遼寧省2022-2023學年高一年級上冊期末考試數(shù)學試題(學生版+解析)

遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體

2022-2023學年度上學期期末高一年級試題

數(shù)學

第I卷選擇題供60分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一個是符合題目要求的.

2

1.設集合A3a2刊，B={X1X-2X-8<0}；全集°=R,則…A=（）

A.（4,+co）B.（-oo,4）

C.[4,+co）D.（-co,-4]

2.若a,b均為實數(shù)，則“l(fā)na>ln〃”是“e">e〃”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.從高一（男、女生人數(shù)相同，人數(shù)很多）抽三名學生參加數(shù)學競賽，記事件A為“三名學生都是女生”，事件

8為“三名學生都是男生"，事件C為“三名學生至少有一名是男生"，事件。為“三名學生不都是女生”，則以

下錯誤的是（）

A.P（A）=1B.尸（C）。尸（。）

C.事件A與事件8互斥D.事件A與事件C對立

4.已知某運動員每次投籃命中概率都為40%,現(xiàn)采用隨機模擬的方式估計該運動員三次投籃恰有兩次命

中的概率：先由計算機產(chǎn)生。到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命

中；再以三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下12組隨機數(shù)：137960197

925271815952683829436730257,據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概

率為（）

5.如圖，已知函數(shù)/（x）=3"i,則它的反函數(shù)丁=廣（"的大致圖像是（）

6.某科研小組研發(fā)一種水稻新品種，如果第1代得到1粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代15粒

種子，則種子數(shù)量首次超過1000萬粒的是（)(參考數(shù)據(jù)：lg2ao.3,lg3ao.48)

A第5代種子B.第6代種子C.第7代種子D.第8代種子

7.已知log2a=0.5"=0.2",貝ij()

A.a>b>1B.b>a>1

C.b>l>aD.a>l>b

8.^/（x）=||x-l|-l|,關(guān)于X的方程"（切2+左"（同+1=0,給出下列四個命題，其中假命題的個數(shù)

是（）

①存在實數(shù)k,使得方程恰有3個不同的實根;

②存在實數(shù)%,使得方程恰有4個不同的實根;

③存在實數(shù)%,使得方程恰有5個不同的實根;

④存在實數(shù)左，使得方程恰有6個不同的實根.

A.0B.1C.2D.3

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.秋季開學前，某學校要求學生提供由當?shù)厣鐓^(qū)醫(yī)療服務站或家長簽字認可的返校前一周（7天）的體溫測

試記錄，已知小明在一周內(nèi)每天自測的體溫（單位：C）依次為36.0,36.2,36.1,36.4,36.3,36.1,36.3,則該

組數(shù)據(jù)的（）

A.極差為0.4CB,平均數(shù)為36.2C

C.中位數(shù)為36.1CD.第75百分位數(shù)為36.3C

10.設°,b是兩個非零向量，則下列描述錯誤的有（)

A.若卜+囚=口—忖，則存在實數(shù)；1>0,使得a=20.

B.若貝!|卜+0=卜一“

C.若k+0=忖+忖，則°,人反向.

D.若?！ā?，則a，b一定同向

11.下列命題正確的有（）

A.命題“V%>1,2,—1>0”的否定“VxWl，2*—1>0”

B,函數(shù)了（％）=1叫（6+九一2尤2）單調(diào)遞增區(qū)間是±2〕

2|_4；

,、——,x<—l（3、

C.函數(shù)/（%）={x是R上的增函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍為1,萬

（3-2。）％+2,%>-1-

3

D.函數(shù)/'（X）=-—log,x的零點所在區(qū)間為（2,3）且函數(shù)“X）只有一個零點

X

12.在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過正

常生活，有公共衛(wèi)生專家建議指標是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例

數(shù)計算，下列各項中，一定符合上述指標的是（）

A.平均數(shù)7?3

B.標準差sW2

C.平均數(shù)［K3且極差小于或等于2

D.眾數(shù)等于1且極差小于或等于4

第n卷非選擇題（共為分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.當xe（0,+oo）時，幕函數(shù)y=（〃?2一機-1）龍"為減函數(shù)，典|〃?=.

14.己知函數(shù)/（%）=。（/一尸）+法+2,（"#0）,若/㈤=—2019,則〃叫=.

115

15.己知中，AN=—NC,M為線段8N上的一個動點，若AM=+yAC（x、y均大于0）,則一+一

4xy

的最小值_____.

16.已知函數(shù)/（x）=ln（無2+e?卜e為自然常數(shù)，e?2.718）,g（x）ax2+2x+a+1,若總

3x2e[0,+<x>),使得/(%)=g(%)成立，則實數(shù)0的取值范圍為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算下列各式的值.

2/1\-2/1j_>6

(1)27^—(3—乃)。+2^x32；

log72

(2)log28-(lg4+lg25)-log581og25+7.

18.設p：2<x<4,q：實數(shù)x滿足f一2公一3。2<0(。>0).

⑴若a=l,且P，q都為真命題，求尤的取值范圍；

(2)若。是q的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

19.平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2)1=(—1,2),c=(4,1).

(1)求滿足c—ma+nb的實數(shù)in^n；

(2)設d=(x,y),滿足(d_c)//(a+Z?)且—=1,求向量小

20.某校高二(5)班在一次數(shù)學測驗中，全班N名學生的數(shù)學成績的頻率分布直方圖如下，已知分數(shù)在

110?120分的學生數(shù)有14人.

(2)利用頻率分布直方圖，估算該班學生數(shù)學成績的眾數(shù)和中位數(shù)各是多少？

(3)現(xiàn)在從分數(shù)在115~120分的學生(男女生比例為1：2)中任選2人，求其中至多含有1名男生的概率.

21.某中學為了豐富學生的業(yè)余生活，開展了一系列文體活動，其中一項是同學們最感興趣的3對3籃球?qū)?/p>

抗賽，現(xiàn)有甲乙兩隊進行比賽，甲隊每場獲勝的概率為|■.且各場比賽互不影響.

(1)若采用三局兩勝制進行比賽，求甲隊獲勝概率;

(2)若采用五局三勝制進行比賽，求乙隊在第四場比賽后即獲得勝利的概率.

22.若函數(shù)/(x)對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間/內(nèi)的任意一個x,滿足/(T)=-/?,則稱函數(shù)/(x)為/上的“局

部奇函數(shù)“；滿足/(—無)=/(X),則稱函數(shù)/(無)為/上的“局部偶函數(shù)已知函數(shù)/⑴=2工+左義2-,，其中左

為常數(shù).

3

⑴若〃X)為［—3,3］上的“局部奇函數(shù)”，當xe［—3,3］時，求不等式/(x)>3的解集；

⑵己知函數(shù)/(x)在區(qū)間上是"局部奇函數(shù)”，在區(qū)間［—3,-1)d(1,3］上是“局部偶函數(shù)”，

m\f/W,xe［-l,l］

F(x)=<

l/(x),xe［-3,-l)o(l,3］

⑴求函數(shù)歹(x)的值域；

(ii)對于［-3,3］上的任意實數(shù)^,x2,x3,不等式F(Xj)+F(x2)+5>恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

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2022-2023學年度上學期期末高一年級試題

數(shù)學

第I卷選擇題（共60分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項中，只有一個是符合題目要求的.

2

1.設集合”={*-220},B={X|X-2%-8<0}>全集U=R,則）

A.（4,+co）B.（-oo,4）

C.[4,+co）D.（-co,-4]

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式可求得集合A3,由補集和并集定義可求得結(jié)果.

【詳解】由％—220得：x>2,則4=[2,+?）,.?.七A=（T?,2）；

由％2一2%—8<0得：-2<x<4,貝iJ5=（-2,4）,:.B2A=（Y,4）.

故選：B.

2.若a,b均為實數(shù)，則“l(fā)na>lnb”是“e">e〃”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)y=l皿與y=e，解不等式，即可判斷.

【詳解】解：因為lna>lnb,由函數(shù)y=1皿在（0,+8）上單調(diào)遞增得：a>b>Q

又e">eJ由于函數(shù)丁=1在R上單調(diào)遞增得：a>b

由“a>b>0”是“a>6”的充分不必要條件

可得“Ina>Inb”是"e">eb”的充分不必要條件.

故選：A.

3.從高一（男、女生人數(shù)相同，人數(shù)很多）抽三名學生參加數(shù)學競賽，記事件A為“三名學生

都是女生”，事件8為“三名學生都是男生”，事件C為“三名學生至少有一名是男生"，事件

。為“三名學生不都是女生”，則以下錯誤的是（）

A.P（A）=1B.P（C^P（D）

C.事件A與事件B互斥D.事件A與事件C對立

【答案】B

【解析】

【分析】由獨立乘法公式求尸（A）,根據(jù)事件的描述，結(jié)合互斥、對立事件的概念判斷B、

C、D即可.

【詳解】由所抽學生為女生的概率均為：，則P（A）=[￡|=1,A正確；

A3兩事件不可能同時發(fā)生，為互斥事件，C正確；

C事件包含：三名學生有一名男生、三名學生有兩名男生、三名學生都是男生，

其對立事件為A,D正確；

。事件包含：三名學生都是男生、三名學生有一名男生、三名學生有兩名男生，

與C事件含義相同，故P（C）=P（0,B錯誤；

故選：B

4.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機模擬的方式估計該運動員三次

投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機產(chǎn)生。到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表

示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機模

擬產(chǎn)生了如下12組隨機數(shù)：137960197925271815952683829436

730257,據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）

1355

A.—B.-C.—D.一

48128

【答案】A

【解析】

【分析】明確隨機數(shù)代表的含義，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.

【詳解】由題意可知經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生的12組隨機數(shù)中，137,271,436這三組表示三次投籃

恰有兩次命中，

31

故該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為P=—,

124

故選：A

5.如圖，已知函數(shù)則它的反函數(shù)丁=廣（力的大致圖像是（）

【解析】

【分析】直接利用反函數(shù)的性質(zhì)寫出解析式，得y=/T(x)=log3x+l，再由解析式選擇

圖像即可.

【詳解】由題意得，函數(shù)/(x)=3*i的反函數(shù)是y=/T(x)=log3x+L

1

這是一個在(0,+“)上的單調(diào)遞增函數(shù)，且y=-=iog3-+i=0,所以只有選項c

3

的圖像符合.

故選：C.

6.某科研小組研發(fā)一種水稻新品種，如果第1代得到1粒種子，以后各代每粒種子都可以

得到下一代15粒種子，則種子數(shù)量首次超過1000萬粒的是()(參考數(shù)據(jù)：

lg2ao.3,1g3ao.48)

A.第5代種子B.第6代種子C.第7代種子D.第8代

種子

【答案】C

【解析】

【分析】設第尤代種子的數(shù)量為15、i，根據(jù)題意列出不等式，對不等式化簡代入數(shù)值即可

得到結(jié)果.

【詳解】設第尤代種子的數(shù)量為15'T，由題意得得xNlog^lO+L因為

7

log1510+l=^-+l=---+1=-----------+1?6.9,故種子數(shù)量首次超過

1g15Ig3+lg5Ig3+l-lg2

1000萬粒的是第7代種子.

故選：C.

7.已知log2a=0.5°=0.2",則()

A.a>b>lB.b>a>1

C.b>l>aD.a>l>b

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)0.5">0得出log?。〉。，從而得出1<。<后<2，0.26>0.2得出6<1可

得答案.

【詳解】因為。>0,所以log2a=0.5">0,可得a>l,

0.5"<0,5，log2。<g=1鳴3，

b

所以l<a（也<2，0.5">0.52>0.2，Q2>0.2,所以b<l,

所以

故選：D.

8.設/(力=卜—1卜1|,關(guān)于x的方程"(X)T+H/(X)+1=0,給出下列四個命題，其

中假命題的個數(shù)是()

①存在實數(shù)左，使得方程恰有3個不同的實根;

②存在實數(shù)左，使得方程恰有4個不同的實根;

③存在實數(shù)左，使得方程恰有5個不同的實根;

④存在實數(shù)左，使得方程恰有6個不同的實根.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】作出函數(shù)圖象，令/+區(qū)+1=0,對根的判別式分類討論即可得解.

【詳解】解：/(%)=||%-1|-1|

可作函數(shù)圖象如下所示:

令％?+履+1=0,/.△=/—4

(1)當A=/—4=0時，解得％=2或左=—2

①當左=—2時，/+依+1=。解得工=1由圖可知，存在3個不同的實數(shù)使得/(力=1,

即方程"(同丁+鼠/(x)+l=O有3個不同的實數(shù)根；

②當左=2時，依+i=o解得］=—1由圖可知，不存在實數(shù)使得/(力=—1,即方程

"(x)］+女"(「+1=。無實數(shù)根;

(2)當八=左2一4＞。時，解得左＞2或左＜一2,

①當上＞2時，方程必+日+i=o有兩不相等的實數(shù)根，設為玉，巧，

則xi+x2=-k＜0,石工2-1

.??百，巧均為負數(shù)，由函數(shù)圖象知〃x)zo,故不存在實數(shù)使得/(x)＜0,即方程

"(%)了+H/(x)+l=0無實數(shù)根;

②當左＜—2時，方程%2+依+1=0有兩不相等的實數(shù)根，設為毛，4，

則xi+x2=-k＞0,xxx2=1

1

石，巧均為正數(shù)且％=一，

x2

設工2〉1則。＜苞＜1,由圖可知，存在2個不同的實數(shù)使得/(尤)＞1,

存在4個不同的實數(shù)使得

即方程［;?(%)丁+左"(司+1=0有6個不同的實數(shù)根；

(3)當△=/_4＜0時，方程無解，則方程［〃x)T+h/(x)+l=0無實數(shù)根；

綜上可得正確的有①④，錯誤的有②③

故選：C

【點睛】本題考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2

分.

9.秋季開學前，某學校要求學生提供由當?shù)厣鐓^(qū)醫(yī)療服務站或家長簽字認可的返校前一周

(7天)的體溫測試記錄，己知小明在一周內(nèi)每天自測的體溫(單位：C)依次為

36.0,36.2,36.1,36.4,36.3,36.1,36.3,則該組數(shù)據(jù)的()

A.極差為0.4CB.平均數(shù)為36.2C

C.中位數(shù)為36.1CD.第75百分位數(shù)為36.3C

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)和百分位數(shù)的定義判斷即可.

［詳解1體溫從低到高依次為36.0,36.1,36.1,36.2,36.3,36.3,36.4,

極差為36.4—36.0=0.4C，故A正確；

36+36.2+?+36.3

平均數(shù)為-------------------=36.2C,故B正確；

7

中位數(shù)為36.2C，故C錯誤；

因為7義75%=5.25,所以體溫的第75百分位數(shù)為從小到大排列的第6個數(shù)，是36.3C，

故D正確.

故選：ABD.

10.設a，b是兩個非零向量，則下列描述錯誤的有（）

A.若卜+,=,卜卜卜則存在實數(shù);1>0,使得a=Ab-

B.若aLb，貝*+

C.若卜+。|=忖+慟，則°,人反向.

D.若?！ㄘ?，則a，b一定同向

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)向量加法的意義判斷選項A,C；根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則可判斷

選項B；根據(jù)平面向量平行的性質(zhì)可判斷選項D.

【詳解】對于選項A：當卜+囚=卜卜卜|,由向量加法的意義知q,6方向相反且口2上|,

則存在實數(shù)2<0,使得0=2/7，故選項A錯誤；

對于選項B：當。，匕，則以°,〃為鄰邊的平行四邊形為矩形，且卜+力和卜-囚是這個

矩形的兩條對角線長，

則k+0=卜-目，故選項B正確；

對于選項C：當卜+目=忖+忖，由向量加法的意義知q,b方向相同，故選項C錯誤；

對于選項D：當。〃匕時，則0,分同向或反向，故選項D錯誤；

綜上所述：選項ACD錯誤，

故選：ACD.

11.下列命題正確的有（）

A.命題“,>1,2工—1>0”的否定“VxWl,2*—1>0”

B,函數(shù)，(%)=1%(6+%-2%2)單調(diào)遞增區(qū)間是|

2L4)

,、——,A：<—1(3、

C.函數(shù)/'(x)=X是R上的增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為1，萬

(3-2a)x+2,x>—1

3

D.函數(shù)/'(%)=-—log,x零點所在區(qū)間為(2,3)且函數(shù)〃力只有一個零點

x

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A,由全稱命題的否定為特稱命題即可；

對于B,先求函數(shù)的定義域，再利用換元法結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性進行判斷即可；

對于C,由分段函數(shù)為增函數(shù)，則每一段上都為增函數(shù)，再考慮端點處函數(shù)值，列出不等

式求解即可；

對于D,先判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性，再利用零點存在性定理判斷即可.

【詳解】對于A,命題“,>1,2*—1>0”的否定2-1<0"，故A選項

錯誤；

對于B,由6+x-2/>0，得-3<x<2,令t=6+x-2/，則戶叫』'，

22

因為/=6+x-2必在一不二上單調(diào)遞增，在-,2上單調(diào)遞減，

I24J(4J

又'=1O§1'在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

2

所以/(%)在1-1,；上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B選項正確;

—axy—1

對于C,因為函數(shù)/(％)=<是R上的增函數(shù),

（3-2a）x+2,x>-1

a>0

3

所以13-2〃〉0,解得：”〃<一，故C選項錯誤;

2

(3-2a)-(-l)+2>-—

—

、1

對于D,因為函數(shù)y=J和函數(shù)y=-log,x在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減,

3

所以函數(shù)7（X）=——log,尤在區(qū)間（2,3）上單調(diào)遞減，

X

又因為〃2）"（3）=「一1卜1一1幅3）＜0,

所以函數(shù)/（X）在區(qū)間（2,3）上只有一個零點，故D選項正確.

故選：BD

12.在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居

民顯示可以過正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過

5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計算，下列各項中，一定符合上述指標的是（）

A.平均數(shù)

B.標準差sW2

C.平均數(shù)3且極差小于或等于2

D.眾數(shù)等于1且極差小于或等于4

【答案】CD

【解析】

【分析】

根據(jù)題目條件，只需滿足連續(xù)7天每日新增比例數(shù)不超過5即可，僅通過平均數(shù)和標準差不

能確保每天的新增病例數(shù)不超過5,可判斷A,B錯誤；再根據(jù)平均數(shù)及極差綜合判斷C,

D中數(shù)據(jù)的可能取值，分析是否符合條件.

【詳解】對于A選項，若平均數(shù)，不能保證每天新增病例數(shù)不超過5人，不符合題意；

對于B選項，標準差反映的是數(shù)據(jù)的波動大小，例如當每天感染的人數(shù)均為10,標準差是0,

顯然不符合題意；

對于C選項，若極差等于0或1,在3的條件下，顯然符合指標；若極差等于2,假設

最大值為6,最小值為4,則是〉3,矛盾，故每天新增感染人數(shù)不超過5,符合條件，C正

確；

對于D選項，若眾數(shù)等于1且極差小于或等于4,則最大值不超過5,符合指標.

故選：CD.

【點睛】本題考查統(tǒng)計的數(shù)據(jù)特征，解答本題時，一定要注意平均數(shù)、標準差等對數(shù)據(jù)的影

響，其中C、D選項的判斷是難點，可采用假設法判斷.

第II卷非選擇題（共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.當時，塞函數(shù)y=-機一1卜'"5-3為減函數(shù)，典|祖=.

【答案】2

【解析】

【分析】利用幕函數(shù)定義即可得到結(jié)果.

【詳解】函數(shù)為塞函數(shù)，則療-機-1=1,解得吁-1或機=2,

又因為函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

可得m2—2m—3<0?可得機=2,

故答案為：2

14.已知函數(shù)/(尤)=4(/—ef)+法+2,(乃70),若/(/7)=—2019,則/(一/0=.

【答案】2023

【解析】

【分析】根據(jù)解析式可得/(-幻+/(%)=4,然后把/僅)=—2019代入即可得答案.

【詳解】/(%)=a(eA-e^x^+bx+2,(ab^O),

f(-x)=<7(e-A-ex^-bx+2,(abw0),

f(-x)+/(X)=4,即/(-/?)=4-/(/i)=4-(-2019)=2023.

故答案為：2023.

15.已知；ABC中，AN=-NC,M為線段BN上的一個動點，若AM=xA8+yAC(x、y

4"

15

均大于0),則一+一的最小值_____.

xy

【答案】36

【解析】

【分析】首先轉(zhuǎn)化向量表示AAf=xA3+5yAN,再結(jié)合平面向量基本定理的推論得

x+5y=l,再利用基本不等式求最值.

【詳解】由條件可知AC=5AN，所以AM=xA3+5yAN,點",3,N三點共線，

所以x+5y=l,且無>0,y>0,

155，x5y5%l5y5x

—+—=—+—(x+5y)=26+—+——>26+2-----=36,

xyyJxy\xy

當x=y=L時，等號成立.

6

故答案為：36

16.已知函數(shù)/(x)=ln(尤2+e?)(e為自然常數(shù)，2.718),g(x)=奴？+2x+a+l,若

VxieR,總3X2e[0,+s),使得/(%)=g(%)成立，則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】[0,1]

【解析】

【分析】設函數(shù)/(X)、g(x)的值域分別為集合A、B,易得A=[2,+8),再根據(jù)對任意的

%eR,總存在實數(shù)％6[0,+8),使得/(xj=g(i)成立，由AgB,結(jié)合二次函數(shù)

的值域求解.

【詳解】設函數(shù)人幻、g(x)的值域分別為集合A、B,

當xeR時，/(x)e[2,+<x>),所以A=[2,+8),

因為對任意的占eR,總存在實數(shù)x2e[0,+oo),使得/(玉)=g(%2)成立，

所以應有AgB,

故當°<0顯然不合要求.

當。=0時，在[0,+s)上8(%)=2%+111,+8)符合要求.

當a>0時，g(x)=a\%+—|+a+l—工在[0,+°0)上遞增，

所以g(無)e[a+l,+oo),故a+lW2,解得aWl,

綜上，ae[0,l]

故答案為：[0』]

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.計算下列各式的值.

2(]\-2('j_A6

(1)27i+-—(3—萬)°+23x3^；

⑵log?8—0g4+lg25)—log58」og25+7夠2.

【答案】(1)125(2)0

【解析】

【分析】(1)按照指數(shù)運算進行計算即可；

(2)按照對數(shù)運算進行計算即可；

【小問1詳解】

2/1\-2/1J_A62

2V+1j1—(3—萬)。+2§X33=(33)J+32-1+22X33=9+9-1+4X27=125；

【小問2詳解】

log72

log28-(lg4+lg25)-log58-log25+7=3-lgl00-log28+2=3-2-3+2=0.

18.設p:2<x<4,q：實數(shù)x滿足x之一2辦一3。2<0(a>0).

⑴若a=l,且，q都為真命題，求X的取值范圍；

(2)若。是4的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)｛x|2Wx<3｝；

「4)

⑵1，+°°?

【解析】

【分析】(1)求得〃命題對應的不等式解集，與。命題對應的不等式取交集即可；

⑵求得4命題對應的不等式解集，根據(jù)集合之間的關(guān)系，列出不等式，即可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

當a=l時，可得無之-2ax—3a2<0>

可化為x2—2x—3<0>解得—1<x<3,

又由命題。為真命題，則2Wx<4.

所以P,4都為真命題時，則x的取值范圍是｛%|2W尤<3｝

【小問2詳解】

由Y-2ax-3a2<0,(a>0),解得—a<x<3a,

因為〃：2Kxv4,且P是q的充分不必要條件，

即集合國2<%<4｝是何―a<無<3a｝的真子集，

~ci<2

44

則滿足3。24,解得—,所以實數(shù)。的取值范圍是—,+co

33

〃>0

19.平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2)乃二(—1,2),c=(4,1).

(1)求滿足e=ma+nb的實數(shù)根，〃；

(2)設d=(x,y),滿足(d-c)//(Q+Z?).且卜一。|二1,求向量d.

(

QS4孚笥.

【答案】。)加=(，”=（2）d=4+或〃=

g』+

【解析】

【分析】

3m-n=4-

（1）根據(jù)c=力。+即可得出（4,1）=（3加一2m+2"）,從而得出＜cC「解出相，

2m+2n=l

n即可；

(2)根據(jù)(d—c)〃(a+可，|d—c|=l,得到方程組，解得.

【詳解】解：(1)a=(3,2)力=(—l,2),c=(4,l)且三口泌

/.(4,1)=(3m—n,2m+2n)

3m-n=4

V

[2m+2n=l

9

m=—

8

5

(2)d-c=(x-4,y-l),a+b=(2,4)

又（d-c)〃(a+Z?),-c|-1,

4小

-4(x-4)-2(j-l)=0x=4H--x=4----

5T5

/、2/、2，解得L或彳

[—)=112如’

y=1H----y=1-----

5-5

【點睛】本題考查了向量坐標的加法和數(shù)乘運算，平行向量的坐標關(guān)系，根據(jù)向量的坐標求

向量長度的方法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.某校高二⑸班在一次數(shù)學測驗中，全班N名學生的數(shù)學成績的頻率分布直方圖如下，

已知分數(shù)在no~12。分的學生數(shù)有14人.

4就率

⑴求總?cè)藬?shù)N和分數(shù)在120?125的人數(shù)〃；

（2）利用頻率分布直方圖，估算該班學生數(shù)學成績的眾數(shù)和中位數(shù)各是多少？

⑶現(xiàn)在從分數(shù)在115~120分的學生（男女生比例為1：2）中任選2人，求其中至多含有1名

男生的概率.

【答案】⑴4；⑵眾數(shù)和中位數(shù)分別是107.5,110；

14

⑶+

【解析】

【分析】（1）先求出分數(shù)在110-120內(nèi)的學生的頻率，由此能求出該班總?cè)藬?shù)，再求出分數(shù)

在120-125內(nèi)的學生的頻率，由此能求出分數(shù)在120-125內(nèi)的人數(shù).

（2）利用頻率分布直方圖，能估算該班學生數(shù)學成績的眾數(shù)和中位數(shù).

（3）由題意分數(shù)在115—120內(nèi)有學生6名，其中男生有2名.設女生為A，4，4，4,

男生為耳，^2,從6名學生中選出2名，利用列舉法能求出其中至多含有1名男生的概率.

【小問1詳解】

分數(shù)在110—120內(nèi)的學生的頻率為《=（0.04+0.03）x5=0.35,

該班總?cè)藬?shù)為N=——=40.

0.35

分數(shù)在120-125內(nèi)的學生的頻率為：

P2=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）x5=0.10,

分數(shù)在120-125內(nèi)的人數(shù)為〃=40x0.10=4.

【小問2詳解】

由頻率直方圖可知眾數(shù)是最高的小矩形底邊中點的橫坐標，即為-HO=107.5.

2

設中位數(shù)為〃，0.01x5+0.04x5+0.05x5=0.50,.-.a=110.

二眾數(shù)和中位數(shù)分別是107.5,110.

【小問3詳解】

由題意分數(shù)在H5—120內(nèi)有學生40x（0.03x5）=6名，其中男生有2名.

設女生為A，4，人3，44,男生為四，B”從6名學生中選出2名的基本事件為:

（A-4），（A，4），（A-4），（A，4）（A;魚），（4，A）;⑷，4J，

（人,用），（B）,（，A）,（，）（，（，耳），（A,Bj,

4,2A444AB2）,A4

（A，4）,（4，。），（A，BJ,（耳,B2),共15種,

其中至多有1名男生的基本事件共14種,

其中至多含有1名男生的概率為.

21.某中學為了豐富學生的業(yè)余生活，開展了一系列文體活動，其中一項是同學們最感興趣

的3對3籃球?qū)官?，現(xiàn)有甲乙兩隊進行比賽，甲隊每場獲勝的概率為|■.且各場比賽互不

影響.

(1)若采用三局兩勝制進行比賽，求甲隊獲勝的概率；

(2)若采用五局三勝制進行比賽，求乙隊在第四場比賽后即獲得勝利的概率.

【答案】(1)—(2)—

v7125v7625

【解析】

【分析】

⑴三局兩勝制甲勝，則包括三個基本事件，甲勝前兩場比賽，第一(二)場比賽甲輸了，其他

兩場比賽贏了，根據(jù)相互獨立事件的概率計算公式計算可得.

(2)五局三勝制，乙隊在第四場比賽后即獲得勝利，即第四場比賽乙贏，前三場比賽乙贏了

二場比賽，根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得.

【詳解】解:設A。=1,2,3,4,5)表示甲隊在第i場比賽獲勝

(1)所求概率為:P(A4)+P(A4A)+P(取4)=1|)+|義(|卜2噎

(2)所求概率為可無可+。(可444+。(4可&￡)=［義曰義3=黑.

【點睛】本題考查相互獨立事件的概率計算問題，屬于基礎(chǔ)題.

22.若函數(shù)/(x)對于定義域內(nèi)