石家莊市2023屆高三年級下冊2月月考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

石家莊市第二中學(xué)2023屆高三下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1.已知z-（2+3i）=T+7i,其中i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)是

()

A.(l,l)B,(l,2)C.(2,l)D.(2,2)

2.已知集合4={qsinx=0,xeR},集合3=卜1、^<0,T€111則AB=()

A.{0,兀,2兀}B.{兀,2兀}C-

3.已矢口等差數(shù)歹U｛。“｝滿足出+%+“9+%o=8,貝12%—/的值為（）

A.8B.6C.4D.2

4.在我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有這樣一個問題：“今有木長二丈四尺，圍之五

尺.葛生其下，纏木兩周，上與木齊，問葛長幾何？”其意思為“圓木長2丈4尺，圓周長為5

尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多

少尺.”（注：1丈等于10尺），則這個問題中，葛藤長的最小值為（）

A.2丈4尺B.2丈5尺C.2丈6尺D.2丈8尺

5.已知向量。A=（1,3）,O3=（-2,4）,OC=4OA+（1-4）03淇中XGR,則下列命題正確

的是（）

A.Q4在08上的投影向量為（-2,4）Bjoc］最大值為拈

C.若OBOC<0則九（1一丸）<。D.若OBOC>0,則九（1一為>。

6.已知圓C是以點和點N（6,-26）為直徑的圓，點尸為圓C上的動點，若點

4（2,0），點5（1,1〉則2\PA\-\PB\的最大值為（）

X.726B.4+后C.8+5及D-肥

7.如圖,正方體ABCD-4gCQ的棱長為2,點。為底面ABCD的中心，點P在側(cè)面

BBGC的邊界及其內(nèi)部運動，若DQ1OP,則△2GP面積的最小值為（）

C.V5D.275

8.設(shè)。=向四2=皿,，=注4其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）

e7ie~

^-a<c<bB.b<a<c^b<c<a^c<b<a

9.已知可，耳分別為隨機事件A,B的對立事件,P（A）>0,P（3）>0,則下列說法正確的是

（）

A.P（B|A）+P（B|A）=P（A）

B.若尸（A）+P（B）=1,則A,B對立

C.若A,B獨立，則P（A|B）=P（A）

D.若A,B互斥，則P（A⑻+P（3同=1

二、多項選擇題

10.已知函數(shù)外力=5：1”-",則下列結(jié)論中正確的是（）

A.7T為函數(shù)|/（X）|的一個周期

B]B，0）是曲線y=的一個對稱中心

C.若函數(shù)y=/（力在區(qū)間[-。間上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的最大值為包

D.將函數(shù)“X）的圖象向右平移專個單位長度后，得到一個偶函數(shù)的圖象

11.已知拋物線方程為必=2y點P（%,%）為直線/:x-y-2=0上一動點，過點P作拋

物線的兩條切線,切點為A,5,則以下選項正確的是（）

A.直線AB過定點（1,2）

B.存在點P（%0,y0）使直線PA±PB

C.APAB的面積的最小值為373

D.三角形加重心的軌跡為一條直線

12.已知數(shù)列｛an｝的前〃項和為Sn，且滿足q=；,an+l=e〃"-4-1,“eN*，則下列有關(guān)

數(shù)列｛4｝的敘述正確的是（）

A,S2023<S2022B.“2023<°2022

C.邑023<405D.數(shù)列｛a“+「a”｝是單調(diào)遞減數(shù)列

三、填空題

13.已知等比數(shù)列｛%｝前〃項和S“=（x+2y+l）2"+（x—y—3）（其中1>0,y>0）.則

工19+士的最小值是.

xy

22

14.已知耳，B分別為雙曲線工—與=1（a>02>0）的左、右焦點，過點工作圓

a2b2

必+丁2=/的切線交雙曲線左支于點M且N呼明=60。,則該雙曲線的漸近線方程為

15.已知關(guān)于x的不等式e―f+do+ain可在（1,+8）上恒成立,則實數(shù)。的取值范圍

是.

16.已知球。是正四面體尸—ABC的外接球,E為棱Q4的中點尸是棱PB上的一點，且

EC=2￡F，則球。與四面體P-EFC的體積比為.

四、解答題

17.已知數(shù)列｛a,｝的前〃項和為Sn,an+Sn=4，設(shè)么=log2a?.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列——-——］的前”項和

也”-1也”+1,

18.某廠生產(chǎn)的某種零件的尺寸Z大致服從正態(tài)分布N0OO,52｝且規(guī)定尺寸

Ze(〃-3cr,〃+3cr)為次品，其余的為正品.生產(chǎn)線上的打包機自動把每5件零件打包成

1箱，然后進(jìn)入銷售環(huán)節(jié)，若每銷售一件正品可獲利50元,每銷售一件次品虧損100元.現(xiàn)

從生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中抽樣20箱做質(zhì)量分析，作出的頻率分布直方圖如下：

(1)估計生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件的平均尺寸；

(2)從生產(chǎn)線上隨機取一箱零件，求這箱零件銷售后的期望利潤.

19.已知在△ABC中，角A,3,C的對邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積，且

2S-?CBCA=3

(1)求角C的大??；

(2)若/B4C與NABC的內(nèi)角平分線交于點/.△ABC的外接圓半徑為2,求周

長的最大值.

20.已知隨圓E的左、右焦點分別為耳(-c,0),乙(c,0)(c>0)點般在E

上,4售，石耳,^”耳工的周長為6+4a，面積為

(1)求E的方程.

(2)設(shè)E的左、右頂點分別為A,反過點||,o］的直線/與E交于CQ兩點(不同于左

右頂點)，記直線AC的斜率為占，直線30的斜率為白，則是否存在實常數(shù)2，使得

%=%42恒成立.

21.如圖，在三棱臺ABC-a與G中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面ACC】A為

等腰梯形，且AG="=1為AG的中點.

（2）記二面角A-AC-5的大小為。，Ge時,求直線A4與平面所成角

1[33」11

的正弦值的取值范圍.

22.已知函數(shù)/（幻=1+3》-2,/'（%）為了（幻的導(dǎo)數(shù).

（1）當(dāng)了?0時，求/'（X）的最小值；

（2）當(dāng)x2-2時,xex+xcosx-ax2-2x20T旦成上，求a的取值范圍.

2

參考答案

1.答案：B

解析：因為復(fù)數(shù)z-(2+3i)=-4+7i,所以z=士",

2+3i

則一士4+7I）.（2-3i）=史&]+方,

2+3i1313

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（1,2）,

故選：B.

2.答案：B

解析：因為A={x|sinx=0,x￡R},貝Ux=E"￡Z,所以A={x|x=E,左￡Z}

因為3=入|三<0”人則卜27）40,解得0<%<7,所以5=（0,7],

LxJ[xwO

所以AB={71,24,

故選：B.

3.答案：D

解析：等差數(shù)列{叫中,4%=（出+%（））+（。3+。9）=8，解得4=2，

所以2a7-?8=（4+48）一%=&=2.

故選：D.

4.答案：C

解析：由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊（即木棍的高）長24尺，另一條直

角邊長5義2=10（尺），

因此葛藤長最小值為J242+IO2=26（尺），即為2丈6尺.

故選：C.

5.答案：C

AR4-Lr/4八OA.,OB-2+12_72

解析：對A.cosNAOBuI~n~-,

710x720-2

OA/Tn6

0A在08上的投影向量為——cosZAOB-OB=■—■(-2,4)=(-1,2),A錯誤；

OB2j52

對B,oc=4OA+(1—A)OB=(2,32)+(-2+22,4-42)=(-2+32,4-2),

|(9C|=J(-2+3〃)2+(4—\)2=^10(2-I)2+10,

所以％=1時,|OC|取得最小值回,B錯誤；

對C，OB-OC=4—64+16—42=20—l(U<0，/l>2,則1—幾<0，

則“1-2)<0,C正確；

對D,05.OC〉0，幾<2，無法判斷4(1—㈤的符號,D錯誤?

故選：C.

6.答案：A

解析：由題設(shè)，知：C(4,0)且?跖V|=5(_26―26y+(6—2)2=8,即圓C的半徑為4,

二圓C:(x—4)2+/=16,

如上圖，坐標(biāo)系中D(-4,0)則OD=2AC=CP=OC=4,

.?.”=生=工即△APCs^ps，故里=工，

CPDC2PD2

.?.21R4|—|PB|=|P￡>|—|PB|,在△PBD中I尸。I—I尸31<|3D],

要使|PD|-11最大,P,B,D共線且最大值為|BD\的長度

BD|=7(l+4)2+l=V26?

故選：A.

7.答案：B

解析：如圖所示:

PG

當(dāng)點P在C處時,DQLOC,當(dāng)點P在用8的中點A

時,op2=(逝y+F=3，D02="『+2?=6,

￡>附=(2@?+F=9,

所以。產(chǎn)+002=0斤,

所以°0,0耳,又oc=o,

所以2。，平面。qc,

所以點p的軌跡是線段qc,

因為2G，平面6GC，

所以△2GP面積最小時，GP，《c，

此時一子潸上=述,S9」X2XWL逑,

@+125D'c'p255

故選：B.

8.答案：D

解析：a=sin—>sin—=—>

e32

設(shè)/(x)=UB,函數(shù)定義域為(0,+oo),_f(%)=匕學(xué)，

XX

%>e時"1%)v0,則/(%)在(e,+oo)上單調(diào)遞減，得〃兀)</(e),

即匣<處=!<無所以6<山

7iee2

f21

e2ln;i八ie

------2兀+7iln7i——I-711B71-2n

71H712兀-7lln7l、兀/____________

b-c-----71____________

71e2e2e2

/e2、

令g(x)=-----1-x,Inx-2x,函數(shù)定義域為

X7

，e八2、e\(e2A

(0,+co),g'(x)=-三+1lnx+—+x—-2=

.22

Ix71無)x

2

當(dāng)％￡(0,e)時,1一--<0-&lnx-1<0,g"(x)>0；

x

2

當(dāng)x￡(e,+8)時,1——->0-&lnx-l>05g"(x)>0；

e2、

g(x)=-----FXlnx-2x在（0,+co）上單調(diào)遞增,

X7

/e2、

g(兀)=——1-71In兀一2兀>g(e)=0,

兀)

則有b—c>0,即6>c,

所以

故選：D.

9.答案：C

3叫亞=烏&=1,故A錯誤;

解析：對A,p(B同+P(同A)

P⑷P(A)

對B,若A,B對立，則P（A）+P（B）=1,反之不成立，故B錯誤;

對C,根據(jù)獨立事件定義，故C正確;

對D,若A,B互斥，則P（A|B）+尸（網(wǎng)A）=0,故D錯誤;

故選：C.

10.答案：ABD

解析：對于選項A：由已知可得|了（%）卜sin2x--\,

I3

所以|〃%+兀）卜sin12%+2兀-]）=sin[2x-/）=，（%）卜所以兀為函數(shù)|/（刈的一個周

期，故A正確;

對于選項B：令2元—二=左兀（左￡Z,解得九二生+（左￡Z）,當(dāng)左=1時,x=—，所以點

326'3

y,oj是曲線y=/（x）的一個對稱中心，故B正確;

對于選項C：由一＞2匕兀5—涔+2*eZ,得一5+匕1吟+3,2,

令吊=o,得因為小）在區(qū)間［_〃,可上單調(diào)遞增，所以實數(shù)。的最大值為

色，故C錯誤;

12

對于選項D：將函數(shù)"X）的圖象向右平移專個單位長度后,

得到y(tǒng)=sin2（%-專）-m=sin（2x-卷）=-cos2x的圖象，

因為-cos［2（-%）］=-cos2x,所以函數(shù)y=-cos2x為偶函數(shù)，故D正確.

故選：ABD.

11.答案：ABC

解析：由％2=2y求導(dǎo)得爐=%,設(shè)切點為24（百,%）,5（%2，%），尸（%0,%），

由題意可得切線A4,PB的斜率存在，且九1wx2,

可得E4，PB的方程分別為丁一乂=%（%-%），了一%=々（%-%2），

點尸在兩條切線上，所以%-乂=%（%0=42（%0-％2），

所以不，%是方程/-2xx0+2y0=0,

所以匹+%2=2%o，石％2=2yo，

直線AB的方程為y-x=上五（x-xj,

x2一再

22

x2再

所以=_2_（xf）=迤乜（xfy

所以y=%『x_可得j=x0X-Jo,

因為尸（七,%）在直線l:x-y-2=G上，所以為=%-2,

所以y=xox-yo=+2=%(1―1)+2,

所以直線AB過定點(1,2),故A正確；

對于B,若直線#4j_pg,則西工2=-1=2%,解得%=-g,

代入直線/的方程可得x—工+2=。,所以存在點/使故B正確;

22U2；

對于C,\AB\="芯-々)「+(%-為丫=J1+J(xi+9丫-4X/2

=J(1+X；)(4X；—8%/

點p到直線AB的距離d==環(huán)”4|

41+焉，1+需

二；［；；(；

所以SAB|d=J(l+x)4x—8%)

2

=Jx：-2玉)+4|x；-2x0+4|=J(x；-2xo+4丫=J(x0-l)+3，

當(dāng)/=1時△BIB的面積有最小值，為3g■，故C正確；

1(X+X+X)=X=|(3X)=X

x~~'12000

對于D,三角形鉆重心坐標(biāo)為＜

1(%+%+%)4%(凡+々)一

y二一

3

可得y=；(2爐-x+2卜故三角形R鉆重心的軌跡不是一條直線，故D錯誤.

故選：ABC.

12.答案：BC

x

解析：對于A,設(shè)f(x)=e-x-l,_f(%)=y—1,當(dāng)x>0時,/'(%)〉0,

此時，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增，所以“X)>0,即an+x>0,S2023=52022+a2023>S2022，故A選

項錯誤；

對于8,令/(%)=6*-％-1=%,可得6-2%_1=0，令8(力=?，-2%-1,

定義域為R,g1x)=/—2,令g[x)=0,可得x=ln2.當(dāng)x<ln2時,g'(x)<0,

此時，函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>ln2時,g'(x)>0，

此時，函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞增g(0)=0,8⑴=e—3<0,g(2)=e?—5>0

則g⑴⑵<0,由零點存在定理可知，存在唯一的毛?1，2)，

使得g(%)=e*-2x0-1=0,所以當(dāng)0<x</時,g(%)<0,

即/(x)<%且/(x)>〃0)=0,則0</(x)<%；當(dāng)x>x()時,g(x)>0,

即/(%)>%,o<q=；<x(),則0<%=<q=｝°<q=f^a2)<ai,，

以此類推,0<an<an_x<<q=；，所以，數(shù)列｛an｝是單調(diào)遞減數(shù)列，故B選項正確；

3

—

對于C,0<a“<tzn_|<,<%=Ve—<1.7—1.5=0.2,

S2023<2022a2+q<2022x0.2+0.5=404.9<405，故C選項正確;

對于D,a,+]=e""—2a”一1,設(shè)函數(shù)g(x)=e*-2尤一1,

則g，(x)=e-2,g<x)=e，-2,令/(力=0,可得x=ln2，

當(dāng)了<ln2時,g'(x)<0,此時，函數(shù)y=g(x)在10,g上單調(diào)遞減，

由%+i<4，所以g(?！?1)>g(%)，故D選項錯誤?

故選：BC.

13.答案:4

解析：因為等比數(shù)列｛0,｝前〃項和S“=(x+2y+l)2"+(x-y-3),

q=Si=(x+2y+l)x2+x-y-3=3x+3y-l,

邑=(1+2y+l)x22+x-y-3=5x+7y+l=q+2，

/.a2=S2-=5%+7y+l-3x-3y+l=2x+4y+2,

%=S3-5*2—9x+15y+5—5x—7y—1—4-x+8y+4,

又幺=幺，...2x+4y+2=2,即2x+y=2,x>o，y〉O

a?%3x+3y—1

121,Jl2、1y4%、一

...一H-―=—x(2x+y)x—+—=—x4H---1--->-x4+2V4=4,

xy2yJ2xy-

當(dāng)且僅當(dāng)？=”時取等號.

%y

故答案為：4.

14.答案:y=±jl+^^]x.

解析：設(shè)切點為A,過及作片5,咽,垂足為8,

由題意可得|。4|=a,|。聞=c,|A&|=必彳=。，

由Q4為△町鳥的中位線，可得忸耳|=2a,

\BF2\=2b,

忸周4aI..i2a

又ZFMF=60。,可得|M耳I=方'阿n=五

}2sin60°

\MF2\=\MB\+\BF2\=^+2b,

^\MF2\-\MFr\=^+2b-^=2a,

所以ba,

所以雙曲線的漸近線方程為y=±[l+5Jx.

故答案為：_y=±1+^-x.

3

15.答案：(-oo,-3]

解析：因為x￡(l,+cob所以lnx>0,

因此由，>%4+%3(l+aln“何得a<d"一》一1=產(chǎn)一％-1

InxInx

構(gòu)造函數(shù)/(%)=/—九―ln/(x)=e"—1,當(dāng)工￡(0,收),/'(%)>0"。)單調(diào)遞增,當(dāng)

X￡(YO,0)時,/'(%)<05f(x)單調(diào)遞減,因此有/(x)>/(0)=0,

即/(%)=靖-％-120=>/2%+1,當(dāng)且僅當(dāng)%=0時取等號，

所以有e"(x-31nx+l)-x-1=_人*)，當(dāng)且僅當(dāng)存在%>1,使得

InxInx

x0-31nx0=0即可，

設(shè)g(x)=x-3InX,g⑴=1>0,g(2)=2-3In2=Ine?-In8<0,即g⑴g(2)<0,

因止匕當(dāng)xe(1,2)時泌存在一個零點%,因止匕(*)成立，故aW-3,即實數(shù)。的取值范圍是

(-00,-3]?

故答案為：(-CO,-3].

16.答案：9月兀

解析：如圖，正四面體尸-ABC中，頂點P在底面的射影為。-球心。在尸。]上,

2G

設(shè)正四面體的棱長為2a，可得℃=

則正四面體高PO]=">02-002=]（2a）2—手a=孚.

設(shè)外接球半徑為民在直角三角形。00中,。。2=oo；+。02,

即爐=1半"Rj+［半，解得R=坐a，

令PE=心在△PEF中,由余弦定理得

EF2=PE2+PF2-2PE-PFcos60=?2+22-?2?>

同理，在APFC中,由余弦定理得FC2=PC?+PF--2PC-PFcos60=4?2+22-2aA②

由題設(shè)EC=2EF,解得X=即，

3

由于P到平面ABC的距離與C到平面PAB的距離相等,都等于

歸01卜5.=g|PE||PE|sin60=^-a^

故1/—\7_1QIDCI_122A/^_3

故%-MC=K-PM=1S尸所=§x-^-ax-^-a=—a，

解析：（1）已知a"+S“=4①,

當(dāng)〃=1時,2%=4,解得q=2,

當(dāng)〃22時,%+S“_]=4②，

①-②得：an-an_x+an=0,

因為q尸0,整理得兒=；,所以4=《.2f=22-"；

an-l2

（2）由也=log2a?可得用=log222f=2_n,

由于]=__________1__________=]U_J______二

4"—i也"+i[2-（2〃-1）][2-（2"+1）]（2n-3）（2n-l）2（232H-1

所以kg1n

-1-1+1--+...+

32n-32n-l

18.答案：（1）98.8

（2）100元

解析：（1）生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品平均尺寸為:

0.12x80+0.24x90+0.36x100+0.20x110+0.08x120=98.8；

（2）次品的尺寸范圍Ze（〃—3cr,〃+3cr）,即Ze（100—3x5,100+3x5）,

即Ze（85,115）,故生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為：0.012x10+0.008x10=0.20,

設(shè)生產(chǎn)線上的一箱零件（5件）中的正品數(shù)為X,正品率為1_0.2=0.8，

故X?8（5,0.8）,￡”）=5*0.8=4

設(shè)銷售生產(chǎn)線上的一箱零件獲利為y元，

則y=50X—100（5—X）=150X—500,￡（y）=150E（X）—500=100（元），

所以這箱零件銷售后的期望利潤為100元.

19.答案：（1）C=-

3

⑵4+2百

解析：（1）2S-y/3CB-G4=0，absinC-j3abcosC=0，

又就＞0，:.sinC-V3cosC=0，tanC=6，

又Ce（O,7i）,:.C=g.

（2）「△ABC的外接圓半徑為2,

ABAB/

二由正弦定理,sin/4。？—.兀―“—，:.AB=2g，，

sin—

3

TT27r

ZACB=NABC+NBAC=—,

33

NB4C與/ABC的內(nèi)角平分線交于點/,

設(shè)ZAB/=6,則/34/=巴一6,且o＜。(工，

33

在△AB7中，由正弦定理

,BI一一._8.2+-婕)

得’.(兀Qsin。sinZAIB.2兀,.-.B/=4sm--0,A/=4sin6＞,

13)3

.,.△AB7的周長為20+4sin[m-9)+4sin9=26+4]-^-cos6＞-^-sin6＞

+4sin8

=26+2百cos6+2sin6?=4sin+2代，

0＜夕＜二「二＜e+二＜&,當(dāng)e+二=二,即，=巴時,的周長取得最大值,

3333326

最大值為4+2百，故△AB7的周長的最大值為4+2百.

20.答案：(1)H+y2=l

9-

（2）存在

3

2cl+2c-6+4A〃+c=3+ZA/Z,

，即《從

解析：（1）依題意，得\cb2b21￡

、2aa31a3

解得I'=9,所以E的方程J2=1；

b2=19

（2）依題意，可設(shè)直線/的方程為x=3+：

2_1

-X--Hy2—1

聯(lián)立方程9-，化簡整理，得4,2+9/2+12?-27=0,

易得A〉0恒成立，

設(shè)C（X]，X）,。（%2，丁2），由韋達(dá)定理，

[-3t

得＜27，可得=?（%+%），

于是勾=M,丁3=（%-3）%=6"1.

左2七+3%4+3）%

9

:20V2-3必_2.4（%+%）-3%

20V2+9%2：（必+%）+9%

|x+g%|（M+3%）1

-----------------------------------——,

9279/°、3

/+晝％萬（%+3y2）

21.答案：（1）證明見解析;

⑵「叵3岳一

13?

解析：（1）證明：如圖，作AC的中點M連接

在等腰梯形ACGA中，。，加為4。「47的中點，

:.AC±DM,

在正△ABC中,M為AC的中點,

:.AC±BM,

AC±DM,AC±BM,DM\="，DM，u平面BDAf，

.?.AC_L平面BDM，

又BDu平面BDM，二AC±BD-

（2）AC,平面5QM，

在平面BDM內(nèi)作AfeJ_BM，以M為坐標(biāo)原點MMA^MBMz，分別為x,y,z,軸正向，如圖

建立空間直角坐標(biāo)系，

，AC,R0，AC,二NDMB為二面角4一AC—5的平面角，即,

^^cos&^^sin。C-cos0,—sinA

A（1,O,O）,B（0,V3,O）,C（-1,O,O）,D0,

22222J

A3走cose,走sine],

"22J

cos^,—sin6>\

設(shè)平面BBGC的法向量為n=（%,y,z）,CB=（1,6,0），CG=

”22J

x+y/3y=0

底”=。，即

則有40,6,an

cc/〃=o—