基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 基礎(chǔ)練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

5．2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、單項(xiàng)選擇題1(2024大同期末)曲線f(x)＝eq\r(x)在點(diǎn)(9，f(9))處的切線方程為()A.x－6y＋9＝0B.3x－2y－21＝0C.9x－2y－75＝0D.x－2y＋3＝02若函數(shù)f(x)＝10x，則f′(1)等于()A.eq\f(1,10)B.10C.10ln10D.eq\f(1,10ln10)3若函數(shù)f(x)＝cosx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值為()A.0B.－1C.1D.24已知f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(1)＝eq\f(1,4)，則α等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,4)5(2023鎮(zhèn)江一中期末)已知直線y＝ex＋a與曲線y＝lnx相切，則實(shí)數(shù)a的值為()A.－1B.－2C.eq\f(1,e)D.e6函數(shù)特性P：函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則下列函數(shù)中滿足特性P的函數(shù)為()A.y＝x3B.y＝sinxC.y＝exD.y＝lnx二、多項(xiàng)選擇題7(2023南寧二中期末)若P為曲線y＝ex上的動(dòng)點(diǎn)，Q為直線y＝x上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ的可能取值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.1D.eq\f(3,2)8(2023洛陽強(qiáng)基聯(lián)盟月考)下列求導(dǎo)運(yùn)算中，正確的是()A.(2x)′＝2xlog2eB.(eq\r(x))′＝eq\f(\r(x),2x)C.(sin1)′＝cos1D.(log3x)′＝eq\f(1,xln3)三、填空題9已知f(x)＝x3，g(x)＝3x,則f′(x)－g′(x)＝________．10(2023常州期末)函數(shù)f(x)＝xeq\s\up6(\f(3,2))在x＝4處的瞬時(shí)變化率為________．11過原點(diǎn)作曲線y＝ex的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為________，切線方程為________．四、解答題12求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝cos2eq\f(x,2)－sin2eq\f(x,2)；(2)y＝eq\f(1,\r(x\r(x\r(x)))).13設(shè)直線l1與曲線y＝eq\r(x)相切于點(diǎn)P，直線l2過點(diǎn)P且垂直于直線l1，若直線l2交x軸于點(diǎn)Q，作PK垂直x軸于點(diǎn)K，求線段KQ的長(zhǎng)．

【答案解析】5．2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.A由題意，得f(9)＝eq\r(9)＝3，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為(9，3).因?yàn)閒′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，所以f′(9)＝eq\f(1,6)，即曲線f(x)＝eq\r(x)在切點(diǎn)(9，3)處的切線斜率k＝eq\f(1,6)，所以切線方程為y－3＝eq\f(1,6)(x－9)，即x－6y＋9＝0.2.C因?yàn)閒′(x)＝10xln10，所以f′(1)＝10ln10.3.A因?yàn)閒(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＋coseq\f(π,4)＝0.4.D因?yàn)閒(x)＝xα，所以f′(x)＝αxα-1，所以f′(1)＝α＝eq\f(1,4).5.B設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，由y＝lnx，得y′＝eq\f(1,x).因?yàn)橹本€y＝ex＋a與曲線y＝lnx相切，所以eq\f(1,x0)＝e，解得x0＝eq\f(1,e)，y0＝lneq\f(1,e)＝－1，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，－1)).又點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，－1))在直線y＝ex＋a上，所以－1＝e×eq\f(1,e)＋a，解得a＝－2.6.B設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，若k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1，則圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，滿足特性P.對(duì)于A，y′＝3x2≥0，則k1·k2＝3xeq\o\al(2,1)·3xeq\o\al(2,2)≠－1，故A不正確；對(duì)于B，y′＝cosx，則k1·k2＝cosx1·cosx2，因?yàn)閏osx∈[－1，1]，所以存在x1，x2滿足cosx1·cosx2＝－1，故B正確；對(duì)于C，y′＝ex>0，則k1·k2＝ex1·ex2≠－1，故C不正確；對(duì)于D，y′＝eq\f(1,x)>0，則k1·k2＝eq\f(1,x1)·eq\f(1,x2)≠－1，故D不正確．7.ACD由題意，要使PQ的取值最小，則P為平行于y＝x的直線與y＝ex的切點(diǎn)．令y′＝f′(x)＝ex＝1，可得x＝0，故切點(diǎn)為P(0，1).以P為切點(diǎn)平行于y＝x的切線方程為y＝x＋1，此時(shí)PQmin＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，則PQ的可能取值為eq\f(\r(2),2)，1，eq\f(3,2).故選ACD.8.BD對(duì)于A，(2x)′＝2xln2，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，(eq\r(x))′＝(xeq\s\up6(\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(x),2x)，故B正確；對(duì)于C，(sin1)′＝0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，(log3x)′＝eq\f(1,xln3)，故D正確．故選BD.9.3x2－3xln3因?yàn)閒′(x)＝3x2，g′(x)＝3xln3，所以f′(x)－g′(x)＝3x2－3xln3.10.3由題意，得f′(x)＝eq\f(3,2)xeq\s\up6(\f(1,2))，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，函數(shù)f(x)＝xeq\s\up6(\f(3,2))在x＝4處的瞬時(shí)變化率為f′(4)＝eq\f(3,2)×4eq\s\up6(\f(1,2))＝3.11.(1，e)y＝ex設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0).因?yàn)閥′＝ex，所以切線的斜率為ex0，則ex0＝eq\f(y0－0,x0－0).又y0＝ex0，得x0＝1，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，e)，切線的斜率為e，切線方程為y－e＝e(x－1)，即y＝ex.12.(1)因?yàn)閥＝cos2eq\f(x,2)－sin2eq\f(x,2)＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.(2)因?yàn)閥＝eq\f(1,\r(x\r(x\r(x))))＝＝，所以y′＝()′＝－eq\f(7,8)＝－eq\f(7,8\r(8,x15))．13.設(shè)點(diǎn)P(x0，y0).因?yàn)閥＝eq\r(x)，所以y′＝eq\f(1,2\r(x))，所以kl1＝eq\f(1,2\r(x0)).又l1⊥l2，所以kl2＝－2eq\r(x0)，所以直線l2的方程為y－y0＝－2eq\r(x0)(