浙江省溫州市2024屆高三第二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

溫州市普通高中2024屆高三第二次適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)試題卷

2024.3

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卷上.將

條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破.

選擇題部分（共58分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知zeC,貝ip"eR”是“zeR，，的（）

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及充分、必要條件的定義判定即可.

【詳解】易知z=inz2eR，所以不滿足充分性，而zeRnz2eR，滿足必要性.

故選：B

2.已知集合"=Jx+l},N=1,y=Jx+11則McN=（）

A.0BRC.MD.N

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由集合交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，M=卜b=Jx+l}=[—l,+oo),

N=卜b=Jx+1}=[0,+00),則McN=[0,+co)=M

故選：D

3.在正三棱臺ABC-431cl中，下列結(jié)論正確的是()

A匕=3匕「BBCB.A4]，平面A4cl

C.AiB1BXCD,AA^LBC

【答案】D

【解析】

【分析】對于A：求出體積，然后作差確定大??；對于BC：舉例說明其錯誤；對于D：通過證明3C1面

AADP來判斷.

【詳解】設(shè)正三棱臺A3C-4與￡上底面邊長為。，下底面邊長為6,a<b,高為人

對于A：匕棱臺.一四=；"]乎/+手〃+手而，

則匕BC-AB?_3〃_BB、G=91岑a2+^-b2+^-ab-h-^-a2

_,fA/32,A/3,2,V3,A/3A/32A/3^_A/3(,22,,2\.

—h\—ciH-----bH-----cib------a2------a------a2——ZhIb—a+cib-a)>n0,

(121212121212J12v7

BP^ABC-A^BXCX〉3VA]_8B￡,A錯誤；

對于B：由正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征易知NA&用為鈍角，所以AA與A片不垂直，所以A4與面A8C不垂

直，B錯誤；

對于C：(反例)假設(shè)該棱臺是由正四面體被其中截面所截后形成的棱臺，則NA4B=120,若b=2a,

BBX-a,

所以.gc=(4g+B[B)?(45+BC)=4片?B[B+4用.BC++B.B-BC

=^a2-a2+a2-a2^0,即43與3c不垂直，c錯誤；

對于D：取中點(diǎn)。，耳G中點(diǎn)p,連接AD,DP，4P，

則AD.BCLPD,且ADIP￡>=￡>,AD,PDu面AQp,

所以6C_Z面A￡>P,同理4G，面4。尸，又BCHBG，

所以3cl面A。。，則面ADP與面ADP是同一個面（過一點(diǎn)只有一個平面與已知直線垂直）

所以3C1面AADP,又AAu面AADP,

所以Ad，5c.

故選：D

4.已知。=51!10.5/=3°5,。=108（）.30.5,則仇c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)丁=$也%一》,利用導(dǎo)數(shù)法求最值得sinx<x,從而有a<0.5,再利用函數(shù)y=log（）,3X

單調(diào)遞減得0.5<c<l,利用函數(shù)y=3*單調(diào)遞增得）〉1，即可比較大小.

【詳解】對因?yàn)閥=sinx-x,則y'=cosx-l<。，即函數(shù)y=sinx-x在單調(diào)遞

減，

且x=0時，y=0,則sinx-x<0,即sinx<x,所以a=sin0.5<0.5,

因?yàn)?10go.30.5=bgo.30-25>log030.3=1J=Llog030.5<log030.3=1,所以0.5<c=log030.5<1,

又人=3°-5>3°=1，所以"C<瓦

故選：B

5.在（3-%）（1-展開式中，九的奇數(shù)次幕的項(xiàng)的系數(shù)和為（）

A.-64B.64C.-32D.32

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)=%+[尤+々2X2+%工5+4]6,利用賦值法計算可得.

【詳解】設(shè)——=%+01%+4%2+%%4+%工5+Cl^，

令X=1可得/+%+%+%+〃4+%+〃6=0，

令X——1可得/-Q]+出一〃3+〃4-〃5+〃6=128,

50-128人

所以q+/+%=—~————64,

即在(3—x)(l—x)5展開式中X的奇數(shù)次幕的項(xiàng)的系數(shù)和為—64.

故選：A

6.已知等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S,,,公差為"，且｛S“｝單調(diào)遞增.若%=5,則de()

【答案】A

【解析】

【分析】因?yàn)閿?shù)列｛S“｝為遞增數(shù)列，所以｛a,J從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)均為正數(shù)，由此可求d得取值范圍.

【詳解】因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，且%=5,所以4=5+(〃—5)2,

又?jǐn)?shù)列｛Sj為遞增數(shù)列，所以｛%｝從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)均為正數(shù).

由/uS+g-SWAOndv,

因?yàn)?(〃》2)恒成立，所以數(shù)列｛4｝為常數(shù)數(shù)列或遞增數(shù)列，所以d'O.

綜上，deO,jj.

故選：A

7.若關(guān)于X的方程產(chǎn)+3+1|+卜2—3+1卜2阿的整數(shù)根有且僅有兩個，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是(

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)4=777%3=r+1,利用絕對值三角不等式得IB+AI+IB—A|22|A|,(A+B)(B—A)WO

時等號成立，進(jìn)而有％4+(2-機(jī)2)_￥2+1<0且整數(shù)根有且僅有兩個，對于/?)=產(chǎn)+(22?+],應(yīng)用二

次函數(shù)性質(zhì)及對稱性有A2。且/=好<22=4,得/(4)>0,即可求參數(shù)范圍.

【詳解】設(shè)4=7加,8=必+1,則原方程為IB+AI+IB—A|=2|A|,

由IB+AI+IB—A|=|A+B|+|A—5囹A+B+A—B|=2|A|,

當(dāng)且僅當(dāng)(A+B)(A-B)>0,即(A+8)(8-A)<0時等號成立，

所以(A+B)(B-A)=B2-A2=(x2+1)2—(mx)2<0,

整理得-+(2—蘇)爐+1<0①，顯然X=0不滿足，

令.=%2,即產(chǎn)+(2—m2?+1=0必有兩根，且?2=1〉0,故44為兩個正根，

22

所以A=(2-根2)2-4-m(m-4)>0,可得niW-2或機(jī)22,

對于/?)=產(chǎn)+(2-m2?+1，有/(1)=4—根2<0，即/=%2=1，即％=±1恒滿足①，

要使①中整數(shù)根有且僅有兩個，則對應(yīng)兩個整數(shù)根必為±1,

若整數(shù)根為否且石<4，則-2<X]<0</<2,即4=X；<2?=44=X；<2?=4,

所以/(4)=25—4根2〉o,得—；＜加＜1_,

綜上，me^——,—2u2,—

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用絕對值三角不等式的等號成立得到犬+(2-根2)爐+1<0,且整數(shù)根有且僅有

兩個為關(guān)鍵.

&已知定義在(。,1)上的函數(shù)小)』,X是有理婁紜也是互質(zhì)的正整數(shù))，則下列結(jié)論正確的是

1,九是無理數(shù)

()

A.“X)的圖象關(guān)于x=g對稱B./(%)的圖象關(guān)于對稱

C.”可在(0,1)單調(diào)遞增D.7(九)有最小值

【答案】A

【解析】

【分析】利用特殊值可排除B、C,利用函數(shù)的性質(zhì)可確定A、D.

【詳解】對于BC,由題意可知：fl=-V2+|j=l,

顯然/(X)的圖象不關(guān)于對稱，而-亞+。<0-L故B、C錯誤;

\22y22

對于D,若x為有理數(shù)，則=顯然〃一轉(zhuǎn)，函數(shù)無最小值，故D錯誤;

n

對于A,若》='是有理數(shù)，即私〃(加<〃)互質(zhì)，則〃一〃〃也互質(zhì)，即/'='=/〃二生

n/\n)n\n

若無為無理數(shù)，貝心一了也為無理數(shù)，即/(x)=/(l—x)=l,

所以/(%)的圖象關(guān)于x=g對稱，故A正確.

下證：以"互質(zhì)，則”一%”也互質(zhì).

反證法：若以"互質(zhì)，〃〃不互質(zhì)，不妨設(shè)“一M=履,"=劭，

則m=左()一。),〃=例，此時與假設(shè)矛盾，所以〃一辦”也互質(zhì).

故選：A

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性結(jié)合互質(zhì)的定義去判定A、B,而作為抽象函數(shù)可以適當(dāng)選取

特殊值驗(yàn)證選項(xiàng)，提高正確率.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知角￡的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與了軸的非負(fù)半軸重合，P(-3,4)為其終邊上一點(diǎn)，若角6的終邊與

角2a的終邊關(guān)于直線丁=一％對稱，則(

(、3JT

A.cos(兀+矽=1B./3=2kn+—+2creZ)

c7

C.tan/?——D.角尸的終邊在第一象限

24

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，可求角a的三角函數(shù)，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷A的真假；利用二倍角公式，求

出2a的三角函數(shù)值，結(jié)合三角函數(shù)的概念指出角2a的終邊與單位圓的交點(diǎn)，由對稱性確定角廠終邊與單

位圓交點(diǎn)，從而判斷BCD的真假.

【詳解】因?yàn)榻莈的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-3,4）,

一……43z3,,

所以：\(Jr\=3,切?以sma=g,cosa--—,所以cos<兀+a）=-cosa=M，故A對

4/3、24

又sin2a=2sina?coscr=2x—xl--1=-

25,

92.2/3丫”7

cos2a=coscif-sina=\——--=----，

I5)⑺25

所以2a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為：萬5'257

因?yàn)榻荁的終邊與角2a的終邊關(guān)于直線y=-%對稱，所以角尸的終邊與單位圓的交點(diǎn)為

所以taiW=五，且4的終邊在第一象限,故CD正確；

7T

又因?yàn)榻K邊在直線y=—%的角為：e—-,左eZ,角2a的終邊與角尸的終邊關(guān)于丁=一%對稱,

4

所以生產(chǎn)=E—=——2。伏GZ）,故B錯誤.

故選：ACD

10.己知圓G：必+）?=6與圓C?:必+/+2x-a=0相交于A,3兩點(diǎn).若S=2sM2AB，則實(shí)數(shù)"

的值可以是（）

2214

A.10B.2C.—D.—

33

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由條件可得弦A3所在的直線方程，然后將5M修=2S^GAB轉(zhuǎn)化為圓心到直線AB的

距離關(guān)系，列出方程，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得弦AB所在的直線方程為G-02：2》+6-a=0,

因?yàn)閳A￡:f+、2=6,圓心0（0,0）,

圓C,:x"+y2+2,x—<2=0,圓心C、（—1,0）,

設(shè)圓心G（o,。）與圓心G（T，°）到直線AB的距離分別為4,&，

因?yàn)?2s2AB，即—|ABp=2x—|Aj?pJ2,

所以4=2d2,又4=

6—tz4—<7

即④=2>④,化簡可得3a~-20a+28=0，

即（3a—14）（a—2）=0,解得a=2或a=?.

故選：BD

11.已知半徑為「球與棱長為1的正四面體的三個側(cè)面同時相切，切點(diǎn)在三個側(cè)面三角形的內(nèi)部（包括邊

界），記球心到正四面體的四個頂點(diǎn)的距離之和為d,則（）

A.「有最大值，但無最小值B.r最大時，球心在正四面體外

C.廠最大時，d同時取到最大值D.d有最小值，但無最大值

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出廠的取值范圍可判斷A,B；設(shè)OQ=x,根據(jù)題意得到d關(guān)于x的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)

〃司=，對/（力求導(dǎo)，得到了（x）的單調(diào)性和最值可判斷C,D.

【詳解】對于AB,設(shè)球心為。，正四面體為A—BCD,△BCD的中心為

球與平面ACD,平面ABC,平面鉆。相切，與平面ABC相切于點(diǎn)。2,

3》出邛，43=92—g=與

因?yàn)閞=。。2,在RtAO1”中，tanZQAH=-^=—,貝。sinNO]AH=，

A。143

所以在RtAAOO2中，r=(JO?=AQtanZO.AH=^-AO2,

因?yàn)锳O,e0,-^-,所以廠=,AQe0,

r有最大值，但無最小值，故A正確;

一24I

=31=巫>也,

當(dāng)Gax=止匕時A°=

sinNQ]AW82

〃最大時，球心在正四面體外，故B正確;

對于CD,設(shè)OQ=x,AO=^--x，OD="O；+DO；=卜+；,

所以4=04+3。。=在一X+3,令/(x)=^^__+3/2+；,

3

3x解得：%=逅或%=

令/''(》)=-1+,（舍去）,

1212

當(dāng)X』。遙〕

時,r（x）＜o(jì),“%）在o,上單調(diào)遞減,

12

當(dāng)xe時，f^x)>0,/(九)在上單調(diào)遞減,

\7

所以當(dāng)X=噂時，/（%）_=76,所以"有最小值，但無最大值,

故D正確，C錯誤.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題CD選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于，假設(shè)oq=x,將d表示為關(guān)于x的表達(dá)式，再利用

導(dǎo)數(shù)即可得解.

非選擇題部分（共92分）

三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.

12.平面向量a1滿足a=（2,1）,ab,a-b=-A/10>則忖=.

【答案】72

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量b=（x,y），由向量共線以及數(shù)量積的結(jié)果列出方程，即可得到》的坐標(biāo)，從而

得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)向量8=（羽y）,由a匕可得一=一，

''xy

又a.b，則2x+y=一廂，

故答案為：y/2

13.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=3C=CD=』AD,點(diǎn)石是A。的中點(diǎn).現(xiàn)將ABE沿環(huán)翻折到

2

ABE，將ADCE沿CE翻折到△O'CE,使得二面角A—5E—C等于60°,D'-CE-B等于90。,

則直線A3與平面DCE所成角的余弦值等于.

【解析】

【分析】根據(jù)圖象可得直線A'B與平面。'CE所成角的余弦值等于N4BK的正弦值，設(shè)A6=2a,利用

余弦定理求得相關(guān)線段的長度再進(jìn)行計算即可.

【詳解】設(shè)AB=2a,取CE的中點(diǎn)K,連接3K,A'K,

由題知平面BCE，平面D'CE,

平面BCE、平面D'CE=CE,

又BKu平面BCE,BK±CE

所以3K，平面O'CE，

則直線A3與平面DCE所成角的余弦值等于ZABK的正弦值,

易求得BK=y/3a,A'C=^3a,

￡A〃+EC2-AY5

cosZA'EC=

2EA,'EC8

EA松+EK2—AK5

又cosNA'EC=

2EA,'EK8

解得AK=

A，B?+BK?-Ak述

cosZA'BK=

2ABBK丁

則sinNA2K=.1—

所以直線AB與平面D'CE所成角的余弦值等于史,

8

故答案為：也

8

22

14.已知P,尸分別是雙曲線，—￡=1（。力〉0）與拋物線y2=2px（0>o）的公共點(diǎn)和公共焦點(diǎn)，直線

。產(chǎn)傾斜角為60，則雙曲線的離心率為

2+77

【答案】或#i+2

3

【解析】

【分析】由題意c=T，根據(jù)直線尸產(chǎn)傾斜角為60得直線。歹的方程為y=6（九一C）,聯(lián)立丁=4“得

尸點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可得離心率.

因?yàn)槭瑸殡p曲線=1（。力〉0）與拋物線y2=2px（p>0）的公共焦點(diǎn),

所以c="，故y2=4cx,

2'

因直線尸尸傾斜角為60，故直線尸產(chǎn)的斜率為左=石，直線PF的方程為y=G（x-c）,

聯(lián)立y2=4s,得3（x—c）2=4cx,即3/一10cx+3c?=0,

得x=3c或％」c,

22。2

r12c2?

當(dāng)％=3c時,y—代入一方得下一L'

又因/=。2一/，e=￡,得9e4—22e2+l=0，

a

解得e?="±4夕,又因e>l,得6=且土2

93

1422242

當(dāng)％=不。時，J?，代入二一二二1得93

33272

abab

又因/=02一/，e=￡,得e4—22e2+9=0，

a

解得e2=n±4j7，又因e〉l,得e=J7+2

故答案為：2±2自或4+2.

3

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.記ABC的內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為a,4c,已知2csinB=回.

（1）求c；

(2)若tanA=tanB+tanC,a=2,求ABC的面積.

【答案】（1）

(2)?

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理，邊化角，結(jié)合三角形中角的取值范圍，可得sinC,從而確定角C.

（2）根據(jù)條件求角求邊，再結(jié)合三角形面積公式求面積.

【小問1詳解】

由2csinB=J5b得2sinCsinB=J5sin8，而8為三角形內(nèi)角,

故sinB>0,得sinC=Y2,而。為三角形內(nèi)角，.1C=二或電

244

【小問2詳解】

,./n八―，口tanB+tanC-

由tanA=-tan(B+C)=tanB+tanC得-------------=tanB+tanC,

、1-tanBtanC

又tanB+tanCw0,tanBtanC=2,,故民,

由(1)得tanC=1,故tanB=2，

AtanA=tanB+tanC=3,而A為三角形內(nèi)角，sinA=3y

10

2

又上即刖Qnc國

sinAsinCF3

又tan5=2,而5為三角形內(nèi)角，故

小」x2x叵

22353

2

16.已知直線y=H與橢圓C：±r+y2=i交于A3兩點(diǎn)，p是橢圓。上一動點(diǎn)（不同于A3）,記

4-

左OP，女",左PB分別為直線ORPAP5的斜率，且滿足左?左OP=左以MPB.

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用左表示）;

（2）求?的取值范圍.

4左14k1

【答案】16-上而方不再!）或「…'

17.(4,5].

【解析】

【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)A,P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求得小心「=-工，再聯(lián)立直線y=近與橢圓方程求解即得.

4

（2）利用（1）的結(jié)論求出|OP|,|AB|,再借助基本不等式求出范圍即可.

【小問1詳解】

依題意，點(diǎn)A、8關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)A（x，yJ,尸（%,%），則3（-不，一%）,

■+才=1

4%一為%+為：，于是H^OP=一；，

則,兩式相減得

X-XXj+x

口y22

、4

2-2

y=kxJ1+4k2J1+442

由<整理得(1+442)1=4,解得《或<

%2+4y2-4=0'2k-2k

J1+4k2,1+442

1一D,4k1、D/4左1、

用-薪代替上述坐標(biāo)中的鼠得尸（一石正方京G）或打行p一用不）(左w0).

【小問2詳解】

16左2+14正+1

由(1)得，k^O,\OP\-\AB\=

4k2+1J1+4左之

卜￡+17入139k'=4卜+9?

Y16左4+8左2+1V16左4+8左2+116k2+8+上，

,1當(dāng)且僅當(dāng)人=士；時取等號,

1642+8+記+8=16,

顯然1<1+]6產(chǎn)+8+廠記，所以4<|。4|45歸5,即|。斗|他|的取值范圍是（4,5].

17.紅旗淀粉廠2024年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為年投入資金x（萬元）與年收益V（萬元）8組數(shù)據(jù):

X1020304050607080

y12.816.51920.921.521.92325.4

（1）用y=Aliw+a模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益》與年投入資金x的關(guān)系，求出回歸方程；

（2）為響應(yīng)國家“加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)”的號召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一種藥用淀粉，預(yù)計其收益為投入的

10%.2024年該企業(yè)計劃投入200萬元用于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大值.（精確到0.1萬元）

n

＞丫必-nv-u

附：①回歸直線Q=亂+6中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：另二氣----------，a=u-b-v

1=1

②

8888

Zx-I；"（1叫）2Zy1nxi

i=\1=1i=lZ=1

1612920400109603

③ln2?0.7,ln5?1.6

【答案】（1）f=51nx+2

（2）36.5

【解析】

【分析】（1）利用回歸直線的公式求g和&的值，可得回歸方程.

（2）建立函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值.

【小問1詳解】

88

8—82叫ZB

eos-sx^x161

Xin81nx^lnx(,X-8^L—,天-

￡_/=1___________________________」=i

_3388

0_8_____28_____2=5

Z(ln%)2_8(lnx)ZOn%)_8(lnx)109-8x

i=li=l

a=y-^h^=--5x^=2

-88

回歸方程為：f=51nx+2

【小問2詳解】

2024年設(shè)該企業(yè)投入食品淀粉生產(chǎn)x萬元，預(yù)計收益》(萬元)

y=5In%+2+(200-x),,0WxW200

,5150—x八，曰s

y=-------=-------->0,得x<50

x1010%

其在(0,50)上遞增，(50,200)上遞減

%=51n50+2+15=5(21n5+ln2)+17?5x(2xl.6+0.7)+17=36.5

18.數(shù)列｛4｝,也｝滿足:也｝是等比數(shù)列，々=2嗎=5,且

她+外用+…+=2(4—3)包+8eN*).

(1)求用,也；

(2)求集合A=｛x|(x—6)(％-2)=0，7<2",，6N*｝中所有元素的和；

(3)對數(shù)列｛qj,若存在互不相等的正整數(shù)勺,Z2,…，為022),使得%+%+…+c號也是數(shù)列｛%｝

中的項(xiàng)，則稱數(shù)列｛1｝是“和穩(wěn)定數(shù)列”.試分別判斷數(shù)列｛4｝,｛%｝是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”.若是，求出所

有/的值；若不是，說明理由.

【答案】(1)b“=2”

C『log2(6，T)+l]

⑵6n2+n+2M--^2

33

(3)數(shù)列｛4｝是“和穩(wěn)定數(shù)列“，j=3m+l,(meN*),數(shù)列｛%｝不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義求出｛勿｝的通項(xiàng)公式，由已知和求通項(xiàng)可得｛4｝的通項(xiàng)公式，

(2)根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果

（3）根據(jù)“和穩(wěn)定數(shù)列”的定義可判定.

【小問1詳解】

01bl=2（q-3）4+8,仄=2,;.q=2

又+〃22=2（4-3泡，4=2,.二q=2,4=5,解得:b2=4

因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以｛2｝的公比9=今=2,.?.2=20

又當(dāng)〃之2時，她+她+…+4也t=2（4_]-3）%+8,

作差得：anbn=2（%—3）2—2（%-3西_1

將d=2〃代入，化簡：4=2（a“—3）—（見_「3）,

得：an-an_x=3（ra>2）

.??｛4｝是公差d=3的等差數(shù)列，a”=%+（"-1）d=3“—1

【小問2詳解】

記集合A的全體元素的和為S,

集合"=｛4^,外,…,為”｝的所有元素的和為4〃=2.（6;1+2）=6/+”,

集合N=他也，…，邑｝的所有元素的和為B2n=ZIG"）=22如.2,

1—2

集合McN的所有元素的和為T,則有S=4〃+B2〃—T

對于數(shù)列也｝:

當(dāng)“二2左一1（keN*）時，b2k_x=22i=（3_丁1=3p—l（peN*）是數(shù)列｛a“｝中的項(xiàng)

當(dāng)"=2左伏eN*）時，&上=2偽1=2（3?一1）=3夕一2（?eN*）不是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)

口=4+4+…其中心1鳴（6-」-1<”1嗎?-1）+1

p2k+l>a2n22

即左=幅（6：—1）+1（其中國表示不超過實(shí)數(shù)X的最大整數(shù)）

l-log2(6n-l)+l\

22412

-1

33

oriog2（6?-i）+q

.-.5=6n2+n+22,!+1--4L2

33

【小問3詳解】

①解：當(dāng)/=3町（meN*）時，以,+%+…+%是3的正整數(shù)倍，

故一定不是數(shù)列｛?！埃械捻?xiàng)；

當(dāng)/=3加一時，%+%+…+%=l（mod3）,不是數(shù)列｛a,｝中的項(xiàng);

當(dāng)/=3m+1,（加eN*）時，ak>+%++%=2（mod3）,是數(shù)列｛a,｝中的項(xiàng)；

綜上，數(shù)列｛a.｝是“和穩(wěn)定數(shù)列"，/=3"z+l,（77ieN*）；

②解：數(shù)列｛〃｝不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由如下：

不妨設(shè)：1<《<左2<…〈與，則---卜%>%，且

12kj+kj+l

4+%+-+4/<^1+Z，2+■■■+^,=2+2+■■■+2^=2'-2<2=bkj+x

故4+%+…+\不是數(shù)列也｝中的項(xiàng).

數(shù)列也｝不是“和穩(wěn)定數(shù)列”.

19.如圖，對于曲線r,存圓。滿足如下條件：

①圓c與曲線r有公共點(diǎn)A,且圓心在曲線r凹的一側(cè)；

②圓c與曲線r在點(diǎn)A處有相同的切線；

③曲線r的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)A處的導(dǎo)數(shù)（即曲線r的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓。在點(diǎn)A處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓

,2

（x—a）2+（y—32=產(chǎn)在點(diǎn)A（%,為）處的二階導(dǎo)數(shù)等于）；

伍-為丫

則稱圓C為曲線r在A點(diǎn)處的曲率圓，其半徑「稱為曲率半徑.

（1）求拋物線>=必在原點(diǎn)的曲率圓的方程；

（2）求曲線y=」的曲率半徑的最小值；

X

（3）若曲線y=e，在（為爐）和（乙，小/石處有相同的曲率半徑，求證：

【答案】（1）工2+1丁—g]=；

（2）V2

（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)拋物線丁=必在原點(diǎn)的曲率圓的方程為/+（,—人）2=/,求出導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，結(jié)合所給

定義求出6即可；

（2）設(shè)曲線y=/（x）在（飛,陽）的曲率半徑為「，根據(jù)所給定義表示出「，再由基本不等式計算可得；

3

（3）依題意函數(shù)y=e*的圖象在（x,e]處的曲率半徑,一卜?'^,gp從而得到

\//-----------------------------!—CIC

424222

er>+ev=”范+Jy'令4=e『'，t,=e/，即可得到不2（。+72）=1，再由基本不等式證明即可.

【小問1詳解】

記/（%）=九2,設(shè)拋物線>=必在原點(diǎn)的曲率圓的方程為幺+仔）2=后,其中萬為曲率半徑.

則/（力=2%,/"（%）=2,

故27,⑼=/o廠/2=。即64,

所以拋物線y=必在原點(diǎn)的曲率圓的方程為必+[y—g]=；

【小問2詳解】

設(shè)曲線y=/(x)在(飛,陽)的曲率半徑為則

、"1二

法一：<2j

f(x)=

I'"0(jj

2

由(%—af+So—人『=戶?知，[/■(/)]+1=,

(%-與

3

所以」"Mo)]+1

一『5)|

3

71Y、5

<--g+i>

故曲線>=(在點(diǎn)(/,為)攵二的曲率半徑廠=R芯,

-_2_

%0

n/

7i(1Y21A1

所以/=?J+—>2,貝”3=23^+―>23,

X

2隊07\X0J

片

3

1A1、2當(dāng)且僅當(dāng)焉=4,即后=1時取等號，

則/二一XQ+—>>/2，

2(xo)八0

故心虎，曲線y=，;在點(diǎn)(1,1)處的曲率半徑r=

-1=/一a

年為-bk+bx；-2/o|

法二：102Jer,

2_r

/o(。-%)

44

.’3,3

2323?

2~(1、

所以「3=23^+―,解方程可得「

、-^o)

1<1Y1

則，=一芯+>2,當(dāng)且僅當(dāng)芯=7,即入：=1時取等號,

4(/Jxo

故曲線y=(在點(diǎn)(1,1)處的曲率半徑「=也.

【小問3詳解】

法一：函數(shù)y=e'的圖象在(x,e)處的曲率半徑廠=片+嚀,

11

則有%2+7=62+丁，

4,2

所以彳即,_幻&+幻故柱&+幻=1.

Gn中2

因?yàn)橛駑九2，所以。W%2，

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