2023-2024學年湖南省市衡陽第八中學高一數學第二學期期末考試模擬試題含解析

2023-2024學年湖南省市衡陽第八中學高一數學第二學期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知點是拋物線：的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．在區(qū)間上隨機取一個數，使得的概率為（）A． B． C． D．3．如圖，在正四棱錐中，，側面積為，則它的體積為（）A．4 B．8 C． D．4．同時拋擲三枚硬幣，則拋擲一次時出現兩枚正面一枚反面的概率為（）A． B． C． D．5．一條光線從點射出，經軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或 B．或 C．或 D．或6．高一某班男生36人，女生24人，現用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，若抽出的女生為12人，則的值為（）A．18 B．20 C．30 D．367．已知函數圖象的一條對稱軸是，則的值為（）A．5 B． C．3 D．8．在中，角的對邊分別是，若，則角的大小為（）A．或 B．或 C． D．9．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么互斥而不對立的事件是（）A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．恰有一個紅球與恰有二個紅球D．至少有一個紅球與至少有一個白球10．已知，那么（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等差數列的前項和為，，，等比數列滿足，.（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前15項和.12．魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經榫卯起來，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長為，現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為__________．（容器壁的厚度忽略不計）13．從原點向直線作垂線，垂足為點，則的方程為_______.14．在平面直角坐標系中，角的頂點在原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點，則______15．某班委會由4名男生與3名女生組成，現從中選出2人擔任正副班長，其中至少有1名女生當選的概率是______16．___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈(0，).求：(1)cos(α－β)的值；(2)β的值.18．在中，已知，是邊上的一點，,,.（1）求的大小；（2）求的長.19．已知函數f(x)=3sin(2x+π3)-4cos（1）求函數g(x)的解析式；（2）求函數g(x)在[π20．已知，，且（1）求的定義域.（2）判斷的奇偶性，并說明理由.21．在中，內角所對的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由題意，得，設過的拋物線的切線方程為，聯立，，令，解得，即，不妨設，由雙曲線的定義得，，則該雙曲線的離心率為.故選C.2、A【解析】則，故概率為.3、A【解析】

連交于，連，根據正四棱錐的定義可得平面，取中點，連，則由側面積和底面邊長，求出側面等腰三角形的高，在中，求出，即可求解.【詳解】連交于，連，取中點，連因為正四棱錐，則平面，，側面積，在中，，.故選:A.【點睛】本題考查正四棱錐結構特征、體積和表面積，屬于基礎題.4、B【解析】

根據二項分布的概率公式求解.【詳解】每枚硬幣正面向上的概率都等于，故恰好有兩枚正面向上的概率為：.故選B.【點睛】本題考查二項分布.本題也可根據古典概型概率計算公式求解.5、C【解析】

由題意可知：點在反射光線上．設反射光線所在的直線方程為：，利用直線與圓的相切的性質即可得出．【詳解】由題意可知：點在反射光線上．設反射光線所在的直線方程為：，即．由相切的性質可得：，化為：，解得或．故選．【點睛】本題考查了直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式、光線反射的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6、C【解析】

根據分層抽樣等比例抽樣的特點，進行計算即可.【詳解】根據題意，可得，解得.故選：C.【點睛】本題考查分層抽樣的等比例抽取的性質，屬基礎題.7、D【解析】

化簡函數f（x）＝acosx+sinx為一個角的一個三角函數的形式，利用圖象關于直線對稱，就是時，函數取得最值，求出a即可．【詳解】函數f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，其圖象關于直線對稱，所以θ，θ，所以tanθ＝a，故答案為D【點睛】本題考查正弦函數的對稱性，考查計算能力，邏輯思維能力，是基礎題．8、B【解析】

通過給定條件直接利用正弦定理分析，注意討論多解的情況.【詳解】由正弦定理可得：，，∵，∴為銳角或鈍角，∴或．故選B．【點睛】本題考查解三角形中正弦定理的應用，難度較易.出現多解時常借助“大邊對大角，小邊對小角”來進行取舍.9、C【解析】

從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，不同的取球情況共有以下幾種：3個球全是紅球；2個紅球和1個白球；1個紅球2個白球；3個全是白球.選項A中，事件“都是紅球”是事件“至少有一個紅球”的子事件；選項B中，事件“至少有一個紅球”與事件“都是白球”是對立事件；選項D中，事件“至少有一個紅球”與事件“至少有一個白球”的事件為“2個紅球1個白球”與“1個紅球2個白球”；選項C中，事件“恰有一個紅球”與事件“恰有2個紅球”互斥不對立，故選C.10、A【解析】依題意有，故二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1），；（2）125.【解析】

（1）直接利用等差數列，等比數列的公式得到答案.（2），前5項為正，后面為負，再計算數列的前15項和.【詳解】解：（1）聯立，解得，，故，，聯立，解得，故.（2）.【點睛】本題考查了等差數列，等比數列，絕對值和，判斷數列的正負分界處是解題的關鍵.12、【解析】表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設其半徑為R,，所以該球形容器的表面積的最小值為．【點睛】將表面積最小的球形容器，看成其中兩個正四棱柱的外接球，求其半徑，進而求體積．13、.【解析】

先求得直線的斜率,由直線垂直時的斜率關系可求得直線的斜率.再根據點斜式即可求得直線的方程.【詳解】從原點向直線作垂線,垂足為點則直線的斜率由兩條垂直直線的斜率關系可知根據點斜式可得直線的方程為化簡得故答案為:【點睛】本題考查了直線垂直時的斜率關系,點斜式方程的應用,屬于基礎題.14、-1【解析】

根據三角函數的定義求得，再代入的展開式進行求值.【詳解】角終邊過點，終邊在第三象限，根據三角函數的定義知：，【點睛】考查三角函數的定義及三角恒等變換，在變換過程中要注意符號的正負.15、【解析】試題分析：∵從7人中選2人共有C72=21種選法，從4個男生中選2人共有C42=6種選法∴沒有女生的概率是=，∴至少有1名女生當選的概率1-=．考點：本題主要考查古典概型及其概率計算公式．點評：在使用古典概型的概率公式時，應該注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數．16、【解析】

先將寫成的形式，再根據誘導公式進行求解.【詳解】由題意得：.故答案為：.【點睛】考查三角函數的誘導公式.，，,,.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）【解析】

（1）利用同角的平方關系求cos(α－β)的值；（2）利用求出，再求的值.【詳解】（1）因為，所以cos(α－β).（2）因為cosα＝，所以，所以，因為β∈(0，)，所以.【點睛】本題主要考查同角的三角函數的關系求值，考查差角的余弦，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.18、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）在中，由余弦定理得，最后根據的值及，即可得到的值；（2）在中，由正弦定理得到，從而代入數據進行運算即可得到的長.試題解析：（1）在中，，由余弦定理可得又因為，所以（2）在中，由正弦定理可得所以.考點：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解斜三角形.19、(1)g(x)=sin【解析】

(1)首先化簡三角函數式，然后確定平移變換之后的函數解析式即可；(2)結合(1)中函數的解析式確定函數的最大值即可.【詳解】（1）f(x)==3(sin2xcos=3由題意得g(x)=sin[2(x+π化簡得g(x)=sin(2x+π（2）∵π12可得π3∴-1當x=π6時，函數當x=π2時，函數g(x)有最小值【點睛】本題主要考查三角函數圖像的變換，三角函數最值的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.20、（1）；（2）偶函數，理由見解析.【解析】

（1）根據對數的真數大于零可求得和的定義域，取交集可得定義域；（2）整理可得，驗證得，得到函數為偶函數.【詳解】（1）令得：定義域為令得：定義域為的定義域為（2）由題意得：，為定義在上的偶函數【點睛】本題考查函數定義域的求解、奇偶性的判斷；求解函數定義域的關鍵是明確對數函數要求真數必須大于零，且需保證構成函數的每個部分都有意義.21、（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉邊”得出邊的關系，再根據余弦定理求出，進而得到，由轉化為，求出，進而求出，從而求出的三角函數值，利用兩角差的正弦公式求出結果.試