遼寧省沈陽市第12023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

遼寧省沈陽市第12023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，則=（）A． B． C． D．2．某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)獎金投入，若該公司年全年投入研發(fā)獎金萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎金比上一年增長，則該公司全年投入的研發(fā)獎金開始超過萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．年 B．年 C．年 D．年3．如圖，在正方體中，已知，分別為棱，的中點，則異面直線與所成的角等于（）A．90° B．60°C．45° D．30°4．與直線垂直于點的直線的一般方程是（）A． B． C． D．5．已知m、n、a、b為空間四條不同直線，α、β、為不同的平面，則下列命題正確的是（）．A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則6．在中，分別為角的對邊，若，且,則邊=()A． B． C． D．7．若數(shù)列，若，則在下列數(shù)列中，可取遍數(shù)列前項值的數(shù)列為（）A． B． C． D．8．一個平面截一球得到直徑為6的圓面，球心到這個圓面的距離為4，則這個球的體積為()A． B． C． D．9．在中，，BC邊上的高等于,則A． B． C． D．10．設(shè)a,b,c均為不等于1的正實數(shù),則下列等式中恒成立的是A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．實數(shù)x、y滿足，則的最大值為________.12．已知向量，，若，則實數(shù)__________.13．在等比數(shù)列中，，的值為________14．?dāng)?shù)列定義為，則_______.15．在△ABC中，點M，N滿足，若，則x＝________，y＝________.16．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)f(x)＝.(1)若不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)當(dāng)x∈(m>0，n>0)時，函數(shù)g(x)＝tf(x)＋1(t≥0)的值域為[2－3m，2－3n]，求實數(shù)t的取值范圍．18．已知為平面內(nèi)不共線的三點，表示的面積（1）若求；（2）若，，，證明:；（3）若，，，其中，且坐標(biāo)原點恰好為的重心，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.19．設(shè)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，，．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)數(shù)列，試問是否存在正整數(shù)，，使，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.20．已知，函數(shù)，，（1）證明：是奇函數(shù)；（2）如果方程只有一個實數(shù)解，求a的值.21．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)奇偶性；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）比較與的大小.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由得：，所以，故選D.2、B【解析】試題分析：設(shè)從2015年開始第年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由已知得，兩邊取常用對數(shù)得，故從2019年開始，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.【考點】增長率問題，常用對數(shù)的應(yīng)用【名師點睛】本題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用．在實際問題中平均增長率問題可以看作等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時要注意把哪個數(shù)作為數(shù)列的首項，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出通項，列出不等式或方程就可求解．3、B【解析】

連接，可證是異面直線與所成的角或其補角，求出此角即可．【詳解】連接，因為，分別為棱，的中點，所以，又正方體中，所以是異面直線與所成的角或其補角，是等邊三角形，＝60°．所以異面直線與所成的角為60°．故選：B．【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題時需根據(jù)定義作出異面直線所成的角，同時給出證明，然后在三角形中計算．4、A【解析】由已知可得這就是所求直線方程，故選A.5、D【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系及其性質(zhì)，即可判斷各選項.【詳解】對于A，，，只有當(dāng)與平面α、β的交線垂直時，成立，當(dāng)與平面α、β的交線不垂直時，不成立，所以A錯誤；對于B，，，則或，所以B錯誤；對于C，，，，由面面平行性質(zhì)可知，或a、b為異面直線，所以C錯誤；對于D，若，，，由線面垂直與線面平行性質(zhì)可知，成立，所以D正確.故選：D.【點睛】本題考查了空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的性質(zhì)與判定，對空間想象能力要求較高，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由利用正弦定理化簡，再利用余弦定理表示出cosA，整理化簡得a2b2+c2，與，聯(lián)立即可求出b的值．【詳解】由sinB＝8cosAsinC，利用正弦定理化簡得：b＝8c?cosA，將cosA代入得：b＝8c?，整理得：a2b2+c2，即a2﹣c2b2，∵a2﹣c2＝3b，∴b2＝3b，解得：b＝1或b＝0（舍去），則b＝1．故選B【點睛】此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握定理,準(zhǔn)確計算是解本題的關(guān)鍵，是中檔題7、D【解析】

推導(dǎo)出是以6為周期的周期數(shù)列，從而是可取遍數(shù)列前6項值的數(shù)列．【詳解】數(shù)列，，，，，，，，，是以6為周期的周期數(shù)列，是可取遍數(shù)列前6項值的數(shù)列．故選：D.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性與三角函數(shù)知識的交會，考查基本運算求解能力，求解時注意函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．8、C【解析】

過球心作垂直圓面于.連接與圓面上一點構(gòu)造出直角三角形再計算球的半徑即可.【詳解】如圖,過球心作垂直圓面于,連接與圓面上一點.則.故球的體積為.故選：C【點睛】本題主要考查了球中構(gòu)造直角三角形求解半徑的方法等.屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】試題分析：設(shè)邊上的高線為，則，所以．由正弦定理，知，即，解得，故選D．【考點】正弦定理【方法點撥】在平面幾何圖形中求相關(guān)的幾何量時，需尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，常常將所涉及到已知幾何量與所求幾何集中到某一個三角形，然后選用正弦定理與余弦定理求解．10、B【解析】

根據(jù)對數(shù)運算的規(guī)律一一進(jìn)行運算可得答案.【詳解】解：由a,b,c≠1.考察對數(shù)2個公式:，,對選項A:,顯然與第二個公式不符，所以為假.對選項B:,顯然與第二個公式一致，所以為真.對選項C:,顯然與第一個公式不符，所以為假.對選項D:,同樣與第一個公式不符，所以為假.所以選B.【點睛】本題主要考查對數(shù)運算的性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)運算的各公式是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)約束條件，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式，找到其在軸截距的最大值，得到答案.【詳解】由約束條件，畫出可行域，如圖所示，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過點時，直線在軸上的截距最大，聯(lián)立，解得，即，所以.故答案為：.【點睛】本題考查線性規(guī)劃求最大值，屬于簡單題.12、【解析】

根據(jù)平面向量時，列方程求出的值．【詳解】解：向量，，若，則，即，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，解得.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由已知得兩式，相減可發(fā)現(xiàn)原數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為等差數(shù)列，分類討論分別算出奇數(shù)項的和和偶數(shù)項的和，再相加得原數(shù)列前的和【詳解】兩式相減得數(shù)列的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前2n項中所有奇數(shù)項的和為：，數(shù)列的前2n項中所有偶數(shù)項的和為：【點睛】對于遞推式為，其特點是隔項相減為常數(shù)，這種數(shù)列要分類討論，分偶數(shù)項和奇數(shù)項來研究，特別注意偶數(shù)項的首項為，而奇數(shù)項的首項為.15、【解析】特殊化，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法，以A為原點，AB為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系，，，則，.考點：本題考點為平面向量有關(guān)知識與計算，利用向量相等解題.16、【解析】

試題分析：由三視圖知，幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個正方形，邊長是2，四棱錐的一條側(cè)棱和底面垂直，且這條側(cè)棱長是2，這樣在所有的棱中，連接與底面垂直的側(cè)棱的頂點與相對的底面的頂點的側(cè)棱是最長的長度是，考點：三視圖點評：本題考查由三視圖還原幾何體，所給的是一個典型的四棱錐，注意觀察三視圖，看出四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)k≤1;(2)(0，1)．【解析】試題分析：（1）把f(x)＝代入，化簡得k≤x在[1，3]上恒成立，所以k≤1．（2）g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，又x∈(m>0，n>0)，所以g(x)在單調(diào)遞增，所以即，即m，n是關(guān)于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的兩個不等的正根．由根的分布，可得，解得0<t<1．試題解析：(1)∵xf(x)＋＝＋＝x，∴不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，即為k≤x在[1，3]上恒成立．∴k≤1.(2)∵g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，若t＝0，則g(x)＝1，不合題意，∴t>0.又當(dāng)t>0時，g(x)＝－＋t＋1在上顯然是單調(diào)增函數(shù)，∴即∴m，n是關(guān)于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的兩個不等的正根．令h(x)＝tx2－3x＋1－t，則解得0<t<1.∴實數(shù)t的取值范圍是(0，1)．18、（1）；（2）詳見解析；（3）是定值，值為，理由見解析.【解析】

（1）已知三點坐標(biāo)，則可以求出三邊長度及對應(yīng)向量，由向量數(shù)量積公式可以求出夾角余弦值，從而算出正弦值，利用面積公式完成作答；（2）和（1）的方法一樣，唯獨不同在于（1）是具體值，而（2）中是參數(shù)，我們可以把參數(shù)當(dāng)做整體（視為已知）能處理；（3）由恰好為的正心可以獲取，而可以借助（2）的公式直接運用，本題也就完成作答.【詳解】（1）因為，所以，，所以因為，所以，所以（2）因為，所以所以因為所以所以所以；（3）因為為的重心，所以由(1)可知又因為為的重心，所以，平方相加得:，即，所以所以，所以是定值，值為【點睛】已知三角形三點，去探究三角形面積問題，通過向量數(shù)量積為載體，算出相對應(yīng)邊所在向量的模長、夾角余弦值，進(jìn)一步算出正弦值，從而算出面積，這三問存在層層遞進(jìn)的過程，從特殊到一般慢慢設(shè)問，非常好的一個探究性習(xí)題.19、(1)；.(2)(3)存在，或者，【解析】

（1）令，得，故，代入等式得到，計算得到.（2）利用錯位相減法得到前N項和.（3），假設(shè)存在正整數(shù)，，使成等差數(shù)列，則，解得或者.【詳解】（1）令，得，所以將代入，得所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，即.（2）兩式相減得到化簡得到.（3），假設(shè)存在正整數(shù)，，使成等差數(shù)列則，即，因為，為正整數(shù)，所以存在或者，使得成等差數(shù)列.【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，錯位相減法，綜合性大，技巧性強，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20、（1）證明見解析（1）1【解析】

（1）運用函數(shù)的奇偶性的定義即可得證（1）由題意可得有且只有兩個相等的實根，可得判別式為0，解方程可得所求值．【詳解】（1）證明：由函數(shù)，，可得定義域為，且，可得為奇函數(shù)；（1）方程只有一個實數(shù)解，即為，即△，解得舍去），則的值為1．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和二次方程有解的條件，考查方程思想和定義法，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）