專題6-2等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和8大考點(diǎn)

專題62等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和8大考點(diǎn)知識點(diǎn)一等差數(shù)列的有關(guān)概念1、等差數(shù)列的定義（1）文字語言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；（2）符號語言：(，為常數(shù))．2、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)．知識點(diǎn)二等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式1、通項(xiàng)公式：．2、前項(xiàng)和公式：．3、等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系（1）通項(xiàng)公式：當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)為公差.若公差，則為遞增數(shù)列，若公差，則為遞減數(shù)列．（2）前n項(xiàng)和：當(dāng)公差時(shí)，是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.知識點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及常用結(jié)論已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)：（1）通項(xiàng)公式的推廣：．（2）若，則．（3）若的公差為d，則也是等差數(shù)列，公差為．（4）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．2、等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）；（2）；（3）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，之間的關(guān)系為.（4）數(shù)列，，，…構(gòu)成等差數(shù)列．3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)（1）若項(xiàng)數(shù)為，則，；（2）若項(xiàng)數(shù)為，則，，，.一、等差數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程思想．2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．二、等差數(shù)列的判定與證明的方法：1、定義法：或是等差數(shù)列；2、定義變形法：驗(yàn)證是否滿足；3、等差中項(xiàng)法：為等差數(shù)列；4、通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式形如為常數(shù)為等差數(shù)列；5、前n項(xiàng)和公式法：為常數(shù)為等差數(shù)列．注意：（1）若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項(xiàng)，使得即可；（2）如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法．三、求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的方法1、通項(xiàng)法：（1）若a1＞0，d＜0，則必有最大值，其n可用不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))來確定；（2）若a1＜0，d＞0，則必有最小值，其n可用不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))來確定．2、二次函數(shù)法：等差數(shù)列中，由于Sn＝na1＋eq\f(n(n－1),2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，故可用二次函數(shù)求最值的方法來求前n項(xiàng)和的最值，這里應(yīng)由n∈N*及二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值．3、不等式組法：借助最大時(shí)，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Sn≥Sn－1，,Sn≥Sn＋1))(n≥2，n∈N*)，解此不等式組確定n的范圍，進(jìn)而確定n的值和對應(yīng)的值(即的最值)．考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的計(jì)算【例1】（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）公差不為0的等差數(shù)列滿足：，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列各選項(xiàng)正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】公差不為0的等差數(shù)列滿足：，則，整理得:，則，，A錯誤；，B錯誤；，C正確.，D錯誤.故選：C.【變式11】（2023秋·江西·高三校考開學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（）A．B．10C．11D．【答案】C【解析】由，得，所以，又，，所以．故選：C．【變式12】（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）等差數(shù)列的其前n項(xiàng)和為，若，則的公差為（）A．2或B．2或C．或D．或2【答案】B【解析】設(shè)公差為，又，，故，即，解得或.故選：B【變式13】（2024秋·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知等差數(shù)列，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的公差（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，由可得，即，解得.故選：D.【變式14】（2023秋·湖南株洲·高三?？茧A段練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則．又，所以是等差數(shù)列，（其中），即，所以，則，所以．故選：D．考點(diǎn)二等差數(shù)列的判斷與證明【例2】（2023春·山東菏澤·高三?？奸_學(xué)考試）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C【變式21】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且向量，共線.求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】證明見解析.【解析】證明：∵，共線，∴，∴.∴，當(dāng)時(shí)，，又滿足此式，∴.∴為常數(shù)，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列.【變式22】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，記，，，.證明：數(shù)列為等差數(shù)列.【答案】證明見解析【解析】由題，，，，，兩邊取倒數(shù)得，，即，，所以數(shù)列為首項(xiàng)是，公差是的等差數(shù)列.【變式23】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且.證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式.【答案】證明見解析，【解析】證明：在等式兩邊同時(shí)除以，可得，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公差為，因此，，故.【變式24】（2023秋·江蘇南通·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，，.（1）求的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）在數(shù)列中，，，令，得；令，得；令，得；所以，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，，得，，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的是等差數(shù)列.考點(diǎn)三等差數(shù)列項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用【例3】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）公差不為零的等差數(shù)列的前為項(xiàng)和為，若，則（）A．8B．12C．16D．9【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，，又，，，，.故選：C.【變式31】（2024秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和滿足，則（）A．4B．C．D．3【答案】A【解析】是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)為，，，.故選：A.【變式32】（2023秋·湖南永州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列和均為等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為定值，，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在等差數(shù)列中，由得，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以，即，所?故選：A.【變式33】（2023春·河南開封·高三校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A．516B．440C．258D．220【答案】D【解析】等差數(shù)列為遞增數(shù)列，則，由，得，而，解得，所以.故選：D【變式34】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差d均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則，，的公差為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，所以，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，則，故選：C.【變式35】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，若，則使得的n的最大值為（）A．2020B．2022C．2024D．2025【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，所以與異號，又首項(xiàng),則公差，所以.則，即.由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可得，，所以使得的n的最大值為2024.故選：C.考點(diǎn)四等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，則、、為等差數(shù)列，其公差為，因此，.故答案為：.【變式41】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，所以，，故，所以，.故答案為：.【變式42】（2023秋·四川眉山·高三?？奸_學(xué)考試）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則（）A．2023B．2023C．2024D．2024【答案】C【解析】由是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則所以，（常數(shù)），則也為等差數(shù)列.由，則數(shù)列的公差為1.所以所以，所以，故選：C【變式43】（2023秋·天津武清·高三?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是與，且，則.【答案】【解析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，得，而，所以.故答案為：【變式44】（2023秋·廣東廣州·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)數(shù)列和都為等差數(shù)列，記它們的前項(xiàng)和分別為和，滿足，則【答案】【解析】數(shù)列和都為等差數(shù)列，且，則令，，為常數(shù)，因此等差數(shù)列的首項(xiàng)，等差數(shù)列的首項(xiàng)，所以.故答案為：考點(diǎn)五等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值【例5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則取最小時(shí)，（）A．4045B．4044C．2023D．2022【答案】D【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，，，，，公差，則當(dāng)時(shí)最?。蔬x：D【變式51】（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有，若，則（）A．的最小值是B．的最小值是C．的最大值是D．的最大值是【答案】C【解析】由得，即，∴數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，∵，∴，，∴當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；∴有最大值，最大值為.故選：C【變式52】（2023秋·陜西商洛·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且是公差為的等差數(shù)列，則的最大值為（）A．12B．22C．37D．55【答案】B【解析】由題意，且是公差為的等差數(shù)列，可知的首項(xiàng)為，則，故，則數(shù)列為，公差為的等差數(shù)列，且為遞減數(shù)列，令，即等差數(shù)列的前4項(xiàng)為正項(xiàng)，從第5項(xiàng)開始為負(fù)，故的最大值為，故選：B【變式53】（2023秋·湖南常德·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，滿足，，則的最大值為（）A．14B．16C．18D．20【答案】B【解析】設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)的和公式為，則由題意有，由以上兩式解得，，因此，令，解得，從而數(shù)列得前4項(xiàng)為正，其余項(xiàng)為負(fù)，故的最大值為.故選:B.【變式54】（2023·全國·高三專題練習(xí)）記公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,若,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值,則的取值范圍為【答案】【解析】由，即，所以，即，所以，所以,則公差,故,所以,因?yàn)?所以數(shù)列是等差數(shù)列且為遞減數(shù)列,又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值,則，解得29＜m＜32.故答案為:.考點(diǎn)六等差數(shù)列在實(shí)際中的應(yīng)用【例6】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三?？计谥校┠撤N卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形盤上，空盤時(shí)盤芯直徑為60mm，滿盤時(shí)直徑為120mm，已知衛(wèi)生紙的厚度為，則滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長度大約（）（，精確到1m）A．65mB．85mC．100mD．120m【答案】B【解析】因?yàn)榭毡P時(shí)盤芯直徑為60mm，則半徑為30mm，周長為，又滿盤時(shí)直徑為120mm，則半徑為60mm，周長為，又因?yàn)樾l(wèi)生紙的厚度為，則，即每一圈周長成等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為，于是根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，得：，又，即滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長度大約為，故選：B.【變式61】（2023·全國·高三專題練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，在1980年庚申年，我國正式設(shè)立經(jīng)濟(jì)特區(qū)，請問：在100年后的2080年為（）A．戊戌年B．辛丑年C．己亥年D．庚子年【答案】D【解析】由題意得，天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，余數(shù)為0，故100年后天干為庚，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為子，綜上：100年后的2080年為庚子年.故選：D.【變式62】（2023·全國·高三專題練習(xí)）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（）A．20B．25C．D．40【答案】B【解析】被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故選：B.【變式63】（2023·全國·高三專題練習(xí)）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，塔的排列順序自上而下，第一層1座，第二層3座，第三層3座，第四層5座，第五層5座，從第五層開始，每一層塔的數(shù)目構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，總計(jì)一百零八座，則該塔共有（）A．八層B．十層C．十一層D．十二層【答案】D【解析】設(shè)該塔共有層，則，即，解得或（舍），即該塔共有層，故選：D【變式64】（2023·全國·高三專題練習(xí)）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個(gè)節(jié)氣的日影長度之和為尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長度之和為尺，則谷雨這一天的日影長度為（）A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】A【解析】設(shè)冬至，小寒，大寒，立春，雨水，驚蟄，春分，清明，谷雨，立夏，小滿，芒種這十二個(gè)節(jié)氣為：，且其公差為，依題意有：，，，公差，則，所以谷雨這一天的日影長度為尺，故選：A考點(diǎn)七等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)問題【例7】（2023春·陜西寶雞·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，且，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，則，所以，因?yàn)?，即，則，等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)有15項(xiàng)，所以，得，所以.故選：B【變式71】（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列共有2n項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和分別為24和30，且末項(xiàng)比首項(xiàng)大，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（）A．4B．8C．12D．20【答案】B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：，，解得：，故該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.故選：B【變式72】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（）．A．30B．29C．28D．27【答案】B【解析】奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，其和為，∴．偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng)，其和為，∴．故選：B．【變式73】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知某等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，前三項(xiàng)與最后三項(xiàng)這六項(xiàng)之和為，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，，所以，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，于是可得.故選：A.【變式74】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，且在這10項(xiàng)中，＝，則公差d＝.【答案】2【解析】由,得,所以＝5d＝10，所以d＝2.故答案為：2.【變式75】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，.（1）記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）；（2）353【解析】（1）因?yàn)椋頽取，則，即，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以（2）令n取2n，則，所以，由（1）可知，；；所以【變式76】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n