2024屆四川省百師聯(lián)盟高三沖刺卷數(shù)學(xué)試題（文）（全國卷）（解析版）（五）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（五）數(shù)學(xué)試題（文）（全國卷）一、選擇題1.設(shè)，則（）A B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，所以．故選：B．2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，故選：C3.函數(shù)的大致圖象為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為的定義域為，故排除；又，故排除；，故排除D．故選：B．4.若關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，則實數(shù)（）A. B.1 C.或0 D.0或1〖答案〗C〖解析〗由題意，當(dāng)直線垂直于直線時，表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，所以.當(dāng)直線垂直于直線時，表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，所以.故選:C．5.已知命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為命題“”為真命題，所以．令與在上均為增函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時，有最小值，即，故選：A．6.下圖是某全國性冰淇淋銷售連鎖機構(gòu)的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月銷售量折線圖（單位：杯），則下列選項錯誤的是（）A.這8個月月銷售量的極差是3258 B.這8個月月銷售量的中位數(shù)是3194C.這8個月中2月份銷量最低 D.這8個月中銷量比前一個月增長最多的是4月份〖答案〗B〖解析〗將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：707，1533，1598，3152，3436，3533，3740，3965，對于A，極差是，故A正確；對于B，因為，所以中位數(shù)是第四個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)，即，故B錯誤；對于C，這8個月中2月份的銷量最低，故C正確；對于D，這8個月中銷量比前一個月增長最多的是4月份，增加了1619，故D正確．故選：B．7.已知向量，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，，，所以．故選：B8.已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以.故選：D.9.某導(dǎo)航通訊的信號可以用函數(shù)近似模擬，若函數(shù)在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，得，所以函數(shù)的零點為，可知在上的零點依次為，若在上有3個零點，則．故選：A．10.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，也就是說當(dāng)時，，用代替，可得，即，所以，即．又知，所以，所以．故選：A11.分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數(shù)是（）A.12 B.13 C.40 D.121〖答案〗C〖解析〗設(shè)題圖②中第行白心圈的個數(shù)為，黑心圈的個數(shù)為，依題意可得，且有，所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，①；又，，故有，∴為常數(shù)數(shù)列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數(shù)列，②；由①②相加減得：，；所以．故選：C．12.在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，．且平面，平面，所以平面．設(shè)的外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，即，所以．設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，即，所以，所以外接球的表面積為．故選：C．二、填空題13.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，若的概率為，則_________.〖答案〗2〖解析〗顯然．區(qū)間長度是7，區(qū)間上隨機取一個數(shù)的解集為，區(qū)間長度為，所以的概率為，所以．故〖答案〗為：214.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若不是的極值點，則實數(shù)_________.〖答案〗3〖解析〗由，設(shè)，若不是函數(shù)的極值點，則必有，即，所以．當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此是的極值點，不是極值點，滿足題意，故．故〖答案〗為：315.阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓的面積為，點在橢圓上，且與橢圓上、下頂點連線的斜率之積為．記橢圓的左、右兩個焦點分別為，則的面積可能為_______．（橫線上寫出滿足條件的一個值）〖答案〗2（〖答案〗不唯一，在內(nèi)的任何數(shù)都可以）〖解析〗由橢圓的面積為，得，解得，設(shè)點，顯然，由，得，橢圓的上、下頂點坐標(biāo)分別為，則，即，解得，半焦距，的面積，而且，因此，所以的面積可能為2.故〖答案〗為：216.如圖，在中，，為邊上的一點，且，則_________.〖答案〗〖解析〗由題可知，在中，由正弦定理得，即，得，又，由圖可得為鈍角，所以，所以，則，則，又，所以為等腰直角三角形，則．故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.某校為了了解學(xué)生每周參加課外興趣班的情況，隨機調(diào)查了該校1000名學(xué)生在2023年最后一周參加課外興趣班的時長（單位：分鐘），得到如圖所示的頻率分布直方圖．直方圖中成等差數(shù)列，時長落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為200．（1）求出直方圖中的值；（2）估計樣本時長的中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（3）從參加課外興趣班的時長在和的學(xué)生中按照分層抽樣的方法隨機抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，再從這6人中隨機抽取2人進(jìn)行參加興趣班情況的深入調(diào)查，求被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和恰好各一人的概率．解：（1）由已知可得，則，即，又成等差數(shù)列，，解得．（2），設(shè)中位數(shù)為，且，，解得，即中位數(shù)為71.7;平均數(shù)為;（3）由（1）知，按照分層抽樣隨機抽取6人中，參加課外興趣班的時長在內(nèi)的有人，記為，參加課外興趣班的時長在內(nèi)的有人，記為．從中隨機抽取2人的所有基本事件有:，，共15種，其中，被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和的恰好各一人的事件有:，共8種．所以被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和的恰好各一人的概率為.18.如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，且平面平面．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．（1）證明：連接，平面平面，平面平面，面，平面，又平面，則，是直角三角形，即．在梯形中，作于，則，則．又，則，．（2）解：，平面平面，平面平面，面，平面．由（1）知，.19.已知為正項數(shù)列的前項和，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求的前10項和．解：（1）由題意知：，即，當(dāng)時，，兩式相減，可得，因為，可得．又因為，當(dāng)時，，即，解得或（舍去），所以（符合），從而，所以數(shù)列表示首項為3，公差為2等差數(shù)列．所以數(shù)列的通項公式為．（2）由題意得，所以，所以.20.已知拋物線的焦點為．點在拋物線上，且．（1）求；（2）過焦點的直線交拋物線于兩點，原點為，若直線分別交直線：于兩點，求線段長度的最小值．解：（1）因為點在上，所以，因為，所以由拋物線定義得，解得或（舍）．所以．（2）由（1）知，拋物線的方程為，．若直線的斜率不存在，則與拋物線只有一個交點，不合題意，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，，，則直線的方程為，聯(lián)立消去得，所以，從而有．由得直線的方程，聯(lián)立解得，同理．所以令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以線段長度的最小值為.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)是函數(shù)的兩個零點，求證：．（1）解：當(dāng)時，，則，則切線方程為，因此曲線在點處的切線方程為．（2）證明：函數(shù)是的兩個零點，所以，則有，且，由，得．要證，只要證明，即證．記，則，因此只要證明，即．記，則，令，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，則，即，則在上單調(diào)遞增，，即成立.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）已知點，直線與曲線交于兩點，求的值．解：（1）將代入，得，所以直線的直角坐標(biāo)方程為；由曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），化為，平方相加得曲線的普通方程為；（2）由（1）可得點在直線上，由此可得直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），將其代入曲線的普通方程中得，設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)為，點對應(yīng)的參數(shù)為，則，所以一正一負(fù)，所以.[選修4-5：不等式選講]23.已知均為正實數(shù)，且滿足．（1）求的最小值；（2）求證：.（1）解：因為均為正實數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．（2）證明：根據(jù)柯西不等式有，所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即原命題得證.四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（五）數(shù)學(xué)試題（文）（全國卷）一、選擇題1.設(shè)，則（）A B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，所以．故選：B．2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，故選：C3.函數(shù)的大致圖象為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為的定義域為，故排除；又，故排除；，故排除D．故選：B．4.若關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，則實數(shù)（）A. B.1 C.或0 D.0或1〖答案〗C〖解析〗由題意，當(dāng)直線垂直于直線時，表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，所以.當(dāng)直線垂直于直線時，表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，所以.故選:C．5.已知命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為命題“”為真命題，所以．令與在上均為增函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時，有最小值，即，故選：A．6.下圖是某全國性冰淇淋銷售連鎖機構(gòu)的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月銷售量折線圖（單位：杯），則下列選項錯誤的是（）A.這8個月月銷售量的極差是3258 B.這8個月月銷售量的中位數(shù)是3194C.這8個月中2月份銷量最低 D.這8個月中銷量比前一個月增長最多的是4月份〖答案〗B〖解析〗將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：707，1533，1598，3152，3436，3533，3740，3965，對于A，極差是，故A正確；對于B，因為，所以中位數(shù)是第四個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)，即，故B錯誤；對于C，這8個月中2月份的銷量最低，故C正確；對于D，這8個月中銷量比前一個月增長最多的是4月份，增加了1619，故D正確．故選：B．7.已知向量，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，，，所以．故選：B8.已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以.故選：D.9.某導(dǎo)航通訊的信號可以用函數(shù)近似模擬，若函數(shù)在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，得，所以函數(shù)的零點為，可知在上的零點依次為，若在上有3個零點，則．故選：A．10.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，也就是說當(dāng)時，，用代替，可得，即，所以，即．又知，所以，所以．故選：A11.分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數(shù)是（）A.12 B.13 C.40 D.121〖答案〗C〖解析〗設(shè)題圖②中第行白心圈的個數(shù)為，黑心圈的個數(shù)為，依題意可得，且有，所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，①；又，，故有，∴為常數(shù)數(shù)列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數(shù)列，②；由①②相加減得：，；所以．故選：C．12.在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，．且平面，平面，所以平面．設(shè)的外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，即，所以．設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，即，所以，所以外接球的表面積為．故選：C．二、填空題13.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，若的概率為，則_________.〖答案〗2〖解析〗顯然．區(qū)間長度是7，區(qū)間上隨機取一個數(shù)的解集為，區(qū)間長度為，所以的概率為，所以．故〖答案〗為：214.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若不是的極值點，則實數(shù)_________.〖答案〗3〖解析〗由，設(shè)，若不是函數(shù)的極值點，則必有，即，所以．當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此是的極值點，不是極值點，滿足題意，故．故〖答案〗為：315.阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓的面積為，點在橢圓上，且與橢圓上、下頂點連線的斜率之積為．記橢圓的左、右兩個焦點分別為，則的面積可能為_______．（橫線上寫出滿足條件的一個值）〖答案〗2（〖答案〗不唯一，在內(nèi)的任何數(shù)都可以）〖解析〗由橢圓的面積為，得，解得，設(shè)點，顯然，由，得，橢圓的上、下頂點坐標(biāo)分別為，則，即，解得，半焦距，的面積，而且，因此，所以的面積可能為2.故〖答案〗為：216.如圖，在中，，為邊上的一點，且，則_________.〖答案〗〖解析〗由題可知，在中，由正弦定理得，即，得，又，由圖可得為鈍角，所以，所以，則，則，又，所以為等腰直角三角形，則．故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.某校為了了解學(xué)生每周參加課外興趣班的情況，隨機調(diào)查了該校1000名學(xué)生在2023年最后一周參加課外興趣班的時長（單位：分鐘），得到如圖所示的頻率分布直方圖．直方圖中成等差數(shù)列，時長落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為200．（1）求出直方圖中的值；（2）估計樣本時長的中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（3）從參加課外興趣班的時長在和的學(xué)生中按照分層抽樣的方法隨機抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，再從這6人中隨機抽取2人進(jìn)行參加興趣班情況的深入調(diào)查，求被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和恰好各一人的概率．解：（1）由已知可得，則，即，又成等差數(shù)列，，解得．（2），設(shè)中位數(shù)為，且，，解得，即中位數(shù)為71.7;平均數(shù)為;（3）由（1）知，按照分層抽樣隨機抽取6人中，參加課外興趣班的時長在內(nèi)的有人，記為，參加課外興趣班的時長在內(nèi)的有人，記為．從中隨機抽取2人的所有基本事件有:，，共15種，其中，被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和的恰好各一人的事件有:，共8種．所以被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和的恰好各一人的概率為.18.如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，且平面平面．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．（1）證明：連接，平面平面，平面平面，面，平面，又平面，則，是直角三角形，即．在梯形中，作于，則，則．又，則，．（2）解：，平面平面，平面平面，面，平面．由（1）知，.19.已知為正項數(shù)列的前項和，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求的前10項和．解：（1）由題意知：，即，當(dāng)時，，兩式相減，可得，因為，可得．又因為，當(dāng)時，，即，解得或（舍去），所以（符合），從而，所以數(shù)列表示首項為3，公差為2等差數(shù)列．所以數(shù)列的通項公式為．（2）由題意得，所以，所以.20.已知拋物線的焦點為．點在拋物線上，且．（1）求；（2）過焦點的直線交拋物線于兩點，原點為