2024年新高考新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模擬卷（二）（解析版）

2024年新店考新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模擬卷（二）

（模擬測試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答睡前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答地卡上，并將準(zhǔn)考證號條彩碼粘貼在答超卡上的

指定住近.

2,選擇期的作答：每小趙選出答案后，用2B鉛筆杷答地卡上對應(yīng)忍目的答案標(biāo)號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答迪卡上的非答睡區(qū)域均無效。

3.非選擇趙的作答：用黑也簽字尼克接答在答地卡上對應(yīng)的答端區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草超紙和答逝卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共s小題，每M45分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.（x-3y）展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.90B.-90C.-270D.270

2.在等差數(shù)列｛《｝中，若4+4=10,。,=7,則公差d=

A.1B.2C.3D.4

3.已知向量應(yīng)不滿足雙方+可=2,且同=1,則向量口在向量，上的投影向量為（）

A.1B.—1C.aD.—a

4.在&4BC中，r加血血3＜廠是“&45。為鈍角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

5.已知三棱錐P--45C,al5c是以.4C為斜邊的直角三角形，34c為邊長是2的等邊三角形，目平面

4BC/平面PAC,則三棱錐P-N5c外接球的表面積為（）

16?21_21八

A.—--B.---C.--TtD.SH

332

6.血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是95%~100%,當(dāng)血氧飽和度低于

90%a寸,需要吸氧治療,在環(huán)境模擬實(shí)蛉室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：S（f）=5。腔描述血氧飽和度S?

隨給氧時(shí)間”單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中S。為初始血氧飽和度，K為參數(shù).已知S°=60%,給氧1小時(shí)

后，血氧飽和度為80%.若使得血氧飽和度達(dá)到90%,則至少還需要給氧時(shí)間（單位：時(shí)）為（）

（精確到0.1,參考數(shù)據(jù):ln2=0.69,ln3=L10）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9

7.已知雙曲線吟午=13>。4>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳氐過石的直線與雙曲線C分別在第一、二象

限交于43兩點(diǎn)，A4B區(qū)內(nèi)切圓的半徑為r,若|即12%/=竺。，則雙曲線C的離心率為（）

3

A.-JlB.叵C.空D.昱

223

8.在銳角中，角43￡所對的邊分別為。立c.若2rcos5=a-c,則叫守的取值范圍為（）

smB

A.（1,^3）B.（0,1）C.但應(yīng)）D.（應(yīng)J）

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共1S分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分）

9.已知二為復(fù)數(shù)，設(shè)二，三，七在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為.4,B,C,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）

A.|四=|函B.OA±OC

C.印卜|西D.OB//AC

10.如圖，已知拋物線c：V=2/（p>0）的焦點(diǎn)為尸，拋物線C的準(zhǔn)線與X軸交于點(diǎn)D,過點(diǎn)尸的

直線/（直線/的傾斜角為銳角）與拋物線。相交于A,5兩點(diǎn)（.4在x軸的上方，3在x軸的下方）,

過點(diǎn).4作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,直線/與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則（）

A.當(dāng)直線/的斜率為1時(shí)，|.43|=4pB.若網(wǎng)=|磯則直線/的斜率為2

C.存在直線/使得&OB=90°D.若萬=3而，則直線/的傾斜角為60

11.已知函數(shù)刀X)定義域?yàn)镽,滿足力x+2)=；/(x),當(dāng)-14x<l時(shí)，與x)=k|.若函數(shù)］工/U)的圖象

與函數(shù)g(x)=(；J/(_2023W2023)的圖象的交點(diǎn)為。，兄)，(々，匕)，…(x.j“)，(其中卜］表示不超

過x的最大整數(shù))，則()

A.g(x)是偶函數(shù)B.”=2024C.力￡=0D.=2M,2-2-'°"

J?1i"!

三、填空踐(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知/x)=&W的定義域?yàn)橐?,集合8={x€R1<?<2},若3土月，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

13.如圖，圓錐底面半徑為,，母線24=2,點(diǎn)B為24的中點(diǎn)，一只螞蟻從.4點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一

周，到達(dá)5點(diǎn)，其最短路線長度為,其中下坡路段長為.

14.在同一平面直角坐標(biāo)系中，P,。分別是函數(shù)/lx)=Ge'-ln(G)和g(x)=@『2圖象上的動點(diǎn)，若

對任意a>0,有|PQ|N”恒成立，則實(shí)數(shù)加的最大值為.

四'解答題(本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.已知函數(shù)/IX)=H+8SX-2,g(x)=sinx.

(1球證：當(dāng)xe(0,”)，g(x)<x<1/!>)；

(2期xe(0.xc),〃x)+g(x)>ov恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

16.某公司是一家集無人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè).該公司生產(chǎn)的甲、乙

兩種類型無大運(yùn)輸機(jī)性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用.已知在單位時(shí)間內(nèi),

甲、乙兩種類型無人運(yùn)愉機(jī)操作成功的概率分別為:和9,假設(shè)每次操作能否成功相互獨(dú)立.

42

(1通機(jī)選擇兩種無人運(yùn)輸機(jī)中的一種，求選中的無人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率；

(2》臬作員連續(xù)進(jìn)行兩次無人機(jī)的操作有兩種方案：

方案一：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無人運(yùn)輸機(jī)中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型

設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進(jìn)行操作；

方案二：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無人運(yùn)輸機(jī)中的一種，無論初次操作是否成功，第二次均使用初次

所選擇的無人運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行操作.

假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值.

17.在圖1所示的平面多邊形中，四邊形.打8為菱形，.45=2,N氏⑷=60ARBC與4不7。均為等邊三

角形.分另U將△牛4必月3(7△耳皿月也)沿著一45,BC,CD,以翻折，使得修為修巴四點(diǎn)恰好重

(1肖尤=g,證明：PA.LPC,

(2錯(cuò)二面角CD-N的余弦值為求4的值.

18.在平面直角坐標(biāo)系xQ■中，雙曲線匚,營=13>03>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳得。的離心率為2,

直線/過耳與C交于MN兩點(diǎn)，當(dāng)10M=10同時(shí)，△△里區(qū)的面積為3.

(1球雙曲線C的方程；

(2)已知M,N都在C的右支上，設(shè)/的斜率為洲.

①求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

②是否存在實(shí)數(shù)泄，使得NMCW為銳角？若存在，請求出力的取值范圍；若不存在，請說明理由.

19.已知無窮數(shù)列{6}滿足4=max{a“+)M+2}-min{a,+14+2}("=LZ3,…)，其中max{xj}表示x,y中最

大的數(shù)，min{xj，}表示x,y中最小的數(shù).

(哨4=1,1=2時(shí),寫出&的所有可能值;

(2港數(shù)列｛6｝中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列｛?！埃械捻?xiàng)；

(3港4>05=123,…)，是否存在正實(shí)數(shù)使得對任意的正整數(shù)”，都有44財(cái)？如果存在，寫出一個(gè)

滿足條件的如果不存在，說明理由.

2024年新店考新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模擬卷（二）

（模擬測試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答睡前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答地卡上，并將準(zhǔn)考證號條彩碼粘貼在答超卡上的

指定住近.

2,選擇期的作答：每小趙選出答案后，用2B鉛筆杷答地卡上對應(yīng)忍目的答案標(biāo)號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答迪卡上的非答睡區(qū)域均無效。

3.非選擇趙的作答：用黑也簽字尼克接答在答地卡上對應(yīng)的答端區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草超紙和答逝卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共s小題，每M45分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.（x-3y）展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.90B.-90C.-270D.270

【答案】A

【分析】利用二項(xiàng)式定理求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出第3項(xiàng).

【詳解】（A3y）,展開式的第3項(xiàng)為7I=CK（-3J，）2=90XT2,故第3項(xiàng)系數(shù)為90,

故選：A

2.在等差數(shù)列｛%｝中，若4+q=10,q,=7,則公差d=

A.1B.2C.3D.4

t答案】B

【解析】把-a用q，d表示出來，根據(jù)題目條件列出方程組，即可求得本題答案.

【詳解】在等差數(shù)列｛4｝中，因?yàn)?+4=10,4=7,所以］:二票；+'=1°，求得：二丁.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差額列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知向量萬，g滿足,曰+為=2,且同=1,則向量B在向量方上的投影向量為（）

A?1B?—1C?aD?~Q

【答案】c

——

aba

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出鼠6,在根據(jù)向量占在向量1上的投影向量為刊”同計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)楸牵ㄈf+可=2,且同=1,所以東+3萬=2,即同2+萬萬=2,

所以作》=1,

——

aba一

所以向量b在向量方上的投影向量為同*同="-

故選：C

4.在&4BC中，氣311小加3<廣是“人曲7為鈍角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

t答案】C

【分析】推出tan/anBvl的等價(jià)式子，即可判斷出結(jié)論.

【詳解】

tan.4tanB<1<=>1'山'n">0o.co、（.一肛>0<=>———>0OCOSHCOSBCOSC<0OAJSC為鈍角

8sN8sBcosJcosBcosJcosB

三角形.

.,.在&MC中，"tan.4tan3<1”是“&45C為鈍角三角形”的充要條件.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查和與差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中

檔題.

5.已知三棱錐尸-.?,315c是以AC為斜邊的直角三角形，34c為邊長是2的等邊三角形，目平面

4BC/平面R4C,則三棱錐尸-4BC外接球的表面積為（）

A.當(dāng)兀B./■兀C.三兀D.阮

332

【答案】A

【分析】由條件知，外接球的球心在過.4。的中點(diǎn)且垂直于平面.43C的直線上，又平面WBC/平面E4C,

所以可得等邊三角形R4C的中心即為外接球的球心，求出"HC外接圓的半徑即得三棱錐尸-.的外接球

的半徑.

【詳解】直角三角形-二C外接圓的圓心是斜邊AC的中點(diǎn)Q,過該點(diǎn)作一條垂直于平面-二C的直線.

因?yàn)槠矫?BC/平面R4C,

所以所作直線在平面E4C內(nèi)，目經(jīng)過等邊三角形PAC的中心,

所以等邊三角形PAC的中心就是三棱錐P--的外接球的球心,

所以APNC外接圓的半徑也是三棱錐尸-且5。外接球的半徑.

JC2

由正弦定理知，.（及是"4C的外接圓的半徑）,即立兀

sinZAPCsin—

22后

所以尺=口=丁，

2sm—”

3

于是三棱錐P--亞外接球的半徑為半,

故三棱錐尸--的外接球的表面積為s=4依,=罕.

故選：A.

6.血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是95%~100%,當(dāng)血氧飽和度低于

90%a寸,需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)險(xiǎn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：s?）=s木描述血氧飽和度s（。

隨給氧時(shí)間/（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中S。為初始血氧飽和度，K為參數(shù).已知￡=60%,給氧1小時(shí)

后，血氧飽和度為80%.若使得血氧飽和度達(dá)到90%,則至少還需要給氧時(shí)間（單位：時(shí)）為（）

（精確到0」，參考數(shù)據(jù)：ln2=0.69Jn3，L10）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9

【答案】B

【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于時(shí)間「的方程，解之即可求得給氧時(shí)間至少還需要的小時(shí)數(shù).

t詳解】設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要公1小時(shí)，

由題意可得60e，=80,60e"=90，兩邊同時(shí)取自然對數(shù)并整理，

on4on3

得K=ln"=ln二=1口4-1113=2加2-1113,￡r=ln_=lni=ln3-ta2,

口603602'

則t="5,則給氧時(shí)間至少還需要0.5小時(shí)

21n2-ln3N2Jx0E.69-。1*.10

故選：B

7.已知雙曲線C:,Al(a>0,20)的左，右焦點(diǎn)分別為耳月，過耳的直線與雙曲線C分別在第一、二象

限交于43兩點(diǎn)，A4即內(nèi)切圓的半徑為r,若|即卜2%/=羋。，則雙曲線C的離心率為()

A.HB.且C.至D.亞

“223

【答案】A

7T

【分析】由雙曲線定義結(jié)合已知得|司|=M，h月|=4a，WE|=2c，4第=1,進(jìn)一步由余弦定理列方程，

結(jié)合離心率公式即可求解.

【詳解】不妨設(shè)內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為巳。，R,所以|〃|=|H?|.|3P|=|B0MO|=ER|,

?.?點(diǎn).4在雙曲線上，

二函-I典卜勿,

又?.?陶卜之，二⑷IT盟I，

?.?網(wǎng)=1居R|,二聞=1然I，

???點(diǎn)B在雙曲線上，

二|愿H即=2%

二|即|=%,

二愿|=；|孫勿,

設(shè)內(nèi)切圓圓心為/,連接里，如圖所示,

"5。=圈邛'

即/死4

二A曲；為等邊三角形，二|司卜也|月月|=40M月卜2C,ZF}AF2=：,

在△盟月由余弦定理得：|耳用2=|期『+|4以2―2圈設(shè)用8S"盟,

即：4r'=36〃+1&H-24r=28。)

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到|司卜命,|司卜％,國￡卜2c,4盟=g,由此即可順利得解.

5m

8.在銳角dlBC中，角43c所對的邊分別為。立c.若2rcosB=a-c,則z二.的取值范圍為()

A.(1,5/3)B.(0,1)C.D.(6J5)

【答案】B

【分析】由2rcos5=a-c,根據(jù)正弦定理邊化角，再消去C,可得sin(C-B)=Wn(-C),利用三角形斜C

是銳角三角形，可得3=2C,進(jìn)而求出對變竿2化簡，可求出結(jié)果.

1647sinB

【詳解】因?yàn)?ccos8=a-c,由正弦定理可知，2sinC8s8-sinN+sinC=0,

又N+5+C=TI,所以sin.4=sin(8+C)

所以2sinC8s3-sin(B+C)+sinC=0,

所以WnC8sB-sinB8sC+sinC=0

即sin(C-8)=sin(-C),

又一15C是銳角，則及C《0,；j,

貝。-C4g0),所以C—B=—C,即5=2C,

B=2C10卷

所以叫嗚，解得Ce仁高,

月二兀一(6+C)w；0,g

斫以sin(月一C)_sin(月一C)_sin(^-4C)_sin4c_2sin2Ccos2C_

sinBsin2csin2csin2csin2c

???c若,%2c唱5,則8s2C{0,￡|,則28s2Ce(0,l),

故選：B.

二、多選麴(本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分)

9.已知二為復(fù)數(shù)，設(shè)二，三，七在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為.4,B,C,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則()

A.|。耳=網(wǎng)B.OA±OC

C.|JC|=|BC|D.OB//AC

【答案】AB

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共筑復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可以表示出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，通過向量

的模長、向量的平行和垂直知識進(jìn)而可以判斷.

【詳解】設(shè)二=。+瓦(a^R),：.A(a,b),

z^a-bi{a,beR),:.B(a,-b),

七=i(4+di)=-d+d>二C(-d0)>

O4^(a3b),0B^(a,-b)3OC^(-b,a)JC=(-b-a,a-b)^BC=(-b-a,a^b)

對于A5,:如+獷=舊+(~bf/.|aJ|=|0B|故選項(xiàng)A正確；

對于B>,.F(-d)+%=0,：.OA±OC,故選項(xiàng)B正確：

對于C,v|lc|=|5C|=/-b-af,

當(dāng)加*0時(shí)，|丞而I，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于D,?.■a(a-b)-(-b)(-b-a)=a2-2ab-b2,

標(biāo)-加方-分可以為零，也可以不為零，所以而不一定平行于就，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:AB.

10.如圖，已知拋物線C:J-=2"（p>01的焦點(diǎn)為F,拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)D,過點(diǎn)尸的

直線1（直線/的傾斜角為銳角）與拋物線C相交于45兩點(diǎn)（.4在X軸的上方，3在X軸的下方）,

過點(diǎn).4作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,直線/與拋物線。的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則（）

A.當(dāng)直線/的斜率為1時(shí)，|.碼=4pB.若［A，尸|=|RW|,則直線，的斜率為2

C.存在直線/使得乙103=90,D.若萬=3而，則直線/的傾斜角為60

【答案】AD

【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)、弦的性質(zhì)一一計(jì)算即可.

【詳解】易知尸［令0）,可設(shè)心產(chǎn)中苫何>。），設(shè)月（心入）出區(qū)心），

與拋物線方程聯(lián)立得“書'—2）=>lex2一①p+2p）x+字=0,

J=2"

則X+x：=父P?P,x,i,=^-,

對于A項(xiàng)，當(dāng)直線/的斜率為1時(shí)，此時(shí)A+Z=3p,

由拋物線定義可知|步|+忸尸卜占+5+x?+5=,故A正確；

易知?IW是直角三角形，若恒尸|=|&|,

貝U乙WW=ZFAW=乙LMF=ZE4M,

又|加卜卜必，所以△加3為等邊三角形，即乙M=60,此時(shí)k=6,故B錯(cuò)誤；

由上可知x,x,+）\y,=（k2+1卜吊-號（N+xJ+=（工+1卜與__與，"［+2）+=_（/<o,

“11iiiai

SP0A20B0,故C錯(cuò)誤；

若"==3卜「§|=>x(=2/7-3X2,

又知x丙=孑=>*2=(,X]=深>所以乂=追「,

k一71_

則一『7一"，即直線/的傾斜角為60,故D正確.

X'~2

故選：AD

11.已知函數(shù)不町定義域?yàn)镽,滿足〃x+2)=；/(x),當(dāng)-14x<l時(shí)，〃x)=k].若函數(shù)J=的圖象

與函數(shù)g(x)=(gj/(_20234x42O23)的圖象的交點(diǎn)為(巴，兄)，(々，匕)，…(LJ1),(其中卜]表示不超

過x的最大整數(shù))，則()

A.g⑴是偶函數(shù)B.〃=2024C.工=0D.Xy.=220,2-2-,°"

Ml2

—

t分析】舉例說明判斷A;分析函數(shù)/㈤與g(x)的性質(zhì)，作出部分函數(shù)圖象，結(jié)合圖象與性質(zhì)推理、計(jì)算

判斷BCD.

1四]1

t詳解】函數(shù)g(x)=W)7(-20234x42023),顯然g(T)="而g(l)=],即g(—l)*gQ),因此g(x)不是

偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；

函數(shù)/。)定義域?yàn)镽,滿足/U+2)=；/(x),當(dāng)-1W時(shí)，1/U)=M，

當(dāng)"x<3時(shí)，T4x-2<1,八x)=；/l>-2)=；|x-2|,

當(dāng)2>14x<2上+L丘N時(shí)，-1<x-2k<l,/Ix)=l/Ix-2)=l/(x-4)=L=l/(x-2*)=l|x-2*|,

當(dāng)-34x<T時(shí)，-I<x+2<1,1Ax)=2/l>+2)=2|x+2|,

當(dāng)一2左一14x<-2巾+lKeN時(shí)，-14x+2t<1,fix')=2f[x+Z)=22/(x+4)=L=2'/x+2盼=2"|x+2捫，

因此當(dāng)xe[2J-1,2J+Y),jeZ時(shí)，函數(shù)/(x)=1|x-2川在[2J-1,2力,JeZ上遞減，

在[2j,21+l)JwZ上遞增,當(dāng)x=2j—L%Z時(shí)，/(x)取得最大值J,

當(dāng)一l?x<l時(shí),0<1,[=—]=0，g(x)=l,

YU-1Y4-1

當(dāng)%-14x<2*+L4eN時(shí),k<—<k+l,[__]=iig(x)=2.,

當(dāng)一2左一14丫<一2巾+1需€可時(shí)，一比4三〈一出+1,［寸］=-Eg(x)=2",

因此當(dāng)xe［2j-1,2j+1)JeZ時(shí)，函數(shù)g(x)=1,

在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù),1=八。F=g(x)的部分圖象，如圖，

當(dāng)xw[2j-U"l)JeZ時(shí)，函數(shù)丁=/?,丁=g(x)的圖象有唯一公共點(diǎn)eZ,

因?yàn)?20134x42013,因此4?=-1011,Ja=1012,而滿足T0114JW1012的整數(shù)有2024個(gè)，即“=2024,

B正確;

x,=2J-1,/=J+1012,-1011<J<1012j€Z,

2024

所以￡為=(-2013)+(-2011)+…+(—2)+(-1)+1+2+…+2011+2013=0,C正確；

J-I

^=^./=；+1012,-1011<；<1012)7€2,數(shù)列白)(-1011，410121/€2)是首項(xiàng)為2叫公比為■的等

比數(shù)列，

2叫1-反產(chǎn)］

2024

所以2>，D錯(cuò)誤.

J-I

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求兩個(gè)分段函數(shù)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，再代入該段

的解析式求值是關(guān)鍵.

三、填空筮(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知/x)=、iC的定義域?yàn)?4,集合8={xeR11<ax<2},若5q4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】［―L1］

【分析】先求出力力的定義域得到集合.4,再根據(jù)子集的定義即可求得a的取值范圍.

【詳解】x2-l>0,貝4x21或xS-l,即/={x|x*l或xW-1}.

①當(dāng)。=0時(shí)，5=0,滿足3勺月，符合題意；

②當(dāng)a>0時(shí)，B={xeR|l<x<-},所以若3?月,

aa

1?

則有色1或（舍），解得0<aSl；

aa

③當(dāng)a<0時(shí)，B={X6R|^<X<1},所以若30月,

aa

1,、2人

則有一4-1或二N1（舍"解得-lWa<0.

aa

綜上所述，ae[—LU

故答案為：41』

13.如圖，圓錐底面半徑為:，母線R4=2,點(diǎn)5為E4的中點(diǎn)，一只螞蟻從.4點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一

周，到達(dá)5點(diǎn)，其最短路線長度為,其中下坡路段長為.

【答案】"半

【分析】將圓錐側(cè)面沿母線R4剪開并展開成扇形，過尸作-空的垂線，垂足為“，最短路線即為扇形中的

直線段一45,利用余弦定理求出即可；當(dāng)螞蟻從M點(diǎn)爬行到5點(diǎn)的過程中，它與點(diǎn)P的距離越來越大，故

￡3為下坡路段，求出即可.

【詳解】如圖，將圓錐側(cè)面沿母線R1剪開并展開成扇形，

易知該扇形半徑為2,弧長為y,故圓心角N4PB=y,

最短路線即為扇形中的直線段AB,由余弦定理易知

AB=Qp4+PB，-2PA-PBcos乙APB二甲，

網(wǎng)+好百

cos/PBA=_2

-2PBBA-一〒

過P作AB的垂線，垂足為“,

當(dāng)螞蟻從工點(diǎn)、爬行到M點(diǎn)的過程中，它與點(diǎn)P的距離越來越小，故-4M為上坡路段,

當(dāng)螞蟻從M點(diǎn)爬行到5點(diǎn)的過程中，它與點(diǎn)P的距離越來越大，故MB為下坡路段，

14.在同一平面直角坐標(biāo)系中，P,。分別是函數(shù)八x)=ore,-ln(or)和8。)=四三?圖象上的動點(diǎn)，若

對任意。>0,有|尸。隹泄恒成立，則實(shí)數(shù)加的最大值為

【答案】乎

【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造w(x)=e，-x,得到其單調(diào)性，得到6e,-ln(6)-xNl,再構(gòu)造

八x)=x-與』，x>l,求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)皿的)),01當(dāng)3j,利用

基本不等式得到|應(yīng)歸羋求出答案.

t詳解】axe'-ln(ar)-x=e'"lr"/'-(x+lnar),令w(x)=e'-x,xeR,

IJliJw,(x)=e'-1

當(dāng)xe(0,f>)時(shí)，Mr(x)>0,w(x)=e'-x單調(diào)遞增，當(dāng)xe(Yo.0)時(shí)，w")<0,w(x)=e；x單調(diào)遞減,

故w(x)=e；x在x=0處取得極小值，也是最小值，故w(x)2e°-0=l,

故me,-ln@c)—x=e"b"-(x+lnax)Nl,當(dāng)且僅當(dāng)x+lnG：=0時(shí)，等號成立,

令)(x—x—Z^T),x>l,

n,i二一21n(x—l)x2--=4+21n(A-l)

則/(x)=1_^1__=_=1___，

JTJT

^k(x')=x2--+2ln(x-1),

x-1

山、32x—2-2x2.22n

則竹=(~ip+TTT=2X+‘不+』>°在a收)上恒成立，

故g)=4口+2gf在(2)上單調(diào)遞增，

又無(2)=0,故當(dāng)xe(l，2)時(shí)，*(x)<0,當(dāng)—(2.刊0)時(shí),內(nèi)x)>0,

故x?l,2)時(shí),/(x)<0,J(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x?2,他)時(shí)，/(x)>0,J(x)單調(diào)遞增,

故〃x)=x-?qm在>2處取得極小值，也時(shí)最小值，最小值為〃2)=2,

設(shè)「(”。卅一皿曲)),。：f；山;二U,

由基本不等式得，聞m南-叫的)-怨曰,

("當(dāng)2.—強(qiáng)…j,9,

--------------------------------=—

■2-22

當(dāng)且僅當(dāng)"〃=(4湛-1口(加))-^^_」，f=2,〃+ln助=0B寸，等號成立，

故1區(qū)怛呼，則/、=￥?

故答案為：羋

【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時(shí)，當(dāng)函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)e,與Inx,通常使用同構(gòu)來進(jìn)行求解，本題

◎e,-ln(?)—x變形得至此——(x+ln?),從而構(gòu)造w(x)=e，-x進(jìn)行求解.

四、能答題(本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，1S題17分,

19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、砌過程或演算步驟)

15.已知函數(shù)函x)=e*+8sx-2,g(x)=sinx.

(1球證：當(dāng)T€(0,y),g(x)<x</x)；

(2港xe(0,xo),/(x)+g(x)>G恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)(^.2]

【分析】(1〉分別構(gòu)造函數(shù)G(x)=x-g(x)=x-sinx,F(x)=f(x)-x=eA+COST-2-x,x>0,利用導(dǎo)數(shù)

分別求出兩函數(shù)的最值，即可得證;

(2)/(x)+g(x)>G在區(qū)間(0,+叼上恒成立，即eX+cosx-2+sinx-or>0在區(qū)間(0，+叼上恒成立，構(gòu)

造函數(shù)夕(x)=e'+COSX-2+sinx-6,由4分類討論求出函數(shù)的最值即可得解.

【詳解】(1)設(shè)6(乂)=*-8&)=*-5皿乂，i>0

則G，(X)=1-8SX20,所以G(x)在區(qū)間(0,+叼上單調(diào)遞增，

所以G(x)>G(0)=0,即g(x)<x,

F(x)==e*+COSA-2-x,x>0,

則尸(x)=e*-sinx-l,

由x>0時(shí)，g(x)<x,即一sinx>-x,

所以f*(x)=e'-sinx-1>e'-x-1,

設(shè)力(x)=e'-x-l,則攸x)=e'-l,

當(dāng)x>0時(shí)，力'(x)>0,所以函數(shù)力(x)在區(qū)間(0,+與上單調(diào)遞增，

故在區(qū)間。+叼上，力(、)>力(0)=0,即在區(qū)間(。,+8)上，e，>x+l,

所以尸(x)>e'-x-l>0,

所以尸(x)在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞熠，

所以尸(X)>尸(0)=0,即尸(x)>x,

所以g(x)<x</lx)得證.

(2)由/(x)+g(x)>6在區(qū)間(0,+3)上恒成立，

即e*+cosx-2+sinx-ar>0在區(qū)間(0,+叼上恒成立，

設(shè)夕(x)=e，+cosx-2+￡nx-6,則。(X)>O在區(qū)間(0,+8)上恒成立，

而/'(11)=e'-sinx+cosx-^7f

令加(X)=/(》)>貝)=eK-cosx-sinx)

由(1)知：在區(qū)間(0,+8)上,e1>x+l>sinx+cosx?

即M(x)=e*-cosx-sinx>0,所以在區(qū)間。+8)上函數(shù)/(x)單調(diào)遞增,

①當(dāng)a?2時(shí),夕'(0)=2-aNO,

故在區(qū)間。+8)上函數(shù)(x)>0,所以函數(shù)3(x)在區(qū)間(0,+叼上單調(diào)遞熠，

又。(0)=0,故p(x)>0,即函數(shù)〃x)+g(x)>m在區(qū)間(0,+8)上恒成立；

②當(dāng)a>2時(shí)，*0)=2-「，

0'[ln(a+2)]=a+2-sin[ln(a+2)]+cos[ln(a+2)]-a

=2->/2an,[ln(a+2)]-：[>0,

故在區(qū)間(0,皿。+2))上函數(shù)《'(x)存在零點(diǎn)％,即%％)=0,

又在區(qū)間(。，+8)上函數(shù))單調(diào)遞增，

故在區(qū)間(0%)上函數(shù)d(x)W'(%)=0,

所以在區(qū)間(0，x°)上函數(shù)0(X)單調(diào)遞減，

由刎0)=0,所以在區(qū)間(。抵)上，(》)<儀0)=0,與題設(shè)矛盾.

綜上，a的取值范圍為(9,2].

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

(1)通常要構(gòu)造罰函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造

的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)、的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放

縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

16.某公司是一家集無人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)該公司生產(chǎn)的甲、乙

兩種類型無人運(yùn)輸機(jī)性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用.已知在單位時(shí)間內(nèi),

甲、乙兩種類型無人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率分別為;和寺，假設(shè)每次操作能否成功相互獨(dú)立.

(1通機(jī)選擇兩種無人運(yùn)輸機(jī)中的一種，求選中的無大運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率；

(2月集作員連續(xù)進(jìn)行兩次無人機(jī)的操作有兩種方案：

方案一：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無人運(yùn)輸機(jī)中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型

設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進(jìn)行操作；

方案二：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無人運(yùn)輸機(jī)中的一種，無論初次操作是否成功，第二次均使用初次

所選擇的無人運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行操作.

假定方案選擇及操作不相互影響，試比校這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值.

【答案】(1)|

(2)方案一大于方案二

【分析】3)利用條件概率公式，即可求解;

(2)苜先確定兩種方案成功次數(shù)丫廠的取值，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求概率，再比較其數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)用事件4表示選擇甲種無人運(yùn)輸機(jī)，用事件4表示選擇乙種無人運(yùn)輸機(jī),

用事件B表示“選中的無人運(yùn)輸機(jī)操作成功”

則P(B)=P(4)P(3|4)+P(a)P(8|4),

13115

—x—H--X—

24228

(2)設(shè)方案一和方案二操作成功的次數(shù)分別為Y,則X,y的所有可能取值均為o,b2,

1/Ji311

方案一：p(x=0)=；中號“-撲一「腦中一彳「T

P(X=l)f3113。3口15

4J224[432422I32"

lx2x311113

P(X=2)=―-?■—X—X—=——

24422232

所以E(X)=0XL+1XD+2X!2=4

'8323232

方案二:

叩=。)=會一汛13卜白卜一撲(W，

4；

P(K=l)=lxC：x[l_yx1+lxCix(l-l)xl=Z

PIF=2)=1X2X2+1X1X113

■24422232

所以E(門=0X2_+1X_1+2XU=]

'73216324

所以E(X)>E(K),即方案一操作成功的次數(shù)的期望值大于方案二操作成功的次數(shù)的期望值.

17.在圖1所示的平面多邊形中，四邊形-血工》為菱形，月3=2,/蜃0=60公月3(7與4不7。均為等邊三

角形.分別將△耳3439々皿巴加沿著一"，BC,CD,以翻折，使得為P?P、,月四點(diǎn)恰好重

合于點(diǎn)尸，得到四棱錐P-ABCD兩=APA（0<2<1）.

（2港二面角CD的余弦值為求工的值.

【答案】（1）證明見解析

⑵

【分析】（D當(dāng)力=；時(shí),可得時(shí)為PA的中點(diǎn),然后利用線面垂直證明PA，平面BDM,從而證明PA,

又由MNHPC,從而可求證PA±PC

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面MCD和平面的法向量，然后由二面角M-8-.4的余弦值

為日,從而可求解，

【詳解】（1）證明：因?yàn)樗浴盀镽4的中點(diǎn).

由題可知，,鋁=AD=PB=PD,所以PA15A￡P(guān)A1DM.

又BMcDM=M,BM,DMu平面BDM,所以PA_L平面BDM.

取mfUC=N,如圖，則MV〃PC.由R4_L平面SDAf,可得R1LIW,則R4_LPC.

（2）連接KC,易證得BD工平面24C,過點(diǎn)尸作POSNC,垂足為O,則R?1平面X58.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4。尸所在直線分別為x軸、二軸，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由.48=2,得CP=2,NC=2/,JP=2點(diǎn),

從而如=孚8考,則P（0,0,竽1空愕,刀住1.0）斗竽,0,0）,

貝U前=2①=（竽40,—竽2），

布=而一加停一竽九L￥"￥],CD=（AlO）.

設(shè)平面am的一個(gè)法向量為m=（x,兒二）,

由圖可知，平面-48的一個(gè)法向量為力=（0。1）,

因?yàn)槎娼荕-CD-A的余弦值為寺,

及+2。

河詞22-2/1

所以Icos阿葉麗=卜（工學(xué)「亍,解得人“

故2的值為:

18.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線呼干=13>。@>0）的左、右焦點(diǎn)分別為用月,。的離心率為2,

直線/過理與C交于MN兩點(diǎn)，當(dāng)10M=|。用時(shí)，△MFE的面積為3.

（1球雙曲線C的方程；

（2）已知A￡N都在C的右支上，設(shè)/的斜率為w.

①求實(shí)數(shù)洲的取值范圍；

②是否存在實(shí)數(shù)加，使得NAQN為銳角？若存在，請求出“，的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】（l）r-^=l

（2）0Me（TO,M卜（亞y）②不存在，理由見解析

【分析】(D由已知條件可得〃^g=90°,然后利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義，及軍工的面積可求

出加，再由離心率可求出標(biāo)，從而可求得雙曲線的方程，

(2)①設(shè)直線j，=0,代入雙曲線方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合判別式可求出實(shí)數(shù)加的

取值范圍；②假設(shè)存在實(shí)數(shù)刑，使乙為銳角，則南.而>0,所以占與+乂”>0,再結(jié)合前面的式

子化簡計(jì)算即可得結(jié)論.

【詳解】(1)因?yàn)閨。河|=10耳1=1°甩I，所以。,此=90°.

則戶里「+|」此『=(2r)W孫|-|A里『+2|」\閭1此|=4"+2p閩J此卜正，所以|町|小組|=力2,

△」班月的面積S=g|MF;||A組|=6=3.

又C的離心率為￡=^^=2,所以"=L

所以雙曲線C的方程為犬-9=1.

(2)①根據(jù)題意月(2,0),則直線八冽(x-2)—j=0,

-1

由至一，得(3-冽］X+4而4-4蘇-3=0,

y=7WX-2