高中數學 等比數列 練習題

4.3等比數列

貝！

1.各項均為正數的等比數列中，=1,a5=4,J%=()

A.2B.-2C.V2D.-V2

2.等比數列｛&J中，已知=2,a4==16,數列的公比為（)

_1

A.—B.-2C.2D.

22

3.在等比數列｛a九｝中，ar=1,q=2,則數列的前5項和等于（)

A.31B.32C.63D.64

4.2—V5與2+V5的等比中項是（)

A.1B.-1C.2D.一1或1

5.我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題："遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八

十一，請問尖頭幾盞燈？"意思是："一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數

是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈多少？"現有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈,

且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的3倍，則塔的中間一層共有燈（）

A.3盞B.9盞C.27盞D.81盞

.在等比數列｛｝中，首項的=：,公比=|，a=則項數n為

6anqn

A.3B.4C.5D.6

7.已知1,a,x,b,16這五個實數成等比數列，貝！1x的值為（)

A.4B.-4C.±4D.不確定

8.已知等比數列｛斯｝的前n項和為Sn,a2=2,公比q=2,則Ss等于（）

A.32B.31C.16D.15

9.公差不為0的等差數列中，2a3-a；+2的1=0,數列｛%｝是等比數列，且b7=a7,則

b6b8=（）

A.2B.4C.8D.16

10.標準對數遠視力表（如圖）采用的"五分記錄法"是我國獨創(chuàng)的視力記錄方式，此表中各行均為正方

形"E"形視標，且從視力5.2的視標所在行開始往上，每一行"E"的邊長都是下方一行"E"邊長的

1VTU倍，若視力4.2的視標邊長為a,則視力5.1的視標邊長為()

Him；

Eni

“m山”

UJEm

VEUJS*!

3mEUJ

，，maw匡，

A.10-ioaB.10-5aC.10saD.lOioa

11.已知等比數列｛。九｝滿足3a3=2a4且a2=2,則的=__.

12.已知公比為q的等比數列｛。九｝滿足的+。4=2a3，貝UQ=__.

13.從盛有1L純酒精的容器中倒出|L,然后用水填滿，再倒出|L,又用水填滿…….連續(xù)進

行了n次后，容器中的純酒精還剩下?lián)鬖,則n=—.

14.在正項等比數列｛&J中，若%+a2=6,a3=8,則q=__；an=____.

15.我國古代著作《莊子天下篇》引用過一句話："一尺之梗，日取其半，萬世不竭”其含義是：一尺長

的木棍，每天截去它的一半，永遠也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的長度是

尺；要使剩余木棍的長度小于烹尺，需要經過一次截取.

zOlo

16.Sn是正項等比數列｛。九｝的前n和，a3=18,S3=26,貝!j.公比q=____.

17.等差數列｛an｝的前n項和為S九，若的=1,S3=a6f且a3,a6,ak成等比數列，則

'k=____?

18.已知數列｛。九｝的通項公式an=2n-6(nEN*).

(1)求的，。5；

(2)若a2,a5分別是等比數列｛,｝的第1項和第2項，求數列｛時｝的通項公式.

19.已知正項等比數列｛an］的前n項和為Sn,且的=2,a3=8.

(1)求數列｛a"的通項公式；

(2)求數列｛。九｝的前n項和Sn.

20.在正項等比數列｛a九｝中，a4=16,且a2,a3的等差中項為+a2-

(1)求數列｛即｝的通項公式；

(2)求數列｛④i+n｝的前n項和為Sn.

a

21.已知｛an｝是公差不為零的等差數列，的=1,且的，9成等比數列.

(1)求數列伍工的通項公式；

(2)求數列f--一］的前n項和Sn.

22.設｛an｝是等比數列，其前n項的和為Sn,且a?=2,S2-3al=0.

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)若Sn+an>48,求n的最小值.

答案

1.【答案】A

【解析】因為各項均為正數的等比數列｛an｝中，%=1,。5=4，

所以al=arxa5=4,所以a3=2（負值舍去）.

2.【答案】C

【解析】數列｛an｝是等比數列，則即=的."1,（q為數列的公比），

貝1JCI4=%?q3=16=2?q3,解得q=2.

3.【答案】A

【解析】因為等比數列｛a｝中，a1=l,q=2,所以數列的前5項和="匕口=

nl-q

^^1=31.

1-2

4.【答案】D

【解析】由題意可設2-8與2+8的等比中項是m,

則m2=（2-V3）（2+V3）=1,

解得m=—1或m=1.

5.【答案】C

【解析】根據題意，設塔的底層共有%盞燈，則每層燈的數目構成以%為首項，為公比的等

比數列，

則有s=-X"了）=363,

1—

3

解可得：X=243,

所以中間一層共有燈243x（1）2=27盞.

6.【答案】C

7.【答案】A

【解析】由題意知：X2=16,且若令公比為q時有x=q2>0,

所以%=4.

8.【答案】B

【解析】因為等比數列｛an｝的前n項和為Sn,a2=2,公比q=2,所以的=彳=1,

又因為5?=華聲(勺41),

所以S5=l^p=31.

9.【答案】D

【解析】等差數列｛an｝中，a3+alx=2a7,

故原式等價于ay-4a7=0解得a7=0或a7=4,

各項不為0的等差數列｛即｝，

故得到a7=4=歷，

數列｛%｝是等比數列，

故b6bB=by=16.

10.【答案】A

【解析】設第n行視標邊長為an,第n-1行視標邊長為曲-1，

1

由題意可得：an_i=V10ano工=10.,

an-l

則數列｛廝｝為首項為a,公比為10一2的等比數列，

z__]_X__9_

即010=a(10一元)=10-ioa,

則視力5.1的視標邊長為10一菖a.

11.【答案】:

【解析】因為3a3=2a4，

所以q=^=I

a32

故由等比數列的通項公式得的=&=1■=：.

q2

12.【答案】1

【解析】因為｛an｝為等比數列，且a2+a4=2a3,所以的q+%/=2a1q2,即i+q2=2q,

解得q=1.

13.【答案】5

【解析】根據題意，連續(xù)進行了n次后，容器中的純酒精的剩余量組成數列｛即｝,

則數列[｝是首項為I，公比為|的等比數列，則an=(|)x(|)z=(I)：

若連續(xù)進行了n次后，容器中的純酒精還剩下三L,即(I)"=若，解得n=5.

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14.【答案】2；2n

僅1+。2=+q)=6,_

2

【解析】由題意可知q>0,由題意可得a3=arq=8,解得,二2所以an=

(q>0,；

%q"T=2x2nt=2n.

15.【答案】2；11

64

【解析】記第n天后剩余木棍的長度｛an｝,則｛a"是首項為公比為|的等比數列，

所以a-n=所以。6=盛=/，

Zh4Ox

由曲=會<肅得">1。，所以n的最小值為IL

所以第6天截取之后，剩余木棍的長度是白尺，要使剩余木棍的長度小于焉尺，需要經過

642018

11次截取.

16.【答案】2；3

【解析】當q=1時，S3豐3a3,不滿足題意，故qH1；

(a/=18,

當qw1時，有L(l-q3)

匕丁=26，

解之得：物=/，

(q=3.

17.【答案】學；12

【解析】設等差數列的公差為d,則由S3=a6得3的+3d=%+5d,

即3+3d=l+5d,解得d=l,

貝ijan=n,Sn=n+=巴產.

由的,a6,ak成等比數列得aj=a3-ak,

2

即6=3kf解得k=12.

18.【答案】

(1)因為an=2n—6(n6N*),所以a2=—2,a5=4.

(2)由題意知：等比數列｛,｝中，仇=。2=-2，b2=as=4,

公比q=整=一2,

bi

所以等比數列｛4｝的通項公式四=瓦?嚴】=(―2)?(―2嚴t=(一2)艮

19.【答案】

2

(1)設等比數列｛冊｝的公比為q,則a3=膏=2q=8,

n_1n

所以q=2或q=—2(舍)，所以an=atQ=2,nGN*.

(2)由(1)得即=2n,所以S=吆上空=&=2=2n+1-2.

n1—q1—2

20.【答案】

(1)設正項等比數列｛即｝的公比為q(q>0),

由題意可得［Giq3=I'：

4-=2(Qi+arq).

解得^=2：

所以數列｛%J的通項公式為即=2