高考數(shù)學復習 立體幾何中的向量方法

專題8.7立體幾何中的向量方法

1.理解直線的方向向量與平面的法向量.

2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系.

新課程考試要求

3.能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）.

4.會用向量方法求解兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的問題.

核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象等.

（1）以幾何體為載體，綜合考查平行或垂直關系證明，以及角與距離的計算.

（2）利用幾何法證明平行、垂直關系，利用空間向量方法求角或距離.

（3）利用空間向量證明平行或垂直是高考的熱點，內容以解答題中的一問為主，主要

圍繞考查空間直角坐標系的建立、空間向量的坐標運算能力和分析解決問題的能力命制

試題，以多面體為載體、證明線面（面面）的平行（垂直）關系是主要命題方向.空間的角

考向預測

與距離的計算（特別是角的計算）是高考熱點，一般以大題的條件或一小間形式呈現(xiàn)，

考查用向量方法解決立體兒何問題，將空間幾何元素之間的位置關系轉化為數(shù)量關系，

并通過計算解決立體幾何問題.距離問題往往在與有關面積、體積的計算中加以考查.此

類問題往往屬于“證算并重”題，即第一問用幾何法證明平行關系或垂直關系，第二問

則通過建立空間直角坐標系，利用空間向量方法進一步求角或距離.

【知識清單】

知識點1.利用空間向量證明平行問題

1.直線的方向向量與平面的法向量的確定

①直線的方向向量：，是空間一直線，A,8是直線，上任意兩點，則稱葩為直線，的方向向量，與誦平行

的任意非零向量也是直線/的方向向量.

②平面的法向量可利用方程組求出：設a,6是平面。內兩不共線向量，〃為平面。的法向量，則求法向

n?c?=0,

量的方程組為‘八

〃?6=0.

2.用向量證明空間中的平行關系

①設直線4和A的方向向量分別為火和v2,則乙〃人（或乙與A重合）=%〃心

②設直線/的方向向量為％與平面。共面的兩個不共線向量外和心則/〃。或/u存在兩個實數(shù)X,

y,使v—xvi+yvz.

③設直線1的方向向量為V,平面a的法向量為u,則1//a或/ua=

④設平面。和￡的法向量分別為u”u2,則a〃￡=u,〃①.

知識點2.利用空間向量證明垂直問題

1.用向量證明空間中的垂直關系

①設直線上和的方向向量分別為匕和V2,則!<<=>Vt-V2=0.

②設直線/的方向向量為片平面a的法向量為u,則7±a=

③設平面。和￡的法向量分別為s和5,則a±?如=0.

2.共線與垂直的坐標表示

設a=(a”a2,a),b=(b”bi,&),則a〃/x=?a=幺Zx=>ai=乂b,a2=bi,ai=A&(4GR),

a上b^a,b=Q<^a\b\-\-a-ibi-Vasbi=Q^a,6均為非零向量).

知識點3.異面直線所成的角

1.兩條異面直線所成的角

①定義：設。，匕是兩條異面直線，過空間任一點。作直線a'//a,b'//b,則加與從所夾的銳角或直

角叫做。與b所成的角.

②范圍：兩異面直線所成角e的取值范圍是(0,幺］.

2

/7?h

③向量求法：設直線a,6的方向向量為Q,從其夾角為夕，則有cos6=|cos9|=|———|.

1。1?網(wǎng)

知識點4.直線與平面所成角

1.直線和平面所成角的求法：如圖所示，設直線/的方向向量為e,平面a的法向量為w,直線/與平面a

所成的角為夕，兩向量e與"的夾角為仇則有sin0=|cos4=春4

知識點5.二面角

1.求二面角的大小

(1)如圖1,AB.CD是二面角a—/一夕的兩個面內與棱/垂直的直線，則二面角的大小。=(AB,CD).

(2)如圖2、3,%,%分別是二面角a-/一￡的兩個半平面a,4的法向量，則二面角的大小9=<勺,%>(或

7r-<n],n2>).

知識點6.利用向量求空間距離

1.空間向量的坐標表示及運算

(1)數(shù)量積的坐標運算

設。2，。3)，b=(h\tZ?2，〃3)，

則①吊功=3土方i，a2m2,a3m3);

②2。=(2。],2a2，2a3);

@a'b=a]b]+s歷+〃383.

(2)共線與垂直的坐標表示

設。=(。1，。2，的)，b=(b、,岳，生)，

則?！?0標=勸04]=〃?1，。2=勸2，〃3=2b3(2￡R),

〃，/>0。2=000歷+。2岳+。3必=0(〃'b均為非零向量).

(3)模、夾角和距離公式

設a=3i，。2,。3),b=(bI,b?,Z?3)>

則⑷=y[a*a=\/屆+星+=，

。1加+〃2歷+。363

COS〈。，b)

⑷網(wǎng)#吊+/+而々屏+、+員

設bi,a),Bg，岳，6),

222

則ZB=|AB|=7(?2-?,)+(^-^)+(C2-C,).

2.點面距的求法

如圖，設AB為平面a的一條斜線段，〃為平面a的法向量，則B到平面a的距離4=嚕臼

【考點分類剖析】

考點一：利用空間向量證明平行問題

【典例1】(湖北高考真題)如圖，在棱長為2的正方體43。一A百G"中，E,￡M,N分別是棱

AB,AD,A綜AA的中點，點P,Q分別在棱DD,,8^上移動，且。P=BQ=4(0<2<2).

(1)當;1=1時，證明：直線BG〃平面EFPQ.

【答案】直線BG〃平面EFPQ.

【解析】以。為原點，射線04,DC,分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標系。-型，

由已知得8(2,2,0),G(0,2,2),F(l,0,0),P(0,0,4),

所以BCt=(-2,0,2),FP=(-1,0,2),FE=(1,1,0),

(1)證明：當/l=l時，麗=(一1,0,1),因為屬=(一2,0,2),

所以屬=2而，即BCJ/FP,

而"u平面EFPQ,且BQZ平面EFPQ,

故直線BG〃平面EFPQ.

【規(guī)律方法】

利用空間向量證明平行的方法

線線平行證明兩直線的方向向量共線

①證明該直線的方向向量與平面的某一法

向量垂直；

線面平行

②證明直線的方向向量與平面內某直線的

方向向量平行

①證明兩平面的法向量為共線向量；

面面平行

②轉化為線面平行、線線平行問題

【變式探究】

（選自天津高考真題）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA，底面ABC,NB4C=90°.點D,E,N分別為棱PA,

PC,BC的中點，M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.

（I）求證：MN〃平面BDE；

【答案】（I）證明見解析

【解析】如圖，以A為原點，分別以A8,4C,AP方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.

依題意可得

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N

(1,2,0).

(I)證明：DE=(0,2,0),DB=(20,-2).設〃=(x,y,z),為平面BDE的法向量，

n-DE=0[2v=0

則4，即'.不妨設z=l,可得"=(1,0,1).又MN-(1,2,-1),可得MM"=0.

n-DB=Q[2x-2z=0

因為MV(z平面BDE,所以MN〃平面BDE.

【總結提升】

證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平

面內的不共線的兩個向量共面，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉化為了數(shù)量的計

算問題.

考點二：利用空間向量證明垂直問題

【典例2】(2021?浙江高二期末)已知正方體ABCD-ABGA,E是棱BC的中點，則在棱CQ上存在點尸，

使得()

A.AF//DtEB.AF1D.E

C.A/〃平面CQED.AF_L平面CQE

【答案】B

【解析】

建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1,寫出點的坐標，用向量法確定線線平行與垂直，由向

量與平行法向量的平行與垂直確定線面的平行與垂直.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1,則A(l，0,0)，R(0,0,1)，嗎,1,0),設尸(0,1m)((04241),

則￡)￡=(《,1,一1),AF=(-l,l,z),

1

因為2.1，所以不可能平行，即AF,RE不可能平行，

-1T

1|

￡=--+l-z=O,z=-,囚此八A〃￡可以亞H，l!|JAF匕，￡K能垂：直.

G(0,1,1),RG=(0,1,0),

設平面GRE的一個法向量為"=(x,y,z),

n?D[C]=y=0

則[1,取x=2,則〃=(2,0,1),

n-DtE=—x+y-z=0

AF與〃不可能平行，因此AF與平面G〃E不可能垂直，

AF-n=-2+ze[-2,-l],因此A尸與〃不可能垂直，因此AF與平面GRE不可能平行,

故選：B.

【規(guī)律方法】

用空間向量證明垂直問題的方法

線線垂證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它

直問題們的數(shù)量積為零

線面垂直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用

直問題線面垂直的判定定理轉化為證明線線垂直

面面垂兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判

直問題定定理轉化為證明線面垂直

【變式探究】

在邊長是2的正方體ABCD-AAGR中，E,F分別為

AB,A,C的中點.應用空間向量方法求解下列問題.

⑴求EF的長

(2)證明：石尸〃平面

⑶證明：防，平面AC。.

【答案】(1)72.(2)見解析；(3)見解析.

【解析】

(1)如圖建立空間直角坐標系

z

A=(2,0,2),A=(2,0,0),8=(2,2,0),。=(0,2,0),。=(0,0,2)

E=(2,l,0),F=(1,1,1)

EF=(-1,0,1),\EF\=424分

(2)ADt=(—2,0,2)AD,\EF

而EF<Z面ADD|A]

...EF//平面A4QQ8分

(3)EFCD=0,EFA|D=0.\EF±CD,EFlAjD

又CDcAQ=D

.?.￡F_L平面4co.

【總結提升】

1.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉

化為直線與直線垂直證明.

2.要證明兩線垂直，需轉化為兩線對應的向量垂直，進一步轉化為證明兩向量的數(shù)量積為零，這是證明兩

線垂直的基本方法，線線垂直是證明線面垂直，面面垂直的基礎.

3.證明線面垂直，可利用判定定理.如本題解法.

4.用向量證明兩個平面垂直，關鍵是求出兩個平面的法向量，把證明面面垂直轉化為法向量垂直.

考點三：異面直線所成的角

【典例3】(2021?天津高二期末)如圖，在棱長為1的正方體A8CO-AIBIGOI中，E,尸分別為。Di,BD

的中點，點G在。上，且CG'CD

（1）求證：EF_LBiC；

（2）求EF與CiG所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵

17

【解析】

如圖建立空間直角坐標系，（1）利用空間向量證明，（2）利用空間向量求解

【詳解】

以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.

則E(0,0$),1,0),C(0,1,0),,8,(1,1,1),C,(0,1,1),G(0,1,0),

(1)V￡F=(p^,-^),4c=(—1,0,—1),

UlllUUU

VEF?B￡=0:.EF上B。,

UUU-I

（2）由（1）知。0=（0,一7一1），

uuir+（-匹姮

/.|C,G|=j02

Ul?

\EF\=

uiuuuu*iii|3

EF.C1G=-xO+-x(--)+(--)x(-l)=-)

設EF與GG所成角為0,則

3

EF-C\G回

cosd=8

|EF||C,G|~

24

故EF馬CiG所成角的余弦值為叵

【特別提醒】

提醒：兩異面直線所成角0的范圍是（0,y,兩向量的夾角。的范圍是［0,〃，當兩異面直線的方向向

量的夾角為銳角或直角時，就是這兩條異面直線所成的角；當兩異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其

補角才是兩異面直線所成的角.

【變式探究】

（2021?江蘇省蘇州第十中學校高一月考）由兩塊直角三角形拼成如圖所示的空間立體圖形，其中

^ADC=/4CB=90,DC=3,AC=BC=5,當。8=取時，此時A&G。四點外接球的體積為

異面直線AB,CD所成角的余弦為.

【解析】

求得NADB=90°，取AB的中點。，由O￡>=OC=。4=O3得點。是四面體MCZ）外接球的球心，外接球半

徑R=]AB,進而可得外接球的體積；證得BCL平面ACQ,建系如圖，由空間向量的夾角公式可得結果.

【詳解】

依題意可知A￡>=4,AB=5近,當08=后時，AD2+DB2=AB2-則/4￡>3=90"，取AB的中點。，則

OD=OA=OB-,又NAQ?=90，則OC=OA=O8,所以OD=OC=OA=O8,即點。是四面體ABC。外接

球的球心，外接球半徑R=1AB=逑，故外接球的體積丫=3萬R3=±%X125夜

2233

依題意DC=3,BC=5,當OB=衣時，DC2+BC2=DB2.則8C_LO),又8CJ_AC,且C￡H4C=C,

所以BC_L平面ACD.以點C為原點，C4,C8為x軸，y軸建立空間直角坐標系如圖.

過點。作0HLAC于點”，由A￡)x￡)C=ACxHD得HD：/,則07=卜-(同=|,所以

又C(0,0,0),71(5,0,0),3(0,5,0),則A3=(—5,5,0),CD=^,0,yj.

I/?\AB-Cd|-9|3應

設異面直線AB,8所成的角為。，則cos，=kos(AB,CQ=一=笠.

|AB|.|CD|50X310

故答案為：①經(jīng)述;T；②述.

【總結提升】

向量法求兩異面直線所成角的步驟

(1)選好基底或建立空間直角坐標系;

(2)求出兩直線的方向向量Ki,外;

(3)代入公式|COS<Fi,V。I=JJ,求解.

IKi|\V2\

考點四：直線與平面所成角

【典例4】(2021?浙江高考真題)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是平行四邊形，

ZABC=]20°,AB=},BC=4,PA=y/]5,M,N分別為BC,尸C的中點，PDLDC,PM1MD.

p

(1)證明：

(2)求直線AN與平面POW所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)巫.

6

【解析】

(1)要證可證DCJ-PM,由題意可得，PDVDC,易證ZWJ_Z)C,從而。。_1_平面口!做，

即有￡>C_LPM,從而得證：

(2)取中點E,根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點”為坐標原點，建立空間直角坐標

系，再分別求出向量AN和平面燈陽的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出.

【詳解】

(1)在△DCM中，DC=l,CM=2,ZDCM=60,由余弦定理可得。仞=出，

所以DW'+ZX^=。〃2,...DMJ_￡)C.由題意DC_LPD且PE)cOW=r),r.OCJ■平面PDW,而PMu平

面PDW,所以DCJ_PM,又他〃DC,所以ABJ_PM.

(2)由PM_LM￡),鉆J_PM,而AB與O"相交，所以PM_L平面ABCD，因為AW=不，所以PM=20，

取AO中點E,連接ME,則ME,DM,PM兩兩垂直，以點A7為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系,

則A(-V3,2,0),P(0,0,2夜),D電,0,0).M(0,0,0),C(6,-1,0)

乂N為尸C中點，所以夜=.

由(I)得CD,平面PQM,所以平面PDM的一個法向量〃=(0,1,0)

5

一.c\AN-n\2

從而直線AN與平面PDM所成角的正弦值為sin0==//

I曲㈤但+至+2

V44

【規(guī)律方法】

利用向量法求線面角的方法

（1）分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）；

（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（鈍角時取其補角），取其余角

就是斜線和平面所成的角.

【變式探究】

（2020?北京高考真題）如圖，在正方體ABC。-AfCQi中，￡為8用的中點.

（I）求證：8C1//平面A"￡；

（II）求直線與平面AQE所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析；（II）

【解析】

（1）如下圖所示:

在正方體ABCD-44GA中，AB//A.B,且AB=AyB},ABJ/CR且=CR,

:.AB//CR且AB=@口,所以，四邊形A8GA為平行四邊形，則

8a仁平面4?！?4。＜=平面4?！?；.3?！捌矫?。山；

（H）以點A為坐標原點，AD.A3、A4所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐

標系A一町z,

設正方體ABCD—A4Gq的棱長為2,則A（0,0,0）、A（0,0,2）、D,（2,0,2）,￡（0,2,1）,

AD}=（2,0,2）,AE=（O,2,l）,

n-AD.=02x+2z=0

設平面的法向量為“=（x,y,z）,由',得

n-AE=Q2y+z=0

令z=—2,則尤=2,y=l,則“=（2,1,—2）.

..n-A4,42

cos<n,AA>=,；~~；~~；----r

H-hl3^23,

2

因此，直線A4與平面A"E所成角的正弦值為

考點五：二面角

【典例5】(江蘇省揚州市2020-2021學年高二下學期期中調研數(shù)學試題)已知在四棱錐尸-ABCD中，PD±

平面ABCD,AD±DC,AB//DC,DC=2AB,。為PC的中點.

(1)求證;8Q//平面

(2)若PD=1,BC=a,BCLBD,求銳二面角。-3O-C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)亞.

3

【解析】

(1)取尸。的中點為G,分別連接AG,QG,證明5Q//AG后可得線面平行：

(2)以分別為z軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，用空間向量法求二面角.

【詳解】

(1)證明：取尸。的中點為G,分別連接AG,QG

乂因為。為PC的中點，所以GQ//OC,且GQ=gf>C

乂因為AB〃OC,OC=2A8,所以GQ//AB,GQ=A8,

所以四邊形A8QG是平行四邊形，所以8Q//AG

乂平面PARAGu平面PAO,所以BQ〃平面PA。

(2)解：由題意QADCDP三條直線兩兩相互垂直.

以。ADC,。尸分別為z軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖,

因為在四邊形ABC。中，AB//DC,AD1.DC,DC=2AB,

所以點B在線段CD的垂直平分線上.又因為BC=應,BC工BD,

所以BO=BC=&,C￡>=2

所以有點0(0,0,0),8(1,1,0),C(0,2,0),Q(。，,)，

所以￡>Q=((M,；),BQ=(T,0,￡j

設平面的一個法向量機=(x,y,z),

in.DQ=0xx+lxy+—xz=0

則｛2]令z=2,得加=(1,一1,2)

in-BQ=-\xx+0xy+-xz=0

易知平面BCD的一個法向量為DP=(0,0,1),

因為\m|=Vl+1+4=y/6,\DP\=\,mDP=2,

m-DP_2>/6

所以cos<m,DP>=

\m\-\DP\~7/6~^

所以銳二面角Q-BD-C的余弦值為逅.

3

【規(guī)律方法】

利用向量法計算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到

二面角的大小.但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小.

(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則

這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

【變式探究】

(2019年高考全國IH卷理)圖1是由矩形/龐氏和菱形版K組成的一個平面圖形，其中/廬1,

BE=BR2,ZFBe60：將其沿45,比'折起使得德與跖重合，連結a；，如圖2.

(1)證明：圖2中的4,C,G,。四點共面，且平面平面比1陽

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

【答案】⑴見解析;(2)30.

【解析】(1)由已知得加〃龍，CG//BE,所以4VCG,故/〃，C6確定一個平面，從而4C,G,〃四點

共面.

由已知得｛反1?跳；ABLBC,故平面比

又因為4?u平面4?。，所以平面4%」平面aZX.

(2)作EH工BC,垂足為//.因為￡7/u平面比窈，平面以選'_L平面/8G所以夕/_L平面18c.

由已知，菱形8砒的邊長為2,/EBO60',可求得用*1,E+B

以偽坐標原點，”。的方向為南的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系〃-xyz,

則［(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,G),CG=(1,0,6)，AC=(2,-1,0).

設平面/fCG/用法向量為爐(x,y,z),則

CGn=0,x+x/3z=0,

<即j

ACn=0,[2x-y=0.

所以可取ZF(3,6,-石).

乂'I'?血向7；/：泊；法向Q：：」取為皿0.1.0；-'?cos(/i,tn)=--——=——

|n||/n|2

因此二面角6-CC-4的大小為30°.

考點六：利用向量求空間距離

【典例6X2021?北京高二期末)如圖，在長方體AB。-48cA中，底面AB。是邊長為1的正方形，刈=2,

E,F分別為CG，AA的中點.

(1)求證：DF”平面BDE;

(2)求直線RE與平面所成角的正弦值:

(3)求直線。/與平面BOE之間的距離.

【答案】(I)證明見解析；(2)四；(3)組.

33

【解析】

(1)推導出RF//BE,由此能證明。尸〃平面80E；

(2)以。為原點，為x軸，0c為，軸，為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線RE

與平面3DE1所成角的正弦值.

(3)山。尸//平面BOE,=(0,0,2),平面的法向量加=(1,一1,D,利用向量法能求出直線。尸

與平面之間的距離.

【詳解】

解：(1)取的中點G,連接FG，GG.

因為Ag〃CQ,且A/|=CQ；WFG,^^=FG,

所以FG//CQ,且FG=CQ.

所以四邊形GQFG為平行四邊形.

所以DF//C。.

在矩形BCC4中，因為E,G分別為CG，BB1的中點，

所以BE//CQ.所以'F//BE.

又RFU平面BDE,

所以RF//平面B￡)E.

(2)如圖建立空間宜角坐標系。t*.

則0(0,0,0),8(1,1,0