陜西省部分學校2024屆高三年級下冊二?？荚嚁?shù)學試題(文)（解析版）

陜西省部分學校2024屆高三下學期二?？荚嚁?shù)學試題（文）

一、選擇題

1.復數(shù)i?+i）的虛部為（）

A.4B.4iC.-1D.-i

（答案XA

K解析X由題意得i（4+i）=—l+4i,故復數(shù)i（4+i）的虛部為4,故選：A.

2.若2e｛x|依2+3%+。2_3>（）｝,則。的取值范圍為（）

A.（-3,-1）B.[-3,-1]

C.-H?）D.（-<?,-3）LJ（-1,+CO）

[答案XD

K解析X由題意知，當a=0時，｛%|依2+3%+。2-3>0｝可變?yōu)椋?%>1｝,符合題意;

當a/0時，由2€｛為|+3%+?！?3>0｝,得ax22+3x2+q2_3>0,

即/+4々+3>0，解得a<—3或。>一1且a#0；

綜上，實數(shù)a的取值范圍為（—8,—3）。（—1,+8）.故選：D.

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）

/輸出s/

（答案IC

（解析可模擬程序的運行，可得:

左=0,s=2,不滿足條件,

k=2,s=L不滿足條件,

3

3

左=4相“不滿足條件,

4

k=6,s=—,滿足條件,

7

…4

輸出§=,

故選：C

4.某醫(yī)院有醫(yī)生750人，護士1600人，其他工作人員150人，用分層抽樣的方法從這些人

中抽取一個容量為50的樣本，則樣本中，醫(yī)生比護士少（）

A.19人B.18人C.17人D.16人

（答案』C

K解析』由題意知某醫(yī)院有醫(yī)生750人，護士1600人,

用分層抽樣的方法從這些人中抽取一個容量為50的樣本,

750

則樣本中，醫(yī)生抽取x50=15（人）,

750+1600+150

1600

護士抽取x50=32（人）,

750+1600+150

故樣本中，醫(yī)生比護士少17人,

故選：C

5.已知Q=0.2°3,b=cos2,c=lgl5,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

K答案』c

K解析1T0<O,203<0.2°=1，cos2<cos^=0,lgl5>lgio=l,

人＜4＜。.故選：仁

6.已知｛%｝為等比數(shù)列，且。8=6,則死裙=（）

A.216B.108C.72D.36

(答案』A

k解析』設等比數(shù)列｛%｝的公比為a,

由題意。8-"1/-6,

所以‘a(chǎn)；=(〃]/)=63=216.

故選：A

7.已知曲線y=lnx在點(1,0)處的切線與圓C：/+y2=r2&>o)相切，則。的半徑為

()

A.J2B.1C."D.1

22

K答案1c

(解析工由y=lnx,得了=!，故切線的斜率左=yLT=1，

x

所以曲線y=lnx在點(1,0)處的切線方程為y=x-L

又因為，=彳-1與圓UJ+J?=/相切，

所以C的半徑廠=?=42.故選：C.

412

8.已知O為坐標原點，拋物線Uy?=2px(〃>0)的焦點為RM是。上一點，MF垂直于

x軸，N為x軸上一點，且若.OMV的面積為45,則〃=()

A.3B.4C.6D.8

K答案1C

K解析X由題意知拋物線C：V=2px(p>0)的焦點為尸(吃,0),

由于A/F垂直于x軸，故令x=%，代入V=2內(nèi)(°〉0)得、=±。，

不妨設M在第一象限，則Mg,。)，

由于MVLOAf,故肱V的斜率為k°M

P_

2

則MN的方程為y—p=T無一令＞=0,得丫=\~,即又子。），

由二QWN的面積為45,得一*|。8|*|加/|=45,

2

即—xp=90,:.p=6,

2

故選：C

9.在三棱錐P—ABC中，Q4_L平面ABC,AC_LBC,且PA=6，AB=2AC=2,

則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.7兀B.8兀C.28兀D.32K

K答案XA

［解析》由題意，在三棱錐P—A5C中，上4,平面ABC,AC1BC,故將該三棱錐

置于一個長方體中，如圖所示：

則體對角線95即為外接球的直徑，由于R4=后，AB=2AC=2,

所以BP=百+（百了=幣,即外接球的半徑R=與,則該三棱錐外接球的表面積為

S=4成2=7JI.

故選：A.

10.已知正項數(shù)列｛4｝滿足對任意正整數(shù)小均有々“=2%1，％”+1=4%”，則詠=

A.22699B.22702C.22705D.22708

（答案』B

k解析力由題意知正項數(shù)列｛%｝滿足對任意正整數(shù)”，均有4“=2a21，%〃+1=4。2〃，

3

故的”+1=8。2,1=84（"f+i=8?%-2）+1=8%（“_"）+]=8%=2"a1,

a

in=2%"-1=2%（"T）+i=2義8"1al=2"一4，

故口2023=a2x1011+1=2、"1,4222=“2x111=2、卬=2C/）,

故—23°33q_2702

233%_

故選：B

22

11.已知雙曲線C:二-匕=1的左、右焦點分別為百，工.過工作其中一條漸近線的垂線，

24

垂足為尸，貝U|PK|=（）

A.73B.2月C.2D.4

［答案工B

K解析工雙曲線的漸近線方程為町士辰=。，其中。=也*=2,

be

所以黑（G0）到到土法=。的距離為rr—r=人,因止匕|P閭=/?,

|。閭=。，忸閭=5=2,則|。P|=（QB）?=a，

|0尸'+3「一附「lopf+QR2Tp閭2=

12|04|西2\OP\-\OF2\~'

得pK「+p閭2=2（|OPF+|O周2）=2X（2+6）=16,解得p制=26.

）

24

A.1B.eC.eD.e

K答案UD

K解析X由/⑴=(x—2)(e4—可知/⑵wO,

故x/2時，則可得,,

eex-2-l

而與，X2是函數(shù)/(x)=(x-2)(e"2_1)—e(e>2+1)的兩個零點，

令g(x)=^—,h(x)=——，則g(x)M(x)圖象必有兩交點

ee'-1

且天，X2是兩交點的橫坐標，

p~~x4-11+e*-2

由于丸(4-x)==-A(x)，即Mx)的圖象關于點(2,0)對稱，

e~~x-11-e

2—x

而g(4—尤)=——=-g(x)，即g(x)的圖象也關于點(2,0)對稱，

e

_90%一2I1

故g(x)=土r上,Mx)=的交點關于點(2,0)對稱，則為+巧=4,

eeA-1

故爐+2=e4>

故選：D.

二、填空題

13.已知向量a=(x,2),8=(2,5),若。，匕，則％=.

K答案X-5

K解析1由。，匕，得。力=0，

即2x+2x5=0,解得x=—5.

故K答案》：-5.

14.從甲、乙、丙、丁4名同學中任選2人，則甲未被選中的概率為.

(答案】《

K解析》甲被選中，只需從其余3人中，再選1人，即有C；種方法，

從4人中選2人，共有C：種方法，

C11

所以甲被選中的概率為「二冶二大，

C：2

所以甲未被選中的概率為1-工=工.故K答案》為：-

222

15.先將函數(shù)/（x）=sinx圖象上所有點橫坐標縮短為原來的;（縱坐標不變），再把得到

7T

的曲線向左平移二個單位長度，得到函數(shù)g（X）的圖象，寫出g（X）圖象的一條對稱軸的方程：

6

x=.

JT

k答案』—（（答案》不唯一）

12

K解析工先將函數(shù)/（x）=sinx圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的g（縱坐標不變），得

到丁=$也2工，向左平移聿個單位長度得到g（x）=sinf2x+|j,

jrjrjrKIT

令2x+—=—+E,左eZ,解得x=2+」，左eZ,

32122

JTJT

可取左=0,貝！Ix=±.故（答案》為：—（（答案》不唯一）.

1212

16.降雨量是指降落在水平地面上單位面積的水層深度（單位：mm）.氣象學中，把24小

時內(nèi)的降雨量叫作日降雨量，等級劃分如下表：

日降雨量

(0,10](10,25](25,50](50,100]

/mm

等級小雨中雨大雨暴雨

某數(shù)學建模小組為了測量當?shù)啬橙盏慕涤炅?，制作了一個圓臺形水桶，如圖所示，若在一次

降雨過程中用此桶接了24小時的雨水恰好是桶深的則當日的降雨量等級為.

參考公式：圓臺的體積v=g（s上+JS上S下+S下）,其中〃為圓臺的高，S上，S卜分別為

圓臺的上底面、下底面的面積.

1答案》大雨

［解析》由題意知，水桶的上底面半徑為H=10cm,下底面半徑為廠=4cm,桶深為

h=20cm,

R+rh

則水面半徑為rx=---=7cm,水深為//,=—=10cm,

所以水桶水中的體積為V=（兀/+71/J2+兀/）=gxl0（167i+49兀+28兀）=3107icm3,

V310兀

得當日降雨量為r=——=3.1cm=31mm,所以當日的降雨量等級為大雨.

TIR2100兀

故［答案》為：大雨

三、解答題

（-）必考題

17.銳角＜ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知cos2A+sinCB+C）=1.

（1）求A；

（2）若a=2,b=c,求ABC的面積.

解：（1）因為cos2A+sinCB+C）=l,所以1—Zsii?A+sinA=1,

又sinAwO,所以sinA=L.

2

jr

由JRC為銳角三角形，得A=：.

6

（2）由（1）及余弦定理知/=/+。2—2bccosA=b2+c2—7^c.

,4,1NL

因為a=2,b=c,所以b2=------廣，所以ABC的面積S=—6csinA=—=2+V3.

2-V324

18.為了提高市民參觀的體驗感，某博物館需要招募若干志愿者對館藏文物進行整理.已知

整理所需時長y（單位：小時）與招募的志愿者人數(shù)x（單位：人）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：

志愿者人數(shù)X12345

整理時長y70m504035

5

（1）若2%=250,求y關于x的線性回歸方程歹=添+6；

Z=1

（2）根據(jù)（1）中的線性回歸方程，若博物館計劃在20小時內(nèi)完成對文物的整理工作，求

博物館至少需要招募的志愿者人數(shù).

_n___

附：線性回歸方程$=+6中，&=吟----------,a=y-bx.

2—2

Ei=l

5

解：（1）由于X%=250,^70+717+50+40+35=250,/.m=55,

i=l

1+2+3+4+5=3，Y=5。

貝ijx=

5

5

Zx/=1x70+2x55+3x50+4x40+5x35=665,

i=\

5

Jx,2=l2+22+32+42+52=55,

i=l

665-5x3x50

故石==—8.5,3=50+8.5x3=75.5,

55-5x9

故y關于尤的線性回歸方程為J=-8.5X+77.5；

（2）令一8.5x+77.5<20,解得工26.76,而xeN*，故光之7,

故博物館計劃在20小時內(nèi)完成對文物的整理工作，博物館至少需要招募的志愿者人數(shù)為7.

19.如圖，在直四棱柱ABC?！狝4GR中，底面ABC。為菱形，ZBAD=60，AB=2,

A4j=4J5，E是的中點.

（1）證明：5￡>//平面ACE；

（2）求點8到平面的距離.

（1）證明：如圖所示，連接5,交AC1于/點，連接EF,

由直四棱柱的性質(zhì)可知尸是8。及AG的中點，所以所是的一條中位線，

即跖/ABD,又ERu平面AGE,平面AC；E,

所以6。//平面AC]E；

(2)解：如圖所示，作交A￡>延長線于M,

由直四棱柱的特征易知。。，底面AD3，CMu面AD3,

所以￡>i￡)_LCM,又2。cAD=￡>,￡>￡>]、ADu平面AD2A，

故CM，面ADD^,因為底面ABCD為菱形，ZBAD=60>AB=2,

所以CM=6,BD=2,AC=26，則AC；=2而,￡尸=1,

易知5、2到平面AEG的距離相等，設點B到平面ACE的距離為介，

則匕TEG=DAEC=

^I-I^ci-ADiE=-CMx-AD-DiE=—hx-EF-ACX,

解之得/^亞.

11

nInV

20.己知函數(shù)/?(x)=t+-—1.

xe

(1)當。=1時，求/⑺的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論Ax)零點的個數(shù).

解：(1)當。=1時，/(%)=-+——1,定義域為(0,+8),尸(x)=—=+一=一

xex~xcxe

令f'(x)>0,則%〉e；令_f(x)<0,則0<x<e,

IInY

故/(%)=—+——1的單調(diào)遞增區(qū)間為(e,+s),遞減區(qū)間為(0,e)；

xe

/、?、aInxi八xlnx八

(2)由/(x)——I-------1=0,得a=x-------，尤>0,

xee

人/、xinx八，/、e-1-lnx八、

令"（x）=%-----,x>0,則夕（%）=----------,（zx〉0）,

ee

當0<x<eeT時，9（x）〉0,°（x）在（0,eeT）上單調(diào)遞增，

當x>eeT時，9（x）<0,e（x）在卜1,+。）上單調(diào)遞減，

故9（X）max=。（齊）="一…=e-*I2，

e

又0（x）="（eMx）,4>。,當o<%<ee時，（p{x}>0,當joe?時，（p{x）<0,

e

當x無限趨近于0時，奴尤）無限接近于0,

作出函數(shù)0（x）=Me—lnx）,x>0的圖象如圖:

e

0e'、1

IInx

故當〃《0或〃=6,一2時，y=a與0（%）的圖象有1個交點，即/（%）=—+----1有1個

xe

1Inx

零點；當0<a<eE時，、與9（%）的圖象有2個交點，即/'（x）=—+----1有2個

xe

1InY

零點；當a>ee—2,丁=〃與。（幻的圖象無交點，即/（%）=—+-----1無零點.

xe

22

2i.已知橢圓的左、右焦點分別為耳，F(xiàn),過點可作％軸的垂

a"b’2

線，并與C交于A,2兩點，過點居作一條斜率存在且不為0的直線與C交于M,N兩點,

|A5|=3,△耳MN的周長為8.

（1）求C的方程.

（2）記A，4分別為C的左、右頂點，直線4河與直線A5相交于點尸，直線4N與直

5,

線AB相交于點Q,△A尸44和4A044的面積分別為S1，邑，試問法是否為定值？若是，

求出該定值；若不是，請說明理由.

解：（1）將x=-c代入C：「+與=1（?！?〉0）可得y=±竺，

aba

"1=322

所以〈a'解得。=2,b=B故C的方程為L+2L=I.

,?43

依題可設直線跖V的方程為y=1）,以（%,％），N（x2,y2）,

[22

土匕=]

聯(lián)立方程組《43-'整理得（3+4/）X2_8/X+4/_I2=0,

J=攵（》一1）,

則為+巧=遙記，X/2止―12

3+4公

易知4(—2,0),4(2,0),

直線A3的方程為x=—1,則直線4〃的方程為>=」3（X+2）,

X]~?L

令》=—1,得以）=』力=史三"，同理可得乂?=二口=―.

%+2%+2x2-2x2-2

左(石-1)

5_/耳一百+21(玉一1)(%2—2)1%—2%一%+2

S2QF1一3左(九2-1)3(%—1)(玉+2)3xxx2-玉+2X2—2

%—2

4-2—6

1x,Xr,-（Xi+%）—x+21oI4“2%1*1

=-1-,1-2!--=-——二X?故U定值，且該定值為7；.

3X［X>+2（X［+々）-3%1-2312K-18鼻9s29