湖南省醴陵市2024年高考數(shù)學(xué)必刷試卷含解析

湖南省醴陵市2024年高考數(shù)學(xué)必刷試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合人=卜|9—2x—3<0},集合3={x|x—120},則\(AcB)=().

A.(fl)[3,-H?)B.(fl][3,+oo)

c.(-8,l)U(3,+8)D.(1,3)

、a,a..b

2.已知函數(shù)/(x)=2tan3%)3>0)的圖象與直線y=2的相鄰交點(diǎn)間的距離為萬(wàn)，若定義max({a,A}=(，

[b,a<b

(JI3兀)

則函數(shù)/?(%)=max"(x),/(x)cosx}在區(qū)間1萬(wàn),5J內(nèi)的圖象是()

2r"V*7,^9

73宣，

31T

3.在ABC中，AB=3,AC=2,44c=60。，點(diǎn)。，E分別在線段AB,CD上，且應(yīng)>=2A。，CE=2ED,

JS!lBEAB=().

A.-3B.-6C.4D.9

4.已知數(shù)列{%}為等差數(shù)列，S“為其前〃項(xiàng)和，4+%-%=3,則邑=()

A.42B.21C.7D.3

5.已知集合M={刃一4(尤<2bN={,%2—左一6<0},則McN=

A.{%|-4<x<3}B.{%|-4<%<-2}C.{%|-2<%<2}D.{x|2<x<3)

6.已知空間兩不同直線機(jī)、〃，兩不同平面a,0,下列命題正確的是()

A.若ma且〃。，貝卜”nB.若且加_1_〃，則〃/3

C.若加_1_。且加/?,則D.若機(jī)不垂直于且“<=a,則M不垂直于“

7T

7.已知函數(shù)/(x)=Acos(2x+0)(">0)的圖像向右平移豆個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像關(guān)于V軸對(duì)稱，/(0)=1,當(dāng)

8

9取得最小值時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式為()

jr

A./(%)=A/2COS(2X+5)B./(x)=cos(2x+—)

7T

C./(x)=A/2COS(2X-^-)D./(x)=cos(2x---)

4

8.已知正方體ABCD-AgGA的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，則平面ACM截該正方體的內(nèi)切球所得截面面

積為()

71In4不

A.—B.—C?1D.----

333

X>1

9.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,x-y<0,則Z=/+y2的最大值等于()

x+2y-6<0

A.2B.2夜C.4D.8

10.學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)按照考生原始成績(jī)從高到低分為A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí).某班共有36名學(xué)生且全部選

考物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中，這兩科等級(jí)均為A的學(xué)生有5人，這兩科中

僅有一科等級(jí)為A的學(xué)生，其另外一科等級(jí)為3,則該班()

7級(jí)

ABCDE

科N

物理1016910

化學(xué)819720

A.物理化學(xué)等級(jí)都是3的學(xué)生至多有12人

B.物理化學(xué)等級(jí)都是5的學(xué)生至少有5人

C.這兩科只有一科等級(jí)為3且最高等級(jí)為3的學(xué)生至多有18人

D.這兩科只有一科等級(jí)為3且最高等級(jí)為B的學(xué)生至少有1人

11.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|（x+l）（x-2）<0},則集合A8的真子集的個(gè)數(shù)是（）

A.8B.7C.4D.3

12.下列命題是真命題的是（）

A.若平面戊，/，7,滿足/31丫,則萬(wàn)；

2一

B.命題/?：V%eR>1—x<1>則！P：3x0GR,1—xj<1；

C.“命題0Vq為真，，是“命題為真”的充分不必要條件；

D.命題“若（x—1）/+1=0,則％=0”的逆否命題為：“若xwO,則（x—

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.集合A={x|尤=2左一1,左eZ},fi={l,2,3,4},則B=.

14.函數(shù)y=log..5（x2-ax+5）在區(qū)間（田，1）上遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是一

5

15.已知實(shí)數(shù)對(duì)任意xeR,有（1-依丫=/+4工+生%2H-----Fa5x,且4%+%=0,貝！]

%+4]+-----〃5=?

16.（5分）已知函數(shù)/（x）=lg（9尤2+1）+/一1,則不等式川083防+）（嗎!）<2的解集為.

X

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2,0）,8（2,0）,且AABC滿足tanAtan3=l

（1）求點(diǎn)C的軌跡E的方程；

（2）過(guò)下（-應(yīng)，0）作直線MN交軌跡￡于M,N兩點(diǎn),若AM4B的面積是面積的2倍，求直線的方

程.

18.（12分）已知ABC的內(nèi)角A比C的對(duì)邊分別為“,4c,且滿足2cos3=生心.

C

（1）求角C的大??；

（2）若ABC的面積為士8,求ABC的周長(zhǎng)的最小值.

2

19.（12分）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是〃，b,c,且2a-c=26cosC.

⑴求",+修的值；

⑵若5=6,求c—。的取值范圍.

20.（12分）如圖，在三棱錐P—ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90，平面平面ABC,

D、E分別為AB、AC中點(diǎn).

（1）求證：AB±PE；

（2）求二面角A—?B—石的大小.

21.（12分）已知拋物線皿：丁2=2°式°〉0）上一點(diǎn)。&2）到焦點(diǎn)歹的距離為2,

（1）求/的值與拋物線W的方程；

（2）拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)4在點(diǎn)C右側(cè)，拋物線上第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)3,滿足Q4,9"求直線的斜率

范圍.

22.（10分）在某外國(guó)語(yǔ)學(xué)校舉行的印MCW（高中生數(shù)學(xué)建模大賽）中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為1:3,且成績(jī)

分布在[40』00],分?jǐn)?shù)在80以上（含80）的同學(xué)獲獎(jiǎng).按女生、男生用分層抽樣的方法抽取200人的成績(jī)作為樣本，得到

成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.

（I）求。的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值最（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（H）填寫(xiě)下面的2x2列聯(lián)表，并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”.

女生男生總計(jì)

獲獎(jiǎng)5

不獲獎(jiǎng)

總計(jì)200

附表及公式:

0.100.050.0250.0100.0050.001

氏02.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

甘多x2n(ad-bc)

其中K----------------,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

算出集合A、B及AB,再求補(bǔ)集即可.

【詳解】

由尤2一2%—3<0，得-l<x<3,所以A={x|-l<x<3},XB={x|x>l},

所以Ac5={x[l<x<3},故。(AcB)={x|x<l或xN3}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

JI

由題知/(x)=2tan3x)3>0),利用7=時(shí)求出口，再根據(jù)題給定義，化簡(jiǎn)求出/z(九)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)和

正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.

【詳解】

根據(jù)題意，f(x)=2tan(or)(。>0)的圖象與直線y=2的相鄰交點(diǎn)間的距離為8,

所以/(x)=2tan(s)3>0)的周期為萬(wàn)，則。=1=生=1,

T71

2sin

所以h（x）=max{2tanx,2sinx}=<

2tanx,xeL,^

由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解.

3、B

【解析】

根據(jù)題意，分析可得AD=1,由余弦定理求得。C的值，由

BE?A3=（3。+DE）-?A3+DE??A3可得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，AB=3,BD=2AD,則AD=1

在ADC中，又AC=2,44C=60。

則DC2=AEr+AC2-2AD-DCcosABAC=3

則DC=G

則CDLAB

則BEAB=(3￡>+Z)E)AB=Br>AB+Z)EAB=Br>AB=3x2xcosl80=-6

故選:B

【點(diǎn)睛】

此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡(jiǎn)單題目.

4、B

【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出％的值，然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出邑的值.

【詳解】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得。6+4-。5=。4+。5-%=3,

7（q+%）=2^=7*3=21.

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.

【詳解】

由題意得，M=^x\-4<x<2^,N={^|-2<%<3},貝！(

McN={H_2<x<2}.故選C.

【點(diǎn)睛】

不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

6、C

【解析】

因答案A中的直線加，〃可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線〃u￡也成立，故不正確；答案C中的直線加

可以平移到平面￡中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面0，分互相垂直，是正確的；答案D中直線機(jī)也有可

能垂直于直線〃，故不正確.應(yīng)選答案C.

7、A

【解析】

先求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合圖像的對(duì)稱性和/(O)=1得到A和。.

【詳解】

71+(p=Acos12%-7+夕)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以―

因?yàn)椤▁)=Acos2X--?+0=左〃?(左eZ),所以

71,

(p=—+k7v,。的最小值是?./(0)=Acos2=l,則人=&，所以/(x)=0cos2x+?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時(shí)需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.

8、A

【解析】

根據(jù)球的特點(diǎn)可知截面是一個(gè)圓，根據(jù)等體積法計(jì)算出球心到平面ACM的距離，由此求解出截面圓的半徑，從而截

面面積可求.

【詳解】

如圖所示：

設(shè)內(nèi)切球球心為。，。到平面ACM的距離為d,截面圓的半徑為廠,

因?yàn)閮?nèi)切球的半徑等于正方體棱長(zhǎng)的一半，所以球的半徑為1,

又因?yàn)?Mc=%-AOC，所以—QxdxSAZMl/KClUzQ、ZAll-Z0VC-，

又因?yàn)镾3c=；x2gx《卜石j—(e)2=V6,SMOC=1x2^xl=V2,

所以‘xdx?=2,所以d=1,

333

所以截面圓的半徑r="方=白，所以截面圓的面積為S==1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方體的內(nèi)切球的特點(diǎn)以及球的截面面積的計(jì)算，難度一般.任何一個(gè)平面去截球，得到的截面一定是圓面,

截面圓的半徑可通過(guò)球的半徑以及球心到截面的距離去計(jì)算.

9、D

【解析】

畫(huà)出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得z的最大值.

【詳解】

畫(huà)出可行域如下圖所示，其中A，,0,C（2,2）,由于|04|=F^|J=g,|oq=2jL所以|0C|>|Q4|,

所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為26.

所以z的最大值為（20了=8.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級(jí)為4,化學(xué)等級(jí)為3的學(xué)生人數(shù)以及物理等級(jí)為3,化學(xué)等級(jí)為A的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表

格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】

根據(jù)題意可知，36名學(xué)生減去5名全4和一科為A另一科為3的學(xué)生10-5+8-5=8人（其中物理4化學(xué)3的有5

人，物理3化學(xué)4的有3人），

表格變?yōu)椋?/p>

ABCDE

物理10—5—5=016-3=13910

化學(xué)8—5—3=019-5=14720

對(duì)于A選項(xiàng)，物理化學(xué)等級(jí)都是5的學(xué)生至多有13人，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)物理C和。，化學(xué)都是3時(shí)，或化學(xué)C和。，物理都是3時(shí)，物理、化學(xué)都是3的人數(shù)最少，至少

為13—7—2=4（人），B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，在表格中，除去物理化學(xué)都是3的學(xué)生，剩下的都是一科為3且最高等級(jí)為B的學(xué)生，

因?yàn)槎际?的學(xué)生最少4人，所以一科為B且最高等級(jí)為3的學(xué)生最多為13+9+1—4=19（人），

C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，物理化學(xué)都是3的最多13人，所以兩科只有一科等級(jí)為3且最高等級(jí)為3的學(xué)生最少14-13=1（人）,

D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.

11、D

【解析】

轉(zhuǎn)化條件得A3={0,1},利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為2'-1個(gè)即可得解.

【詳解】

由題意得3={耳（1+1）（工一2）<0}={川一1<]<2},

A3={0,1},.?.集合A5的真子集的個(gè)數(shù)為22—1=3個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，考查了集合真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

根據(jù)面面關(guān)系判斷A；根據(jù)否定的定義判斷B；根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷G根據(jù)逆否命題的定義判斷D.

【詳解】

若平面夕，/,滿足J3±y,則%分可能相交，故A錯(cuò)誤；

命題“。：VxeH,1—f<1”的否定為力：3x0e7?,1—x；〉l,故B錯(cuò)誤；

pyq為真,說(shuō)明至少一個(gè)為真命題，則不能推出。人“為真；PM為真,說(shuō)明PM都為真命題，則。丫“為真，

所以“命題0Vq為真，，是“命題PA"為真，，的必要不充分條件，故C錯(cuò)誤；

命題“若（X—1）/+1=0,則x=0”的逆否命題為：“若"0’則（X—1）/+1，0”，故D正確；

故選D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了判斷必要不充分條件，寫(xiě)出命題的逆否命題等，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、{1,3}

【解析】

分析出集合A為奇數(shù)構(gòu)成的集合，即可求得交集.

【詳解】

因?yàn)?左—1,左eZ表示為奇數(shù)，故A5={1,3}.

故答案為：{1,3}

【點(diǎn)睛】

此題考查求集合的交集，根據(jù)已知集合求解，屬于簡(jiǎn)單題.

14、ae[2,6]

【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組，解不等式求得。的取值范圍.

【詳解】

fc>l

由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得2

12-?1+5>0

解得ae[2,6].

故答案為：?e[2,6]

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.

15、-1

【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求法得4c(-4+仁(-02=0,又所以a=2,令x=l得：

(l-2xl)5=4+4+電+4+44+。5，所以%+q+%+。3+。4+%=T，得解.

【詳解】

525

由(1-ax)=a0+a}x+a2x+...+a5x,且4%+a2-0,

則4c(一力+屐(-°)2=0,

又〃w0,

所以a=2,

令x=l得：

(1—2X1)5=%+%+%+Q3+Q4+%，

月f以%+q+a?+/+4+05=—]9

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

16、耳,3]

【解析】

易知函數(shù)7'⑴的定義域?yàn)镽,K/(-%)=lg[9(-%)2+1]+(-x)2-1=/(x),則/(尤)是R上的偶函數(shù).由于"=9x?+l在

[0,+8)上單調(diào)遞增，而y=1g”在“e[1,+s)上也單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知y=lg(9f+1)在[0,+s)上單調(diào)遞增，

又y=X?-1在[0,+<?)上單調(diào)遞增，故知/(x)=lg(9x2+1)+尤?-1在[0,+oo)上單調(diào)遞增.令"logx,知log-=-t,

33X

2

則不等式/(log3x)+/(log.l)<2可化為/(/)+/(-/)42,即2/(/)42,可得了⑺41,又/(I)=lg10+l-1=1,/(%)是

X

偶函數(shù)，可得用用4/⑴，由/(元)在[0,+8)上單調(diào)遞增，可得|03工區(qū)1,貝！|-141臉》41,解得;故不

等式f(log3x)+/(log3-)<2的解集為[-,3].

x3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)》^1=1(尸0).(2)M2V的方程為尤=土浮y-夜.

【解析】

(1)令C(x,y),則已.二不=一1,由此能求出點(diǎn)C的軌跡方程.

(2)令"(%,％),^^(%2，%)，令直線MN:x=〃iy-應(yīng),聯(lián)立，

得(切2+2)V-2應(yīng)沖-2=0,由此利用根的判別式，韋達(dá)定理，三角形面積公式，結(jié)合已知條件能求出直線的方

程。

【詳解】

解：（1）因?yàn)閠anAtan3=；,即直線AC,BC的斜率分別為如履且人?自=一，

22

設(shè)點(diǎn)C(x,y),則」——一,

x-2x+22

22

整理得?+U=l(ywO).

⑵令'(%,%)，易知直線MN不與x軸重合,

22

令直線MN:x=my-0,與亍+、=1聯(lián)立得（加+2)y2—2垃my—2=0,

所以有△〉°'%+%=涕'x%=品'

1

由SAMAB=25AAiAB，故血=2昆|，即％=—2%,

從而=A+A+2=_1,

%為m+2%%2

解得"，=2,即加=土且。

77

所以直線MN的方程為了=土理了-0。

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程、直線方程的求法，考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化

思想，是中檔題。

18、(1)C=—(2)3A/6

【解析】

(1)因?yàn)?cos5二2--,所以6+2ccos3=2a,

c

^22_/2

由余弦定理得b+2c-a+：-"=2a,化簡(jiǎn)得a2+b2-c2=ab，

2ac

—r4H片+〃—/15出萬(wàn)1

可得-----------=—,解得cosC=一,

lab22

JT

又因?yàn)镃e（0,乃），所以C=§.（6分）

（2）因?yàn)?AA=：“6sinC==,所以就=6,

則°疝=2灰（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）.

由（1）c2=a2+b2-ab>2ab-ab=ab=6（當(dāng)且僅當(dāng)〃=力=時(shí)，取等號(hào)），解得cNn.

所以〃+Z?+cN3#(當(dāng)且僅當(dāng)〃=0=c=?時(shí)，取等號(hào)),

所以ABC的周長(zhǎng)的最小值為3指.

19、⑴亭(2乂一6,⑹

【解析】

(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得cos5,進(jìn)而求得3和A+C,代入求得結(jié)果；

(2)利用正弦定理可將。表示為2sinC-2sinA,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為2sin〔C-g

根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合C的范圍可求得結(jié)果.

【詳解】

(1)由正弦定理可得：2sinA—sinC=2sin5cosC

A+B+C=7i/.sinA=sin(B+C)

/.2sin（B+C）—sinC=2sinBcosC+2cosBsinC—sinC=2sinBcosC

即2cosBsinC=sinC

Ce（0,^-）/.sinC^OcosB=—

2

:.B=三A+C=—

3

.（A+C八.2兀C

sin--------卜3=sin——二——

I2）32

a_c_b_v3_

（2）由（1）知：sinB=sin—=sinAsinCsinB6

32

.?.c=2sinC,a=2sinA

c—<2=2sinC—2sinA=2sinC—2sin（B+C）=2sinC—2sinBcosC—2cosBsinC

=2sinC-^/3cosC-sinC=sinC一百cosC=2sinC--

萬(wàn)171n[nn

333I33

2sin[c—gj4―"@,即c—a的取值范圍為卜括,石)

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形知識(shí)的相關(guān)應(yīng)用，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角

函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問(wèn)題；求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題,

進(jìn)而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.

20、(1)證明見(jiàn)解析；(2)60°.

【解析】

試題分析：

(1)連結(jié)P。，由題意可得產(chǎn)。，4瓦皮>，筋,則43，平面尸。及AB±PE;

(2)法一：結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角，計(jì)算可得其正切值為⑺，故二面角的A-PB-石大小為60。；

法二：以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面ME的法向量4=(3,2,6).平面的法向量為

%=(0,1,0).據(jù)此計(jì)算可得二面角的A—PB—石大小為60。.

試題解析：

(1)連結(jié)尸。，PA=PB,PDAB.DE//BC,BCAB,DEAB.

又PDcDE=D,AB平面PDE,-：PEu平面PDE,

：.ABPE.

(2)法一：

PAB平面ABC,平面如5''平面A3C=AB,PDAB,PD平面ABC.

則OEPD,又EDAB,PD\平面A5=Z>,DE平面

過(guò)。做。尸垂直P(pán)B與尸，連接EE則E尸PB,為所求二面角的平面角，

3nDE

則：DE=~,DF=。,則柩九/。巫=—=，/—3,故二面角的A——石大小為60°

22DF

法二：

■PAB平面ABC,平面''平面A3C=AB,PDAB,PD平面ABC.

如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

L3

B(l,0,0),P(0,0,、3)，E(0,0),

PB=(1>0，—y/3)>PE=(Q，~>—■\/3)?

設(shè)平面PBE的法向量7a=(x,y,z),

x-百z=0,

3I-令z=6，得々=(3,2,6).

5y一

■JDE1平面PAB,平面PAB的法向量為n,=(0,1,0).

..................,n,町1

設(shè)二面角的A—下火一石大小為〃，由圖知，cosO—cosf,H2y=I.?7T=—

2

所以e=60°,即二面角的A——石大小為60°.

21、(1)1；V=4x(2)左的e(—oo,^-)u(0,+oo)

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)C?,2)到焦點(diǎn)產(chǎn)的距離為2,利用拋物線的定義得/+5=2,再根據(jù)點(diǎn)在拋物線上有2pf=4,列方程

組求解,

22

ah16b

⑵設(shè)A(—,〃)(〃>2),_8(—,/?)(/?<0),根據(jù)左0A?女尸5=-1n。=,再由。>2,匕<0,求得

444-b2

-4-2