安徽省安慶市2024年高三年級下冊二模數(shù)學(xué)試卷及答案

2024年安慶市高三模擬考試(二模)

數(shù)學(xué)試題

命題：安慶市高考命題研究課題組

考試時間120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，有且只有

一項符合題目要求.

1.設(shè)集合Z={x||2x—l|<3},集合5=<xg〉0>,則么口8=()

A.(1,2]B.[1,2]C.(-1,1)D.(-1,2)

2.已知復(fù)數(shù)2=早上，亍是Z的共輾復(fù)數(shù)，則Z?亍=()

A/3-i

1

A.-B.1C.2D.4

4

22

3.設(shè)下是橢圓C:六+3~=1的一個焦點，過橢圓C中心的直線交橢圓于P,。兩點，則△尸0尸的周長的

最小值為()

A.12B.14C.16D.18

4.在一次學(xué)科核心素養(yǎng)能力測試活動中，隨機抽取了100名同學(xué)的成績(評分滿分為100分)，將所有數(shù)據(jù)按

[40,50],(50,60],(60,70],(70,80],(80,90],(90,100]進行分組，整理得到頻率分布直方圖如圖所示,

則估計這次調(diào)查數(shù)據(jù)的第64百分位數(shù)為()

A.80B.78C.76D.74

5.設(shè){4}是公比不為1的無窮正項等比數(shù)列，貝('{4}為遞減數(shù)列”是“存在正整數(shù)%,對任意的正整數(shù)n>n0,

%<1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知點尸(1,0),C(0,V3),O是坐標(biāo)原點，點8滿足|不4=1,則而與而夾角最大值為()

57rInnn

A.B.——C.一D.—

-6~323

7.已知函數(shù)/(x)=2cos20x+sin2ox—1(0〉0)的圖象關(guān)于點對稱，且/(x)在上沒有最小

值，則。的值為()

8.如圖，在長方體48CD—451GA中，48=220=244］,點E是棱48上任意一點(端點除外)，則

A.不存在點E,使得

B.空間中與三條直線42，EC,88］都相交的直線有且只有1條

71

C.過點￡與平面。/E和平面所成角都等于一的直線有且只有1條

18

D.過點￡與三條棱48,AD,44］所成的角都相等的直線有且只有4條

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知定義在R上的函數(shù)/(x),滿足對任意的實數(shù)x,乃均有/(x+y)=/(x)+/(y)T，且當(dāng)x>0時,

/(x)<1,則()

A./(0)=1B./(1)+/(-1)=1

C.函數(shù)/(x)為減函數(shù)D.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱

10.拋物線C:》2=2py(P〉0)的焦點為尸(0,1),經(jīng)過點尸且傾斜角為1的直線/與拋物線C交于/,2兩

點，分別過點/、點2作拋物線C的切線，兩切線相交于點E,則（）

77

A.當(dāng)|/8|=16時，a=—

B.△幺08面積的最大值為2

C.點￡在一條定直線上

D.設(shè)直線跖傾斜角為尸，|。-尸|為定值

11.滿足q=2,a2=l,八=%+1+%（〃6*）的數(shù)列｛凡｝稱為盧卡斯數(shù)列，則（）

A.存在非零實數(shù)/,使得｛%+]+/%｝（〃eN*）為等差數(shù)列

B.存在非零實數(shù),,使得｛a“+l+她J（"eN*）為等比數(shù)列

C.3a?+2=a?+4+a?(?eN*)

2024

D.〉,(——3

1=1

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在二項式[?+]=）的展開式中，常數(shù)項為.

13.已知圓錐的頂點為尸，底面圓心為M,底面直徑48=2.圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合于一點

則該圓錐的全面積為.

14.剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的中國民間藝術(shù).其傳承麋

續(xù)的視覺形象和造型格式，蘊涵了豐富的文化歷史信息，表達了廣大民眾的社會認(rèn)知、道德觀念、實踐經(jīng)驗、

生活理想和審美情趣，具有認(rèn)知、教化、表意、抒情、娛樂、交往等多重社會價值.現(xiàn)有如圖所示剪紙圖案,

222

其花紋中就隱含方程為必+_^=/色〉0）的曲線c（稱為星形線），則曲線C的內(nèi)切圓半徑為；

以曲線C上點（加,n\mn豐0）為切點的直線被坐標(biāo)軸截得的線段長等于

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2sinNB4D

15.（13分）如圖，在平面凸四邊形48CD中，tanZABD+tanZADB=

cosZABD

D

rB

(1)求N4DH；

71

(2)若4D=BD=4,/ACB=/BDC=—,求CD.

6

m

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=21nx-xd——(meR).

x

(1)當(dāng)加=—3時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式/(x)WO對任意的xe[l,+oo)恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

17.115分)如圖，將邊長為2的菱形A8DC沿其對角線3C對折,使得點4。分別位于邊長為2的等邊△P8C

所在平面的兩側(cè)，且PA=a，PD=y/3.設(shè)E是尸/的中點.

P

紇-//*;\

\/T'7D

AI/'?//

B

(1)證明：平面尸BCL平面Z8C；

(2)求平面EBD與平面NBC夾角的正弦值.

18.(17分)樹人高中擬組織學(xué)生到某航天基地開展天宮模擬飛行器體驗活動，該項活動對學(xué)生身體體能指標(biāo)

和航天知識素養(yǎng)有明確要求.學(xué)校所有3000名學(xué)生參加了遴選活動，遴選活動分以下兩個環(huán)節(jié)，當(dāng)兩個環(huán)節(jié)

均測試合格可以參加體驗活動.

第一環(huán)節(jié)：對學(xué)生身體體能指標(biāo)進行測試，當(dāng)測試值J212.2時體能指標(biāo)合格；

第二環(huán)節(jié)：對身體體能指標(biāo)符合要求的學(xué)生進行航天知識素養(yǎng)測試，測試方案為對/,8兩類試題依次作答,

均測試合格才能符合遴選要求.每類試題均在題庫中隨機產(chǎn)生，有兩次測試機會，在任一類試題測試中，若第

一次測試合格，不再進行第二次測試.若第一次測試不合格，則進行第二次測試，若第二次測試合格，則該類

試題測試合格，若第二次測試不合格，則該類試題測試不合格，測試結(jié)束.

經(jīng)過統(tǒng)計，該校學(xué)生身體體能指標(biāo)J服從正態(tài)分布N(9,2.56).

參考數(shù)值：尸(〃—b<X<〃+cr)=0.6827,尸(〃—2b<X<〃+2b)=0.9545,

尸(〃-3a<X</J+3cr)=0.9973.

(1)請估計樹人高中遴選學(xué)生符合身體體能指標(biāo)的人數(shù)(結(jié)果取整數(shù))；

(2)學(xué)生小華通過身體體能指標(biāo)遴選，進入航天知識素養(yǎng)測試，作答/類試題，每次測試合格的概率為

3

作答8類試題，每次測試合格的概率為工，且每次測試相互獨立.

4

①在解答/類試題第一次測試合格的條件下，求測試共進行3次的概率.

②若解答/、8兩類試題測試合格的類數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.(17分)取整函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領(lǐng)域，其定義如下：

設(shè)xwR,不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作［幻，函數(shù)y=［x］稱為取整函數(shù).另外也稱［燈是x

的整數(shù)部分，稱{x}=x-［x］為X的小數(shù)部分.

(1)直接寫出［In如和［的值；

(2)設(shè)a,6eN*,證明：a=b'+b^^且1,并求在6的倍數(shù)中不大于a的正整數(shù)

的個數(shù)；

(3)對于任意一個大于1的整數(shù)a,。能唯一寫為a=義…xp『，其中R為質(zhì)數(shù)，4為整數(shù)，且對

任意的Piy,i,je{l,2,3,...,k},稱該式為。的標(biāo)準(zhǔn)分解式，例如100的標(biāo)準(zhǔn)分解式為

100=22X52.證明：在〃!的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，質(zhì)因數(shù)a(p,n>\,〃eN*)的指數(shù)

n

一+F+丁+??,二￡

PiPiPiZ=1Pi,

2024年安慶二模數(shù)學(xué)參考答案

一、單項選擇題

題號12345678

答案ABCBCABD

二、多項選擇題

題號91011

答案ACDCDBCD

三、填空題

1

12.21013.3不14.la,a

2

四、解答題

/、右一^,曰sinZABDsinZADB2sinZBAD

15.【解析】(1)由已知得：----------+----------=------------

cos/ABDcos/ADBcos/ABD

,sin/ABDcosNADB+cos/ABDsin/ADB2sin/BAD

z故------------------------------------------=------------

cosNABDcosNADBcosZABD

心，，sin(ZABD+/ADB)2sin/BAD

cosZABDcosNADBcosNABD

]JT

因為sin(N/5O+NADB)=sin(?—N3AD)=sinNA4Dw0,故cos/ADBu],所以=§

(2)由己知，△48。為邊長為4的等邊三角形,

BCAB

在△幺BC中，ZACB=~,由正弦定理得

6sinZBACsinZACB

,,?-ABsinZBAC.’…八

故5C=----------------=8osinNBAC.

sinZACB

TT

由于/B/C+Z8G4++=所以NB/C+NCBQ=3,故5C=8cos/CB。.

2

在△5CZ)中，由余弦定理得CZ>2=m2+5。2—250x3。XcosNC5。,

即CZ52=42+5。2—8X5CXCOSNCHO=16,得CZ>=4.

3

16.【解析】(1)當(dāng)加二一3時，/(x)=2lnx-x——,其定義域為(0,+8),

x

求導(dǎo)，得八x)=2_]+3=*+y+3=(x3?x+l).

XXXX"

令/'(x)=0,得x=3(x=—l舍去)，

當(dāng)0<x<3時，/'(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>3時，/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞減區(qū)間為(3,+00).

(2)方法1：由條件可知/⑴<0,于是用—1<0,解得加W1.

m|I

當(dāng)加時，/(%)=2Inx-xH——<21nx-x+—,構(gòu)造函數(shù)g(x)=21nx-x+—,x>1,

XXX

對其求導(dǎo)，得g'(x)=2—1—[=—%1匚WO,

XXX

所以函數(shù)g(x)在工+8)上單調(diào)遞減，于是g(x)<g(l)=0,

因此實數(shù)加的取值范圍是(-00,1].

方法2：由條件可知m<x2-2xInx對任意的xe[l,+oo)恒成立，

令//(%)=--2xlnx,X>1,只需加《[%(%)]1nin即可.

對函數(shù)〃(x)求導(dǎo)，得勿(x)=2x—2(lnx+l)=2(x—Inx—1),h'\x)=2|1--|=>0,

所以函數(shù)/(X)在[1,+00)上單調(diào)遞增，

于是勿(x)>勿(1)=0,所以函數(shù)/z(x)在[1,+00)上單調(diào)遞增,

所以g(x)L?=〃⑴=1，于是加W1，因此實數(shù)機的取值范圍是(一叫1].

17.【解析】(1)證明：取8C的中點O,連接。4、0P,如圖所示.

因為四邊形ABDC是邊長為2的菱形，APBC是邊長為2的等邊三角形，

所以△4BC也是邊長為2的等邊三角形.

在等邊△尸中，。是BC的中點，故且OA=OP=B

又PA=&>,故。尸，CM；又。/口8。=。，故。尸，平面N8C；

又OPu平面P8C,故平面尸平面48c.

琳答圖1

(2)由(1)知，OPLBC,OPA.OA.

又O是等邊的8C邊中點，故。4,8c.

所以，以。為原點，分別以。4、0B、。尸所在直線為x、八z軸，建立如圖示空間直角坐標(biāo)系.

則/(后0,015(0,1,0),C(0,-l,0),P(0,0,V3),故E爭季

因為△D8C是邊長為2的等邊三角形，故OD=OPY=PD,所以NR9D=60。，且

f3V3、

又OP：LBC,ODC\OP=O,故8CL平面。。尸，則D在平面xOz內(nèi).故求得。----，u,—

22

7

所以屜=麗=卜看—1'￥；

設(shè)平面ABC的法向量為成=0,"c),顯然可令m=(0,0,1)；

出V3門

n-BE=——X-VH----2=0

2?2

設(shè)平面EBD的法向量為五=(x,y,z),則

331—「

心詼=——x-y-\----z=0

22

m-n22近

令z=2,則x=0,y=6,即為=（0,JJ,2）.所以cos（應(yīng)㈤=

\m\\n\S'7

設(shè)平面EBD與平面ABC的夾角為。，則sin8=Jl—cos2()萬)叵

故平面EBD與平面ABC的夾角的正弦值為".

7

解答圖2

1-09545

18.【解析】(1)>12.2)=P(^>/z+2o-)=——--=0.02275.

所以符合該項指標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為：3000x0.02275=68.25工68人.

(2)①記4表示解答/類試題第一次測試合格，

B],B2分別表示解答B(yǎng)類試題第一次和第二次測試合格，測試共進行3次記為事件M,

貝」尸(，

14)=§P(4M)=P(^2)+P(^2)=-X-X-+-X-XZ=-.

P(4M_p(45A)+p(4A52)

P(M\A)==4=3

尸⑷尸⑷-T-4

3

②設(shè)才的取值為0,1,2,

?八、224~八13321335

F(x=0)=—x—=—,P(x=1)=—x—x—+—x—x—x—=——

339，344334416

35

p(=2)=l-P(x=0)-P(x=l)=—,

x144

所以才的分布列為

X012

4535

p

916144

4535115

WM￡(X)=0x-+lx—+2x—=—

916144144

19?【解析】⑴1,0.25；

a

（2）證明：因為區(qū)=-,等式兩邊同時乘6,得a=b-+b

bbHOb

a

因為a,6都為整數(shù)，所以b=a-b也為整數(shù),

又04lit<