第7講 函數(shù)的奇偶性-人教A版高中數(shù)學(xué)必修一講義（解析版）

第七講函數(shù)的奇偶性第七講函數(shù)的奇偶性 教材要點(diǎn)學(xué)科素養(yǎng)學(xué)考高考考法指津高考考向1.函數(shù)奇偶性的定義數(shù)學(xué)抽象水平1水平11.了解函數(shù)的奇偶性的概念，會用定義判斷函數(shù)的奇偶性。2.掌握偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的特征。3.理解奇、偶函數(shù)的單調(diào)性，體會數(shù)形結(jié)合的思想?！究疾閮?nèi)容】函數(shù)奇偶性的判斷，圖像特征，求值及綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。【考查題型】選擇題、填空題和解答題【分值情況】5--10分2.函數(shù)奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)數(shù)學(xué)運(yùn)算水平1水平13.奇、偶函數(shù)的圖像特征直觀想象水平2水平24.奇、偶函數(shù)的單調(diào)性邏輯推理水平1水平2知識通關(guān)知識通關(guān)知識點(diǎn)函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)及性質(zhì)偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱；若在原點(diǎn)有定義，則題型一函數(shù)奇偶性的判斷規(guī)律方法判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法：(1)定義法：(2)圖象法：例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)解析：（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，∴該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；（2）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱?！哂?，∴既不等于，也不等于，∴該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；（3）函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，∵∴該函數(shù)為奇函數(shù)；（4）的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱．當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．綜上可知，對于∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有，故該函數(shù)為偶函數(shù)．答案（1）非奇非偶函數(shù)（2）非奇非偶函數(shù)（3）奇函數(shù)（4）偶函數(shù)【變式訓(xùn)練1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）解析：（1）由知∴函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，故既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；（2）由得，即∴函數(shù)的定義域是，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，∴既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又∵∴是偶函數(shù)；（4）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則綜上，對，都有∴為奇函數(shù)。答案（1）非奇非偶函數(shù)（2）既奇又偶函數(shù)（3）偶函數(shù)（4）奇函數(shù)題型二奇、偶函數(shù)的圖象問題規(guī)律方法1.巧用奇偶性作函數(shù)圖象的步驟1.巧用奇偶性作函數(shù)圖象的步驟(1)確定函數(shù)的奇偶性．(2)作出函數(shù)在[0，＋∞)或(－∞，0])上對應(yīng)的圖象．(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對稱得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上對應(yīng)的函數(shù)圖象．2．奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用類型及處理策略(1)類型：利用奇偶函數(shù)的圖象可以解決求值、比較大小及解不等式問題．(2)策略：利用函數(shù)的奇偶性作出相應(yīng)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象直接觀察．例2、已知奇函數(shù)的定義域?yàn)閇－5,5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示．(1)畫出在區(qū)間[－5,0]上的圖象．(2)寫出使的的取值集合．解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以在[－5,5]上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，由在[0,5]上的圖象，可知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示．(2)由圖象知，使函數(shù)值的的取值集合為(－2,0)∪(2,5)．【變式訓(xùn)練2】已知偶函數(shù)的一部分圖象如圖，試畫出該函數(shù)在軸另一側(cè)的圖象，并比較的大?。馕觯簽榕己瘮?shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，如圖，由圖象知，.題型三函數(shù)奇偶性的應(yīng)用規(guī)律方法1.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值的方法：利用函數(shù)的奇偶性的定義1.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值的方法：利用函數(shù)的奇偶性的定義或可求函數(shù)值，比較或的系數(shù)可求參數(shù)值．2．利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的步驟(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)；(2)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式；(3)利用的奇偶性寫出或，從而解出方向1利用奇偶性求函數(shù)值例3-1、已知，且，則＝()A．26B．18 C．10D．－26解析：設(shè)，則為奇函數(shù)，由題可得，∴，又，且為奇函數(shù)，∴∴答案D【變式訓(xùn)練3-1】函數(shù)，已，求的值。解析：設(shè)，則為奇函數(shù)∴∵，解得∴答案27方向2利用奇偶性求參數(shù)值例3-2、若函數(shù)為偶函數(shù)，則＝（）.A.-2B.-1C.1D.2解析:∵是偶函數(shù)，∴即，整理得，故，解得.答案C【變式訓(xùn)練3-2】若函數(shù)為奇函數(shù)，則=（）A.B.C.D.1解析：∵為奇函數(shù)，∴∴，整理得∴，解得答案A方向3利用奇偶性求函數(shù)的解析式例3-3、已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，求函數(shù)的解析式．解析：設(shè)，則，∴又∵是奇函數(shù)，∴又∵是定義在R上的奇函數(shù)，∴綜上所述，【變式訓(xùn)練3-3】已知是定義在上的偶函數(shù)。當(dāng)時，，求函數(shù)的解析式。解析：當(dāng)時，則∴又∵是定義在上的偶函數(shù)，∴故綜上，題型四函數(shù)奇偶性的部分結(jié)論以及運(yùn)算性質(zhì)規(guī)律方法（1）若（1）若為奇函數(shù)，則；若為偶函數(shù)，則。（2）若為奇函數(shù)，點(diǎn)在其圖像上，則點(diǎn)也在其圖像上；若為偶函數(shù)，點(diǎn)在其圖像上，則點(diǎn)也在其圖像上。（3）的定義域分別是，在它們的公共定義域上，有下列結(jié)論：注意：①上述表格中不考慮注意：①上述表格中不考慮和的情況；②中，需例4、設(shè)函數(shù)的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）偶偶奇奇偶奇偶奇偶不能確定不能確定奇偶不能確定不能確定奇偶奇奇偶偶偶偶奇A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)解析：對于A，令，則∴是奇函數(shù)，A錯；對于B，令，則∴是偶函數(shù)，B錯；對于C，令，則∴是奇函數(shù)，C正確對于D，令，則∴是偶函數(shù)，D錯。答案C【變式訓(xùn)練4】設(shè)函數(shù)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是（）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù)D.是奇函數(shù)解析：對于A，令，則∴是偶函數(shù)，A正確；對于B，令，則∴是偶函數(shù)，B錯；對于C，令，則∴是非奇非偶函數(shù)，C錯；對于D，令，則∴是非奇非偶函數(shù)，D錯。答案A思維拓展思維拓展考向一函數(shù)的周期性與對稱性方向一關(guān)于函數(shù)周期性的結(jié)論規(guī)律方法（1）若（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則（5）若，則（6）若，則（7）若（7）若，則（8）若，則（9）若，，則（10）若，，則（11）若是奇函數(shù)，且關(guān)于對稱，則例5-1、已知函數(shù)的定義域?yàn)镽。當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，則A.-2B.-1C.0D.2解析：∵當(dāng)時，∴∴又∵當(dāng)時，∴∴答案D【變式訓(xùn)練5-1】設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，，且，則解析：∵是定義在R上的奇函數(shù)，，∴，且，又∵∴∴，∴答案-2方向二關(guān)于函數(shù)對稱性的結(jié)論規(guī)律方法（1）函數(shù)圖像關(guān)于直線軸對稱的問題在定義域內(nèi)恒滿足的條件的圖像的對稱軸直線直線直線（2）函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱的問題在定義域內(nèi)恒滿足的條件的圖像的對稱中心點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)（3）知識拓展在定義域內(nèi)恒滿足的條件的圖像的對稱中心點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)例5-2、函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.D.是奇函數(shù)解析：∵是奇函數(shù)，∴，∴關(guān)于中心對稱，同理，是奇函數(shù)，∴，∴關(guān)于中心對稱，∴∵是奇函數(shù)，∴是奇函數(shù)。答案D【變式訓(xùn)練5-2】對任意實(shí)數(shù)都有，若的圖像關(guān)于對稱，，則A.0B.3C.6D.-3解析：∵的圖像關(guān)于對稱，∴令，則，解得，∴，∴∴∴答案B方向三求與函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱的函數(shù)的解析式規(guī)律方法①設(shè)所求函數(shù)上的任意一點(diǎn)坐標(biāo)為①設(shè)所求函數(shù)上的任意一點(diǎn)坐標(biāo)為且關(guān)于點(diǎn)對稱的圖像上的點(diǎn)坐標(biāo)②利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等量關(guān)系③解出，并代入已知函數(shù)解析式④化簡整理出關(guān)于的表達(dá)式例5-3、已知函數(shù)與的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，求的解析式。解析：設(shè)為上任一點(diǎn)，且為關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，則解得∵點(diǎn)在上，∴，把代入得，整理得答案【變式訓(xùn)練5-3】已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，求函數(shù)的解析式。解析：設(shè)圖像上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)在的圖像上，即，∴答案方向四利用函數(shù)的周期性求解析式利用函數(shù)周期性求函數(shù)解析式的步驟(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)；(2)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式；(3)利用的周期性寫出或，從而解出。例5-4、已知（定義域?yàn)镽）在上的解析式為，且，求在上的解析式。解析：∵∴，當(dāng)時，，則答案【變式訓(xùn)練5-4】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時，，且對任意的，有，求在上的解析式。解析：∵令，則當(dāng)時，則∴答案考向二函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性綜合問題規(guī)律方法（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。（2）偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)。（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。（2）偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)。例6-1、（1）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的解集為（）A.B.C.D.（2）若是定義在上的偶函數(shù)，對任意的，有，則（）A.B.C.D.解析：（1）∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，∵在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞增，∴的解集為（2）∵，∴在上是減函數(shù)，故。又是定義在上的偶函數(shù)，∴，故答案（1）B（2）D例6-2、定義在上的函數(shù)滿足：①對任意，都有；②當(dāng)時，?；卮鹣铝袉栴}：（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由；解析：（1）在上是奇函數(shù)。證明：對任意，都有，令得，解得，令，則，即，∴在上是奇函數(shù)。（2）在上單調(diào)遞減。證明：設(shè)，則而，則，當(dāng)時，，∴，即有，∴在上單調(diào)遞減?！咀兪接?xùn)練6】已知定義在上的函數(shù)滿足①對任意定義域上的，②當(dāng)時，。（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）判斷函數(shù)上的單調(diào)性；（3）求在區(qū)間上的最大值；（4）求不等式的解集。解析：（1）令，解得，再令，解得，又令，則又函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴函數(shù)為偶函數(shù)。（2）任取，且，則又當(dāng)時，，∴而∴函數(shù)在上是增函數(shù)（3）∵，∴，又由（1）、（2）知函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)且在上是增數(shù)，故在區(qū)間上的最大值為（4）∵，∴原不等式等價于，又函數(shù)為偶函數(shù)且在上是增函數(shù)，∴，即或，解得∴不等式的解集為綜合訓(xùn)練綜合訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練A組基礎(chǔ)演練一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關(guān)于()A．y軸對稱 B．直線y＝－x對稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D．直線y＝x對稱解析：∵f(－x)＝－eq\f(1,x)＋x＝－f(x)，∴f(x)＝eq\f(1,x)－x是奇函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選C.答案C2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)為()A．y＝eq\f(1,x2)B．y＝eq\f(1,x)C．y＝x2D．y＝xeq\f(1,3)解析：易判斷A，C為偶函數(shù)，B，D為奇函數(shù)，但函數(shù)y＝x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以選A.答案A3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在y＝f(x)圖象上的是()A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))解析：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－a)＝－f(a)，∴點(diǎn)(－a，－f(a))在函數(shù)y＝f(x)圖象上．答案B4．已知f(x)是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，則f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是()A．f(－0.5)＜f(0)＜f(1)B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)解析：∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故選C.答案C5．如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是減函數(shù)且最大值為5，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是()A．增函數(shù)且最小值為－5 B．增函數(shù)且最大值為－5C．減函數(shù)且最小值為－5 D．減函數(shù)且最大值為－5解析：f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)在[3,7]上的單調(diào)性與[－7，－3]上一致，且f(7)為最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，選C.答案C6．已知函數(shù)（其中p，q為常數(shù)）滿足，則的值為（）A．10 B． C． D．解析：令，則為奇函數(shù).，即，，.答案C7．設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)等于()A．0.5 B．－0.5C．1.5 D．－1.5解析：由f(x＋2)＝－f(x)，則f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.答案B8．設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝()A．3B．1C．－1D．－3解析：因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案D9．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，f(x)＝x2－eq\f(1,2)x，則f(1)＝()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(1,2)解析：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(1)＝－f(－1)＝－eq\f(3,2).答案A10．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，則f(x)＝()A．x2 B．2x2C．2x2＋2 D．x2＋1解析：因?yàn)閒(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.又f(x)為偶函數(shù)，f(－x)＝f(x)；g(x)為奇函數(shù)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②聯(lián)立①②可得f(x)＝x2＋1.答案D二、填空題11．函數(shù)f(x)在R上為偶函數(shù)，且x＞0時，f(x)＝eq\r(x)＋1，則當(dāng)x＜0時，f(x)＝________.解析：∵f(x)為偶函數(shù)，x＞0時，f(x)＝eq\r(x)＋1，∴當(dāng)x＜0時，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝eq\r(－x)＋1，即x＜0時，f(x)＝eq\r(－x)＋1.答案eq\r(－x)＋112．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0)上是增函數(shù)，且f(2)＝0，則使得f(x)＜0的x的取值范圍是________．解析：∵函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上是增函數(shù)，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(－2)＝f(2)＝0，∴當(dāng)x＞2或x＜－2時，f(x)＜0，如圖，即f(x)＜0的解為x＞2或x＜－2，即不等式的解集為{x|x＞2，或x＜－2}．答案{x|x＞2，或x＜－2}13．已知函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，則g(－1)＝________.解析：由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，∴f(1)＝g(1)－2＝－1，又y＝f(x)是奇函數(shù)．∴f(－1)＝－f(1)＝1，從而g(－1)＝f(－1)＋2＝3.答案314．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，f(1)＝eq\f(1,2)，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，則f(5)＝________.解析：令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．故eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＋f(2)，則f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).令x＝3，得f(5)＝f(3)＋f(2)＝eq\f(3,2)＋1＝eq\f(5,2).答案eq\f(5,2)三、解答題15．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(m,x)，且f(1)＝3.(1)求m的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．解析：(1)由題意知，f(1)＝1＋m＝3，∴m＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x＋eq\f(2,x)，x≠0.∵f(－x)＝(－x)＋eq\f(2,－x)＝＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．答案（1）2（2）奇函數(shù)16．函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且f(eq\f(1,2))＝eq\f(2,5).(1)確定函數(shù)f(x)的解析式；(2)用定義證明：f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)；(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.解析：(1)由題意知，解得∴f(x)＝eq\f(x,1＋x2).(2)證明：任取－1<x1<x2<1，則x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝eq\f(x2,1＋x\o\al(2,2))－eq\f(x1,1＋x\o\al(2,1))＝eq\f(x2－x11－x1x2,1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2)).∵－1<x1<x2<1，∴－1<x1x2<1,1－x1x2>0.于是f(x2)－f(x1)>0，∴f(x)為(－1,1)上的增函數(shù)．(3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，∴－1<t－1<－t<1，解得0<t<eq\f(1,2).答案見解析17．已知f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)．求證：f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)．證明：設(shè)x1，x2是(－∞，0)上的任意兩個值，且x1<x2，則－x1>－x2>0.∵f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(－x1)<f(－x2)．又f(x)是奇函數(shù)，∴－f(x1)<－f(x2)，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)．B組提升突破B組提升突破 一、選擇題1．函數(shù)的圖象大致為（）A．B．C． D．解析：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以排除選項(xiàng)B，D；又當(dāng)時，，所以排除選項(xiàng)A.故選：C.答案C2．已知函數(shù)是定義在的偶函數(shù),則（）A．5 B． C．0 D．2019解析：∵f（x）＝ax2+bx+a﹣2b是定義在[a﹣3，2a]上的偶函數(shù)；∴；∴a＝1，b＝0；∴f（x）＝x2+2；∴f（a）+f（b）＝f（1）+f（0）＝3+2＝5．答案A3．設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)解析：∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴|f(x)|為偶函數(shù)，|g(x)|為偶函數(shù)．再根據(jù)兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)、兩個偶函數(shù)的積還是偶函數(shù)、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)，可得f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，故選C.答案C4．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則xf(x)＞0的解集為()A.B.C.D.解析：∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且，∴，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減．∵當(dāng)－eq\f(1,2)＜x＜0時，f(x)＜0，此時xf(x)＞0，當(dāng)0＜x＜eq\f(1,2)時，f(x)＞0，此時xf(x)＞0，綜上，xf(x)＞0的解集為答案B5．已知函數(shù)若?(-a)+?(a)≤2?(1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[-1，0) B．[0，1] C．[-1,1] D．[-2,2]解析：若，則，，若，則，，故函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增.∴不等式等價于，即，∴，∴。答案C6．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．解析：，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，又在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，，即，對于恒成立，在上恒成立，，即的取值范圍為。答案A二、填空題7．已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－2x，則f(x)在R上的解析式為________．解析：令x<0，則－x>0.∴f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x.又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，∴答案8．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，它在區(qū)間上的圖像是如圖所示的一條線段，則不等式的解集為__________.解析：由題意，函數(shù)過點(diǎn)，，∴，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，關(guān)于軸對稱，所以，即，又作出函數(shù)在上的圖像，當(dāng)?shù)臅r候，的圖像恒在的上方，當(dāng)?shù)臅r候，令，，即當(dāng)?shù)臅r候，滿足，即.答案9．設(shè)函數(shù)是定義在