2024屆四川省百師聯(lián)盟高三沖刺卷數學試題（文）（全國卷）（解析版）（五）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（五）數學試題（文）（全國卷）一、選擇題1.設，則（）A B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，所以．故選：B．2.設集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，故選：C3.函數的大致圖象為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為的定義域為，故排除；又，故排除；，故排除D．故選：B．4.若關于的不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，則實數（）A. B.1 C.或0 D.0或1〖答案〗C〖解析〗由題意，當直線垂直于直線時，表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，所以.當直線垂直于直線時，表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，所以.故選:C．5.已知命題“”為真命題，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為命題“”為真命題，所以．令與在上均為增函數，故為增函數，當時，有最小值，即，故選：A．6.下圖是某全國性冰淇淋銷售連鎖機構的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月銷售量折線圖（單位：杯），則下列選項錯誤的是（）A.這8個月月銷售量的極差是3258 B.這8個月月銷售量的中位數是3194C.這8個月中2月份銷量最低 D.這8個月中銷量比前一個月增長最多的是4月份〖答案〗B〖解析〗將數據按從小到大的順序排列：707，1533，1598，3152，3436，3533，3740，3965，對于A，極差是，故A正確；對于B，因為，所以中位數是第四個數和第五個數的平均數，即，故B錯誤；對于C，這8個月中2月份的銷量最低，故C正確；對于D，這8個月中銷量比前一個月增長最多的是4月份，增加了1619，故D正確．故選：B．7.已知向量，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，，，所以．故選：B8.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經過點，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為角的終邊經過點，所以，所以.故選：D.9.某導航通訊的信號可以用函數近似模擬，若函數在上有3個零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，得，所以函數的零點為，可知在上的零點依次為，若在上有3個零點，則．故選：A．10.已知，則的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗當時，設，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，也就是說當時，，用代替，可得，即，所以，即．又知，所以，所以．故選：A11.分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學領域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數是（）A.12 B.13 C.40 D.121〖答案〗C〖解析〗設題圖②中第行白心圈的個數為，黑心圈的個數為，依題意可得，且有，所以是以為首項，3為公比的等比數列，①；又，，故有，∴為常數數列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數列，②；由①②相加減得：，；所以．故選：C．12.在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，．且平面，平面，所以平面．設的外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，即，所以．設三棱錐的外接球的半徑為，則，即，所以，所以外接球的表面積為．故選：C．二、填空題13.在區(qū)間上隨機取一個數，若的概率為，則_________.〖答案〗2〖解析〗顯然．區(qū)間長度是7，區(qū)間上隨機取一個數的解集為，區(qū)間長度為，所以的概率為，所以．故〖答案〗為：214.已知函數的導函數，若不是的極值點，則實數_________.〖答案〗3〖解析〗由，設，若不是函數的極值點，則必有，即，所以．當時，，故當時，，當時，，因此是的極值點，不是極值點，滿足題意，故．故〖答案〗為：315.阿基米德既是古希臘著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓的面積為，點在橢圓上，且與橢圓上、下頂點連線的斜率之積為．記橢圓的左、右兩個焦點分別為，則的面積可能為_______．（橫線上寫出滿足條件的一個值）〖答案〗2（〖答案〗不唯一，在內的任何數都可以）〖解析〗由橢圓的面積為，得，解得，設點，顯然，由，得，橢圓的上、下頂點坐標分別為，則，即，解得，半焦距，的面積，而且，因此，所以的面積可能為2.故〖答案〗為：216.如圖，在中，，為邊上的一點，且，則_________.〖答案〗〖解析〗由題可知，在中，由正弦定理得，即，得，又，由圖可得為鈍角，所以，所以，則，則，又，所以為等腰直角三角形，則．故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.某校為了了解學生每周參加課外興趣班的情況，隨機調查了該校1000名學生在2023年最后一周參加課外興趣班的時長（單位：分鐘），得到如圖所示的頻率分布直方圖．直方圖中成等差數列，時長落在區(qū)間內的人數為200．（1）求出直方圖中的值；（2）估計樣本時長的中位數（精確到0.1）和平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代替）；（3）從參加課外興趣班的時長在和的學生中按照分層抽樣的方法隨機抽取6人進行問卷調查，再從這6人中隨機抽取2人進行參加興趣班情況的深入調查，求被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和恰好各一人的概率．解：（1）由已知可得，則，即，又成等差數列，，解得．（2），設中位數為，且，，解得，即中位數為71.7;平均數為;（3）由（1）知，按照分層抽樣隨機抽取6人中，參加課外興趣班的時長在內的有人，記為，參加課外興趣班的時長在內的有人，記為．從中隨機抽取2人的所有基本事件有:，，共15種，其中，被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和的恰好各一人的事件有:，共8種．所以被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和的恰好各一人的概率為.18.如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，且平面平面．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．（1）證明：連接，平面平面，平面平面，面，平面，又平面，則，是直角三角形，即．在梯形中，作于，則，則．又，則，．（2）解：，平面平面，平面平面，面，平面．由（1）知，.19.已知為正項數列的前項和，且．（1）求數列的通項公式；（2）若，求的前10項和．解：（1）由題意知：，即，當時，，兩式相減，可得，因為，可得．又因為，當時，，即，解得或（舍去），所以（符合），從而，所以數列表示首項為3，公差為2等差數列．所以數列的通項公式為．（2）由題意得，所以，所以.20.已知拋物線的焦點為．點在拋物線上，且．（1）求；（2）過焦點的直線交拋物線于兩點，原點為，若直線分別交直線：于兩點，求線段長度的最小值．解：（1）因為點在上，所以，因為，所以由拋物線定義得，解得或（舍）．所以．（2）由（1）知，拋物線的方程為，．若直線的斜率不存在，則與拋物線只有一個交點，不合題意，所以直線的斜率存在，設直線的斜率為，，，則直線的方程為，聯(lián)立消去得，所以，從而有．由得直線的方程，聯(lián)立解得，同理．所以令，則，所以，當且僅當即時等號成立，所以線段長度的最小值為.21.已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）設是函數的兩個零點，求證：．（1）解：當時，，則，則切線方程為，因此曲線在點處的切線方程為．（2）證明：函數是的兩個零點，所以，則有，且，由，得．要證，只要證明，即證．記，則，因此只要證明，即．記，則，令，則，當時，，所以函數在上遞增，則，即，則在上單調遞增，，即成立.（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數方程]22.在直角坐標系中，曲線的參數方程為（其中為參數）.以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；（2）已知點，直線與曲線交于兩點，求的值．解：（1）將代入，得，所以直線的直角坐標方程為；由曲線的參數方程為（其中為參數），化為，平方相加得曲線的普通方程為；（2）由（1）可得點在直線上，由此可得直線的參數方程為（其中為參數），將其代入曲線的普通方程中得，設點對應的參數為，點對應的參數為，則，所以一正一負，所以.[選修4-5：不等式選講]23.已知均為正實數，且滿足．（1）求的最小值；（2）求證：.（1）解：因為均為正實數，，所以，當且僅當，即時等號成立．（2）證明：根據柯西不等式有，所以．當且僅當，即時等號成立，即原命題得證.四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（五）數學試題（文）（全國卷）一、選擇題1.設，則（）A B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，所以．故選：B．2.設集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，故選：C3.函數的大致圖象為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為的定義域為，故排除；又，故排除；，故排除D．故選：B．4.若關于的不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，則實數（）A. B.1 C.或0 D.0或1〖答案〗C〖解析〗由題意，當直線垂直于直線時，表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，所以.當直線垂直于直線時，表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，所以.故選:C．5.已知命題“”為真命題，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為命題“”為真命題，所以．令與在上均為增函數，故為增函數，當時，有最小值，即，故選：A．6.下圖是某全國性冰淇淋銷售連鎖機構的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月銷售量折線圖（單位：杯），則下列選項錯誤的是（）A.這8個月月銷售量的極差是3258 B.這8個月月銷售量的中位數是3194C.這8個月中2月份銷量最低 D.這8個月中銷量比前一個月增長最多的是4月份〖答案〗B〖解析〗將數據按從小到大的順序排列：707，1533，1598，3152，3436，3533，3740，3965，對于A，極差是，故A正確；對于B，因為，所以中位數是第四個數和第五個數的平均數，即，故B錯誤；對于C，這8個月中2月份的銷量最低，故C正確；對于D，這8個月中銷量比前一個月增長最多的是4月份，增加了1619，故D正確．故選：B．7.已知向量，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，，，所以．故選：B8.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經過點，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為角的終邊經過點，所以，所以.故選：D.9.某導航通訊的信號可以用函數近似模擬，若函數在上有3個零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，得，所以函數的零點為，可知在上的零點依次為，若在上有3個零點，則．故選：A．10.已知，則的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗當時，設，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，也就是說當時，，用代替，可得，即，所以，即．又知，所以，所以．故選：A11.分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學領域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數是（）A.12 B.13 C.40 D.121〖答案〗C〖解析〗設題圖②中第行白心圈的個數為，黑心圈的個數為，依題意可得，且有，所以是以為首項，3為公比的等比數列，①；又，，故有，∴為常數數列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數列，②；由①②相加減得：，；所以．故選：C．12.在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，．且平面，平面，所以平面．設的外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，即，所以．設三棱錐的外接球的半徑為，則，即，所以，所以外接球的表面積為．故選：C．二、填空題13.在區(qū)間上隨機取一個數，若的概率為，則_________.〖答案〗2〖解析〗顯然．區(qū)間長度是7，區(qū)間上隨機取一個數的解集為，區(qū)間長度為，所以的概率為，所以．故〖答案〗為：214.已知函數的導函數，若不是的極值點，則實數_________.〖答案〗3〖解析〗由，設，若不是函數的極值點，則必有，即，所以．當時，，故當時，，當時，，因此是的極值點，不是極值點，滿足題意，故．故〖答案〗為：315.阿基米德既是古希臘著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓的面積為，點在橢圓上，且與橢圓上、下頂點連線的斜率之積為．記橢圓的左、右兩個焦點分別為，則的面積可能為_______．（橫線上寫出滿足條件的一個值）〖答案〗2（〖答案〗不唯一，在內的任何數都可以）〖解析〗由橢圓的面積為，得，解得，設點，顯然，由，得，橢圓的上、下頂點坐標分別為，則，即，解得，半焦距，的面積，而且，因此，所以的面積可能為2.故〖答案〗為：216.如圖，在中，，為邊上的一點，且，則_________.〖答案〗〖解析〗由題可知，在中，由正弦定理得，即，得，又，由圖可得為鈍角，所以，所以，則，則，又，所以為等腰直角三角形，則．故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.某校為了了解學生每周參加課外興趣班的情況，隨機調查了該校1000名學生在2023年最后一周參加課外興趣班的時長（單位：分鐘），得到如圖所示的頻率分布直方圖．直方圖中成等差數列，時長落在區(qū)間內的人數為200．（1）求出直方圖中的值；（2）估計樣本時長的中位數（精確到0.1）和平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代替）；（3）從參加課外興趣班的時長在和的學生中按照分層抽樣的方法隨機抽取6人進行問卷調查，再從這6人中隨機抽取2人進行參加興趣班情況的深入調查，求被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和恰好各一人的概率．解：（1）由已知可得，則，即，又成等差數列，，解得．（2），設中位數為，且，，解得，即中位數為71.7;平均數為;（3）由（1）知，按照分層抽樣隨機抽取6人中，參加課外興趣班的時長在內的有人，記為，參加課外興趣班的時長在內的有人，記為．從中隨機抽取2人的所有基本事件有:，，共15種，其中，被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和的恰好各一人的事件有:，共8種．所以被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和的恰好各一人的概率為.18.如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，且平面平面．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．（1）證明：連接，平面平面，平面平面，面，平面，又平面，則，是直角三角形，即．在梯形中，作于，則，則．又，則，．（2）解：，平面平面，平面平面，面，平面．由（1）知，.19.已知為正項數列的前項和，且．（1）求數列的通項公式；（2）若，求的前10項和．解：（1）由題意知：，即，當時，，兩式相減，可得，因為，可得．又因為，當時，，即，解得或（舍去），所以（符合），從而，所以數列表示首項為3，公差為2等差數列．所以數列的通項公式為．（2）由題意得，所以，所以.20.已知拋物線的焦點為．點在拋物線上，且．（1）求；（2）過焦點的直線交拋物線于兩點，原點為