黑龍江省哈爾濱市六校2024年高一數學第二學期期末檢測模擬試題含解析

黑龍江省哈爾濱市六校2024年高一數學第二學期期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．過曲線的左焦點且和雙曲線實軸垂直的直線與雙曲線交于點A,B,若在雙曲線的虛軸所在的直線上存在—點C,使得,則雙曲線離心率e的最小值為（）A． B． C． D．2．法國“業(yè)余數學家之王”皮埃爾·德·費馬在1936年發(fā)現(xiàn)的定理：若x是一個不能被質數p整除的整數，則必能被p整除，后來人們稱為費馬小定理.按照該定理若在集合中任取兩個數，其中一個作為x，另一個作為p，則所取的兩個數符合費馬小定理的概率為（）A． B． C． D．3．設等差數列的前項和為，，，則（）A． B． C． D．4．，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是A．， B．，C．，，共面 D．，，共點，，共面5．若，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．6．已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關系是()A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C7．我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現(xiàn)有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的3倍，則塔的底層共有燈A．81盞 B．112盞 C．162盞 D．243盞8．下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．棱長為2的正方體的內切球的體積為（）A． B． C． D．10．在等差數列中，，則等于()A．2 B．18 C．4 D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，則________.12．當時，的最大值為__________.13．已知為等差數列，為其前項和，若，則，則______．14．在平行四邊形中，為與的交點，，若，則__________．15．直線的傾斜角的大小是_________.16．若關于的不等式的解集為，則__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列滿足，.（1）證明：數列為等差數列；（2）求數列的前項和.18．如圖是一景區(qū)的截面圖，是可以行走的斜坡，已知百米，是沒有人行路（不能攀登）的斜坡，是斜坡上的一段陡峭的山崖.假設你（看做一點）在斜坡上，身上只攜帶著量角器（可以測量以你為頂點的角）.（1）請你設計一個通過測量角可以計算出斜坡的長的方案，用字母表示所測量的角，計算出的長，并化簡；（2）設百米，百米，，，求山崖的長.（精確到米）19．（1）已知數列的前項和滿足，求數列的通項公式；（2）數列滿足，（），求數列的通項公式.20．從全校參加科技知識競賽初賽的學生試卷中，抽取一個樣本，考察競賽的成績分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小組的小長方形的高之比是，最后一組的頻數是6.請結合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問題：（1）樣本的容量是多少?（2）求樣本中成績在分的學生人數；（3）從樣本中成績在90.5分以上的同學中隨機地抽取2人參加決賽，求最高分甲被抽到的概率.21．如圖已知平面，，，，，，點，分別為，的中點.(1)求證：//平面;(2)求直線與平面所成角的大小.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

設雙曲線的方程為：，（a＞0，b＞0），依題意知當點C在坐標原點時，∠ACB最大，∠AOF1≥45°，利用tan∠AOF1，即可求得雙曲線離心率e的取值范圍．求出最小值．【詳解】設雙曲線的方程為：，（a＞0，b＞0），∵雙曲線關于x軸對稱，且直線AB⊥x軸，設左焦點F1（﹣c，0），則A（﹣c，），B（﹣c，），∵△ABC為直角三角形，依題意知，當點C在坐標原點時，∠ACB最大，∴∠AOF1≥45°，∴tan∠AOF11，整理得：（）21≥0，即e2﹣e﹣1≥0，解得：e．即雙曲線離心率e的最小值為：．故選：C【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質，分析得到當點C在坐標原點時，∠ACB最大是關鍵，得到∠AOF1≥45°是突破口，屬于中檔題．2、A【解析】

用列舉法結合古典概型概率公式計算即可得出答案.【詳解】用表示抽取的兩個數，其中第一個為，第二個為總的基本事件分別為：，，，共12種其中所取的兩個數符合費馬小定理的基本事件分別為：，，共8種則所取的兩個數符合費馬小定理的概率故選：A【點睛】本題主要考查了利用古典概型概率公式計算概率，屬于基礎題.3、A【解析】

利用等差數列的基本量解決問題.【詳解】解：設等差數列的公差為，首項為，因為，，故有，解得，，故選A.【點睛】本題考查了等差數列的通項公式與前項和公式，解決問題的關鍵是熟練運用基本量法.4、B【解析】

解：因為如果一條直線平行于兩條垂線中的一條，必定垂直于另一條．選項A，可能相交．選項C中，可能不共面，比如三棱柱的三條側棱，選項D，三線共點，可能是棱錐的三條棱，因此錯誤．選B.5、D【解析】

利用不等式的性質、對數、指數函數的圖像和性質，對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】對于選項A,不一定成立，如a=1＞b=-2,但是，所以該選項是錯誤的；對于選項B,所以該選項是錯誤的；對于選項C,ab符號不確定，所以不一定成立，所以該選項是錯誤的；對于選項D,因為a>b,所以，所以該選項是正確的.故選D【點睛】本題主要考查不等式的性質，考查對數、指數函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.6、B【解析】

由集合A，B，C，求出B與C的并集，判斷A與C的包含關系，以及A，B，C三者之間的關系即可．【詳解】由題BA，∵A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即BC，則B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故選：B．【點睛】此題考查了集合間的基本關系及運算，熟練掌握象限角，銳角，以及小于90°的角表示的意義是解本題的關鍵，是易錯題7、D【解析】

從塔頂到塔底每層燈盞數可構成一個公比為3的等比數列，其和為1．由等比數列的知識可得．【詳解】從塔頂到塔底每層燈盞數依次記為a1,a2,a3故選D．【點睛】本題考查等比數列的應用，解題關鍵是根據實際意義構造一個等比數列，把問題轉化為等比數列的問題．8、D【解析】

A項中，需要看分母的正負；B項和C項中，已知兩個數平方的大小只能比較出兩個數絕對值的大小.【詳解】A項中，若，則有，故A項錯誤；B項中，若，則，故B項錯誤；C項中，若則即，故C項錯誤；D項中，若，則一定有，故D項正確.故選：D【點睛】本題主要考查不等關系與不等式，屬于基礎題.9、C【解析】

根據正方體的內切球的直徑與正方體的棱長相等可得結果.【詳解】因為棱長為2的正方體的內切球的直徑與正方體的棱長相等，所以直徑，內切球的體積為，故選：C.【點睛】本題主要考查正方體的內切球的體積，利用正方體的內切球的直徑與正方體的棱長相等求出半徑是解題的關鍵.10、D【解析】

利用等差數列性質得到，，計算得到答案.【詳解】等差數列中，故選：D【點睛】本題考查了等差數列的計算，利用性質可以簡化運算，是解題的關鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

討論斜率不存在和斜率存在兩種情況，分別計算得到答案.【詳解】拋物線的焦點F為，當斜率不存在時，易知，故；當斜率存在時，設，故，即，故，.綜上所述：.故答案為：.【點睛】本題考查了拋物線中線段長度問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.12、-3.【解析】

將函數的表達式改寫為：利用均值不等式得到答案.【詳解】當時，故答案為-3【點睛】本題考查了均值不等式，利用一正二定三相等將函數變形是解題的關鍵.13、【解析】

利用等差中項的性質求出的值，再利用等差中項的性質求出的值.【詳解】由等差中項的性質可得，得，由等差中項的性質得，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數列中項的計算，充分利用等差中項的性質進行計算是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解析】

根據向量加法的三角形法則逐步將待求的向量表示為已知向量.【詳解】由向量的加法法則得：所以，所以故填：【點睛】本題考查向量的線性運算，屬于基礎題.15、【解析】試題分析：由題意，即，∴．考點：直線的傾斜角.16、1【解析】

根據二次不等式和二次方程的關系，得到是方程的兩根，由根與系數的關系得到的值.【詳解】因為關于的不等式的解集為所以是方程的兩根，，由根與系數的關系得，解得【點睛】本題考查一元二次不等式和一元二次方程之間的關系，根與系數之間的關系，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)【解析】

（1）將已知條件湊配成，由此證得數列為等差數列.（2）由（1）求得數列的通項公式，進而求得的表達式，利用分組求和法求得.【詳解】（1）證明：∵∴又∵∴所以數列是首項為1，公差為2的等差數列；（2）由（1）知，，所以.所以【點睛】本小題主要考查根據遞推關系式證明等差數列，考查分組求和法，屬于中檔題.18、（1）米，詳見解析（2）205米【解析】

（1）由題意測得，，在中利用正弦定理求得的值；（2）解法一，中由余弦定理求得，中求得和的值，在中利用余弦定理求得的值．解法二，中求得，中利用余弦定理求得，利用三角恒等變換求得，在中利用余弦定理求得的值．【詳解】解：（1）據題意，可測得，，在中，由正弦定理，有，即.解得（米）.（2）解一：在中，百米，百米，百米，由余弦定理，可得，解得，∴.又由已知，在中，，可解得，從而的.∵，在中，由余弦定理得米所以，的長度約為205米.解二：（2）在中，求得.在中，由余弦定理，得，進而得，再由可求得，.在中，由余弦定理，得.所以，的長度約為205米.【點睛】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應用問題，也考查了三角函數模型應用問題，是中檔題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用求出數列的通項公式；（2）利用累加法求數列的通項公式；【詳解】解：（1）①當時，即當時，②①減②得經檢驗時，成立故（2）（）……將上述式相加可得【點睛】本題考查作差法求數列的通項公式以及累加法求數列的通項公式，屬于基礎題.20、（1）48；（2）30；（3）【解析】

（1）設樣本容量為，列方程求解即可；（2）根據比例列式求解即可；（3）根據比例得成績在90.5分以上的同學有6人，抽取2人參加決賽，列舉出總的基本事件個數，然后列舉出最高分甲被抽到的基本事件個數，根據概率公式可得結果.【詳解】解：（1）設樣本容量為，則，解得，所以樣本的容量是48；（2）樣本中成績在分的學生人數為：人；（3）樣本中成績在90.5分以上的同學有人，設這6名同學分別為，其中就是甲，從這6名同學中隨機地抽取2人參加決賽有：共15個基本事件，其中最高分甲被抽到的有共5個基本事件，則最高分甲被抽到的概率為.【點睛】本題考查頻率，頻數，樣本容量間的關系，考查古典概型的概率公式，重點是列舉出總的基本事件和滿足題目要求的基本事件，是基礎題.21、