專題03 勾股定理的實(shí)際應(yīng)用模型（解析版）

專題03勾股定理的實(shí)際應(yīng)用模型勾股定理將圖形與數(shù)量關(guān)系有機(jī)結(jié)合起來，在解決實(shí)際問題和幾何應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：（1）從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形（建模）；（2）確定要求的線段所在的直角三角形；（3）確定三邊，找準(zhǔn)直角邊和斜邊：①若已知兩邊,則根據(jù)勾股定理直接計(jì)算第3邊；②若已知一邊,則根據(jù)勾股定理列方程間接求解。（挖掘兩個(gè)未知邊之間的數(shù)量關(guān)系，設(shè)出一邊為未知數(shù)，把另一邊用含有未知數(shù)的式子表示出來）。模型1、梯子滑動(dòng)模型相關(guān)模型背景：梯子滑動(dòng)、繩子移動(dòng)等。解題關(guān)鍵：梯子的長(zhǎng)度為不變量、墻與地面垂直。梯子滑動(dòng)模型解題步驟：1）運(yùn)用勾股定理求出梯子滑動(dòng)之前在墻上或者地面上的距離；2）運(yùn)用勾股定理求出梯子滑動(dòng)之后在墻上或者地面上的距離；3）兩者相減即可求出梯子在墻上或者地面上滑動(dòng)的距離。例1．（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一架云梯長(zhǎng)25米，如圖那樣斜靠在一面墻上，云梯底端B放在距離墻根C點(diǎn)7米處，另一頭A靠墻．(1)這架云梯的頂端A距地面有多高？(2)如果云梯的頂端下滑了4米，那么它的底部在水平方向滑動(dòng)了多少米？

【答案】(1)這架云梯的頂端A距地面有24米高(2)它的底部在水平方向滑動(dòng)了8米【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)；（2）首先求出的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的值．【詳解】（1）由題意可得：，，在中，，答：這架云梯的頂端A距地面有24米高．（2）當(dāng)云梯的頂端下滑了4米時(shí)，，在中，，，∴，∴．答：它的底部在水平方向滑動(dòng)了8米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中根據(jù)梯子長(zhǎng)不會(huì)變的等量關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·四川廣元·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端O到左墻角的距離為0.7米，頂端距離墻頂?shù)木嚯x為0.6米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子底端到右墻角的距離為1.5米，頂端距離墻頂?shù)木嚯x為1米，則墻的高度為多少米？

【答案】墻的高度為3米【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，同理可得出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)墻高為米，則米，米．在中，根據(jù)勾股定理，得．在中，根據(jù)勾股定理，得．∵，∴，即．解得：．答：墻的高度為3米．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．例3．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)?？计谀﹫D中的兩個(gè)滑塊A，B由一個(gè)連桿連接，分別可以在垂直和水平的滑道上滑動(dòng)．開始時(shí)，滑塊A距O點(diǎn)20厘米，滑塊B距O點(diǎn)15厘米．問：當(dāng)滑塊A向下滑13厘米時(shí)，滑塊B滑動(dòng)了厘米．

【答案】9【分析】根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，繼而求出滑塊B滑動(dòng)的距離．【詳解】解：依題意得：，設(shè)滑動(dòng)后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)位置是，由勾股定理得，(厘米)，當(dāng)滑塊A向下滑13厘米時(shí)，(厘米)，∴(厘米)，∴滑塊B滑動(dòng)的距離為：(厘米)，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·河南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一游船在水面上，河岸離水面的高度為5m工作人員站在岸邊用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子的長(zhǎng)BC為13m，工作人員以0.5m/s的速度拉繩子，10s后船移動(dòng)到D點(diǎn)的位置（B，D，A三點(diǎn)在同一直線上），請(qǐng)你計(jì)算船向岸邊移動(dòng)的距離．（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）【答案】m【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AB長(zhǎng)，再根據(jù)題意可得CD長(zhǎng)，然后再次利用勾股定理計(jì)算出AD長(zhǎng)，再利用BD=AB-AD可得BD長(zhǎng)．【詳解】解：在中，，m，m，m，此人以0.5m/s的速度收繩，10s后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，m，m，m．答：船向岸邊移動(dòng)了m．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．模型2、輪船航行模型相關(guān)模型背景：輪船航行等。解題關(guān)鍵：輪船航行的模型要注意兩船終點(diǎn)之間的距離通常為直角三角形的斜邊長(zhǎng)。航行模型解題步驟：1）根據(jù)航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根據(jù)航行速度和時(shí)間表示出直角三角形兩直角邊長(zhǎng)；3）根據(jù)勾股定理列方程求解航行角度、速度或距離。例1．（2023春·廣東中山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，供給船要給C島運(yùn)送物資，從海岸線AB的港口A出發(fā)向北偏東40°方向直線航行60nmile到達(dá)C島．測(cè)得海岸線上的港口B在C島南偏東50°方向．若A，B兩港口之間的距離為65nmile，則C島到港口B的距離是nmile．【答案】25【分析】先根據(jù)題意可知是直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出答案即可．【詳解】根據(jù)題意可知，∴．在中，，，∴（nmile）．故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題主要考查了應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題，勾股定理是求距離的常用方法．例2．（2023春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，甲乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)的速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若CB兩島相距17海里，問乙船的航速是多少？【答案】30（海里/時(shí)）【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，再利用速度=路程÷時(shí)間即可求得答案．【詳解】解：依題意可知：∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，（海里），BC＝17海里，∴AB＝＝＝15（海里），∴乙船的航速為（海里/時(shí)）．【點(diǎn)睛】本題考查了利用勾股定理解決直角三角形的實(shí)際問題，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·內(nèi)蒙古包頭·八年級(jí)期末）如圖，一艘輪船從A港向南偏西50°方向航行100km到達(dá)B島，再從B島沿BM方向航行125km到達(dá)C島，A港到航線BM的最短距離是60km（即）．(1)若輪船速度為25km/h，求輪船從C島沿CA返回A港所需的時(shí)間；(2)請(qǐng)你判斷C島在A港的什么方向，并說明理由．【答案】(1)3h；(2)C島在A港的北偏西40°方向．【分析】（1）理由勾股定理分別求得BD=80km，AC=75km，然后求出需要的時(shí)間；（2）理由勾股定理的逆定理得到∠BAC=90°，得出結(jié)果．【解析】(1)解：在直角△ABD中，∠ADB=90°，∴BD=(km)，在直角△ACD中，∠ADC=90°，DC=BC-BD=45km，∴AC=(km)，輪船從C島沿CA返回A港所需的時(shí)間為75÷25=3(h)，故輪船從C島沿CA返回A港所需的時(shí)間為3h．(2)C島在A港的北偏西40°方向；理由：∵752+1002=1252，∴AC2+AB2=BC2，∴∠BAC=90°，∴∠NAC=180°-∠BAC-∠BAS=40°，∴C島在A港的北偏西40°方向．【點(diǎn)睛】本題考查利用勾股定理和逆定理解決實(shí)際問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．模型3、信號(hào)站（中轉(zhuǎn)站）選擇模型相關(guān)模型背景：信號(hào)塔、中轉(zhuǎn)站等。解題關(guān)鍵：信號(hào)塔和中轉(zhuǎn)站模型要注意兩個(gè)目的地到信號(hào)塔或中轉(zhuǎn)站的距離是相等的。信號(hào)塔、中轉(zhuǎn)站模型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出未知量（一般求誰設(shè)誰），并根據(jù)設(shè)出的未知量表示出兩個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)；2）在兩個(gè)直角三角形中分別用勾股定理表示出斜邊長(zhǎng)；3）根據(jù)斜邊長(zhǎng)相等建立方程求解。例1．（2023春·湖北·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA=16km，CB=11km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？【答案】E站應(yīng)建在離A站9.8km處．【分析】關(guān)鍵描述語：產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，設(shè)出AE的長(zhǎng)，可將DE和CE的長(zhǎng)表示出來，列出等式進(jìn)行求解即可．【詳解】∵使得C，D兩村到E站的距離相等，∴DE=CE．∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴，∴，設(shè)AE=x，則．∵DA=16km，CB=8km，∴，解得：x=9.8，∴AE=9.8km．答：E站應(yīng)建在離A站9.8km處．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，利用得出是解決問題的關(guān)鍵．例2．（2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)C在OA邊上，OA=36cm，OB=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AO方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)恰好在C點(diǎn)相遇，求BC的長(zhǎng)度？【答案】20cm【分析】由題意知：BC=AC，設(shè)BC=xcm，則OC=（36-x）cm．在Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意BC=AC是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖鐵路上A，B兩點(diǎn)相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個(gè)煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應(yīng)距A點(diǎn)（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無法確定【答案】B【分析】設(shè)AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，則，解方程即可．【詳解】解：設(shè)AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D兩村到煤棧的距離相等，∴，∴，∴，解得：x＝16，則煤棧E應(yīng)距A點(diǎn)16km．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意得到是解題的關(guān)鍵．模型4、臺(tái)風(fēng)（噪音）、爆破模型相關(guān)模型背景：有爆破、臺(tái)風(fēng)（噪音）等。解題關(guān)鍵：通常會(huì)用到垂線段最短的原理。臺(tái)風(fēng)、爆破模型解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計(jì)算爆破點(diǎn)或臺(tái)風(fēng)中心到目的地的最短距離；2）將計(jì)算出的最短距離跟爆破或臺(tái)風(fēng)的影響范圍的半徑作比較；3）若最短距離大于影響半徑則不受影響，若最短距離小于半徑則受影響。例1．（2023春·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一處需要爆破，已知點(diǎn)與公路上的停靠站的距離為300米，與公路上另一?？空镜木嚯x為400米，且，如圖，為了安全起見，爆破點(diǎn)周圍250米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問在進(jìn)行爆破時(shí)，公路段是否有危險(xiǎn)？是否需要暫時(shí)封鎖？請(qǐng)通過計(jì)算進(jìn)行說明．

【答案】有危險(xiǎn)，需要暫時(shí)封鎖；理由見解析．【分析】本題需要判斷點(diǎn)C到AB的距離是否小于250米，如果小于則有危險(xiǎn)，大于則沒有危險(xiǎn)．因此過C作于D，然后根據(jù)勾股定理在中即可求出的長(zhǎng)度，然后利用三角形的面積公式即可求出，然后和250米比較大小即可判斷需要暫時(shí)封鎖．【詳解】解：有危險(xiǎn)，需要暫時(shí)封鎖．理由：如圖，過作于，

米，米，，∴在中，米，∵，∴米．∵，∴有危險(xiǎn)，段公路需要暫時(shí)封鎖．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)．例2．（2023春·湖南岳陽·八年級(jí)校考期中）如圖，四邊形為某街心公園的平面圖，經(jīng)測(cè)量米，米，且．（1）求的度數(shù)；（2）若為公園的車輛進(jìn)出口道路（道路的寬度忽略不計(jì)），工作人員想要在點(diǎn)處安裝一個(gè)監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路的車輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍的100米（包含100米），求被監(jiān)控到的道路長(zhǎng)度為多少？

【答案】（1）135°；（2）被監(jiān)控到的道路長(zhǎng)度為米.【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，則∠CAD=90°，即可得到答案；（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB，然后作點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，得到DF=DA=100，則只要求出AF的長(zhǎng)度，即可得到答案.【詳解】解：（1）∵，，∴△ABC是等腰直角三角形，∴，∠CAB=45°，∵，在△ACD中，有，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴；（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB，然后作點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF，如圖：

由軸對(duì)稱的性質(zhì)，得DF=DA=100，AE=EF，由（1）知，∠BAD=135°，∴∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE，在Rt△ADE中，有，解得：，∴；∴被監(jiān)控到的道路長(zhǎng)度為米.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理求出所需邊的長(zhǎng)度，從而進(jìn)行計(jì)算.例3．（2023秋·河南周口·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，公路和公路在點(diǎn)P處交匯，且，點(diǎn)Q處有一座火箭發(fā)射塔，，假設(shè)龍卷風(fēng)來臨時(shí)，周圍150km內(nèi)都會(huì)受到大風(fēng)影響．

(1)若龍卷風(fēng)恰好沿公路由B向A處行進(jìn)，火箭發(fā)射塔是否會(huì)受到影響？請(qǐng)說明理由；(2)已知龍卷風(fēng)的速度為300km/h，若受影響，那么火箭發(fā)射塔受影響的時(shí)間為多少分鐘？【答案】(1)受影響，理由見解析(2)火箭發(fā)射塔受影響的時(shí)間為36分鐘【分析】（1）過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，只要計(jì)算的長(zhǎng)與150作比較，若比150小，則受影響，反之，則不受影響；（2）設(shè)龍卷風(fēng)行至點(diǎn)E處開始影響火箭發(fā)射塔，在點(diǎn)F處結(jié)束影響，連接，勾股定理求出的長(zhǎng)，則可得的長(zhǎng)，再除以其速度即得時(shí)間．【詳解】（1）受影響．理由如下：過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，∵，∴．∴．∴．∵，在中，，∴．∴火箭發(fā)射塔會(huì)受到大風(fēng)的影響．

（2）設(shè)龍卷風(fēng)行至點(diǎn)E處開始影響火箭發(fā)射塔，在點(diǎn)F處結(jié)束影響，連接，則，在中，．∵，，∴，∴，∴（小時(shí)）（分鐘）．∴火箭發(fā)射塔受影響的時(shí)間為36分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東梅州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向240km的O處，以每小時(shí)40km的速度向南偏東60°的OB方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心130km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．（1）A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到臺(tái)風(fēng)的影響，求出受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】（1）A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，見解析；（2）2.5小時(shí)．【分析】（1）點(diǎn)到直線的線段中垂線段最短，故應(yīng)由A點(diǎn)向OB作垂線，垂足為H，若AH＞130則A城不受影響，否則受影響；（2）點(diǎn)A到直線OB的長(zhǎng)為200千米的點(diǎn)有兩點(diǎn)，分別設(shè)為R、T，則△ART是等腰三角形，由于AH⊥OB，則H是RT的中點(diǎn)，在Rt△ARH中，解出RH的長(zhǎng)，則可求RT長(zhǎng)，在RT長(zhǎng)的范圍內(nèi)都是受臺(tái)風(fēng)影響，再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時(shí)間．【詳解】（1）如圖，作AH⊥OB于H．在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，OA=240km，∠AOH=30°，∴AH=OA=120km，∵120＜130，∴A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響．（2）如圖，設(shè)AR=AT=130km，則易知：RH=HT==50（km），∴RT=100km，∴受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有=2.5小時(shí)．【點(diǎn)睛】此題考查輔助線在題目中的應(yīng)用，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離及速度與時(shí)間的關(guān)系等，較為復(fù)雜.模型5、超速模型相關(guān)模型背景：有汽車超速、信號(hào)干擾、測(cè)河寬等。解題關(guān)鍵：要將速度統(tǒng)一單位后再進(jìn)行比較。超速模型解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計(jì)算行駛的距離；2）根據(jù)行駛距離和時(shí)間求出實(shí)際行駛速度；3）比較實(shí)際行駛速度和規(guī)定速度。例1．（2023·河北·八年級(jí)專題練習(xí)）在某段限速公路BC上(公路視為直線)，交通管理部門規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過60km/h（即），并在離該公路100m處設(shè)置了一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)A．在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A位于y軸上，測(cè)速路段BC在x軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏西60°方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東45°方向上．另外一條公路在y軸上，AO為其中的一段．(1)求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)一輛汽車從點(diǎn)B勻速行駛到點(diǎn)C所用的時(shí)間是15s，通過計(jì)算，判斷該汽車在這段限速路上是否超速．(參考數(shù)據(jù)：≈1.7)【答案】見解析【詳解】試題分析:根據(jù)方位角的概念,得出∠BAO=60°,∠CAO=45°,由∠BAO=60°可得∠ABO=30°,進(jìn)而可得AB的值,然后在Rt△ABO中由勾股定理可求出OB的值,（2）判斷是否超速就是求BC的長(zhǎng),然后比較即可.解：(1)在Rt△AOB中，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝AB.∵OA＝100m，∴AB＝200m.由勾股定理，得OB＝＝100(m)．在Rt△AOC中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.∴OC＝OA＝100m．∴B(－100，0)，C(100，0)．(2)∵BC＝BO＋CO＝(100＋100)m，≈18>，∴這輛汽車超速了．例2．（2023秋·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）小王與小林進(jìn)行遙控賽車游戲，終點(diǎn)為點(diǎn)A，小王的賽車從點(diǎn)C出發(fā)，以4米/秒的速度由西向東行駛，同時(shí)小林的賽車從點(diǎn)B出發(fā)，以3米/秒的速度由南向北行駛（如圖）．已知賽車之間的距離小于或等于25米時(shí)，遙控信號(hào)會(huì)產(chǎn)生相互干擾，AC＝40米，AB＝30米．出發(fā)3秒鐘時(shí)，遙控信號(hào)是否會(huì)產(chǎn)生相互干擾？【答案】不會(huì)【分析】根據(jù)題意可分別求出出發(fā)3秒鐘時(shí)小王和小林的賽車行駛的路程，從而可分別求出他們的賽車距離終點(diǎn)的距離，再結(jié)合勾股定理即可求出出發(fā)3秒鐘時(shí)他們賽車的距離，和遙控信號(hào)會(huì)產(chǎn)生相互干擾的距離小于或等于25米作比較即可得出答案．【詳解】解：如圖，出發(fā)3秒鐘時(shí)，米，米，∵AC=40米，AB=30米，∴AC1=28米，AB1=21米，∴在中，米＞25米，∴出發(fā)3秒鐘時(shí)，遙控信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相互干擾．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．讀懂題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·湖南邵陽·八年級(jí)武岡市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B相距50米，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10米，求該河的寬度BC為多少米？【答案】該河的寬度BC為120米【分析】根據(jù)題意可知△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊BC的距離．【詳解】根據(jù)題意可知AB＝50米，AC＝BC+10米，設(shè)BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120．答：該河的寬度BC為120米．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形及三邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.模型6、風(fēng)吹蓮動(dòng)模型相關(guān)模型背景：蓮花、蘆葦、吸管、筷子、秋千等。解題關(guān)鍵：“蓮花”高度為不變量。風(fēng)吹蓮動(dòng)模型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出“水深”或者“蓮花”的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。例1．（2023·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何？”（注：丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈尺）意思為：如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1丈的正方形水池，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好碰到池邊的水面．則水池里水的深度是（）A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)水池里水的深度是x尺，由題意得，，解得：，答：水池里水的深度是12尺．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理、根據(jù)勾股定理正確列出方程是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·湖南株洲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止在的位置時(shí)，踏板離地的垂直高度為，將秋千往前推送，到達(dá)的位置，此時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度為，秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài)．

(1)根據(jù)題意，_________，_________，_________；(2)根據(jù)（1）中求得的數(shù)據(jù)，求秋千的長(zhǎng)度．(3)如果想要踏板離地的垂直高度為時(shí)，需要將秋千往前推送_________．【答案】(1)，3，1(2)秋千的長(zhǎng)度是；(3)4【分析】（1）由題意得，，，證四邊形是矩形，得，則；（2）設(shè)秋千的長(zhǎng)度為，則，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）當(dāng)時(shí)，，則，得，然后在中，由勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：由題意得：，，，，，，四邊形是矩形，，，故答案為：，3，1；（2）解：，，設(shè)秋千的長(zhǎng)度為，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即秋千的長(zhǎng)度是；（3）解：當(dāng)時(shí)，，，，由（2）可知，，，在中，由勾股定理得：，即需要將秋千往前推送，故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，由勾股定理求出秋千的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一根長(zhǎng)為18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長(zhǎng)度hcm，則h的取值范圍為．

【答案】【分析】根據(jù)杯子內(nèi)牙刷的長(zhǎng)度取值范圍得出杯子外面長(zhǎng)度的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)牙刷與杯底垂直時(shí)h最大，h最大（cm）．當(dāng)牙刷與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小，如圖，此時(shí)（cm），（cm）．∴h的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)牙刷的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．模型7、折竹抵地模型相關(guān)模型背景：竹子、旗桿（風(fēng)箏）拉繩等。解題關(guān)鍵：“竹子”高度為不變量。折竹抵地模型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出“竹子”折斷之前或者折斷之后距離地面的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。例1．（2023春·山西大同·八年級(jí)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部4尺遠(yuǎn)．問：竹子折斷處離地面還有幾尺？（1丈=10尺）設(shè)竹子折斷處離地面還有x尺，則可列方程為．

【答案】【分析】根據(jù)勾股定理即可列出方程．【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊尺，根據(jù)勾股定理：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2023春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在一次暴風(fēng)雨后，一棵大樹從離地面處被折斷，經(jīng)測(cè)量樹的頂端與地面的接觸點(diǎn)A離樹根部C的距離，若在該樹正上方離地面處有高壓電線，請(qǐng)判斷該樹在折斷前是否接觸到電線？并說明你的理由．

【答案】不會(huì)【分析】先利用勾股定理求出，比較折斷前大樹高度與高壓電線高度判斷即可解題．【詳解】解：不會(huì)，理由為：根據(jù)勾股定理可得：，∴折斷前大樹高度為：，∴該樹在折斷前不會(huì)接觸到電線．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·吉林松原·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）八（3）班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了計(jì)算如圖所示的風(fēng)箏高度，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：①測(cè)得的長(zhǎng)度為（）；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為；③松松身高為．則風(fēng)箏離地面高度為米．

【答案】【分析】利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再加上的長(zhǎng)度，即可求出的高度．【詳解】解：由題意可得：，在中，由勾股定理得，，∴米，答：風(fēng)箏的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實(shí)際問題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2022春·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿5m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面1m，則旗桿的高度為m．（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）【答案】13【分析】根據(jù)題意，過作構(gòu)造直角三角形，在Rt中，，，m，，根據(jù)勾股定理得，即，解得，從而得到旗桿高度．【詳解】解：如圖所示，過作：設(shè)旗桿高度為m，則m，根據(jù)題意，，，則，在Rt中，，，m，，根據(jù)勾股定理得，即，解得，旗桿的高度為13m，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解實(shí)際應(yīng)用題，讀懂題意，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求線段長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵．模型8、不規(guī)則圖形面積模型相關(guān)模型背景：有草坪面積、土地面積、網(wǎng)格等。解題關(guān)鍵：一般所求圖形面積為不規(guī)則的四邊形，要注意轉(zhuǎn)換為兩個(gè)直角三角形的面積進(jìn)行求解。面積模型解題步驟：1）連接兩點(diǎn)作輔助線，將四邊形分為兩個(gè)直角三角形；2）根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理求出所連線段長(zhǎng)度；3）運(yùn)用勾股定理逆定理判定另一個(gè)三角形為直角三角形；4）分別求出兩個(gè)直角三角形的面積相加或相減即為所求四邊形面積。例1．（2022·山東濱州·八年級(jí)期末）如圖，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，則四邊形ABCD的面積為_____．【答案】36【分析】先根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABD的形狀，再利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：連接BD，如圖所示：∵∠C=90°，CD=4，BC=3，∴BD===5，∵在△ABD中，AB2+BD2=144+25=169=132=AD2，∴△ABD是直角三角形，∴S四邊形ABCD=AB?BD+BC?CD=×12×5+×3×4=36故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面積，能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABD的形狀，是解答此題的關(guān)鍵．例2．（2022·遼寧鞍山·八年級(jí)期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積．【答案】周長(zhǎng)為；面積為26【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB，BC，CD，AD的長(zhǎng)即可得到四邊形ABCD的周長(zhǎng)；根據(jù)四邊形ABCD的面積等于其所在的長(zhǎng)方形面積減去周圍四個(gè)三角形面積求解即可．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得，，，，故四邊形ABCD的周長(zhǎng)：；四邊形ABCD的面積：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·遼寧·沈陽八年級(jí)階段練習(xí)）在中，、、三邊的長(zhǎng)分別為、、，求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．（1）請(qǐng)你將的面積直接填寫在橫線上．__________________（2）我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法．若三邊的長(zhǎng)分別為、、（），請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為）畫出相應(yīng)的，并求出它的面積．（3）若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為、、(m＞0，n＞0，且m≠n)，請(qǐng)利用圖③的長(zhǎng)方形網(wǎng)格試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這三角形的面積．【答案】（1）；（2）圖見解析；3a2；（3）圖見解析；3mn．【分析】（1）依據(jù)△ABC的面積＝3×3?1×2÷2?1×3÷2?2×3÷2進(jìn)行計(jì)算即可；（2）是直角邊長(zhǎng)為a，2a的直角三角形的斜邊；是直角邊長(zhǎng)為2a，2a的直角三角形的斜邊；是直角邊長(zhǎng)為a，4a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積；（3）是以m，2n為直角邊的直角三角形的斜邊長(zhǎng)；是以m，4n為直角邊的直角三角形的斜邊長(zhǎng)；是以2m，2n為直角邊的直角三角形的斜邊長(zhǎng)；繼而可作出三角形，然后求得三角形的面積．【詳解】（1）△ABC的面積＝3×3?1×2÷2?1×3÷2?2×3÷2＝，故答案為：；（2）如圖：由圖可得，S△＝2a×4a???＝3a2；（3）如圖，AB＝，AC＝，BC＝2，∴S△ABC＝2m×4n?×2m×2n?×m×4n?×m×2n＝3mn．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積問題．注意掌握利用勾股定理的知識(shí)畫長(zhǎng)度為無理數(shù)的線段是解此題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練41．（2023·西安市八年級(jí)月考）如圖，八年級(jí)一班的同學(xué)準(zhǔn)備測(cè)量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿豎直插到水底，此時(shí)竹竿離岸邊點(diǎn)C處的距離米．竹竿高出水面的部分長(zhǎng)0.2米，如果把竹竿的頂端A拉向岸邊點(diǎn)C處，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度為（）A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米【答案】A【分析】設(shè)BD的長(zhǎng)度為xm，則AB=BC=（x+0.2）m，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)BD的長(zhǎng)度為xm，則AB=BC=（x+0.2）m，在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，解得x=1.5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．2．（2020·廣西中考真題）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫(讀，門檻的意思)一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2(圖2為圖1的平面示意圖)，推開雙門，雙門間隙的距離為寸，點(diǎn)和點(diǎn)距離門檻都為尺(尺寸)，則的長(zhǎng)是（）A．寸 B．寸 C．寸 D．寸【答案】C【分析】畫出直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解析】設(shè)OA=OB=AD=BC=，過D作DE⊥AB于E，則DE=10，OE=CD=1，AE=．在Rt△ADE中，，即，解得．故門的寬度（兩扇門的和）AB為101寸．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·河南開封·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)棋桿的高度為x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x．【詳解】解：設(shè)旗桿高度為x米，則，，在中，由勾股定理得即解得：∴旗桿的高度為17米．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．4．（2023春·云南昆明·八年級(jí)校考期中）如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面的B處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部的A處，則旗桿折斷部分的高度是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理求解．【詳解】解：由題意得：，則故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際情況抽象出數(shù)學(xué)模型．5．（2023春·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，湖的兩岸有兩點(diǎn)，在與成直角的方向上的點(diǎn)處測(cè)得米，米，則兩點(diǎn)間的距離為（

）

A．40米 B．30米 C．50米 D．米【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理直接求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，在中，，米，米，兩點(diǎn)間的距離為（米），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查利用勾股定理解實(shí)際應(yīng)用題，數(shù)形結(jié)合是解決問的關(guān)鍵．6．（2023春·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在高為，坡面長(zhǎng)為的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需要（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)?shù)靥轰仢M樓梯時(shí)其長(zhǎng)度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，然后求得地毯的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：由勾股定理得：樓梯的水平寬度，∵地毯鋪滿樓梯是其長(zhǎng)度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，∴地毯的長(zhǎng)度至少是．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023·河南信陽·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了關(guān)于筆記本電腦的張角大小的實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，當(dāng)張角為時(shí)，頂部邊緣B處離桌面的高度為7cm，此時(shí)底部邊緣A處與C處間的距離為24cm，小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為時(shí)（點(diǎn)D是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），頂部邊緣D處到桌面的距離為15cm，則底部邊緣A處與E之間的距離為（

）

A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm【答案】A【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．【詳解】解：依題意，，在中，，∵，，在中，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，露在水面的魚線長(zhǎng)為3m，釣魚者把魚竿提起到的位置，此時(shí)露在水面上的魚線長(zhǎng)為4m，若的長(zhǎng)為1m，則釣魚竿的長(zhǎng)為m．【答案】5【分析】根據(jù)題意設(shè)，利用釣魚竿長(zhǎng)度不變得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，即，解得：，∴，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意列出方程是解題關(guān)鍵．9．（2023·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明與小亮約好去圖書館（D），一小明行走的路線是A→C→D，小亮行走的路線是B→C→D，已知，，，，已知小明騎自行車速度為akm/分鐘，小亮走路，速度為0.1km分鐘。小亮出發(fā)20分鐘后小明再出發(fā)，若小明在路上遇到小亮，則帶上小亮一起去圖書館，為了使小亮能坐上小明的順風(fēng)車，則a的取值范圍是?！敬鸢浮俊痉治觥肯雀鶕?jù)勾股定理得出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)時(shí)間、路程、速度之間的關(guān)系分別求出小明、小亮同時(shí)到達(dá)C和D時(shí)a的值，即可得出而答案【詳解】解：在Rt中，，，，∴小亮到C所用時(shí)間(分);小亮到D所用時(shí)間(分)∴小明、小亮同時(shí)到達(dá)C時(shí)，小明、小亮同時(shí)到達(dá)D時(shí)，∴a的取值范圍是：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，以及路程問題，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵10．（2023秋·湖北八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中記載了一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面x尺，則根據(jù)題意列方程為：．【答案】【分析】設(shè)折斷處離地面x尺，根據(jù)勾股定理建立方程即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)折斷處離地面x尺，根據(jù)題意可得：，故答案為：

．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A處偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B處40m，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10m．該河的寬度BC為米．【答案】75【分析】設(shè)BC=xm，由題意得AB=40m，AC=（x+10）m，然后運(yùn)用勾股定理求出x即可．【詳解】解：設(shè)BC=x，由題意得AB=40m，AC=x+10由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2,402+x2=（x+10）2，解得x=75．故答案為75．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程是解答本題的關(guān)鍵．12．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)校考開學(xué)考試）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，隨板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺，將它往前推進(jìn)兩步（兩步=10尺），此時(shí)踏板升高離地五尺，求秋千繩索的長(zhǎng)度．

【答案】秋千繩索的長(zhǎng)度是尺．【分析】設(shè)尺，用表示出的長(zhǎng)，在直角三角形中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)尺，尺，尺，尺，尺，在Rt中，尺，尺，尺，根據(jù)勾股定理得，，解得：，答：秋千繩索的長(zhǎng)度是尺．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．13．（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)小組要測(cè)量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1所示），聰明的小迪發(fā)現(xiàn)：先測(cè)出繩子多出的部分（該處繩子是直的）的長(zhǎng)度，再將繩子拉直（如圖2所示），測(cè)出繩子末端D到旗桿底部B的距離的長(zhǎng)度，利用所學(xué)知識(shí)就能求出旗桿的長(zhǎng)．已知米，米．

(1)求旗桿的長(zhǎng)；(2)小迪在D處，用手拉住繩子的末端，伸直手臂（拉繩處E與腳底F的連線與地面垂直），后退至將繩子剛好拉直為止（如圖3所示），測(cè)得小迪手臂伸直后的高度為2米，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，，，求小迪后退了幾米？【答案】(1)旗桿的長(zhǎng)為9米(2)小迪需要后退米【分析】（1）在中，由勾股定理計(jì)算即可；（2）在中，求出，根據(jù)便可求出后退的距離．【詳解】（1）解：由題意可得，，在中，，即，解得，即旗桿AB的長(zhǎng)為9米；（2）解：由題意可得，，，在中，，即，解得，∴，即小迪需要后退米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，要熟練掌握．14．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，某渡船從點(diǎn)B處沿著與河岸垂直的路線橫渡，由于受水流的影響，實(shí)際沿著航行，上岸地點(diǎn)C與欲到達(dá)地點(diǎn)A相距70米，結(jié)果發(fā)現(xiàn)比河寬多10米．(1)求該河的寬度；（兩岸可近似看作平行）(2)設(shè)實(shí)際航行時(shí)，速度為每秒5米，從C回到A時(shí)，速度為每秒4米，求航行總時(shí)間．【答案】(1)米(2)航行總時(shí)間為67.5秒【分析】（1）根據(jù)題意可知為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊的距離．（2）根據(jù)時(shí)間路程速度，求出行駛的時(shí)間即可．【詳解】（1）解：設(shè)米，則米，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得：，答：河寬240米．（2）解：（秒），（秒），（秒），答：航行總時(shí)間為67.5秒．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，列出方程是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面30cm．突然一陣大風(fēng)吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為60cm，求水深是多少cm？【答案】45cm【分析】設(shè)水深為hcm得到，，，，利用勾股定理得到關(guān)于x的方程，然后求解方程即可.【詳解】解：設(shè)水深為hcm，如下圖所示，由題意得：在中，，，，由勾股定理得：，即，解得：．答：水深是45cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答即可.16．（2023秋·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A處的正前方的C處，過了，小汽車到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為．

(1)求的長(zhǎng)；(2)這輛小汽車超速了嗎？【答案】(1)(2)沒有超速．【分析】（1）中，有斜邊的長(zhǎng)，有直角邊的長(zhǎng)，那么根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)；（2）根據(jù)小汽車用行駛的路程為，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了．【詳解】（1）解：在中，，；據(jù)勾股定理可得：=（2）解：小汽車的速度為；∵；∴這輛小汽車行駛沒有超速．答：這輛小汽車沒有超速．【點(diǎn)睛】此題考查了將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，解題的關(guān)鍵是把條件和問題放到直角三角形中，進(jìn)行解決．要注意題目中單位的統(tǒng)一．17．（2023·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┬∮搴托〈ㄊ且粚?duì)好朋友，如圖，小渝家住A，小川家住B．兩家相距10公里，小渝家A在一條筆直的公路AC邊上，小川家到這條公路的距離BC為6公里，兩人相約在公路D處見面，且兩家到見面地點(diǎn)D的距離相等，求小渝家A到見面地點(diǎn)D的距離．【答案】公里．【分析】先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，設(shè)公里，從而可得的長(zhǎng)，再在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：由題意得：公里，公里，，，（公里），設(shè)公里，則公里，在中，，即，解得（公里），答：小渝家到見面地點(diǎn)的距離為公里．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．18．（2022秋·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，某電信公司計(jì)劃在，兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)間的處修建一座信號(hào)塔，且使，兩個(gè)村莊到的距離相等．已知于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，求信號(hào)塔應(yīng)該建在離鄉(xiāng)鎮(zhèn)多少千米的地方？【答案】【分析】設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，，，結(jié)合得到關(guān)于x的方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，∵，，∴和都是直角三角形，在中，，在中，，∵，，，∴，解得，答：信號(hào)塔應(yīng)該建在距離A鄉(xiāng)鎮(zhèn)的地方．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋·四川遂寧·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在一次消防演習(xí)中，消防員架起一架20米長(zhǎng)的云梯，如圖斜靠在一面墻上，梯子底端離墻12米．(1)求這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？(2)如果消防員接到命令，要求梯子的頂端下降4米（云梯長(zhǎng)度不變），那么云梯的底部在水平方向應(yīng)滑動(dòng)多少米？【答案】(1)16米(2)4米【分析】（1）利用勾股定理可得BE再代入數(shù)計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意表示出EA長(zhǎng)，再在直角△ABC中利用勾股定理計(jì)算出BC長(zhǎng)，進(jìn)而可得CD長(zhǎng)．【詳解】（1）解：由題意得：DE＝20米，BD＝12米，則BE＝＝＝16（米）．答：這個(gè)梯子的頂端距地面有16米；（2）解：由題意得：EA＝4米，則AB＝12米，AC＝20米，BC＝＝＝16（米），∵BD＝12米，∴CD＝16﹣12＝4（米）．答：云梯的底部在水平方向應(yīng)滑動(dòng)4米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理得應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．20．（2023秋·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（門檻）一尺，不合四寸，問門廣幾何？其大意：如圖，推開雙門（大小相同），雙門間隙寸，點(diǎn)C、點(diǎn)D與門檻的距離尺（1尺=10寸），O是的中點(diǎn)，連接．(1)求的長(zhǎng)，(2)求門檻的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，然后根據(jù)勾股定理求解即可；（2）由題意可得，設(shè)，則，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵O是的中點(diǎn)∴∵∴；（2）設(shè)，則．∵，尺寸∴解得：∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄清題意，構(gòu)建直角三角形是解題關(guān)鍵．21．（2023·湖北八年級(jí)期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)其中由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)在同一條直線上），并新修一條路測(cè)得千米，千米，千米．（1）問是否為從村莊到河邊的最近路．請(qǐng)通過計(jì)算加以說明；（2）求新路比原路少多少千米．【答案】(1)是，理由見解析；(2)0.05千米【分析】(1)根據(jù)勾股定理的逆定理驗(yàn)證△CHB為直角三角形，進(jìn)而得到CH⊥AB，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短即可解答；(2)在△ACH中根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：(1)是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2，∴△CHB為直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB，由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可知，CH是從村莊C到河邊AB的最近路；(2)設(shè)AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=(x-0.9)2+1.22，解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及逆定理是解決本題的關(guān)鍵．22．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，在離水面高度為的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子的長(zhǎng)為，此人以的速度收繩，后船移動(dòng)到點(diǎn)的位置，求船向岸邊移動(dòng)的距離（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】先根據(jù)題意求出CD的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理分別求出AB，AD的長(zhǎng)度，最后用AB-AD即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意有在中，在中，∴船向岸邊移動(dòng)的距離【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，甲乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)的速度向南偏東航行，乙船向北偏東航行，2小時(shí)后，甲船到達(dá)B島，乙船到達(dá)C島，若CB兩島相距40海里，(1)直接寫出的度數(shù)；(2)求乙船的航速是多少？【答案】(1)(2)12海里/時(shí)【分析】（1）利用平角減去的方向角即可得解；（2）利用路程等于速度乘以時(shí)間，求出，利用勾股定理，求出，再利用路程除以時(shí)間，求出乙船的航速．【詳解】（1）解：由題意，得：；（2）解：由題意，得：，∵，∴，∴乙船的航速是：（海里/時(shí)）．答：乙船的航速是海里/時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵．24．（2022·北京市初二期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．（1）直接寫出四邊形ABCD的面積；（2）求證：∠BCD=90°．【答案】（1）四邊形ABCD的面積為14.5；（2）證明見解析．【分析】（1）用四邊形ABCD所在長(zhǎng)方形的面積減去4個(gè)小三角形的面積，列出算式計(jì)算即可求得四邊形ABCD的面積；利用勾股定理分別求出AB、BC、CD、AD，即可求得四邊形ABCD的周長(zhǎng)；（2）求出BD2，利用勾股定理的逆定理即可證明；【解析】（1）四邊形ABCD的面積=5×5﹣3×1÷2﹣4×2÷2﹣5×1÷2﹣5×1÷2=14.5；（2）連接BD．∵BD2，BC2+CD2=20+5=25，∴BC2+CD2=BD2，∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°．【點(diǎn)睛】本題考查割補(bǔ)法求面積，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．25．（2022秋·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有一輛載有集裝箱的卡車，高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)如圖所示的上邊是半圓，下邊是長(zhǎng)方形的橋洞，已知半圓的直徑為2米，長(zhǎng)方形的另一條邊長(zhǎng)是2.3米．這輛卡車能否通過此橋洞？通過計(jì)算說明理由．【答案】能通過，理由見解析.【分析】首先畫出卡車的橫截面圖，OE的長(zhǎng)度為貨車寬的一半，根據(jù)勾股定理可求出CE的長(zhǎng)度．如果BC的長(zhǎng)度大于2.5貨車可以通過，否則不能通過．【詳解】能通過．如圖中的長(zhǎng)方形是卡車橫截面的示意圖：當(dāng)橋洞中心線兩邊各為0.8米時(shí)，設(shè)米，在中，由勾股定理得，解得，∵，∴卡車能通過．【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意化出圖形.26．（2023春·河南洛陽·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，海上救援船要從距離海岸8海里的點(diǎn)位置到海岸的處攜帶救援設(shè)備，然后到距離海岸16海里處的點(diǎn)處對(duì)故障船實(shí)施救援．已知間的距離為18海里，為使救援船盡快趕到故障船實(shí)施救援，救援設(shè)備被放置在恰當(dāng)位置．（1）試在圖中確定點(diǎn)的位置；（2）若救援船的速度是20節(jié)（1節(jié)=1海里/小時(shí)），求這艘救援船最快多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)故障船？【答案】（1）見解析；（2）1.5【分析】（1）利用“直線同側(cè)兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最短的問題”模型，利用軸對(duì)稱的知識(shí)，確定M的位置.（2）補(bǔ)全圖形，利用勾股定理，得到EC的長(zhǎng)，從而得到到達(dá)所用時(shí)間.【詳解】解：（1）延長(zhǎng)AB至E，使BE=AB，連接EC交BD于M，連接AM，則點(diǎn)M即為所求.（2）依題意有AB=8，CD=16，BD=18，根據(jù)（1）的作圖可知，點(diǎn)A，E關(guān)于直線BD對(duì)稱，∴AB=BE=8，AM=EM，過點(diǎn)E作EFBD，交CD的延長(zhǎng)線與F，∵四邊形BEFD為矩形，∴EF=BD=18，AB=BE=DF=8，∴CF=CD+DF=16+8=24，在ECF中，，∴AM+MC=EM+MC=EC=30，又∵救援船的速度是20節(jié)，即為20×1=20（海里/小時(shí)），∵（小時(shí)）.∴這艘救援船最快到達(dá)故障船的時(shí)間為1.5小時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短距離“直線同側(cè)兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最短的問題”模型的應(yīng)用及勾股定理.關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握從具體的問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的建模思想，屬于基礎(chǔ)題.27．（2023·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，MN以左為我國(guó)領(lǐng)海，以右為公海，上午9時(shí)50分我國(guó)緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我國(guó)領(lǐng)海開來，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測(cè)得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)海域？【答案】走私艇最早在10時(shí)41分進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海．【分析】先判斷出△ABC是直角三角形，再用面積相等計(jì)算出BD，在Rt△BCD中，由勾股定理計(jì)算出CD，算出走私艇行駛的時(shí)間，即可求出進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的時(shí)刻．【詳解】∵

，∴△ABC為直角三角