第10講 函數(shù)的解析式（含解析）-【提高班精講課】2021-2022學年高一數(shù)學重點專題18講（滬教版2020必修第一冊上海專用）

第10講第10講函數(shù)的解析式知識梳理與應用基礎(chǔ)1：根據(jù)初等函數(shù)定義、性質(zhì)求解析式【例1】（2016上海曹楊二中高一開學考試）★☆☆☆☆冪函數(shù)的圖像過點，則的解析式是______________．【答案】【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，由題意可得：，解得：，即的解析式是.【例2】（2016上海中學高一期中）★★☆☆☆已知二次函數(shù)，，當時，函數(shù)取到最小值，且最小值為0；（1）求解析式；【答案】（1）；【詳解】解：（1）時，函數(shù)取到最小值，且最小值為0，，，解得，，.【例3】（2017上海市向明中學高三月考）★★☆☆☆已知函數(shù)的圖像過點和．（1）求函數(shù)的解析式；【答案】（1）；【詳解】（1）由已知得，解得，∴.【練習】（2019上海市吳淞中學）★★☆☆☆已知函數(shù)是冪函數(shù).求函數(shù)的解析式；【答案】；【詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，則，故

基礎(chǔ)2：建立函數(shù)關(guān)系 本部分題目節(jié)選自解答題的小問，因此小問的題號往往只有（1）（2）.【例4】（2021華師大二附中高一月考）★★★☆☆游泳館為了保持室內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設(shè)施，該設(shè)施的下部是矩形，其中米，米，上部是個半圓，固定點為的中點，是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風)，是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和平行的伸縮橫桿（和、不重合）.（1）當和之間的距離為1米時，求此時三角通風窗的通風面積；（2）設(shè)和之間的距離為米，試將三角通風窗的通風面積（平方米）表示成關(guān)于的函數(shù)；【答案】（1）平方米；（2）；【詳解】（1）當和之間的距離為1米時，此時在上方，且此時的邊上的高為米，又因為，所以米，所以平方米，即三角通風窗的通風面積為平方米；（2）當在矩形內(nèi)滑動時，，；當在半圓區(qū)域內(nèi)滑動時，，此時，所以，綜上可知：；【例5】（2021黃浦區(qū)高三二模）★★☆☆☆某民營企業(yè)開發(fā)出了一種新產(chǎn)品，預計能獲得50萬元到1500萬元的經(jīng)濟收益.企業(yè)財務部門研究對開發(fā)該新產(chǎn)品的團隊進行獎勵，并討論了一個獎勵方案：獎金（單位：萬元）隨經(jīng)濟收益（單位：萬元）的增加而增加，且，獎金金額不超過20萬元.（1）請你為該企業(yè)構(gòu)建一個關(guān)于的函數(shù)模型，并說明你的函數(shù)模型符合企業(yè)獎勵要求的理由；(答案不唯一)【答案】（1）答案見解析；【詳解】解：(1)答案不唯一.構(gòu)造出一個函數(shù)；說明是單調(diào)嚴格增函數(shù)；函數(shù)的取值滿足要求.如，，就是符合企業(yè)獎勵的一個函數(shù)模型.理由：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，易知，隨增大而增大，即為嚴格增函數(shù)；當時，，當時，，即獎金金額且不超過20萬元.故該函數(shù)是符合企業(yè)獎勵要求的一個函數(shù)模型.【練習】（2021上海閔行區(qū)高一期末）★★☆☆☆由于人們響應了政府的防控號召，2020年的疫情得到了有效的控制，生產(chǎn)生活基本恢復常態(tài)，某賞花園區(qū)投資了30萬元種植鮮花供市民游賞，據(jù)調(diào)查，花期為30天，園區(qū)從某月1號至30號開放，每天的旅游人數(shù)與第天近似地滿足（千人），且游客人均消費近似地滿足（元），，.（1）求該園區(qū)第天的旅游收入（單位：千元）的函數(shù)關(guān)系式；【答案】（1）；【詳解】（1），；

綜合類型綜合1：已知函數(shù)的解析式，求的解析式【例6】（2016上海格致中學高一期中）★★☆☆☆已知函數(shù)滿足：，則函數(shù)________．【答案】【詳解】方法一：換元法令，則故故.方法二：湊配法，所以【例7】（2017上海市民辦市北高級中學高一月考）★★★☆☆已知，則=____________；【答案】【詳解】令，所以有，因此有.故答案為：【練習】（2017上海市育才中學高一月考）★★☆☆☆已知，則=________.【答案】【詳解】令，得x＝，代入已知式子，可得＝＝，故有.故答案為：【練習】（2018上海市新川中學高一期中）★★★☆☆，則________.【答案】（且）【詳解】，設(shè)且即（且）故答案為：（且）【練習】（2018·上海市第二中學高一期中）★★★☆☆若，則_____________.【答案】【詳解】令，則且，可得，所以.故答案為：.綜合2：已知函數(shù)的解析式，求的解析式【例8】（2020交大附中高一期末）★★★☆☆若函數(shù)的解析式為，則．【答案】1．【解答】解：若為有理數(shù)，則，所以（1），若是無理數(shù)，則，則，故答案為：1．【例9】（2018七寶中學高一期中）★★★☆☆若函數(shù)，則.【答案】【解答】解：令，則，，，故答案為：．【練習】（2021綠園區(qū)校級月考）★★★★☆設(shè)，又記，，，2，3，，則.A． B． C． D．【答案】【解答】解：根據(jù)題意，，則，，，則，故，故選：．綜合3：根據(jù)函數(shù)方程求解析式【例10】（2019徐匯區(qū)上海中學高一期末）★★★☆☆定義在R上的函數(shù)滿足：，求的解析式；【答案】.【詳解】，①，即，②由①②聯(lián)立解得：．【例11】（2015上海理工大學附屬中學高一月考）★★★☆☆已知函數(shù)滿足，則______．【答案】【詳解】因為，故，故可得即.【例12】（2016上海上外附中高一期末）★★★★☆已知函數(shù)滿足，其中且，則函數(shù)的解析式為__________.【答案】【詳解】由題意，用代換解析式中的，可得，…….（1）與已知方程，……（2）聯(lián)立（1）（2）的方程組，可得，令，則，所以，所以.故答案為：.【例13】（2018·上海市金山中學高一期末）★★★★☆設(shè)是定義在上的函數(shù)，且滿足對任意等式恒成立，則的解析式為_____________．【答案】【詳解】是定義在上的函數(shù)，且對任意，恒成立，令，得，即，，。故答案為：【練習】（編者精選）★★★★☆根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式；（1）若滿足，則____________；（2）已知函數(shù)滿足，對任意不為零的實數(shù)，恒成立.（3）已知；（4）已知等式對一切實數(shù)?都成立，且；【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）.【詳解】（1）因為①令，②解由①②組成的方程組得.故答案為:.（2）將代入等式得出，聯(lián)立，變形得：，解得.（3），令，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得或，，或.（4）因為對一切實數(shù)?都成立，且令則，又因為所以，即.綜合4：根據(jù)奇偶性求解析式（本講不講，參見第11講）綜合5：根據(jù)對稱性求解析式（本講不講，參見第13講）綜合6：根據(jù)周期性（或類周期性）求解析式（本講不講，參見第13講）

1、（2021春?江州區(qū)校級月考）★★☆☆☆若，則.A． B． C． D．【答案】【解答】解：根據(jù)題意，，則，故，故選：．2、（2018·上海閔行中學高一期中）★★☆☆☆已知，則________【答案】【詳解】設(shè)，則，代入化簡得到：即故答案為.

3、（2021上海市大同中學高一期末）★★★☆☆已知四邊形為邊長為1的正方形，軸，某一直線與正方形相