蘇教版高數(shù)必修五第10講：不等關系與不等式(教師版)

不等關系與不等式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教學重點：掌握實數(shù)的大小比較方法、不等式的性質(zhì)的運用教學難點：理解不等式性質(zhì)的證明范圍不等式用數(shù)學符號連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關系。含有不等號的式子，叫做不等式。實數(shù)的大小關系實數(shù)集與數(shù)軸上的點集一一對應；數(shù)軸上的任意兩點中，右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大；對于任意兩個實數(shù)和，在三種關系中有且僅有一種關系成立；在數(shù)學中，兩個實數(shù)的大小可以通過作差比較不等式的性質(zhì)對稱性：如果，那么；如果，那么；傳遞性：如果且，則；加法法則：如果，則；乘法法則：如果，則；如果，則類型一：不等式表示不等關系及實數(shù)的大小比較例1.用不等號表示下列關系（1）與的和是非負數(shù)（2）實數(shù)不小于解析：（1）（2）答案：（1）（2）練習1.（1）實數(shù)小于5，但不小于-2（2）與的差的絕對值大于2，且小于或等于6答案：（1）（2）練習2.已知分別對應數(shù)軸上的兩點，且在原點右側，在原點左側，則下列不等式成立的是（）A.B.C.D.答案：D例2.比較與的大小解析：當或即或時，，此時；當時，，此時答案：或時，；當時，練習3.比較與（為不相等的正數(shù)）的大小答案：練習4.已知，則_________（填）答案：類型二：不等式性質(zhì)的證明應用例3.已知求證解析：又又即答案：見解析練習5.已知求證答案：練習6.已知求證答案：類型三：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍例4.已知求的范圍；求的范圍。解析：（1）設答案：（1）（2）練習7.已知滿足求的范圍求的范圍答案：（1）（2）練習8.若滿足則的取值范圍____________答案：練習9.設變量滿足則的取值范圍_____________答案：練習10.已知則的取值范圍是___________答案：1.實數(shù)m不超過eq\r(2)，是指()A．m>eq\r(2)B．m≥eq\r(2)C．m<eq\r(2)D．m≤eq\r(2)答案：D2.設M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．與x有關答案：A3.已知a＝2－eq\r(5)，b＝eq\r(5)－2，c＝5－2eq\r(5)，那么下列各式正確的是()A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．b<a<cD．c<a<b答案：A4.已知a、b、c、d均為實數(shù)，有下列命題①若ab＜0，bc－ad＞0，則eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0；②若ab＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，則bc－ad＞0；③若bc－ad＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，則ab＞0.其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案：C5.若a<b<0，則下列不等式不能成立的是()A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)B．2a>2bC．|a|>|b|D．(eq\f(1,2))a>(eq\f(1,2))b答案：B6.設a＋b<0，且a>0，則()A．a(chǎn)2<－ab<b2B．b2<－ab<a2C．a(chǎn)2<b2<－abD．a(chǎn)b<b2<a2答案：A7.已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小關系是()A．a(chǎn)2＞a＞－a2＞－aB．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2 D．a(chǎn)2＞－a＞a＞－a2答案：B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎鞏固1.已知a<b<c，且a＋b＋c＝0，則()A．b2－4ac>0 B．b2－4acC．b2－4ac<0 D．b2－4答案：A2.已知P＝eq\f(1,a2＋a＋1)，Q＝a2－a＋1，則P、Q的大小關系為()A．P>Q B．P<QC．P≤Q D．無法確定答案：C3.已知|a|<1，則eq\f(1,a＋1)與1－a的大小關系為()A．eq\f(1,a＋1)<1－a B．eq\f(1,a＋1)>1－aC．eq\f(1,a＋1)≥1－a D．eq\f(1,a＋1)≤1－a答案：C4.若a>b>0，則下列不等式中總成立的是()A．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) B．a(chǎn)＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)C．a(chǎn)＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)答案：C5.已知三個不等式：①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>aD．以其中兩個作條件，余下一個為結論，寫出兩個能成立的不等式命題________．答案：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(①,②))?③，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(①,③))?②，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(②,③))?①中任選兩個即可．6.實數(shù)a、b、c、d滿足下列兩個條件：①d>c；②a＋d<b＋C．則a、b的大小關系為________．答案：a<b7.設m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，則m、n的大小關系是答案：m≥n8.若(a＋1)2>(a＋1)3(a≠－1)，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案：a<0且a≠－19.某礦山車隊有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠，已知甲型卡車每輛每天往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關系的不等式．答案：設每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,10×6x＋6×8y≥360,0≤x≤4,0≤y≤7,x∈N,y∈N))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,5x＋4y≥30,0≤x≤4,0≤y≤7,x∈N,y∈N))10.(1)已知c＞a＞b＞0.求證：eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b).(2)已知a、b、m均為正數(shù)，且a＜b，求證：eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).答案：(1)∵c＞a＞b＞0∴c－a＞0，c－b＞0，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(由a＞b＞0?\f(1,a)＜\f(1,b),c＞0))?eq\f(c,a)＜eq\f(c,b)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?\f(c－a,a)＜\f(c－b,b),c－a＞0,c－b＞0))?eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b).(2)證法一：eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(mb－a,bb＋m)，∵0＜a＜b，m＞0，∴eq\f(mb－a,bb＋m)＞0，∴eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).證法二：eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(a＋b＋m－b,b＋m)＝1＋eq\f(a－b,b＋m)＝1－eq\f(b－a,b＋m)＞1－eq\f(b－a,b)＝eq\f(a,b).證法三：∵a、b、m均為正數(shù)，∴要證eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)，只需證(a＋m)b＞a(b＋m)，只需證ab＋bm＞ab＋am，只要證bm＞am，要證bm＞am，只需證b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立.能力提升11.某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤．根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式有多少種？()A．5種B．6種C．7種D．8種答案：C12.如圖，在一個面積為200m2的矩形地基上建造一個倉庫，四周是綠地，倉庫的長a大于寬b的4倍，則表示上面敘述的不等關系正確的是A．a(chǎn)＞4b B．(a＋4)(b＋4)＝200C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞4b,a＋4b＋4＝200)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞4b,4ab＝200))答案：C13.已知a、b為非零實數(shù)，且a<b，則下列命題成立的是()A．a(chǎn)2<b2B．a(chǎn)b2<a2bC．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)答案：C14.若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍是()A．(－π，π)B．(0，π)C．(－π，0)D．{0}答案：C15.已知函數(shù)f(x)＝x3，x1、x2、x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正負都有可能答案：B16.若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，給出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2.其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案：B17.若a>0，b>0則eq\r(a)＋eq\r(b)________eq\r(a＋b)(填上適當?shù)牡忍柣虿坏忍?．答案：>18.設a＞b＞0，m＞0，n＞0，則p＝eq\f(b,a)，q＝eq\f(a,b)，r＝eq\f(b＋m,a＋m)，s＝eq\f(a＋n,b＋n)的大小順序是________________．答案：p＜r＜s＜q19.若a>b，則a3與b3的大小關系是________．答案：a3>b320.若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，則x與y的大小關系是________．答案：x＜y21.已知a、b為正實數(shù)，試比較eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))與eq\r(a)＋eq\r(b)的大?。鸢福航夥ㄒ唬?eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))－(eq\r(a)＋eq\r(b))＝(eq\f(a,\r(b))－eq\r(b))＋(eq\f(b,\r(a))－eq\r(a))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝eq\f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))＝eq\f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab)).∵a、b為正實數(shù)，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>0，eq\r(ab)>0，(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.∴eq\f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥0，當且僅當a＝b時，等號成立．∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，當且僅當a＝b時取等號．解法二：(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2＝eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)＋2eq\r(ab)，(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，∴(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2－(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)＋2eq\r(ab)－(a＋b＋2eq\r(ab))＝eq\f(a3＋b3－aba＋b,ab)＝eq\f(a＋ba2－ab＋b2－aba＋b,ab)＝eq\f(a＋ba－b2,ab).∵a、b為正實數(shù)，∴eq\f(a＋ba－b2,ab)≥0，∴(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2≥(eq\r(a)＋eq\r(b))2.又∵eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))>0，eq\r(a)＋eq\r(b)>0，∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，當且僅當a＝b時取等號22.設f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x>0且x≠1，試比較f(x)與g(x)的大?。鸢福篺(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2＝logx(3x)－logx4＝logxeq\f(3x,4).(1)當x>eq\f(4,3)時，logxeq\f(3x,4)>0，故f(x)>g(x)；(2)當x＝eq\f(4,3)時，logxeq\f(3x,4)＝0，故f(x)＝g(x)；(3)當1<x<eq\f(4,3)時，logxeq\f(3x,4)<0，所以f(x)<g(x)；(4)當0<x<1時，logxeq\f(3x,4)>0，所以f(x)>g(x)．綜上知：當x>eq\f(4,3)或0<x<1時，f(x)>g(x)；當1<x<eq\f(4,3)時，f(x)<g(x)；當x＝eq\f(4,3)時，f(x)＝g(x)．23.如果30＜x＜42,16＜y＜24.分別求x＋y、x－2y及eq\f(x,y)的取值范圍．答案：46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32；∴－18＜x－2y＜10；∵30<x<42，eq\f(1,24)＜eq\f(1,y)＜eq\f(1,16)，∴eq\f(30,24)＜eq\f(x,y)＜eq\f(42