）如圖，在四邊形中，，，，，，點為的中點，連接，，作于點，動點在線段上從點向終點勻速運動，同時動點在線段上從點向終點勻速運動，它們同時到達終點．（1）求的值．（2）求的長．（3）當(dāng)與的一邊平行時，求所有滿足條件的的長．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)與的一邊平行時，的長為或5或【詳解】（1）如圖1，過點作于點，則，，，，四邊形是矩形，，在中，，；（2）四邊形是矩形，，，，點為的中點，，，，過點作于點，，，，，，，；（3），動點在線段上從點向終點勻速運動，同時動點在線段上從點向終點勻速運動，它們同時到達終點．，，①當(dāng)時，，，解得：；②當(dāng)時，如圖2，，，，解得：；③當(dāng)時，如圖3，延長交于點，過點作于點，由（2）得：，，，，在中，，，，，，，，，，解得：，綜上所述，當(dāng)與的一邊平行時，的長為或5或．18．（2022?溫州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為，為，軸于點，是線段上一點，作交軸于點，取的中點，連結(jié)．設(shè)的長為．（1）求證：；（2）當(dāng)時，求的值；（3）當(dāng)?shù)扔谥械囊粋€內(nèi)角時，求的值．【答案】（1）見解析；（2）1；（3）或【詳解】（1）證明：如圖1，過點作軸于點，則四邊形為矩形，，，，．，，，在和中，，，；（2）解：如圖2，過點作軸于點，則，，，，，是的中點，，，，，，；（3）解：延長交軸于點，，，當(dāng)時，，，是的中點，，，，，即，解得：，，，解得：，（舍去），經(jīng)檢驗，是原方程的解；當(dāng)時，，，，解得：，（舍去），經(jīng)檢驗，是原方程的解；由題意可知，，綜上所述：或．19．（2022?溫州模擬）如圖，已知是的直徑，是半徑上一點，作弦交于點，，其中，．是上一點，延長交的延長線于點，延長交于點，連結(jié)．（1）求證：．（2）連結(jié)，當(dāng)四邊形中有一組對邊平行時，求的長．（3）當(dāng)時，求的值．【答案】（1）見解析；（2）或6；（3）【詳解】（1）證明，，，直徑，，，；（2）解：當(dāng)時，，，，，，直徑，，，，，．當(dāng)時，，，，，，是的直徑，．綜上所述，滿足條件的的值為或6；（3）在中，，，，，，，，，，．20．（2022?永嘉縣模擬）如圖，矩形內(nèi)接于，，點在邊上，，，交延長線于點．（1）求證：．（2）連結(jié)交于點，當(dāng)時，求的長．（3）連結(jié)交于點．①當(dāng)時，求的周長．②當(dāng)點在上時，求矩形的面積．【答案】（1）見解析；（2）4；（3）①；②【詳解】（1）證明：，為的直徑，，，，，，，，．（2）解：連接，設(shè)，，，，，，，，，，，，，；（3）①，，四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，，在中，，，（舍去負(fù)值），，，，，，，的周長；②，，，點在上，，，，，，，矩形的面積．21．（2022?鹿城區(qū)校級二模）在四邊形中，，，．點為線段上一動點（不與點，重合），連結(jié)，過作的垂線交邊于點．（1）求證：四邊形是矩形．（2）設(shè)，求的面積關(guān)于的函數(shù)表達式．（3）在點運動過程，當(dāng)?shù)哪骋粋€內(nèi)角等于時，求所有滿足條件的的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或或2【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是矩形；（2）過點作于點，交于點．四邊形是矩形，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）當(dāng)時，，，，，，，，，，，．當(dāng)時，，，，，解得，，、當(dāng)時，與重合，此時與垂直，此時，綜上所述，的長為或或2．22．（2022?溫州模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，以為直徑的與軸的正半軸交于點．點是劣弧上的一動點．（1）求的值．（2）當(dāng)中有一邊是的兩倍時，求相應(yīng)的長．（3）如圖2，以為邊向上作等邊，線段分別交和于點，．連結(jié)，．點在運動過程中，與存在一定的數(shù)量關(guān)系．【探究】當(dāng)點與點重合時，求的值；【探究二】猜想：當(dāng)點與點不重合時，【探究一】的結(jié)論是否仍然成立．若成立，給出證明：若不成立，請說明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）見解析【詳解】（1）點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，．．為的直徑，，，．．．．，．．（2）①當(dāng)時，由（1）知：，．為的直徑，．；②當(dāng)時，過點作，交的延長線于點，如圖，，．．四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，．．設(shè)，則，，．，．．．．．綜上，當(dāng)中有一邊是的兩倍時，的長為或；（3）【探究】當(dāng)點與點重合時，連接，，如圖，，，為的垂直平分線．．，．．為等邊三角形，．．．；【探究二】當(dāng)點與點不重合時，【探究一】的結(jié)論仍然成立．理由：連接，如圖，由以上【探究】可知：，，，．，．．當(dāng)點與點不重合時，【探究一】的結(jié)論仍然成立，．23．（2022?文成縣一模）如圖，已知：在中，，點是邊上的動點，交于，以為直徑的分別交，于點，．（1）求證：．（2）若，．①當(dāng)，求的長．②當(dāng)為等腰三角形時，請求出所有滿足條件的的腰長．（3）若，且，，在一條直線上，則與的比值為．【答案】（1）見解析；（2）①；②或或；（3）【詳解】（1）證明：為的直徑，，為的切線，；（2）解：①，，，．．，，．，；②當(dāng)時，，，，．為的直徑，．，在和中，，，．，，；當(dāng)時，，，為的直徑，，，．，，．，，，，．．．．，；當(dāng)時，，．，，，．．，，．設(shè)，，．，．．，．．．．綜上，當(dāng)為等腰三角形時，滿足條件的的腰長為或或．（3）解：當(dāng)，，在一條直線上時，為的直徑，，，，．，．，．，．，．．，．解得：或（不合題意，舍去）．，故答案為：．24．（2022?瑞安市二模）如圖，在等邊中，，為邊上一點，以為邊向右構(gòu)造等邊，過點作于點，并延長交于點，連結(jié)．（1）求證：．（2）當(dāng)時，求的長．（3）已知，為邊的中點，為線段上一點，當(dāng)直線將的面積分成兩部分時，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【詳解】（1）證明：和是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，；（2）解：過點作，交的延長線于點，，是等邊三角形，，，，設(shè)，則，在中，，，，，在中，，解得，；（3）解：①過點作，交于點，如圖2，，，是的中點，，，，直線將的面積分成兩部分，點可以是與的交點，，，；②過點作，交于點，交于，此時直線將的面積分成兩部分．過點作于點，，，，，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，綜上所述，的值為或．25．（2022?甌海區(qū)模擬）如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，延長，交于點，連結(jié)，，于點，連結(jié)并延長交于點，交于點，已知，，．（1）求證：．（2）求的值與的長．（3）連結(jié)，若是線段上一點，當(dāng)點關(guān)于一邊所在直線的對稱點落在邊或上時，求出所有滿足條件的的長．【答案】（1）見解析；（2），；（3）或或【詳解】（1）證明：四邊形為的內(nèi)接四邊形，，，，，是等腰三角形，是等腰三角形的外心，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，；（3）解：分情況討論：①當(dāng)點與其對稱點關(guān)于直線對稱時，，，，，，，，即和點關(guān)于直線對稱，所以，當(dāng)與重合時，其對稱點在直線上，，，的長為；②當(dāng)點與其對稱點關(guān)于直線對稱時，是等腰三角形，，是等腰的對稱軸，當(dāng)點與邊上的重合時，其關(guān)于直線的對稱點在上，，的長為；③當(dāng)點與其對稱點關(guān)于直線對稱時，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，交于，交于，，，，，，，，，，，，，與關(guān)于直線對稱，，，，，．綜上，所有滿足條件的的長為或或．26．（2022?鹿城區(qū)二模）如圖1，在矩形中，，．為對角線上的點，過點作于點，交于點，是關(guān)于的對稱點，連結(jié)，．（1）如圖2，當(dāng)落在上時，求證：．（2）是否存在為等腰三角形的情況？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．（3）若射線交射線于點，當(dāng)時，求的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8【詳解】（1）證明：如圖1，連結(jié)．在矩形中，，．是關(guān)于的對稱點，，，，，．（2）如圖2，當(dāng)時，設(shè)，則，，，，，；如圖3，當(dāng)時，設(shè)，則，，，，，．如圖4，當(dāng)時，設(shè)，則，，，，，．（3）如圖5，設(shè)，則，，，，，，，，，．27．（2022?鹿城區(qū)校級二模）如圖，在平行四邊形中，，，，為對角線，的交點，點是線段上一點，以為直徑的圓分別交線段，于點，，延長交線段于點，連結(jié)，，．（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，求的值；（3）連結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【詳解】（1）證明：為直徑，，，，，；（2）解：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，為直徑，，，又，，，，，，，，，，，，即，，，，，，，；（3）解：①當(dāng)時，過點作于點，則，，，，，，，，，，，，，即，；②當(dāng)時，，由①得，，即，；③當(dāng)時，，，，（不合題意，舍去），綜上，的長為或．28．（2022?鹿城區(qū)校級三模）如圖1，直徑于點，，，點是延長線上異于點的一個動點，連結(jié)交于點，連結(jié)，．（1）求證：．（2）如圖2，連結(jié)，當(dāng)時，求和的面積之比．（3）當(dāng)四邊形有兩邊相等時，求的長．【答案】（1）見解析；（2）5；（3）2或或40【詳解】（1）證明：，是直徑，，，，；（2）解：如圖，連接，直徑，，，，，，，，四邊形內(nèi)接于，，又，，，又，，（3）解：①當(dāng)時，如圖，連接，是的直徑，，，，，，在和中，，，，在中，，，；②當(dāng)時，如圖，在和中，，，；③當(dāng)時，如圖，過點作，，連接，，，直徑于點，，，，，由（2）可知：，，，，，，在中，，在中，，，由（2）可知：，，即，，又，，，，則，，，，，，即，；④當(dāng)時，點與點重合，與題意不符；⑤當(dāng)時，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，，又，，顯然不存在；綜上所述，的長為2或或40．29．（2022?蒼南縣二模）如圖，直線分別交軸、軸于點，，點在線段上，連結(jié)，交于點，是的中線，設(shè)．（1）求的長．（2）當(dāng)為中點時，求的值．（3）點關(guān)于直線的對稱點為點，①若四邊形是菱形，求的值；②當(dāng)取到最小值時，請直接寫出的長．【答案】（1）；（2）或3；（3）①；②【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，，，；（2）如圖1，作于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即或3；（3）①當(dāng)四邊形是菱形時，，，，，；②如圖2，作于，設(shè)，，，，由（1）知，，，，，，，設(shè)，，△，，即：，或，，當(dāng)時，，最小，，，，，，．30．（2022?龍灣區(qū)模擬）如圖，在矩形中，于點，交邊于點．平分交于點，并經(jīng)過邊的中點．（1）求證：．（2）求的值．（3）若，試在上找一點（不與，重合），使直線經(jīng)過四邊形一邊的中點，求所有滿足條件的的值．【答案】（1）見解析；（2）（3），或，或【詳解】（1）證明：，，，，，，平分，，，，，，（2）解：為中點，設(shè)，，由（1）知，，又，，，，，，，又，，，，，，，，，在中，，；（3）若，則，，，，，，，，分三種情況：