廣東省深圳市羅湖區(qū)2023-2024學(xué)年高三年級上冊1月期末數(shù)學(xué)試題含答案

廣東省深圳市羅湖區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)

期1月期末

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測

高三數(shù)學(xué)

2024.01

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共4頁，共22題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼.

3.作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)答案的選項(xiàng)涂黑.

4.非選擇題的答案寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.

5.考試結(jié)束后，考生上交答題卡.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={x|04x44},6={x|(x+3)a-2)<0},則4nB=()

A.[0,1)B.(-1,3]C.[0,2)D.(2,3]

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(i-l)=2i,則z的共扼復(fù)數(shù)為()

A.1—iB.1+iC.-1—iD.-1+i

22

3.雙曲線J=l(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為110°,則離心率為()

a'b'

A.——-——B.——-——C.2sin70°D.2cos20°

cos70°sin70°

4.已知48是平面cr上的點(diǎn)，4，片是平面夕上的點(diǎn)，且則是“a〃尸”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.設(shè)等比數(shù)列{《,}的前〃項(xiàng)和為S,,,已知5,用=3S.+2,〃eN*,則S4=()

A.80B.160C.121D.242

6.已知4是邊長為2的正六邊形444444的一個(gè)頂點(diǎn)，則而的取值范圍是()

A.[-8,8]B.[-4,8]C.[-4,12]D.[-8,12]

7.若函數(shù)/(x)=cos"+V)(<y>0)在(0,?)有最小值，沒有最大值，則o的取值范圍是()

4161016(1022

B.C.

33

8.已知曲線E:y=e'與y軸交于點(diǎn)〃，設(shè)E經(jīng)過原點(diǎn)的切線為/,設(shè)E上一點(diǎn)5橫坐標(biāo)為〃?〃?工0）,若

直線48〃/,則〃?所在的區(qū)間為（）

A.-l<m<0B.0<m<1C.\<m<—D.—<m<2

22

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.在正方體中，用垂直于的平面截此正方體，則所得截面可能是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

10.已知wR',直線/|:x+（4—2）_v+1=0,4-2bx+y—2.=0,且《_L4，則（）

，，一一.4

A.ab的最大值是B.的最小值是一

5

1?

C.20+4〃的最小值是4D.——+一的最小值是3

<2+1b

11.已知直線/：y=X與圓「：。一2%）2+8-4+1）2=1,下列說法正確的是（）

A.所有圓「均不經(jīng)過點(diǎn)（1,1）

B.若「關(guān)于/對稱，則％=—1

C.若/與「相交于48且43=則左=—2

D.存在圓『與x軸與y軸均相切

12.定義在R上的函數(shù)/*)滿足2/(3-x)-/(x)=——12x+18J'(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則

()

A./(0)+/'(0)=。

B.曲線y=/（x）在點(diǎn)（1J。））處的切線方程為2x—y-1=0

C./（x）—/'（x）Nm在R上恒成立，則〃zW-2

D,一二"7一

ev

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在(x+2)5(l—y)的展開式中，/y的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

14.某同學(xué)收集了變量羽y的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

X0.5233.545

y15

乂y2為y4ys

為了研究的相關(guān)關(guān)系，他由最小二乘法求得y關(guān)于x的線性回歸方程為/=%+17,經(jīng)驗(yàn)證回歸直線正

5

好經(jīng)過樣本點(diǎn)(2,15),則￡必=

/=1

15.已知拋物線「：/=2⑷(p〉0)的頂點(diǎn)為。，焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,過/的直線與「在y軸右側(cè)交于點(diǎn)

E.若E在/上的射影為。且尸0|=4|尸。],則直線紙的斜率為.

16.將正方形Z8CD延對角線8。折起，當(dāng)ZC=2百時(shí)，三棱錐/一38的體積為竺已，則該三棱錐外

3

接球的體積為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知數(shù)列｛6,｝滿足％=1,%+]=、口型■4“.

Vn

(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列1—1—\的前n項(xiàng)和S,,.

18.(12分)

正四棱錐P—/BCD的底面48co是邊長為6的正方形，高為4,點(diǎn)",N分別在線段PC,Z5上，且

AN=2NB,PC=4PM,E為PC的中點(diǎn).

(1)求證：BE〃平面DMN；

(2)求直線ZC與平面DW所成角的正弦值.

19.(12分)

△ABC的內(nèi)角4優(yōu)C所對的邊分別為a,b,c,4ABC的面積為S,

從條件①bcos4+Qcos8-2ccosC=0；

條件②2ccos4+。=2b；

條件③4s=+〃一,2)中選擇一個(gè)作為已知，并解答下列問題.

(1)求角。的大小；

(2)點(diǎn)。是△NBC外一點(diǎn)，DC=3,D4=1,若446c=60°,求四邊形Z8C。面積的最大值.

20.(12分)

在一個(gè)地區(qū)篩查某種疾病，由以往經(jīng)驗(yàn)可知該地區(qū)居民得此病(血液樣本化驗(yàn)呈陽性)的概率為

p(0<p<l).根據(jù)需要，居民每三人一組進(jìn)行化驗(yàn)篩查，為節(jié)約資源，化驗(yàn)次數(shù)越少，則方法越優(yōu).現(xiàn)對

每組的3個(gè)樣本給出下面兩種化驗(yàn)方法：

方法1：逐個(gè)化驗(yàn)；

方法2：3個(gè)樣本各取一部分混合在一起化驗(yàn)。若混合樣本呈陽性，就把這3個(gè)樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本

呈陰性，則判斷這3個(gè)樣本均為陰性。

(1)若p=0.4,用隨機(jī)變量丫表示3個(gè)樣本中檢測呈陽性的個(gè)數(shù)，請寫出丫的分布列并計(jì)算E(Y).

(2)若p=0.25,現(xiàn)要完成化驗(yàn)篩查，請問：哪種方法更優(yōu)？

(3)若要完成化驗(yàn)篩查，且已知“方法2”比“方法1”更優(yōu)，求p的取值范圍.

21.(12分)

已知函數(shù)/(x)=eA-aln(x+l)(aGR).

(1)若/(x)的最值為。，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)當(dāng)。時(shí)，證明：f(x)2(〃+l)a.

e

22.(12分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知片(-1,0),工(1,0),0為動(dòng)點(diǎn)，且|￡。|=4,線段的垂直平分線交線段居0

于點(diǎn)P,設(shè)P的軌跡是曲線C,射線尸耳，尸月分別與C交于48兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)若尸耳=4耳4尸6=,求證：4+4為定值.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

題號12345678

答案CBABACDD

二、多項(xiàng)選擇題

題號9101112

答案ADBCABABD

三、填空題

7332萬

13.-1014.6915.----16.------

33

四、解答題

17.解：（1）解法一、由。

由累乘法得乙，胃黃高，.乎X魯…X磊=〃.

解法二、由a

是各項(xiàng)為1的常數(shù)列,所以務(wù)=1,即a“=G.

y/n

(2)由⑴得-------=—7=■―11=J〃+l-，

a?+an+}yJn+yln+\

所以s,=（血_1）+（6—8）+…+（v^i_〃）=v^n_i.

18.證明：（1）方法一、在線段CD上取點(diǎn)尸，使得CF=2DF,連接ER、BF,

因?yàn)閮簽槭珻的中點(diǎn)，所以CE=2ME,所以EF〃DM,

又EE仁平面DMN,0Mq平面DMN,所以EE〃平面Z）MN,

在平行四邊形Z3CD中，因?yàn)?N=2N8,CF=2DF,所以DF=NB,旦DF〃NB、

所以四邊形DE8N是平行四邊形，所以DN〃FB,

又3尸仁平面DMN,￡W三平面DMN,所以8尸〃平面DMN,

又平面EFB,且8bnEE=E，所以平面EF6〃平面,

又BE三平面EFB,所以AE〃平面

方法二、延長C6、ON交于點(diǎn)G,連接MG,

在平行四邊形48。中，因?yàn)锳N=2NB,由三角形相似，易證6C=2G8,

因?yàn)镻C=4/"7,E為PC的中點(diǎn)，所以CE=2"E,所以EB〃MG,

又BE仁平面平面。MN,所以8E〃平面。MN.

方法三、坐標(biāo)法（略）

（2）連接8。交ZC于點(diǎn)。，連接尸O,

因?yàn)檎睦忮F尸—ABCD的底面ABCD是正方形，所以尸。，平面ABCD,

且。故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0405,0。所在直線依次為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

(A5、

由己知可得/(3及,0,0),8(0,30,0),。(一3&,0,0),。(0,-3a,0),河—-—,0,3,"(女,2&,0),

I4)

所以，AC=(-672,0,0),DN=(V2,5V2,0),DM平,303,

設(shè)平面。腦V的一個(gè)法向量為萬=（x,y,z）,

\/2x+5\[2y-0

DMn^Q

由得'3、歷I—

DN-ii=0-半x+3⑶+3z=0

9J2

取x=5,則＞=一1*=周一，所以歷

設(shè)直線ZC與平面。的夾角為。，則

1072

sin6=cos〈4C?萬〉

17

19.解：（1）選①，方法一（射影定理），因?yàn)?COS/+QCOS8-2CCOSC=0

由射影定理c=acos8+ccos4得c-2ccosC=0,即cosC=—,

TT

因?yàn)?<C<〃，所以。=一，

3

方法二(邊化角)因?yàn)閎cos4+acos6-2ccosC=0,

由正弦定理得sincos力+sin4cos8-2sinCeosC=0,

即sin(4+8)-2sinCcosC=0,

因?yàn)?+8+C=〃，所以4+8=萬一。，

所以sin(4+8)-2sinCcosC=sin(^-C)-2sinCcosC=sinC-2sinCcosC=0,

,11

因?yàn)?<C<乃，所以sinC>0,cosC=5,所以。=§.

方法三(角化邊)因?yàn)閎cos4+〃cos8-2ccosC=0,由余弦定理得

121222222

,b+c-aa+c-b~a+b-c,2

b----------------ba-----------------2c---------------=0,即Rnq~2+6f~2―/=7,

2bc2ac2ab

所以cosC=

lab2

71

因?yàn)?<C<乃，所以c=—.

3

力2+4_2

選②，方法一（角化邊）因?yàn)?ccos/+a=2b,由余弦定理得2c------二+Q=26,

2bc

HPa2-\-h~-c2-ah,所以cosC”———,

2ab2

TT

因?yàn)樗?。二?

3

方法二（邊化角）因?yàn)?ccos/+a=2b,由正弦定理得2sinCcos/+sin4=2sin6,

因?yàn)?+8+。=〃，所以夕="一（/+。），

所以2sinCcos4+sin/=2sin［乃一（4+C）］=2sin（J+C）=2sinCcos4+2sin/cosC,

因?yàn)閟in4>0,所以cosC='，

2

TT

因?yàn)?<C<%,所以C=2.

3

選③，因?yàn)?s=6（。2+62_。2）,由S=gqbsinC得2a從由0二百（小+〃一°2）,

由余弦定理得，sinC=石."+'———=V3cosC,即tanC=包二=,

2ahcosC

因?yàn)?<C（乃，所以C=2.

3

TT

（2）在△Z8C,NC84=60°,C=§,所以△ABC為等邊三角形，設(shè)/C=x,x>0,

在△NC。中，由余弦定理可得NO?=4）2+82-24）.8（：05。，

由于D4=1,Z）C=3,代入上式可得f=10-6cos。，

所以四邊形46C。的面積歹=5八4叱+528=|x-xsin|+|xlx3sinZ）=^x2+|sinZ）

A/33f5A/3

=—（10-6cosZ））+—sinZ）=3sinl￡>-y1+-^—,

TTTT24

因?yàn)?<。<乃，所以一一一一<——,

333

所以當(dāng)時(shí)，四邊形/BCD的面積取最大值，最大值為％8+3.

62

20.解：⑴丫的分布列為:

Y0123

p

2754368

125茂115125

￡(Y)=|

(2)采用方法1,3個(gè)樣本需要試驗(yàn)次數(shù)為3次，或采用方法2,以實(shí)驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量X,則X的可能取

2737

值為1或4,且p(X=l)=打p(X=4)=l-

64

所以￡(X)=上175

64

因?yàn)镋(X)=一17二5<3,所以方法2更優(yōu).

64

(3)采用方法2,設(shè)3個(gè)樣本完成化驗(yàn)篩查的實(shí)驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量X,

則X的可能取值為1或4,且p(X=l)=(l—p)3,p(X=4)=l—(l—p)3,

由已知得(1一0)3+4口一(1—p)3]<3

1

解之得，0<°<1-3萬.

所以"的取值范圍為0<P<1—33.

a_(x+l)e'v-a

21.解：(1)易知/(x)的定義域?yàn)?一1,+oo),且/'(x)=e

x+1x+1

①若則/'(x)>0,

.?./(X)為單調(diào)遞增函數(shù)，無最值;

②若Q>0,令函數(shù)g(x)=(x+l)e”-Q,則g'(x)=(x+2)e",

當(dāng)X￡(-1,+oo)時(shí)，g'(x)>0,g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

又g(-l)=_Q<O,g(a)=(a+l)e0-a>(a+l)-tz=l>0,

g(x)在區(qū)間(-l,a)上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)其為玉,,

A

則g('o)=O，B|J(x0+l)e°-a=0(*),

，當(dāng)xe(-Lx。)時(shí)，g(x)<0,B|Jf'(x)<0,

/(X)在區(qū)間(-1,X0)上單調(diào)遞減;

二當(dāng)xe(須),+00)時(shí)，g(x)>0,即/''(x)>0,

/(X)在區(qū)間(%,+8)上單調(diào)遞增,

.?./(X)存在唯一的最值(最小值)，且最小值為/(xo)=exo-aln(xo+l),

由題意可知，e%-aln(xo+l)=a(**),

a

,.,(工0+l)e&—a=0,...e"二1，代入(**),得------t/ln(x0+l)=a,

x。+1

又a>0,/.------ln(x0+1)=1,

%+1