江西省2024年1月七省聯(lián)考考前數(shù)學(xué)模擬題答案

2024年1月“七省聯(lián)考”考前數(shù)學(xué)

猜題卷（新課標(biāo)新高考卷全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必

將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答第1卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)

號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合要求的。

1.（本題5分）已知集合/={-2,0"3},8=卜卜-1|<2},則4口8=（）

A.{-2,3}B.C.D.{3}

【答案】C

【分析】根據(jù)集合交集的運(yùn)算法則和對數(shù)運(yùn)算法則計算即可.

【詳解】由題意得，/={-2,e』"[-2,e'nC

5=卜卜-1|<2}=1-2<x-1<4={'-1vxv,,

所以=

故選：C

11z

2.（本題5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足——=-i,則慟=（）

1-Z

A.iB.—C.1D.J2

2

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法解出z,由模長公式計算回.

1+z1+i(l+i)(-l-i)

【詳解】由上=_i解得z==-i所以|z|=L

1-z-l+i(-l+i)(-l-i)

故選：c.

3.（本題5分）在A/BC中，。是C8延長線上一點，E是的中點.若瓦=3麗,

AAB+pAC=6BE,貝lj()

A.4=2〃B.2=—2〃C.〃=24D./-I=-2A

【答案】A

【分析】結(jié)合圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算即可得解.

【詳解】因為AABC中，E是力。的中點，CB=3BD，

貝!16礪=-2方-衣，XXAB+pAC=6BE,

所以;=所以;1=2〃.

故選：A.

sina.

---------------=4

4.（本題5分）已知.（兀），貝ljtana=（）

sinly-tzI

2石

A.-2石B.-^3C.—

2

【答案】D

【分析】由正弦展開式和三角函數(shù)化簡求值得出.

sinasina

---------------—------------------------4

【詳解】.建）61.".

sin~~a——cos。--sina

<3J22

tana

=4

所以01

--tana

22

所以tana=26-2tana,

角牟得tana=

3

故選：D

5.（本題5分）在有聲世界里，聲強(qiáng)級是表示聲強(qiáng)度相對大小的指標(biāo)，其值仇單位：dB

（分貝）］定義為y=ioigf,其中/為聲場中某點的聲強(qiáng)度，其單位為%/mz（瓦/平方

米），/。=1。72沙加2為基準(zhǔn)值.則聲強(qiáng)級為60dB時的聲強(qiáng)度/6G是聲強(qiáng)級為50dB時的

聲強(qiáng)度，5。的（）倍.

A.10B.100C.1.2D.12

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，得到可得60=101g今,50=10坨+，兩式相減得lg#=l,即可求

10^50

解.

【詳解】由題意知，聲強(qiáng)級是表示聲強(qiáng)度相對大小的指標(biāo)值V的定義為N=101g/,

可得60=101g牛,50=101g與，

兩式相減得10=10坨夕-10愴今=10（1&今一1白）=D1孑，

1010，0,0，50

即坨夕=1,解得夕'=1。，

-*50-*50

所以聲強(qiáng)級為60dB時的聲強(qiáng)度人。是聲強(qiáng)級為50dB時的聲強(qiáng)度Ao的10倍.

故選：A.

6.（本題5分）在數(shù)列｛4｝及也“｝中，an+l=an+bn+^a；+b;,bn+l=an+hn-y/a^+b^,

q=1,4=l,"eN*設(shè)c“=2"［十+，），則C2（）2o=（）

A.22020B.2202'C.22022D.22023

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列特征得到｛4+4｝和｛%A,｝為公比為2的等比數(shù)列，從而求出

a?+bn=2",anb?=2-',故求出q=2”“，得到答案.

【詳解】;%=%+〃++￡,b,,M=a“+〃-J&+"，%=1,4=1,

a“+i+b“+i=2（a“+6“），4+4=2,

故｛4+4,｝為公比為2的等比數(shù)列，

%+2=2"（〃eN*）,

2

另一方面：a?+lb?+l=（a?+b?）-（dn+=2a"a1bt=1,

故｛。"｝也是公比為2的等比數(shù)列，

22021

??C2020

故選：B

7.（本題5分）已知雙曲線E:4-0=l（a>0,6>0）,過點”（-4。）的兩條直線分

ab

別與雙曲線E的上支、下支相切于點48.若AMAB為銳角三角形，則雙曲線E的離心率

的取值范圍為（）

【答案】D

【分析】聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，利用判別式法，結(jié)合雙曲線的對稱性可得離心率

的取值范圍.

y=4（％+6）

設(shè)過點”（一仇0）的直線4：y=Mx+6）（左>0）,聯(lián)立//

整理，（b2k2-a2）x2+2b3k2x+b2（b2k2-a2）=0,

依題意，得A=46嘖4一4/92公一/）2=0,所以左2=寡

2

由雙曲線的對稱性，得0<5=所以/<2卜2-/）,

整理，得雙曲線E的離心率e=￡>逅.

a2

故選：D.

二、多選題（共20分）

8.（本題5分）已知一組樣本數(shù)據(jù)看廣2,…,x”為不全相等的w個正數(shù)，其中“24,若由

”=3尤*-2（左=1,2「一,〃）生成一組新的數(shù)據(jù)必,為「、心，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)中可能

相等的量有（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差

【答案】BC

【分析】利用極差的定義可判斷A；利用特殊值可判斷BC；利用標(biāo)準(zhǔn)差的定義可判斷

D.

【詳解】對于A,因為樣本數(shù)據(jù)占了2,…，斗為不全相等的〃個正數(shù)，所以極差大于0,

所以由為=3x.-2（左=1,2,…生成一組新的月的極差是x,極差的3倍，故A錯誤：

對于B,設(shè)了為國產(chǎn)2,…,x”的平均數(shù)，歹為必,必，…,心的平均數(shù)，可得歹=3彳-2,

當(dāng)丁=1時，可得歹=1,故B正確；

對于C,當(dāng)〃為正奇數(shù)時，設(shè)樣本數(shù)據(jù)X］,X2,…,X”的中位數(shù)為X*,

則數(shù)據(jù)必,七，…，兒的中位數(shù)M=34-2,當(dāng)與=1時，”=34-2=1,故C正確；

對于D,1為七,馬,…,x”的標(biāo)準(zhǔn)差，因為樣本數(shù)據(jù)w,…戶”為不全相等的〃個正數(shù),

所以S|K0,設(shè)務(wù)為乂，為，…，心的標(biāo)準(zhǔn)差，可得歹=3萬-2,

則5=一五）*2+（工2—亍）+.一+（X“一元）,

1Vn

s=［（.一歹）2+（乂一歹）2+…+（紇一歹）2_19（.一三）2+9（/2一元）2+—.+9（乃,1）2_3,3

2ynyn

故D錯誤.

故選：BC.

9.（本題5分）設(shè)函數(shù)/（x）=sin（0x+p）（O>O,|同行），/（卷%］=0,?萬）=一1,

且/（X）在［-0,三）上單調(diào)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.1普,。］是/（x）的一個對稱中心

B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線x=J對稱

C.函數(shù)/（X）在區(qū)間務(wù)（上的值域為像，手］

D.先將y=sinx的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的;，然后向左平移*個單位得到

/12

/（X）的圖象

【答案】ABD

【解析】先由〃X）在卜曰上單調(diào)，判斷1>浮再由/（得萬卜，/（|萬）=-1,

可計算得得到/(%)=sm2x+看,再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項判斷.

【詳解】因為/（x）在Y，期上單調(diào)，所以1*一1力=泮因為/仔萬］=0,

=所以4=］加一盤"=￡,所以7=2=萬，得0=2,由名乃］=7,

<3)43124co\3)

得一萬+9=—%+2左萬，kGZ,令左=1,得夕=5，所以/(x)=sin(2x+丁］,

326I6J

令x=-囁得2x+『W’故A項正確;

令x咤，得2x+?=?故B項正確;

當(dāng),問不7V力71時，2_x+不7V七7V,丁27T」,.不?71J|e372,1?,故,C項,錯誤;

先將y=sinx的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的），然后向左平移?^個單位得

/（x）=sin（2x+?J的圖象，故D項正確.

故選：ABD

【點睛】方法點睛：對于函數(shù)夕=/sin（<ox+0）的對稱軸與對稱中心的求解，可將0X+。

看成一個整體，利用正弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心計算求得.

io.（本題5分）如圖，在棱長為2的正方體43co-44G2中，點A1在線段4G（不

包含端點）上，則下列結(jié)論正確的有（）

A.點均在平面4cA的射影為A4CA的中心;

B.直線〃平面/CR；

■JT

C.異面直線耳。與剛/所成角不可能為:；

-3171'

D.三棱錐N-awn的外接球表面積的取值范圍為—,12K.

【答案】ABC

【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷①；利用面面平行的性質(zhì)可判斷②；由線面垂

直的性質(zhì)可判斷③；求出三棱錐力-CM。的外接球表面積的取值范圍，可判斷④.

【詳解】對于A,連接用。、BD,

因為四邊形/BCD為正方形，則2。L/C,

;8名J_平面4BCO,NCu平面4BCD,:.AC^BB,,

???BB、CBD=B,.：/。工平面2月。，；與。<=平面2月。，../6<_14。，

同理可證NR_L8Q,因為NCI4D1=4,二8Q_L平面/CQ,

因為￡>/=￡>C=￡?R,AC=ADi=CDl,故三棱錐。一481為正三棱錐，

因此，點與在平面力C?的射影為△NCD,的中心，A對；

對于B,連接/田、BC、,

???44J/C4且441=CC],故四邊形04。。為平行四邊形，所以，ACHAXCX,

?J4G<Z平面,NCu平面ZCD],.14G〃平面/81，

同理可證48〃平面NCR,VAXC^A,B=A,,所以，平面4BC；〃平面，

u平面48G,因此，AW〃平面/C〃，B對；

對于C,因為8Q_L平面/C2，平面48G〃平面NCR,，4。_1平面48。1,

?.?BMu平面48G，BXD±BM,C對；

對于D,設(shè)8。分別交平面ZCQ、平面48G于點E、F,

則OEJ,平面ZCZ\,與尸_L平面45G，

Dt

^D,-ACD='^DD\S^CD=~X2X-X22=->S.4CD,=興X（26）=243,

yDYCD、=gs&CDJDE=DE=?，可得=同理可得8］尸=2^

?:B、D=26則尸=

近痣

Y4BG、△48,的外接圓半徑均為r=22

2sin60°3

易知E、尸分別為△4CD，、V48G的中心,

當(dāng)點”與點4或點G重合時，尸“取最大值小

3

當(dāng)點w為線段4G的中點時，楨取最小值逅，即逅VM/v邁,

333

因為△/CD,為等邊三角形，且平面垂足為△4CA的中心,

所以，三棱錐的外接球球心在線段4。上，設(shè)OE=d,球。的半徑為R,

o

貝|J氏2="2+/2=42+一，

3

(i)當(dāng)球心。在線段。E上時，05d與漢1,

3

22

因為R2=OF+FM+FM

所以，力+圻3+苧]+五”可得

nJWO<</<—,

6

._2128811

此r時iL，R-=d+—e；

3|_34_

(ii)當(dāng)球心O在線段EF上時，OVdV/叵，

3

(7/TV

S^；/?2=OF2+FM2==^--d+FM2,

3

所以,/+：=(手._可+FM2,可得FA/?=g+竽."eI，!可得0W正,

3

此時，R-=d.+—,3^|；

(iii)若球心。在線段4尸上時，竽vdv竽，

22

因為R2=OF+FM+FM

所以，d2+-=[d-^\+FM2,可得必公=3+&叵〃三14,31,不合乎題意.

313)33|_3_

所以，1</?2<3,故三棱錐的外接球的表面積S=4成W312兀，D錯.

故選：ABC.

【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到

正方體或長方體中去求解；

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓

心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即

可；

④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點的距離相

等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.

第II卷（非選擇題）

三、填空題（共20分）

11.（本題5分）已知xeZ,且842。23+工能被17整除，則x的取值可以是.（寫

出一個滿足題意的即可）

【答案】1（答案不唯一）

【分析】根據(jù)二項式定理展開式的特征即可求解.

202320232023M22021

【詳解】84+x=（85-I）+x=85-C；。23852+C^385+-+C^85-l+x,

要使842。23+x能被17整除，則-1+x能被17整除即可，

貝IJx=17/+l,%eZ,故可取x=l,

故答案為：x=I

12.（本題5分）已知/卜）=/-&+10,xeR,數(shù)列｛%｝是公差為1的等差數(shù)列，若

/（《）+/（&）+/（%）的值最小，則％=.

【答案】3

【分析】結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題可解.

【詳解】???數(shù)列｛%｝是公差為1的等差數(shù)列，可設(shè)：a?=a｛+n-\.

⑷+/（。2）+/'（4）=/（%）+/（4+1）+/m+2）

=（a：—8q+10）+[（q+1）—8（4+1）+io]+[（q+2）—8（q+2）+lo]=3a；—18%+11

二當(dāng)/=-蕓=3時，"卬）+〃出）+/3）的值最小.

故答案為：3

13.（本題5分）如圖，若圓臺的上、下底面半徑分別為4百且外弓=3,則此圓臺的內(nèi)

切球（與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球叫圓臺的內(nèi)切球）的表面積為.

【答案】1271

【分析】利用已知條件求得圓臺的母線長，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得圓臺的高，即內(nèi)切球

的直徑，最終利用球體體積公式求解即可.

設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為，則圓臺內(nèi)切球的球心。一定在。。2的中點處，

設(shè)球。與母線AB切于A/點，所以_L45,所以。河=OOX=OO2=R（R為球。的半徑）,

所以“OQ與“全等，所以同理8M="

所以/8=4+々，00；=?+々）2_（4-々『=44々=12,所以002=26,

所以圓臺的內(nèi)切球半徑&=6，內(nèi)切球的表面積為4兀爐=1271.

故答案為：12兀.

14.（本題5分）設(shè)奇函數(shù)"X）定義在（-加,0）。（0,兀）上，其導(dǎo)函數(shù)為/（x）,且/仁）=°，

當(dāng)0<xV兀時，/（x）sinx-/（x）cosXV0,則關(guān)于％的不等式/W<0的解集為.

【答案】—,0卜生）

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)尸（》）=/區(qū)，求導(dǎo)，由/（》）是奇函數(shù)，判斷尸（X）奇偶性，

sinx

判斷單調(diào)性，進(jìn)而解不等式.

【詳解】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)尸（x）=/H,則尸'（x）=/'（x）sinx；/（x）cosx

sinxsirTx

/\/\f（—工）~f（x）/、

由/（X）是奇函數(shù)，則尸（一%）="：:=-^^=廠々）,

sin（-x）-sinx

所以尸（x）是偶函數(shù),

由0vxv兀時、/\x)sinx-/(x)cosx<0,

所以當(dāng)一兀<x<0,Fr(x)>0,當(dāng)0<R<兀時，F(xiàn)"(x)<0,

故尸卜)在(-兀,0)單調(diào)遞增，/卜)在(0,兀)單調(diào)遞減，

又/停)=0,所以尸

所以當(dāng)0<x<兀時，/(x)<0轉(zhuǎn)化為出所以工<x<7r,

sinxsin42

2

411所以兀八

當(dāng)-兀<x<0時，/(R)<0轉(zhuǎn)化為，所以一一<x<0,

sinx.兀--7--兀x2

sin—sin

2

71

故答案為:

q,。唯2兀

2

15.【答案】1e

【分析】尸(e'Jnx),。(乜。，利用兩點間的距離公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)

合導(dǎo)數(shù)、切線、點到直線的距離公式來求得正確答案.

【詳解】/(x)=(e^-e/)2+(lnx-r)2,令尸(e\lnx),Q(et,t),則/(x)=|P°f,

點P在函數(shù)g(x)=In(Inx)的圖象上運(yùn)動，點Q在直線y=k上運(yùn)動,

由g'(x)=-^—=L得x=e,

xlnxe

所以函數(shù)g(x)圖象上平行于直線y=L的切線的切點坐標(biāo)為(e,o),

ie

切點(e,0)到直線y=-x的距離d=不=

eve+1

2

所以|尸。『即/(X)的最小值為品.

【點睛】求解本題的關(guān)鍵：(1)化簡/(H，巧設(shè)尸(e',lnx),0(etj),得到〃句=儼?！?；

(2)觀察P,。坐標(biāo)的形式，得到P,。的軌跡，從而利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.

四、解答題(共75分)

16.(本題10分)在銳角三角形月5c中，角所對的邊分別為〃也c,siib4=2徨.

3

?B+C.jA,,..

(1)求tan-------+sm“一的值；

22

(2)若。=2&，△Z5C的面積為正，求6的值.

【答案】(,

(2)6=1或b=3.

【分析】(1)根據(jù)同角關(guān)系以及二倍角公式即可代入求解,

(2)根據(jù)面積可得bc=3,根據(jù)余弦定理可得〃+。2=io,進(jìn)而可求解.

【詳解】(1)因為A為銳角，所以cos/=抗二sin2A=-

3

則

2A

cos—

2B+C2h-cos41-cosA.A

tan-------____2_^sinA----------?-----------1-sin2

2r

2s.i2n%——222

2

1+cosA

------------J-

1-cosA

^^=72,故bc=3,

⑵邑皿=-bcsin^~bcx

223

y.a2=b2+c2-2bccosA,即8=ft2+c2-2x3x1,則從+。2=1（）,

所以3伊+c2）=10bc,解得b=；c或b=3c,從而6=1或6=3.

17.(本題12分)設(shè)｛%｝的前〃項和為邑=女1+%),且4+%=5.

(1)求｛%｝的通項公式;

SS

(2)已知2=三乙+仲，且也｝的前〃項和為1,求證：2M＜7；＜2M+3

3〃+I

【答案】⑴%=〃

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)〃的關(guān)系即可作差證明｛4｝是等差數(shù)列或者利用迭代法也可求解,

n17-1-9

(2)根據(jù)基本不等式可得〃=--+——＞2,即可求證4+4+…+。＞2”，利用裂

n+2n

項求和法，即可求證印+&+…+九＜%+3.

【詳解】（1）解：S.=T（l+a“），令〃=1得4=1;

又當(dāng)〃22時，，T=F（1+%）'

可得2%=〃（-（〃一1”1+1,即（〃-2”“=（〃-1）%_1一1①；

（解法1）退位作差證明等差數(shù)列：（〃-1）。向=〃。“-1②，

由①一②得（〃-2）勺-（〃-1）°”+[=（〃-1）%-1）,

即（〃-1）%+|+（〃-1）%_1=（2〃一2）%,，%+|+%_|=2勺,；.數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列.

由的+包=5及q=1可得公差1=1,可得%=〃.

(解法2)變形構(gòu)造：由。2+。3=5,可知&=6=3。；引,.?.%=3.

必________]_4-11?1

n—\n—2(w—1)(H—2)n—2(〃—I)

1%11■'1-_.%...,?■-1__a3,1_

n—\n—\n—2n—222

/.an=n,當(dāng)〃=1時成立.

⑵證明：“沈+營=矣+丁*2blh=2,■

因為所以“=T+S>2,

〃+2nn+2n

即4+與+…+b〃>2w.

nn+22

又因為5=----------1----------

n+2nnn+2

J1

所以4+4+…+〃=2〃+2+?

n〃+2

=2n+2|1+----------—|=2n+3-2|—+—1―

I2n+1n+2)(〃+l勿+2

22

因為—>0,所以“+4+…+6〃〈方+3.

H+1n+2

綜上，2〃<4+與+???+/?〃<2〃+3.

18.（本題12分）如圖，在三棱臺48G中，CG，平面Z8C,AA.LB.C,

3C=24G=2cq=2.

4C,

(1)證明：ABLBBy.

(2)若平面ABB、與平面A、BC的夾角的余弦值為逅，求AC的長.

【答案】(1)證明見解析

⑵4

【分析】(1)利用三棱臺的性質(zhì)將三棱臺補(bǔ)形成三棱錐，利用三線合一證得4。，尸8,

從而利用線面垂直判定與性質(zhì)定理即可得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得的長度，從而得解.

【詳解】(1)延長聲,網(wǎng),CG交于點P,如圖，

因為三棱臺ABC-4B￡中，BC=2B\G=2CC、=2,

所以PB=2BB,,PC=2CC,=2,則與是P8的中點，PC=BC,

所以工PB,又441np8=尸,441,依u平面P/8,

所以qc，平面P48,又48u平面尸48,則

因為CC|_L平面/BC,/8u平面NBC,貝

又用CnCG=C,21C,CGu平面尸8C,所以工平面P8C,

因為881U平面尸8C,所以

(2)因為平面尸BC,8Cu平面PBC,所以ABJ.BC,

過B作&〃PC,因為CGI?平面H8C,所以8zJ_平面4BC,

故以B為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

不妨設(shè)AB=2a（a>0）,則B（0,0,0）,^（2a,0,0,）,C（0,2,0）,P（0,2,2）,

4（0,l,l），4（a,l,l,），G（0,2,l）,

故麗=（一a,0,0）,西=（0,1,1）,4C=（-a,l,-l）,5C=（0,2,0）,

、A.B.m=-ax=0

設(shè)平面4%的法向量為比=（zx,y,z）,貝6一,

網(wǎng)?玩=y+z=0

取V=T,貝！Jx=0,z=l,故慶=（0,-1,1）,

/、A.C?n=—as+r—t=0

設(shè)平面48c的法向量為〃=（s/,f）,貝川，，

BCn=2r=0

取s=-l,則尸=0,f=a,故壇=

因為平面488,與平面48c的夾角的余弦值為逅，

4

=

所以|cos萬，同=[=、=―I->解得a=G（負(fù)值舍去），

|叫川V2xVlI-+a-24

所以4C==4.

19.（本題13分）某中學(xué)選拔出20名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊，其中高一學(xué)生有8名、

高二學(xué)生有7名、高三學(xué)生有5名.

（1）若從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊中隨機(jī)抽取3人參加一項數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2

名同學(xué)來自高一的概率.

（2）現(xiàn)學(xué)校欲對數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊成員進(jìn)行考核，考核規(guī)則如下：考核共4道題，前2道題

答對每道題計1分，答錯計0分，后2道題答對每道題計2分，答錯計0分，累積計分

不低于5分的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)員.已知張同學(xué)前2道題每道題答對的概率均為9，后2道

題每道題答對的概率均為是否正確回答每道題之間互不影響.記張同學(xué)在本次考核

中累積計分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱

號的概率.

【答案】⑴記

102

（2）分布列見解析；E（X）=y；-

【分析】（1）利用組合數(shù)和古典概率求解；

（2）分別計算不同計分的概率，列出分布列，算出期望，再求出獲得優(yōu)秀學(xué)員的概率

即可.

【詳解】(1)設(shè)事件/為“抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一”,

8x7

則網(wǎng),40CC；2=三x"=28

川（）CM-20x19x1895

3x2

(2)由題意可知X的取值可為0」,2,3,4,5,6,

前兩道題答錯的概率為l-|=g,后兩道題答錯的概率也為

=0）」xW=J-,

,7332236

尸（X=l）=C=xZxLLL,

''1233229

7221111z111

v73322332226

19119

=3）=C2yXyXC2-X-=-,

=4）=-x-x-x-+-x-xC\-x-=-

\,3322332224t

P（X=5）=C2—x—x—x—=—,

'）233229

=6）=-x-x-xi=-?-,

v733229

故X的分布列為:

X0123456

1112111

p

36969499

146RQ4410

數(shù)學(xué)期望為E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—+4x—+5x—+6x—=—

v7363636363636363

因為累積計分不低于5分的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)員,

所以張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號的概率為4白+白4二：2

36369

20.(本題13分)在平面直角坐標(biāo)系xQy內(nèi)，已知定點尸(2,0),定直線=動點

P到點尸和直線1的距離的比值為壁，記動點P的軌跡為曲線E.

3

(1)求曲線E的方程.

(2)以曲線E上一動點〃為切點作E的切線若直線/'與直線/交于點N,試探究以線

段A/N為直徑的圓是否過x軸上的定點.若過定點.求出該定點坐標(biāo)；若不過，請說明

理由.

【答案】⑴3-/=1

(2)定點7(2,0),理由見解析

【分析】(1)設(shè)點尸(xj)是所求軌跡E上的任意一點，根據(jù)題意，列出方程，即可求

解；

(2)設(shè)/'的方程為'=??+〃，聯(lián)立方程組，根據(jù)△=(),求得/+i_3/=0,得到

x=--,求得“(-四,二)，再聯(lián)立兩直線，求得■機(jī)+〃)，設(shè)T90),結(jié)合

nnn22

而?麗=0恒成立，化簡得到(，-2)(2〃，+〃+6加)=0恒成立，求得，的值，即可求解.

【詳解】(1)解：設(shè)點尸(x,y)是所求軌跡E上的任意一點，

因為定點尸(2,0),定直線/：x=|,動點/到點尸和直線/的距離的比值為孚，

Q(x-2)2+/_2v2

可得3=亍，化簡得二-/=1,

A23

所以曲線E的方程為匕-必=].

3

(2)解：因為直線/'與/相交，所以/'的斜率存在，

y=mx+n

可設(shè)/'的方程為y=，聯(lián)立方程組I—,

I3,

整理得(1—3m2)x2—6mnx—3n2—3=0,

則△=(―6加〃1—4(1—3〃J)(—3〃2—3)=0，可得〃2+1—3〃/=0，

即1—3利2=—/且+］=3m2,所以一lx?——9加之=o,即(〃x+3機(jī))2=0,

二匚卜］3m.3m2n2—3m21二匚八〕...1

所以x=------,貝m?。輞=/nx+〃=---------\-n=--------=---,所以M(-------,),

nnnnnn

y=mx+n

333

聯(lián)立方程組《3，解得、=7m+〃，即"邑三加+〃)，

x=—222

2

假設(shè)以線段"N為直徑的圓過x軸上一定點，設(shè)為T(f,0),則7MJ_7W,

所以俞?麗=0恒成立，即(一子一右一：)(|■一八|■加+〃)=°，

(---/)(—-/)+(-—)(—w+7?)=0,即--4--Z+/2---1=0,

n2n22nn22n

整理得—9m+6mt—3nt+2nt2—3m—2〃=0,

即2nti——2〃+6mt—12m=0?即-2)(2〃/+n+6m)=0恒成立,

要使得("2)(2加+〃+6加)=0恒成立,則［=2,所以恒過定點7(2,0),

即以線段為直徑的圓過工軸上一定點7(2,0).

【點睛】方法總結(jié)：解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：

1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化

量，即確定題目中核心變量(通常為變量k)；②利用條件找到上過定點的曲線尸(X,y)=0

之間的關(guān)系，得到關(guān)于左與陽'的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點

的坐標(biāo)；

2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情

況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).

21.(本題14分)已知函數(shù)/(x)=(x+2)ei

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若方程/(x)=x-2的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，求實數(shù)a的值；

(3)在條件⑵下，若函數(shù)g(x)=2e*-lnx-x-m-/(-x)有兩個不同的零點占,9，證

明：xx<-.

t2一e

【答案】⑴增區(qū)間是(-8,-1),減區(qū)間是(T+8)

(2)0

(3)證明見解析

【分析】(1)求定義域，求導(dǎo)，得到不等式，求出單調(diào)區(qū)間；

(2)轉(zhuǎn)化為方程(x+2)e"T-x+2=0的兩根分別是與和-X。，得到方程組，相減后得到

li

(e-l)[x0+2+(x0-2>^]=0，令g(x)=x+2+(x-2)e)求導(dǎo)，得至憚?wù){(diào)性，得至IJg(x)

只有1個零點，即0,代入(x+2)e"-*-x+2=0,此時無解，故e"-l=0,求出實數(shù)。的

值