2023-2024學年遼寧省鞍山市普通高中高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2遼寧省鞍山市普通高中2023-2024學年高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.4〖答案〗D〖解析〗由題意得為純虛數(shù)，所以，解得，故D正確.故選：D.2.已知直線，點在圓上運動，那么點到直線的距離的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓的圓心為，半徑為.則圓心到直線：的距離為：.所以圓上的點到直線：距離的最大值為：.故選：C.3.已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由向量在向量上投影向量為，所以得，又因為，所以，故C正確.故選：C.4.設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，若，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，，，則與的位置關系不能確定；若，因為，所以，又，所以成立.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.在某次美術專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測試結果相互獨立，則測試結束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達優(yōu)秀等級的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級分別為事件、、，則，且，，相互獨立，設甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級為事件，則，設乙沒有達優(yōu)秀等級為事件，則，所以.故選：B.6.數(shù)列的通項公式為，則（）A. B. C.5 D.8〖答案〗C〖解析〗因所以.故選：C.7.校數(shù)學興趣社團對“學生性別和選學生物學是否有關”作了嘗試性調(diào)查．其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同．男生選學生物學的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生選學生物學的人數(shù)占女生人數(shù)．若有的把握認為選學生物學和性別有關，則調(diào)查人數(shù)中男生不可能有（）人．附表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828其中，．A.20 B.30 C.35 D.40〖答案〗A〖解析〗設總人數(shù)為，則男生選學生物學的人數(shù)為，女生選生物學的人數(shù)為，則，即，又為的倍數(shù)，故男生最少有人.故選：A.8.已知，均為銳角，，則取得最大值時，的值為（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗,則，所以，整理得，因為，均為銳角，且，即，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，所以取得最大值時，的值為.故選：D.二、多項選擇題9.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則下列結論中正確的有（）A.當時，的取值范圍是B.當時，的取值范圍是C.當時，的取值范圍是D.當時，的取值范圍是〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)題意，易知，即，因此.當時，，因為，所以，又因為函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以，解得，故A正確，C錯誤；當時，，因為，所以，又因為函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以，解得，故B錯誤，D正確.故選：AD.10.如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G，H分別是棱的中點，點M滿足，其中，則下列結論正確的是（）A.過M，E，F(xiàn)三點的平面截正方體所得截面圖形有可能為正六邊形B.三棱錐的體積為定值C.當時，平面MEFD.當時，三棱錐外接球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗當時，點與點重合時，過M，E，F(xiàn)三點的平面截正方體所得截面圖形為正六邊形，如圖：故A正確；對于B，因為可得點是線段上的一個動點，又因為正方體中,平面平面平面，故平面，所以點到平面的距離為定值，而,所以三棱錐是定值,又因為，故三棱錐的體積為定值，B正確；當時，點為中點，因為，而平面MEF，所以與平面MEF不平行，C錯誤；當時，點與點重合，為等腰直角三角形，則的外接圓半徑為，又因為平面，所以三棱錐外接球的半徑，則，所以外接球表面積為，D正確.故選：ABD.11.在平面直角坐標系中,定義為點到點的“折線距離”．點是坐標原點，點在直線上，點在圓上，點在拋物線上．下列結論中正確的結論為（）A.的最小值為2 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對A：設，則（當且僅當時取“”）.故A錯；對B：設，則.則，故B對；對C：設，，則（當且僅當，時取“”）.故C對；對D：設，，則（當且僅當時取“”）.故D正確.故選：BCD三、填空題12.已知圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為，則該圓錐的表面積為______．〖答案〗〖解析〗已知圓錐的底面半徑，圓錐母線與底面所成的角為，所以圓錐的母線長為，所以該圓錐的表面積為.故〖答案〗為：13.的極大值為______．〖答案〗〖解析〗，當時，，當時，，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極大值.故〖答案〗為：.14.已知雙曲線的右焦點為，左、右頂點分別為，，軸于點，且．當最大時，點恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率為______．〖答案〗〖解析〗如圖：因為軸，且在雙曲線上，所以，又，所以為中點.因為最大，所以經(jīng)過，兩點的圓與相切于，此時點坐標為，圓心，由.故〖答案〗為：四、解答題15.鞍山市普通高中某次高三質(zhì)量監(jiān)測考試后，將化學成績按賦分規(guī)則轉換為等級分數(shù)（賦分后學生的分數(shù)全部介于30至100之間）．某校為做好本次考試的評價工作，從本校學生中隨機抽取了50名學生的化學等級分數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計，將分數(shù)按照，，，，，，分成7組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計這50名學生分數(shù)的中位數(shù)；（2）在這50名學生中用分層抽樣的方法從分數(shù)在，，的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取3人，記為3人中分數(shù)在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．解：（1）由.又∵，.所以，估計這50名學生分數(shù)的中位數(shù)為：.（2）因為，，三組的頻率之比為所以從，，三組中抽取的人數(shù)分別為7，3，1.由題意可取0，1，2，3且；；；.所以的分布列為：0123所以.16.如圖1，在平面五邊形中，，且，，，，將沿折起，使點到位置,且，得到如圖2所示的四棱錐．（1）求證；平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．（1）證明：在中，，，由余弦定理可得，所以，又因為，所以為正三角形，設的中點為，連接，可得，又由，可得，且平面，，所以平面，因為平面，所以，在中，可得，在中，可得，又因為，可得，所以，因為平面，且，所以平面.（2）解：因為，所以，又由平面，且平面，所以，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，則，，設平面法向量為，則，取，可得，所以，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，設平面與平面所成的角為，由圖象可得為銳角，則所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．17.已知函數(shù)，．（1）若曲線在處的切線與軸垂直，求實數(shù)的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．解：（1）依題意，，則，因為在處的切線與軸垂直，所以，解得；（2）由（1）知，當時，由得，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間，當時，分以下三種情況：若，則在定義域內(nèi)恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；若，令得或，令得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，若，令得或，令得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上所述，當時，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；當時，在區(qū)間單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間；當時，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；當時，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.18.焦點在軸上的橢圓的左頂點為，，，為橢圓上不同三點，且當時，直線和直線的斜率之積為．（1）求的值；（2）若的面積為1，求和的值；（3）在（2）的條件下，設的中點為，求的最大值．解：（1）因為，所以三點共線，則必有點和點關于點對稱，所以，設直線和直線的斜率分別為，，因為點為橢圓的左頂點，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，即；（2）設過兩點直線為，當直線的斜率不存在時，兩點關于對稱，所以，，因為在橢圓上，所以，又，所以，即，結合可得，此時，，所以；當直線的斜率存在時，設其方程為，，聯(lián)立，消去得，其中①，所以，所以因為到直線的距離，所以，所以，整理的，符合①式，此時，；（3）因為，所以，即，當且僅當時等號成立，此時為直角三角形且為直角，故，解得，從而，此時等號可成立.所以的最大值為.19.設數(shù)列的前項和為，已知，且．（1）證明：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）高斯是德國著名數(shù)學家，近代數(shù)學的奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，設，數(shù)列的前項和為，求除以16的余數(shù)．解：（1）當時，，又，所以，當時，①，故②，式子①-②得，，即，又，故當時，，故，即，因為為首項為，公比為的等比數(shù)列，故，故，（2）由（1）知，，故，對于任意的，不等式恒成立，即恒成立，設，于是，當時，，即，當時，，即，故，所以，綜上，的取值范圍是；（3）由（1）知，，因為，當為奇數(shù)時，，故，當為偶數(shù)時，，故，所以，，考慮當時，能被16整除，另外也能被16整除，故除以16的余數(shù)為除以16的余數(shù)，，故除以16的余數(shù)為8.遼寧省鞍山市普通高中2023-2024學年高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.4〖答案〗D〖解析〗由題意得為純虛數(shù)，所以，解得，故D正確.故選：D.2.已知直線，點在圓上運動，那么點到直線的距離的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓的圓心為，半徑為.則圓心到直線：的距離為：.所以圓上的點到直線：距離的最大值為：.故選：C.3.已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由向量在向量上投影向量為，所以得，又因為，所以，故C正確.故選：C.4.設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，若，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，，，則與的位置關系不能確定；若，因為，所以，又，所以成立.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.在某次美術專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測試結果相互獨立，則測試結束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達優(yōu)秀等級的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級分別為事件、、，則，且，，相互獨立，設甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級為事件，則，設乙沒有達優(yōu)秀等級為事件，則，所以.故選：B.6.數(shù)列的通項公式為，則（）A. B. C.5 D.8〖答案〗C〖解析〗因所以.故選：C.7.校數(shù)學興趣社團對“學生性別和選學生物學是否有關”作了嘗試性調(diào)查．其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同．男生選學生物學的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生選學生物學的人數(shù)占女生人數(shù)．若有的把握認為選學生物學和性別有關，則調(diào)查人數(shù)中男生不可能有（）人．附表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828其中，．A.20 B.30 C.35 D.40〖答案〗A〖解析〗設總人數(shù)為，則男生選學生物學的人數(shù)為，女生選生物學的人數(shù)為，則，即，又為的倍數(shù)，故男生最少有人.故選：A.8.已知，均為銳角，，則取得最大值時，的值為（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗,則，所以，整理得，因為，均為銳角，且，即，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，所以取得最大值時，的值為.故選：D.二、多項選擇題9.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則下列結論中正確的有（）A.當時，的取值范圍是B.當時，的取值范圍是C.當時，的取值范圍是D.當時，的取值范圍是〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)題意，易知，即，因此.當時，，因為，所以，又因為函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以，解得，故A正確，C錯誤；當時，，因為，所以，又因為函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以，解得，故B錯誤，D正確.故選：AD.10.如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G，H分別是棱的中點，點M滿足，其中，則下列結論正確的是（）A.過M，E，F(xiàn)三點的平面截正方體所得截面圖形有可能為正六邊形B.三棱錐的體積為定值C.當時，平面MEFD.當時，三棱錐外接球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗當時，點與點重合時，過M，E，F(xiàn)三點的平面截正方體所得截面圖形為正六邊形，如圖：故A正確；對于B，因為可得點是線段上的一個動點，又因為正方體中,平面平面平面，故平面，所以點到平面的距離為定值，而,所以三棱錐是定值,又因為，故三棱錐的體積為定值，B正確；當時，點為中點，因為，而平面MEF，所以與平面MEF不平行，C錯誤；當時，點與點重合，為等腰直角三角形，則的外接圓半徑為，又因為平面，所以三棱錐外接球的半徑，則，所以外接球表面積為，D正確.故選：ABD.11.在平面直角坐標系中,定義為點到點的“折線距離”．點是坐標原點，點在直線上，點在圓上，點在拋物線上．下列結論中正確的結論為（）A.的最小值為2 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對A：設，則（當且僅當時取“”）.故A錯；對B：設，則.則，故B對；對C：設，，則（當且僅當，時取“”）.故C對；對D：設，，則（當且僅當時取“”）.故D正確.故選：BCD三、填空題12.已知圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為，則該圓錐的表面積為______．〖答案〗〖解析〗已知圓錐的底面半徑，圓錐母線與底面所成的角為，所以圓錐的母線長為，所以該圓錐的表面積為.故〖答案〗為：13.的極大值為______．〖答案〗〖解析〗，當時，，當時，，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極大值.故〖答案〗為：.14.已知雙曲線的右焦點為，左、右頂點分別為，，軸于點，且．當最大時，點恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率為______．〖答案〗〖解析〗如圖：因為軸，且在雙曲線上，所以，又，所以為中點.因為最大，所以經(jīng)過，兩點的圓與相切于，此時點坐標為，圓心，由.故〖答案〗為：四、解答題15.鞍山市普通高中某次高三質(zhì)量監(jiān)測考試后，將化學成績按賦分規(guī)則轉換為等級分數(shù)（賦分后學生的分數(shù)全部介于30至100之間）．某校為做好本次考試的評價工作，從本校學生中隨機抽取了50名學生的化學等級分數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計，將分數(shù)按照，，，，，，分成7組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計這50名學生分數(shù)的中位數(shù)；（2）在這50名學生中用分層抽樣的方法從分數(shù)在，，的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取3人，記為3人中分數(shù)在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．解：（1）由.又∵，.所以，估計這50名學生分數(shù)的中位數(shù)為：.（2）因為，，三組的頻率之比為所以從，，三組中抽取的人數(shù)分別為7，3，1.由題意可取0，1，2，3且；；；.所以的分布列為：0123所以.16.如圖1，在平面五邊形中，，且，，，，將沿折起，使點到位置,且，得到如圖2所示的四棱錐．（1）求證；平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．（1）證明：在中，，，由余弦定理可得，所以，又因為，所以為正三角形，設的中點為，連接，可得，又由，可得，且平面，，所以平面，因為平面，所以，在中，可得，在中，可得，又因為，可得，所以，因為平面，且，所以平面.（2）解：因為，所以，又由平面，且平面，所以，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，則，，設平面法向量為，則，取，可得，所以，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，設平面與平面所成的角為，由圖象可得為銳角，則所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．17.已知函數(shù)，．（1）若曲線在處的切線與軸垂直，求實數(shù)的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．解：（1）依題意，，則，因為在處的切線與軸垂直，所以，解得；（2）由（1）知，當時，由得，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間，當時，分以下三種情況：若，則在定義域內(nèi)恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；若，令得或，令得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，若，令得或，令得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上所述，當時，在區(qū)間單調(diào)遞增，在