2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：一次函數(shù)與幾何圖形綜合問(wèn)題（重點(diǎn)突圍）(學(xué)生版)

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專題15一次函數(shù)與幾何圖形綜合問(wèn)題

.【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向——次函數(shù)與三角形的綜合問(wèn)題】.....................................................1

【考向二一次函數(shù)與菱形的綜合問(wèn)題】......................................................11

【考向三一次函數(shù)與矩形的綜合問(wèn)題】.....................................................22

【考向四一次函數(shù)與正方形的綜合問(wèn)題】...................................................30

【考向五一次函數(shù)與圓的綜合問(wèn)題】........................................................37

尸G.

￡等【直擊中考】

【考向——次函數(shù)與三角形的綜合問(wèn)題】

例題：（2022?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線＞=：x+6分別與x軸、夕軸交于點(diǎn)48,點(diǎn)C為線段

48上一動(dòng)點(diǎn)（不與/、8重合），以C為頂點(diǎn)作射線交線段08于點(diǎn)。，將射線OC

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。交射線CD于點(diǎn)E,連接5E.

⑴證明：2=黑；（用圖1）

DBDE

⑵當(dāng)V5OE為直角三角形時(shí)，求DE的長(zhǎng)度；（用圖2）

⑶點(diǎn)/關(guān)于射線OC的對(duì)稱點(diǎn)為尸，求3尸的最小值.（用圖3）

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【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江蘇蘇州?蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知一次函數(shù)歹=6+2的圖像與x軸交于點(diǎn)

4（3,0）,與了軸交于點(diǎn)3,以線段N3為邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形RtV/BC,/B4c=90°.

⑴求上的值，以及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵求過(guò)3,C兩點(diǎn)的直線解析式.

2.（2022春?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖（含備用圖），在直角坐標(biāo)系中，己知直線方履+3與x軸

⑴求k的值及的面積；

⑵點(diǎn)C在x軸上，若A/BC是以N8為腰的等腰三角形，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)M（3,0）在x軸上，若點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△P8M的面積與的面積相等時(shí)，求

點(diǎn)P的坐標(biāo).

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3.(2022秋,福建泉州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))探究與應(yīng)用：在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，我們可以通過(guò)構(gòu)造基本圖形，將

幾何"模塊"化.例如在相似三角形中，"K"字形是非常重要的基本圖形.

⑴如圖①，已知：乙4=4D=4BCE=9Q°,求證：AABC-^DCE；

(2)請(qǐng)直接利用上述"模塊"的結(jié)論解決下面兩個(gè)問(wèn)題：

①如圖②，已知點(diǎn)/S2,1),點(diǎn)3在直線＞=一2工+3上運(yùn)動(dòng),若乙4。5=90。,則此時(shí)點(diǎn)8的坐標(biāo)為：

②如圖③，過(guò)點(diǎn)/(—2,1)作x軸與〉軸的平行線，交直線y=-2x+3于點(diǎn)C,D,求點(diǎn)/關(guān)于直線

CD的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo).

【考向二一次函數(shù)與菱形的綜合問(wèn)題】

4

例題：(2022春?河南商丘?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，已知直線y=-]X+4

(2)如圖①，若點(diǎn)y)在線段上運(yùn)動(dòng)(不與端點(diǎn)/、8重合)，連接。河，設(shè)V/(W的面積為

S,寫出S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

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（3）如圖②，點(diǎn)C在直線上，若四邊形O/DC是菱形，求菱形對(duì)角線。。的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?河南鄭州?鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形042c的對(duì)角線

2c=12,ZACO=30°

\

O/DCx

⑴求8、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵把矩形沿直線DE對(duì)折使點(diǎn)C落在點(diǎn)/處，0E與/C相交于點(diǎn)尸，求四邊形/DCE的面積；

⑶若點(diǎn)M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以。、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直

接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（2022秋?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線42的解析式為＞=gx+3,它與x軸交于

點(diǎn)2,與夕軸交于點(diǎn)/,直線發(fā)-x與直線A8交于點(diǎn)C.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿

射線C。運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

⑴求A4OC的面積;

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⑵設(shè)△P/。的面積為S,求S與/的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

⑶M是直線。C上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以N,O,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)

直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.(2022秋?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形/8C。是菱形，點(diǎn)A

的坐標(biāo)為(-3,4),點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線NC交了軸于點(diǎn)AB邊交了軸丁點(diǎn)連接3M.

⑴填空：菱形A8CO的邊長(zhǎng)=;

⑵求直線/C的解析式；

⑶動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線-C方向以3個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)的面積為

S(SwO),點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒，

①當(dāng)0</<g時(shí)，求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式；

②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)5=2,請(qǐng)直接寫出/的值.

【考向三一次函數(shù)與矩形的綜合問(wèn)題】

例題：0022遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線了=丘+6億*0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-6,0)和40,3),

點(diǎn)C是線段40上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在C的右側(cè)，以CD為一邊在x軸上方作矩形CDER其中。=1,

?！?2,點(diǎn)C從。出發(fā)向終點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)，速度是每秒1個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒(f>0).

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⑴求直線N5的解析式；

(2)①若點(diǎn)尸落在直線AB上，則t的值為；

②若直線AB平分矩形CDEF的面積，貝”的值為:

⑶當(dāng)線段?！昱c直線有交點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出/的取值范圍.

【變式訓(xùn)練】

2Q

1.(2022?遼寧撫順?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知直線。：+］與直線"：y=-2x+16相交于點(diǎn)C,。、。分

別交x軸于/、8兩點(diǎn).矩形DEFG的頂點(diǎn)。、￡分別在直線小上,頂點(diǎn)尸、G都在x軸上，且點(diǎn)G與

點(diǎn)8重合.

⑴求A42C的面積；

(2)求矩形DEFG的邊DE與EF的長(zhǎng)；

⑶若矩形DEFG從原地出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為f(04江12)

秒，矩形DEFG與&43C重疊部分的面積為S,直接寫出S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的/的取值范

圍.

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4

2.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線龍+8分別與x軸，了軸相交于點(diǎn)力,點(diǎn)2,作矩形

ABCD,其中點(diǎn)C,點(diǎn)。在第一象限，且滿足4B：3C=2：1.連接AD.

（1）求點(diǎn)/，點(diǎn)2的坐標(biāo).

（2）若點(diǎn)E是線段N8（與端點(diǎn)/不重合）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)￡作E*/。，交BD于點(diǎn)尸,作直線/足

①過(guò)點(diǎn)8作BGL4尸，垂足為G,當(dāng)8￡=3G時(shí)，求線段/￡的長(zhǎng)度.

②若點(diǎn)P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PF將△DEP沿P尸所在直線翻折，使得點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）t落在

線段8?；蚓€段上.直接寫出線段NE長(zhǎng)的取值范圍.

【考向四一次函數(shù)與正方形的綜合問(wèn)題】

例題：（2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系中，直線/與y軸，x軸分別交于點(diǎn)/（0,4）和點(diǎn)8（4,0）,

點(diǎn)C在直線/上且不與4,2重合，過(guò)點(diǎn)。，B,C的拋物線解析式為＞=如2+笈（0*0）.

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⑴求直線/的解析式；

⑵當(dāng)拋物線在A4O8內(nèi)部的圖象從左到右上升時(shí)，求a的取值范圍；

⑶以0C為邊，向射線0c右側(cè)作正方形OCDE,正方形OCDE的面積為S-正方形OCDE在第一象限內(nèi)

3

的面積為邑，當(dāng)星=^岳時(shí)，求拋物線的解析式.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?廣東揭陽(yáng)?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）

⑴【探究?發(fā)現(xiàn)】正方形的對(duì)角線長(zhǎng)與它的周長(zhǎng)及面積之間存在一定的數(shù)量關(guān)系.已知正方形/BCD的對(duì)角

線/C長(zhǎng)為。，則正方形/BCD的周長(zhǎng)為，面積為（都用含“的代數(shù)式表示）.

⑵【拓展?綜合】如圖1,若點(diǎn)河、N是某個(gè)正方形的兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)，則稱M、N互為"正方形關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

這個(gè)正方形被稱為M、N的"關(guān)聯(lián)正方形

①在平面直角坐標(biāo)系xQv中，點(diǎn)p是原點(diǎn)。的"正方形關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.若尸（3,2）,則。、P的"關(guān)聯(lián)正方形”的周

長(zhǎng)是;若點(diǎn)尸在直線y=-x+3上，則。、尸的“關(guān)聯(lián)正方形"面積的最小值是.

5.②如圖2,己知點(diǎn)/[mg]，點(diǎn)3在直線/：＞=一：》+6上，正方形/尸80是A、3的“關(guān)聯(lián)正方形”，

頂點(diǎn)八。到直線/的距離分別記為。和人求/+〃的最小值.

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【考向五一次函數(shù)與圓的綜合問(wèn)題】

例題：（2021?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：y=gx+4分別與x軸，〉

軸相交于4、2兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x,j）為直線/在第二象限的點(diǎn)

（1）求/、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)V"。的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式：并寫出x的取值范圍；

（3）作VP/。的外接圓eC,