2024屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬卷7（A卷）（含答案）

2024屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬卷07(A卷)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、

準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

4—x1

1.已知集合4=口€目一->0},8={x|—42'44},則AB=()

尤+22

A.{x|-l<x<2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{0,1,2}

211

2.設(shè)(x+l)(2x+l，°=a0+?](%+2)+a2(x+2)H-----Fa11(x+2),則％+/+/+…+%的值是

A.-310B.0C.310D.510

3.己知拋物線C：V=4尤的焦點(diǎn)為八點(diǎn)尸(2/)為拋物線c上一點(diǎn)，則|尸司等于

A.2B.3C.4D.6

5.將9個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，要求每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球，且每個(gè)盒子里的小球個(gè)數(shù)都不

相同，則不同的放法有

A.15種B.18種C.19種D.21種

6.設(shè)酒小是兩條不同的直線，。，立了是三個(gè)不同的平面，給出下列命題，正確的是

A.若利則切_L&

B.若準(zhǔn)〃a,m1/3,則aJ?4

C.若a_L#,al/,則#

D.若&cy=溶，j3r>y=n,加麗,則a〃尸

7.若函數(shù)是偶函數(shù)，定義域?yàn)榇饲襵wo時(shí)，/U)=log2(x+1),則滿足〃附<1的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

1

A.[0,1)B.(-1,1)C.[0,2)D.(-2,2)

8.已知佗分別為橢圓的;+產(chǎn)=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A,B在橢圓上，若耳4=5g3,則點(diǎn)A的坐標(biāo)可

以是()

A.(1,—)B.(-73,0)C.(0,-1)D.(72，—)

33

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)Z,墳，則下列說法正確的是（）

A.若2=.,貝丘=w

B.若z=3+i,w=-2i,貝IJz+w在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

C.若z?=l，貝lz=z

D.若|z-2|=l,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,則直線OZ（。為原點(diǎn)）斜率的取值范圍為一亭與

10.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y,設(shè)事件A="iog"）y為整數(shù)"，B="x+y

為偶數(shù)"，C="x+2y為奇數(shù)”，則（）

A.P（A）=1B.P（A8）=!

o12

7

C.事件8與事件C相互獨(dú)立D.P（A|C）=—

lo

11.歐拉函數(shù)。⑺（〃cN*）是數(shù)論中的一個(gè)基本概念，的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)"，且與"互質(zhì)的

正整數(shù)的個(gè)數(shù)（只有公因數(shù)1的兩個(gè)正整數(shù)互質(zhì)，且1與所有正整數(shù)（包括1本身）互質(zhì)），例如。（8）=4,

因?yàn)?,3,5,7均與8互質(zhì)，貝?。荩ǎ?/p>

A.姒4）9（6）=0（10）B.數(shù)列0（2〃）單調(diào)遞增

C.0（100）=40D.數(shù)列31T的前〃項(xiàng)和小于g

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知A（-2,0）,3（2,0）,以A3為斜邊的直角其頂點(diǎn)P的軌跡方程為.

13.如圖，在水平放置的底面直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入三個(gè)半徑相等的實(shí)心小球A（小球材質(zhì)密度

2

>lxlO3kg/m3),向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好淹沒小球C,若圓柱底面半徑為5+2石，則球A的體積為

圓柱的側(cè)面積與球B的表面積的比值為.

14.已知函數(shù)〃x)=sin?x+e)(0>0)在-三詞上單調(diào),/RU/fyU-/f-yk則。的可能取值

為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=alnx+4+法且曲線y=/⑺在點(diǎn)(11(1))處的切線方程為2x-y+1=0.

X

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值及函數(shù)AM的單調(diào)區(qū)間；

3m

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)-+F恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

22x

16.如圖，在三棱柱ABC-AAG中，AC=BC=1,AB=6,4C=l,ABC.

(I)證明：AC,平面8CG4；

(2)求二面角4-AC-8的大小.

3

17.新高考數(shù)學(xué)試卷增加了多項(xiàng)選擇題，每小題有A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，原則上至少有2個(gè)正確選項(xiàng)，至多

有3個(gè)正確選項(xiàng).題目要求："在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分

選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分."

其中"部分選對的得部分分”是指：若正確答案有2個(gè)選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得3分；若正確答案有3個(gè)

選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得2分，只選2個(gè)選項(xiàng)且都正確得4分.

⑴若某道多選題的正確答案是AB,一考生在解答該題時(shí)，完全沒有思路，隨機(jī)選擇至少一個(gè)選項(xiàng)，至多三個(gè)

選項(xiàng)，請寫出該生所有選擇結(jié)果所構(gòu)成的樣本空間，并求該考生得分的概率；

⑵若某道多選題的正確答案是2個(gè)選項(xiàng)或是3個(gè)選項(xiàng)的概率均等，一考生只能判斷出A選項(xiàng)是正確的，其他

選項(xiàng)均不能判斷正誤，給出以下方案，請你以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，幫該考生選出恰當(dāng)方案：

方案一：只選擇A選項(xiàng)；

方案二：選擇A選項(xiàng)的同時(shí)，再隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)；

方案三：選擇A選項(xiàng)的同時(shí)，再隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng).

18.已知雙曲線C:1-g=l(a>0,b>0)過點(diǎn)A(6,歷且焦距為10.

⑴求C的方程；

(2)過點(diǎn)(2,0)作直線/與雙曲線C交于P、。兩點(diǎn)，求直線/斜率的取值范圍.

⑶已知點(diǎn)網(wǎng)6,-近),。(3,0),E為線段上一點(diǎn)，且直線。E交C于G,H兩點(diǎn).證明:

4

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系宜制中，半徑為1的圓A沿著x軸正向無滑動地滾動，點(diǎn)M為圓A上一個(gè)定點(diǎn),

其初始位置為原點(diǎn)。/為AM繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)過的角度（單位：弧度，120）.

⑴用/表示點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y；

l+cos26

⑵設(shè)點(diǎn)M的軌跡在點(diǎn)加。（%，%）（%#0）處的切線存在，且傾斜角為6,求證：--------為定值；

%

⑶若平面內(nèi)一條光滑曲線C上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)均可表示為（尤Q）,y（f））,切，則該光滑曲線長度為

F（0）-F（a）,其中函數(shù)E⑺滿足尺⑺⑺F+W⑺]2.當(dāng)點(diǎn)M自點(diǎn)。滾動到點(diǎn)E時(shí),其軌跡OE為一條光

滑曲線，求OE的長度.

2024屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬卷07（A卷）答案解析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、

準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

4—x1

1.已知集合4=口€4一->0）,8={x|-42F4},則AB=（）

尤+22

5

A.{x|-l<x<2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{0,1,2)

【答案】B

【分析】解不等式求出集合AB,根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求得答案.

【詳解】由題意二20,即。一4)(尤+2)<。，且無片一2,，一2<尤三4,

由工W2*W4得：-l<x<2,

2

故4={-1,0』,2,3,4},B={x\-l<x<2],

則4門3={-1,0,1,2},

故選：B.

2.設(shè)(x+l)(2x+l)=4+4(x+2)+外(x+2)H--,則4]+02+。3~1的值是

A.-310B.0C.310D.510

【答案】C

【解析】先利用賦值法求出。0的值，再求出/+。2+“3+…+%1的值，即得解.

【詳解】令x=—2得(-2+1)(-4+1)|°=4,二/=-3上

a

令X——1得0=。0++%■1--------wf

1

所以〃]+%+“3--------F%]=31°,

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理求系數(shù)的和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析能力.

3.己知拋物線C：丁=4尤的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸(2,。為拋物線C上一點(diǎn)，則歸同等于

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】由已知，可根據(jù)拋物線方程結(jié)合拋物線的定義直接求解.

【詳解】由已知，拋物線方程為>2=4尤，

根據(jù)拋物線的定義：忸尸|=2+1=3.

故選：B

4.已知sin[6一]]二：,貝心皿[26+5]=()

6

【答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解值.

【詳解】si“20+%sin[2,一口+鼻32,一11k一2si木一m=1一2x>

故選:B

5.將9個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，要求每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球，且每個(gè)盒子里的小球個(gè)數(shù)都不

相同，則不同的放法有

A.15種B.18種C.19種D.21種

【答案】B

【詳解】每個(gè)盒子先放一個(gè)球，用去3個(gè)球，則不同放法就是剩余6個(gè)球的放法；有兩類:

第一，6個(gè)球分成1,5或2,4兩組，共有2M=12種方法；第二，6個(gè)球分成1,2,3三組，有團(tuán)=6種方法.所

以不同放法共有12+6=18種.故選B

6.設(shè)加,閥是兩條不同的直線，用y是三個(gè)不同的平面，給出下列命題，正確的是

A.若5u氏&尸，則溶_!_&

B.若雙〃a,mJL￡,則aJ■戶

C.若a_L產(chǎn)，al/,則#_Ly

D.若pr\y=n,就M,則a〃產(chǎn)

【答案】B

【詳解】試題分析：A中若m由于為a內(nèi)任意一條直線，不能說明A錯(cuò)誤；B中相，刀,

而加〃cr,說明a內(nèi)必有一條直線"，/”〃"，則〃_L(z,符合兩個(gè)平面垂直的判定定理，則C中垂直

于同一平面的兩個(gè)平面可以平行也可以垂直；D選項(xiàng)可用三棱柱的三個(gè)側(cè)面來說明其不正確.

考點(diǎn)：空間直線與平面平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用.

7.若函數(shù)Ax)是偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,且尤20時(shí)，/(x)=log2(x+l),則滿足了(附<1的實(shí)數(shù)加的取值范圍是

A.[0,1)B.(-1,1)C.[0,2)D.(-2,2)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，分析得函數(shù)了(%)在(0,+8)上為增函數(shù)，計(jì)算得了(1)=1,則原不等式可以轉(zhuǎn)化為

|?|<1,解可得相的取值范圍，即可得答案.

7

【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，f(x)=log2(x+1),

則函數(shù)了(無)在(0,+8)上為增函數(shù)，

且7(1)=log22=l,

則/(m)<l=>|m|<1,

即-

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析函數(shù)/(%)的單調(diào)性及特殊值.

8.已知尸2分別為橢圓的,+y2=i的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A,8在橢圓上，若耳A=5居B,則點(diǎn)A的坐標(biāo)可

以是()

A.(1,—)B.(-50)C.(0,-1)D.(正，—)

33

【答案】C

【分析】由橢圓方程可知￡(-加,0),后(形,0),設(shè)8(不，乂)，根據(jù)￡4=5工8,可得04=0耳+5工8,分別

代入橢圓方程即可得出.

【詳解】由：+y2=i知02=/-62=3_1=2,

.■.F^-y/2,0),F式,0),

設(shè)3(%,%),

FXA=5F2B,

AOA=OF[+5F2B=(5xl-6y/2,5%),

解得芭=竽，%==.

.?.A(0,-l).

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中

檔題.

二、多選題

8

9.已知復(fù)數(shù)z,w,則下列說法正確的是（）

A.z=wf貝Uz=w

B.若z=3+i,w=-2i,則z+w在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

C.若z?=l，貝lz=z

D.若|z-2|=1,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,則直線OZ（。為原點(diǎn)）斜率的取值范圍為一

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及其幾何意義，對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】對于A,設(shè)z=a+/?i（a,Z?￡R）,貝!Jz=a-歷，若2=小貝!）卬=〃+歷，

則卬=。-歷，所以W=故A正確；

對于B,若z=3+i,w=-2i,貝!|z+w=3-i,所以z+vv在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)

在第四象限，故B錯(cuò)誤；

對于C,設(shè)2=々+歷（Q,Z?￡R）,由z2=l，可得（儲一。2）+2刈i=l,

則〃=±1,。=0,BPz=±1,則z=W，故C正確;

對于D,設(shè)2=%+訊々力￡對，則z—2=（%-2）+M,若|z—2|二l,

則（％-2）2+產(chǎn)=1,即點(diǎn)Z在以（2,0）為圓心，1為半徑的圓上，

設(shè)過原點(diǎn)與圓相切的直線為y=去，即丘-y=0,

\2k\A

則圓心到切線的距離d=而+（\）2=1,解得左=±三，

所以直線OZ（。為原點(diǎn)）斜率的取值范圍為,故D正確.

故選：ACD

10.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y,設(shè)事件A="logoV為整數(shù)"，B="x+y

為偶數(shù)"，C="x+2y為奇數(shù)"，貝|（）

A?尸（田=:B.尸（幽，

7

C.事件8與事件C相互獨(dú)立D.P⑷C）=R

【答案】BCD

【分析】列舉所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互獨(dú)立事件的定義及條件概率的概率公式計(jì)算可

9

得.

【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為X,九

則基本事件總數(shù)為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36種情況，

滿足事件A的有(U),(1,2),(1,4).(2,3),(2,1),(3,1),(3,4),(4,1),(4,5),

191

(5,6),(5,1),(6,1)共12種，其概率P(A)=9=\故A錯(cuò)誤；

36J

滿足事件8的有(U),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),

(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),

1Q1

(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18個(gè)，故尸(8)=9=：；

362

31

滿足事件的有(LD,(3,1),(5,1)共3個(gè)，所以尸(MAW，故B正確；

滿足事件C的有(U),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

1Q1

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18個(gè)，故P(C)=1j=：,

滿足事件BC的有(LD,(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),

(5,1),(5,3),(5,5),共9個(gè)，所以尸(3C)=4=；=P(B)P(C),

所以事件5與事件C相互獨(dú)立，故C正確；

滿足事件AC的有(1,1),(1,2),(1,4),(3,1),(3,4),(5,6),(5,1),共7種,

7

所以P(AC)=0貝ij尸(川。)=器1=平='，故D正確?

2

故選：BCD

11.歐拉函數(shù)。⑺(〃eN*)是數(shù)論中的一個(gè)基本概念，以〃)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，，且與"互質(zhì)的

正整數(shù)的個(gè)數(shù)(只有公因數(shù)1的兩個(gè)正整數(shù)互質(zhì)，且1與所有正整數(shù)(包括1本身)互質(zhì)),例如。⑻=4,

因?yàn)?,3,5,7均與8互質(zhì)，貝?。?)

10

A.姒4>0(6)=奴10)B.數(shù)列0(2〃)單調(diào)遞增

3

C.夕(100)=40D.數(shù)列的前〃項(xiàng)和小于5

【答案】ACD

【分析】A,由題意可得姒4),(p⑻,0(10),即可判斷選項(xiàng)正誤；B,由A選項(xiàng)可判斷選項(xiàng)正誤；C,注意到

100=22x52,則從1到100個(gè)整數(shù)中去掉能被2或5整除的數(shù)，即可得與100互質(zhì)的數(shù)，即e(100)；D,由C

。⑶"2丫-

選項(xiàng)分析結(jié)合題意可得一K=H不，后由等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式可判斷選項(xiàng)正誤.

叭3)21力

【詳解】A選項(xiàng)，由題可知與4互質(zhì)的數(shù)為1,3,則0(4)=2；與6互質(zhì)的數(shù)為1,5,則必6)=2；

與10互質(zhì)的數(shù)為1,3,7,9,則妖10)=4,故雙4)夕⑹=0(10),即A正確;

B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，。(4)=姒6)=2,故數(shù)列。(2〃)不是單調(diào)遞增數(shù)列，即B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，注意到100=22x52,則從1到100,這100個(gè)整數(shù)中，被2整除的有50個(gè),

被5整除的有20個(gè)，同時(shí)被2和5整除的有10個(gè)，則從1到100,這100個(gè)整數(shù)中,

不能被被2或5整除的數(shù)，即與100互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)為100-50-20+10=40個(gè)，則0(100)=40,故C正確;

D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)分析可知，與2"互質(zhì)的數(shù)，就是從1至！12"，這2"個(gè)整數(shù)中去掉所有的2的倍數(shù).

/、0⑵)1<2￥-1

其中2的倍數(shù)有2"一個(gè)，則。(2")=2"-2"T=2"T,同理可得"(3")=3"-31=2-31則*^=5￡,

7

即為首項(xiàng)為公比為:的等比數(shù)歹U,故D正確.

故選：ACD

三、填空題

12.已知A(-2,0),3(2,0),以AB為斜邊的直角_的，其頂點(diǎn)尸的軌跡方程為.

【答案】X2+/=4(X^±2)

【分析】設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，由勾股定理得到等式，化簡后除去曲線與％軸的交點(diǎn)得答案.

【詳解】設(shè)尸(x,y),WJ|PA|2+|PB|2=|AB|2,

11

整理得：x2+y2=4.

AB,尸三點(diǎn)構(gòu)成三角形，二xw±2.

二頂點(diǎn)尸的軌跡方程為x2+y2=4（尤豐±2）.

故答案為：X2+/=4（X^±2）.

13.如圖，在水平放置的底面直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入三個(gè)半徑相等的實(shí)心小球A3,C（小球材質(zhì)密度

>lxlO3kg/m3）,向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好淹沒小球C,若圓柱底面半徑為5+2石，則球A的體積為,

圓柱的側(cè)面積與球8的表面積的比值為.

【分析】先作圓柱的軸截面圖，根據(jù)幾何關(guān)系求得小球半徑，再根據(jù)球體的體積公式和表面積公式，以及圓柱

側(cè)面積計(jì)算公式，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，作出圓柱的軸截面圖，連接3C,AB,AC,

過8作3"_LAC,垂足為如下所示：

設(shè)小球半徑為人圓柱的底面圓半徑為R,

根據(jù)題意可得：BH=AC=2R-2r,

AB=BC=2r,AH=CH=—AC=R—r,

2

在三角形AEflS中，由勾股定理可得AH?+=AB?,

12

即(7?-廠)2+(27?-2廠)2=4產(chǎn)，整理得=|,

又R>r,則0=5+2),又R=5+2右，貝|廠=5；

r5

遼心4兀34兀YCL500

故球A的體積為=可*125=飛-兀；

圓柱的側(cè)面積I=2nRx27?=4itR2,

球3的表面積邑=4兀戶,

9+475

故答案為：,

~5~

14.已知函數(shù)/'"『皿的+翅?！怠?在-爭聿上單調(diào)，/[]=/片>則0的可能取值

為.

.1239

【答案】7'??

/[奪]=一/1])確定關(guān)于周期的相應(yīng)等式’結(jié)

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定0<。42,再根據(jù)一

合其范圍，即可求得答案.

TTJT

【詳解】設(shè)〃x)=sin(@x+0)(O>O)的周期為T,函數(shù)“力在-上單調(diào),

故八蓍2

71,/.0<tt><2；

以及函數(shù)F(x)在

4兀71=絲』

T-66

若FTr[7兀2兀12

則丁二

O0)7

714兀

71713

若%+石_"T,--------1------,.』=一

-------=-----1--號122(05

2124

714兀

--1---則于713兀9

若63兀上37,一十——

122。5

2124

13

故口的可能取值為1谷2弓559,

735

、1239

故答案為：

755

四、解答題

15.己知函數(shù)/(x)=alnx+4+6x且曲線y=在點(diǎn)(1"(1))處的切線方程為2x-y+1=0.

(1)求實(shí)數(shù)。，b的值及函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間；

3m

(2)若關(guān)于x的不等式/(、)-9恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

22x

【答案】(1)a=l,6=2,減區(qū)間增區(qū)間(J,+COJ；(2)m<-l

【分析】(1)首先將x=l代入2尤-y+l=0得切點(diǎn)為(1,3),從而得到解方程組即可得到

“尤)=Inx+：+2x,再利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間即可.

(2)首先將題意轉(zhuǎn)化為加4尤2+2xinx—4尤+2恒成立，^g(%)=x2+2xln%-4x+2,利用導(dǎo)數(shù)求出設(shè)g(x)的

最小值即可.

【詳解】(1)x=l代入2x-y+l=0得：尸3,所以切點(diǎn)為(1,3).

所以/同⑴="1+16=+3片f/iz="l

所以〃x）=Inx+L2x.

-3=「+2=三3=（21產(chǎn)1%>0）,

XXXX

令r（x）=o,解得尤=；,x=-i（舍去）.

所以xe（0,￡|,尸⑺<0,為減函數(shù)，

x€&,+?）］,f^x）>0,“X）為增函數(shù).

3I3ITJ

（2）因?yàn)?（x）—22—xHT旦成立，BPInxHF2x—2>—x-\恒成立，

22xx22x

化簡為：機(jī)〈爐+2xln%-4x+2恒成立.

設(shè)g（x）=兀2+2xlnx-4x+2,即機(jī)艮口可.

14

=2x+21nx+2—4=2%+21nx-2(x>0),

因?yàn)間'(x)在(0,+8)為增函數(shù),且g'(l)=。,

所以xe(O,l),g<x)<0,g(x)為減函數(shù),

xe(l,+oo),g,(x)>0,g(x)為增函數(shù).

[g(x)Ln=g⑴=7即mW-L

16.如圖，在三棱柱ABC-4與。]中，AC=BC=1,AB=?,4。=1,與CJ■平面ABC.

B

（1）證明：AC,平面5CC4；

（2）求二面角A-AC-5的大小.

【答案】（1）見解析；（2）?37r

4

【分析】（1）由平面A3C,所以與CJLAC,再由勾股定理，證得AC13C,利用線面垂直的判定定理,

即可得到AC,平面

（2）以C為原點(diǎn)，CA的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面AACG和平面A3c的法向

量，利用向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】（］）證明：因?yàn)橛肅,平面ABC,所以gCLAC,

因?yàn)锳C=3C=1,AB=&，所以ACLBC,

又BCcB、C=C,所以AC,平面BCG片.

（2）以C為原點(diǎn)，C4的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則c（o,o,o）,4（1,0,0）,q（0-1,1）,

G4=（1,0,0）,CG=（O,-l,l）,

15

設(shè)平面AACC］的法向量為〃=(x,y,z),則〃.CA=O，n-CQ=0,

所以x=0,-y+z=0,取y=l,貝!|a=（0,l,l）.

又與C，平面ABC,取平面ABC的法向量沅=（0,0,1）,

所以cosn,m=J==—

A/22

由圖可知，二面角2AC-》為鈍角，所以二面角A-AC-B為彳.

【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直判定與證明，以及二面角的計(jì)算問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理

能力，解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理.同時(shí)

對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

17.新高考數(shù)學(xué)試卷增加了多項(xiàng)選擇題，每小題有A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，原則上至少有2個(gè)正確選項(xiàng)，至多

有3個(gè)正確選項(xiàng).題目要求："在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分

選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分."

其中"部分選對的得部分分〃是指：若正確答案有2個(gè)選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得3分；若正確答案有3個(gè)

選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得2分，只選2個(gè)選項(xiàng)且都正確得4分.

⑴若某道多選題的正確答案是AB,一考生在解答該題時(shí)，完全沒有思路，隨機(jī)選擇至少一個(gè)選項(xiàng)，至多三個(gè)

選項(xiàng)，請寫出該生所有選擇結(jié)果所構(gòu)成的樣本空間，并求該考生得分的概率；

⑵若某道多選題的正確答案是2個(gè)選項(xiàng)或是3個(gè)選項(xiàng)的概率均等，一考生只能判斷出A選項(xiàng)是正確的，其他

選項(xiàng)均不能判斷正誤，給出以下方案，請你以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，幫該考生選出恰當(dāng)方案：

方案一：只選擇A選項(xiàng)；

方案二：選擇A選項(xiàng)的同時(shí)，再隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)；

方案三：選擇A選項(xiàng)的同時(shí)，再隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng).

3

【答案】⑴五

16

（2）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可;

（2）根據(jù)三種方案下數(shù)學(xué)期望的大小關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】（1）由題意，該考生所有選擇結(jié)果構(gòu)成的樣本空間為:

{A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD}

3

設(shè)4="某題的答案是A-該考生得分"，則P（A）=A

（2）設(shè)方案一、二、三的得分分別為X,匕Z.

①?二P（X=2）=g,P（X=3）=；.

「.X的分布列為:

5

2

P（y=O）=-x-+-x-=-,P（Y=4）=-x-

—v723232v7233v7236

二y的分布列為:

7

3

③：P（Z=O）=|x|+lxl=|,P（Z=6）=lx|=l

二z的分布列為:

■「E（X）＞E（r）＞E（Z）,

17

以數(shù)學(xué)期望為依據(jù)選擇方案一更恰當(dāng).

22

18.已知雙曲線C：L=l（a>0,b>0）過點(diǎn)A（6,仞且焦距為10.

⑴求C的方程；

（2）過點(diǎn)（2,0）作直線/與雙曲線C交于尸、。兩點(diǎn)，求直線/斜率的取值范圍.

⑶已知點(diǎn)網(wǎng)6,-近）,￡>（3,0）,E為線段上一點(diǎn)，且直線DE交C于G,X兩點(diǎn).證明:

22

【答案】⑴〉〉

(2)左-畀4且⑺青

⑶見解析

【分析】（1）根據(jù)題意列方程組求出6,即可得出C的方程;

22

（2）設(shè)/:>=依*-2）,與雙曲線C:土-匕=1聯(lián)立由直線與雙曲線的位置關(guān)系求解即可;

187

⑶根據(jù)。瓦"G四點(diǎn)共線'要證圈=圜即證GO.E=GEQ",設(shè)出直線小：,三-3）'

3（藥,%）,“（孫力），E（6,t）,聯(lián)立直線方程與橢圓方程得出玉+々，個(gè)2,將其代入6?族-6不。//，計(jì)算

結(jié)果為零，即證出.

367,

----------122

【詳解】（1）由題意可得：了按,故a=30*=?,所以c的方程為上一匕=1.

2\Ja2+b2=10187

（2）由題意可知直線/的斜率存在，設(shè)/；，=左左一2）,

22

與雙曲線l聯(lián)立得：（7-18左2）/+72左2%一（72/+126）=0.

因?yàn)橹本€/與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，所以7-18左2Ho且公>0,

由7-18/30,得左片土巫，

6

由△=（723『+4（7-18/）?（72/+126）=28x126（-2/+1）>0,得2k2<1,

解得：—亞<A<亞

22

直線/斜率的取值范圍為，k一<k<當(dāng)~且1<:.

18

(3)設(shè)E(6j),(孫力)，

當(dāng)x=6時(shí)，即I一;=1,解得y=±J7,則『|＜近，

?.?雙曲線的漸近線方程為y=土理尤，

故當(dāng)直線。E與漸近線平行時(shí)，此時(shí)和雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn),

此時(shí)直線DE方程為y=±x-3)，

9V14

令x=6,則y=±,故卜設(shè)

7

則直線OE:y=；(x-3).

,=；(尤_3)

因?yàn)椋?%=(%+12-6)=4￡一6卜"，

?/7/

X%=豆(%