2024屆江西省吉安市四校數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆江西省吉安市四校數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面AA1D1D內(nèi)一點(diǎn)，若EF∥平面BB1D1D，則EF長度的范圍為（）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則()A． B． C． D．3．已知圓C的半徑為2，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，并以P為中點(diǎn)作弦AB，則弦長的概率為A． B． C． D．4．直線2x+y+4=0與圓x+22+y+32=5A．255 B．4555．圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”)，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)圖形，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與中間一個(gè)小正三角形拼成一個(gè)大正三角形，如圖2所示，若，，則線段的長為（)A．3 B．3.5 C．4 D．4.56．已知函數(shù)，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，內(nèi)角滿足，若，則的周長的取值范圍為（）A． B． C． D．7．若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．在數(shù)列中，若，，，設(shè)數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．9．已知全集，集合，，則（）A． B．C． D．10．已知點(diǎn)，，則直線的斜率是（）A． B． C．5 D．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過點(diǎn)且與直線l：垂直的直線方程為______.（請(qǐng)用一般式表示）12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的最小值為______．13．已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是____.14．已知向量a=1,2，b=2,-2，c=15．若是等比數(shù)列，，，則________16．已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，若，則的值是.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖是某神奇“黃金數(shù)學(xué)草”的生長圖．第1階段生長為豎直向上長為1米的枝干，第2階段在枝頭生長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成120°，第3階段又在每個(gè)枝頭各長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成120°，……，依次生長，直到永遠(yuǎn)．（1）求第3階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；（2）求第13階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；18．已知向量，，，設(shè)函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．19．已知函數(shù)f(x)=sin22x-π4（1）求當(dāng)t=1時(shí)，求fπ（2）求gt（3）當(dāng)-12≤t≤1時(shí)，要使關(guān)于t的方程g(t)=20．已知扇形的半徑為3，面積為9，則該扇形的弧長為___________.21．如圖所示，是一個(gè)矩形花壇，其中米，米．現(xiàn)將矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇，要求：在上，在上，對(duì)角線過點(diǎn)，且矩形的面積小于150平方米．（1）設(shè)長為米，矩形的面積為平方米，試用解析式將表示成的函數(shù)，并確定函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)?shù)拈L度是多少時(shí)，矩形的面積最小？并求最小面積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

過作，交于點(diǎn)，交于，根據(jù)線面垂直關(guān)系和勾股定理可知；由平面可證得面面平行關(guān)系，利用面面平行性質(zhì)可證得為中點(diǎn)，從而得到最小值為重合，最大值為重合，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】過作，交于點(diǎn)，交于，則底面平面，平面，平面平面，又平面平面又平面平面，平面為中點(diǎn)為中點(diǎn)，則為中點(diǎn)即在線段上，，則線段長度的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線段長度取值范圍的求解，關(guān)鍵是能夠確定動(dòng)點(diǎn)的具體位置，從而找到臨界狀態(tài)；本題涉及到立體幾何中線面平行的性質(zhì)、面面平行的判定與性質(zhì)等定理的應(yīng)用.2、D【解析】設(shè)公比為，由已知得，即，又因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為正數(shù)，所以，故，故選D.3、B【解析】

先求出臨界狀態(tài)時(shí)點(diǎn)P的位置，若，則點(diǎn)P與點(diǎn)C的距離必須大于或等于臨界狀態(tài)時(shí)與點(diǎn)C的距離，再根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式求解.【詳解】如圖所示：當(dāng)時(shí)，此時(shí),若，則點(diǎn)P必須位于以點(diǎn)C為圓心，半徑為1和半徑為2的圓環(huán)內(nèi)，所以弦長的概率為：.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型與圓的垂徑定理，此類題型首先要求出臨界狀態(tài)時(shí)的情況，再判斷滿足條件的區(qū)域.4、C【解析】

先求出圓心到直線的距離d，然后根據(jù)圓的弦長公式l=2r【詳解】由題意得，圓x+22+y+32=5圓心-2,-3到直線2x+y+4=0的距離為d=|2×(-2)-3+4|∴MN=2故選C．【點(diǎn)睛】求圓的弦長有兩種方法：一是求出直線和圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解；二是利用幾何法求解，即求出圓心到直線的距離，在由半徑、弦心距和半弦長構(gòu)成的直角三角形中運(yùn)用勾股定理求解，此時(shí)不要忘了求出的是半弦長．在具體的求解中一般利用幾何法，以減少運(yùn)算、增強(qiáng)解題的直觀性．5、A【解析】

設(shè)，可得，求得，在中，運(yùn)用余弦定理，解方程可得所求值．【詳解】設(shè)，可得，且，在中，可得，即為，化為，解得舍去），故選．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的余弦定理，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

首先根據(jù)降冪公式以及輔助角公式化簡，把帶入利用余弦定理以及基本不等式即可．【詳解】由題意得，為三角形內(nèi)角所以，所以，因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，所以，所以選擇B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，以及余弦定理和基本不等式．在化簡的過程中常用到的公式有輔助角、二倍角、兩角和與差的正弦、余弦等．屬于中等題．7、C【解析】由題意得圓心為，半徑為．圓心到直線的距離為，由直線與圓有公共點(diǎn)可得，即，解得．∴實(shí)數(shù)a取值范圍是．選C．8、D【解析】

利用等差中項(xiàng)法得知數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)已知條件可求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并得知數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可求出.【詳解】由可得，可知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，即．由，可得，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查利用等差中項(xiàng)法判斷等差數(shù)列，同時(shí)也考查了對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化以及等比數(shù)列的求和公式，解題的關(guān)鍵在于結(jié)合已知條件確定數(shù)列的類型，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.9、A【解析】

本題根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可得.容易題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.【詳解】，則【點(diǎn)睛】易于理解集補(bǔ)集的概念、交集概念有誤.10、D【解析】

根據(jù)直線的斜率公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)直線的斜率公式，可得直線的斜率，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的斜率公式的應(yīng)用，其中解答中熟記直線的斜率公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

與直線垂直的直線方程可設(shè)為，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入運(yùn)算即可得解.【詳解】解：與直線l：垂直的直線方程可設(shè)為，又該直線過點(diǎn)，則，則，即點(diǎn)且與直線l：垂直的直線方程為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了與已知直線垂直的直線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.12、【解析】

用基本量法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式可得取最小值時(shí)的值，從而得的最小值．【詳解】設(shè)數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，，又，、∴的最小值為．故答案為：．．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值．首項(xiàng)為負(fù)且遞增的等差數(shù)列，滿足的最大的使得最小，首項(xiàng)為正且遞減的等差數(shù)列，滿足的最大的使得最大，當(dāng)然也可把表示為的二次函數(shù)，由二次函數(shù)知識(shí)求得最值．13、.【解析】

由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可.【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差是.【點(diǎn)睛】本題主要考查方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】由題可得2∵c//∴4λ-2=0故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解公比再求和即可.【詳解】設(shè)公比為,則.故故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】

由題意得，依次求得，，，，，∵，且＞0，∴，依次求得======，∴+=+=．考點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)示意圖，計(jì)算出第階段、第階段生長的高度，即可求解出第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；（2）考慮第偶數(shù)階段、第奇數(shù)階段“黃金數(shù)學(xué)草”高度的生長量之間的關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列求和完成第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度的計(jì)算.【詳解】（1）因?yàn)榈谝浑A段：，所以第階段生長：，第階段的生長：，所以第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為：；（2）設(shè)第個(gè)階段生長的“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為，則第個(gè)階段生長的“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為，第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為，所以，所以數(shù)列按奇偶性分別成公比為等比數(shù)列，所以.所以第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用，難度較難.處理數(shù)列的實(shí)際背景問題，第一步要能從實(shí)際背景中分離出數(shù)列的模型，然后根據(jù)給定的條件處理對(duì)應(yīng)的數(shù)列計(jì)算問題，這對(duì)分析問題的能力要求很高.18、（1）（2）時(shí)，取最小值；時(shí)，取最大值1．【解析】

試題分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積、二倍角公式及配角公式得，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得．（2）先根據(jù)得，，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值和最小值．試題解析：（1），最小正周期為．（2）當(dāng)時(shí)，，由圖象可知時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，取最小值；當(dāng)，即時(shí)，取最大值1．19、（1）-4（2）g(t)=t2【解析】

（1）直接代入計(jì)算得解；（2）先求出sin(2x-π4)∈[-12,1]【詳解】（1）當(dāng)t=1時(shí)，f(x)=sin22x-（2）因?yàn)閤∈[π24,πf(x)=[sin(2x-當(dāng)t<-12時(shí)，則當(dāng)sin當(dāng)-12≤t≤1時(shí)，則當(dāng)當(dāng)t>1時(shí)，則當(dāng)sin(2x-π故g(t)=（3）當(dāng)-12≤t≤1時(shí)，g(t)=-6t+1，令欲使g(t)=kt2-9有一個(gè)實(shí)根，則只需h(-解得k≤-2或所以k的范圍：（-【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的范圍的計(jì)算，考查二次函數(shù)的最值的求法和方程