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文檔簡介
2024屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬卷07(A卷)
(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分)
注意事項(xiàng):
1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、
準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2.回答第I卷時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需
改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3.回答第n卷時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
4—x1
1.已知集合4=口€目一->0},8={x|—42'44},則AB=()
尤+22
A.{x|-l<x<2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{0,1,2}
211
2.設(shè)(x+l)(2x+l,°=a0+?](%+2)+a2(x+2)H-----Fa11(x+2),則%+/+/+…+%的值是
A.-310B.0C.310D.510
3.己知拋物線C:V=4尤的焦點(diǎn)為八點(diǎn)尸(2/)為拋物線c上一點(diǎn),則|尸司等于
A.2B.3C.4D.6
5.將9個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子,要求每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球,且每個(gè)盒子里的小球個(gè)數(shù)都不
相同,則不同的放法有
A.15種B.18種C.19種D.21種
6.設(shè)酒小是兩條不同的直線,。,立了是三個(gè)不同的平面,給出下列命題,正確的是
A.若利則切_L&
B.若準(zhǔn)〃a,m1/3,則aJ?4
C.若a_L#,al/,則#
D.若&cy=溶,j3r>y=n,加麗,則a〃尸
7.若函數(shù)是偶函數(shù),定義域?yàn)榇饲襵wo時(shí),/U)=log2(x+1),則滿足〃附<1的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是
1
A.[0,1)B.(-1,1)C.[0,2)D.(-2,2)
8.已知佗分別為橢圓的;+產(chǎn)=1的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在橢圓上,若耳4=5g3,則點(diǎn)A的坐標(biāo)可
以是()
A.(1,—)B.(-73,0)C.(0,-1)D.(72,—)
33
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.已知復(fù)數(shù)Z,墳,則下列說法正確的是()
A.若2=.,貝丘=w
B.若z=3+i,w=-2i,貝IJz+w在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
C.若z?=l,貝lz=z
D.若|z-2|=l,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,則直線OZ(。為原點(diǎn))斜率的取值范圍為一亭與
10.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,記向上的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,設(shè)事件A="iog")y為整數(shù)",B="x+y
為偶數(shù)",C="x+2y為奇數(shù)”,則()
A.P(A)=1B.P(A8)=!
o12
7
C.事件8與事件C相互獨(dú)立D.P(A|C)=—
lo
11.歐拉函數(shù)。⑺(〃cN*)是數(shù)論中的一個(gè)基本概念,的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)",且與"互質(zhì)的
正整數(shù)的個(gè)數(shù)(只有公因數(shù)1的兩個(gè)正整數(shù)互質(zhì),且1與所有正整數(shù)(包括1本身)互質(zhì)),例如。(8)=4,
因?yàn)?,3,5,7均與8互質(zhì),貝?。荩ǎ?/p>
A.姒4)9(6)=0(10)B.數(shù)列0(2〃)單調(diào)遞增
C.0(100)=40D.數(shù)列31T的前〃項(xiàng)和小于g
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.已知A(-2,0),3(2,0),以A3為斜邊的直角其頂點(diǎn)P的軌跡方程為.
13.如圖,在水平放置的底面直徑與高相等的圓柱內(nèi),放入三個(gè)半徑相等的實(shí)心小球A(小球材質(zhì)密度
2
>lxlO3kg/m3),向圓柱內(nèi)注滿水,水面剛好淹沒小球C,若圓柱底面半徑為5+2石,則球A的體積為
圓柱的側(cè)面積與球B的表面積的比值為.
14.已知函數(shù)〃x)=sin?x+e)(0>0)在-三詞上單調(diào),/RU/fyU-/f-yk則。的可能取值
為
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.已知函數(shù)/(x)=alnx+4+法且曲線y=/⑺在點(diǎn)(11(1))處的切線方程為2x-y+1=0.
X
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值及函數(shù)AM的單調(diào)區(qū)間;
3m
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)-+F恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
22x
16.如圖,在三棱柱ABC-AAG中,AC=BC=1,AB=6,4C=l,ABC.
(I)證明:AC,平面8CG4;
(2)求二面角4-AC-8的大小.
3
17.新高考數(shù)學(xué)試卷增加了多項(xiàng)選擇題,每小題有A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng),原則上至少有2個(gè)正確選項(xiàng),至多
有3個(gè)正確選項(xiàng).題目要求:"在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分
選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分."
其中"部分選對的得部分分”是指:若正確答案有2個(gè)選項(xiàng),則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得3分;若正確答案有3個(gè)
選項(xiàng),則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得2分,只選2個(gè)選項(xiàng)且都正確得4分.
⑴若某道多選題的正確答案是AB,一考生在解答該題時(shí),完全沒有思路,隨機(jī)選擇至少一個(gè)選項(xiàng),至多三個(gè)
選項(xiàng),請寫出該生所有選擇結(jié)果所構(gòu)成的樣本空間,并求該考生得分的概率;
⑵若某道多選題的正確答案是2個(gè)選項(xiàng)或是3個(gè)選項(xiàng)的概率均等,一考生只能判斷出A選項(xiàng)是正確的,其他
選項(xiàng)均不能判斷正誤,給出以下方案,請你以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù),幫該考生選出恰當(dāng)方案:
方案一:只選擇A選項(xiàng);
方案二:選擇A選項(xiàng)的同時(shí),再隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng);
方案三:選擇A選項(xiàng)的同時(shí),再隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng).
18.已知雙曲線C:1-g=l(a>0,b>0)過點(diǎn)A(6,歷且焦距為10.
⑴求C的方程;
(2)過點(diǎn)(2,0)作直線/與雙曲線C交于P、。兩點(diǎn),求直線/斜率的取值范圍.
⑶已知點(diǎn)網(wǎng)6,-近),。(3,0),E為線段上一點(diǎn),且直線。E交C于G,H兩點(diǎn).證明:
4
19.如圖,在平面直角坐標(biāo)系宜制中,半徑為1的圓A沿著x軸正向無滑動地滾動,點(diǎn)M為圓A上一個(gè)定點(diǎn),
其初始位置為原點(diǎn)。/為AM繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)過的角度(單位:弧度,120).
⑴用/表示點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y;
l+cos26
⑵設(shè)點(diǎn)M的軌跡在點(diǎn)加。(%,%)(%#0)處的切線存在,且傾斜角為6,求證:--------為定值;
%
⑶若平面內(nèi)一條光滑曲線C上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)均可表示為(尤Q),y(f)),切,則該光滑曲線長度為
F(0)-F(a),其中函數(shù)E⑺滿足尺⑺⑺F+W⑺]2.當(dāng)點(diǎn)M自點(diǎn)。滾動到點(diǎn)E時(shí),其軌跡OE為一條光
滑曲線,求OE的長度.
2024屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬卷07(A卷)答案解析
(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分)
注意事項(xiàng):
1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、
準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2.回答第I卷時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需
改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3.回答第n卷時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
4—x1
1.已知集合4=口€4一->0),8={x|-42F4},則AB=()
尤+22
5
A.{x|-l<x<2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{0,1,2)
【答案】B
【分析】解不等式求出集合AB,根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求得答案.
【詳解】由題意二20,即。一4)(尤+2)<。,且無片一2,,一2<尤三4,
由工W2*W4得:-l<x<2,
2
故4={-1,0』,2,3,4},B={x\-l<x<2],
則4門3={-1,0,1,2},
故選:B.
2.設(shè)(x+l)(2x+l)=4+4(x+2)+外(x+2)H--,則4]+02+。3~1的值是
A.-310B.0C.310D.510
【答案】C
【解析】先利用賦值法求出。0的值,再求出/+。2+“3+…+%1的值,即得解.
【詳解】令x=—2得(-2+1)(-4+1)|°=4,二/=-3上
a
令X——1得0=。0++%■1--------wf
1
所以〃]+%+“3--------F%]=31°,
故選:C
【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理求系數(shù)的和,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析能力.
3.己知拋物線C:丁=4尤的焦點(diǎn)為尸,點(diǎn)尸(2,。為拋物線C上一點(diǎn),則歸同等于
A.2B.3C.4D.6
【答案】B
【分析】由已知,可根據(jù)拋物線方程結(jié)合拋物線的定義直接求解.
【詳解】由已知,拋物線方程為>2=4尤,
根據(jù)拋物線的定義:忸尸|=2+1=3.
故選:B
4.已知sin[6一]]二:,貝心皿[26+5]=()
6
【答案】B
【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解值.
【詳解】si“20+%sin[2,一口+鼻32,一11k一2si木一m=1一2x>
故選:B
5.將9個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子,要求每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球,且每個(gè)盒子里的小球個(gè)數(shù)都不
相同,則不同的放法有
A.15種B.18種C.19種D.21種
【答案】B
【詳解】每個(gè)盒子先放一個(gè)球,用去3個(gè)球,則不同放法就是剩余6個(gè)球的放法;有兩類:
第一,6個(gè)球分成1,5或2,4兩組,共有2M=12種方法;第二,6個(gè)球分成1,2,3三組,有團(tuán)=6種方法.所
以不同放法共有12+6=18種.故選B
6.設(shè)加,閥是兩條不同的直線,用y是三個(gè)不同的平面,給出下列命題,正確的是
A.若5u氏&尸,則溶_!_&
B.若雙〃a,mJL£,則aJ■戶
C.若a_L產(chǎn),al/,則#_Ly
D.若pr\y=n,就M,則a〃產(chǎn)
【答案】B
【詳解】試題分析:A中若m由于為a內(nèi)任意一條直線,不能說明A錯(cuò)誤;B中相,刀,
而加〃cr,說明a內(nèi)必有一條直線",/”〃",則〃_L(z,符合兩個(gè)平面垂直的判定定理,則C中垂直
于同一平面的兩個(gè)平面可以平行也可以垂直;D選項(xiàng)可用三棱柱的三個(gè)側(cè)面來說明其不正確.
考點(diǎn):空間直線與平面平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用.
7.若函數(shù)Ax)是偶函數(shù),定義域?yàn)镽,且尤20時(shí),/(x)=log2(x+l),則滿足了(附<1的實(shí)數(shù)加的取值范圍是
A.[0,1)B.(-1,1)C.[0,2)D.(-2,2)
【答案】B
【分析】根據(jù)題意,分析得函數(shù)了(%)在(0,+8)上為增函數(shù),計(jì)算得了(1)=1,則原不等式可以轉(zhuǎn)化為
|?|<1,解可得相的取值范圍,即可得答案.
7
【詳解】根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),f(x)=log2(x+1),
則函數(shù)了(無)在(0,+8)上為增函數(shù),
且7(1)=log22=l,
則/(m)<l=>|m|<1,
即-
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,關(guān)鍵是分析函數(shù)/(%)的單調(diào)性及特殊值.
8.已知尸2分別為橢圓的,+y2=i的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)A,8在橢圓上,若耳A=5居B,則點(diǎn)A的坐標(biāo)可
以是()
A.(1,—)B.(-50)C.(0,-1)D.(正,—)
33
【答案】C
【分析】由橢圓方程可知£(-加,0),后(形,0),設(shè)8(不,乂),根據(jù)£4=5工8,可得04=0耳+5工8,分別
代入橢圓方程即可得出.
【詳解】由:+y2=i知02=/-62=3_1=2,
.■.F^-y/2,0),F式,0),
設(shè)3(%,%),
FXA=5F2B,
AOA=OF[+5F2B=(5xl-6y/2,5%),
解得芭=竽,%==.
.?.A(0,-l).
故選:C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中
檔題.
二、多選題
8
9.已知復(fù)數(shù)z,w,則下列說法正確的是()
A.z=wf貝Uz=w
B.若z=3+i,w=-2i,則z+w在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
C.若z?=l,貝lz=z
D.若|z-2|=1,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,則直線OZ(。為原點(diǎn))斜率的取值范圍為一
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意,由復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及其幾何意義,對選項(xiàng)逐一判斷,即可得到結(jié)果.
【詳解】對于A,設(shè)z=a+/?i(a,Z?£R),貝!Jz=a-歷,若2=小貝!)卬=〃+歷,
則卬=。-歷,所以W=故A正確;
對于B,若z=3+i,w=-2i,貝!|z+w=3-i,所以z+vv在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)
在第四象限,故B錯(cuò)誤;
對于C,設(shè)2=々+歷(Q,Z?£R),由z2=l,可得(儲一。2)+2刈i=l,
則〃=±1,。=0,BPz=±1,則z=W,故C正確;
對于D,設(shè)2=%+訊々力£對,則z—2=(%-2)+M,若|z—2|二l,
則(%-2)2+產(chǎn)=1,即點(diǎn)Z在以(2,0)為圓心,1為半徑的圓上,
設(shè)過原點(diǎn)與圓相切的直線為y=去,即丘-y=0,
\2k\A
則圓心到切線的距離d=而+(\)2=1,解得左=±三,
所以直線OZ(。為原點(diǎn))斜率的取值范圍為,故D正確.
故選:ACD
10.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,記向上的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,設(shè)事件A="logoV為整數(shù)",B="x+y
為偶數(shù)",C="x+2y為奇數(shù)",貝|()
A?尸(田=:B.尸(幽,
7
C.事件8與事件C相互獨(dú)立D.P⑷C)=R
【答案】BCD
【分析】列舉所有的基本事件,再由古典概型的概率公式,相互獨(dú)立事件的定義及條件概率的概率公式計(jì)算可
9
得.
【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為X,九
則基本事件總數(shù)為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36種情況,
滿足事件A的有(U),(1,2),(1,4).(2,3),(2,1),(3,1),(3,4),(4,1),(4,5),
191
(5,6),(5,1),(6,1)共12種,其概率P(A)=9=\故A錯(cuò)誤;
36J
滿足事件8的有(U),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),
(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),
1Q1
(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18個(gè),故尸(8)=9=:;
362
31
滿足事件的有(LD,(3,1),(5,1)共3個(gè),所以尸(MAW,故B正確;
滿足事件C的有(U),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
1Q1
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18個(gè),故P(C)=1j=:,
滿足事件BC的有(LD,(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),
(5,1),(5,3),(5,5),共9個(gè),所以尸(3C)=4=;=P(B)P(C),
所以事件5與事件C相互獨(dú)立,故C正確;
滿足事件AC的有(1,1),(1,2),(1,4),(3,1),(3,4),(5,6),(5,1),共7種,
7
所以P(AC)=0貝ij尸(川。)=器1=平=',故D正確?
2
故選:BCD
11.歐拉函數(shù)。⑺(〃eN*)是數(shù)論中的一個(gè)基本概念,以〃)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù),,且與"互質(zhì)的
正整數(shù)的個(gè)數(shù)(只有公因數(shù)1的兩個(gè)正整數(shù)互質(zhì),且1與所有正整數(shù)(包括1本身)互質(zhì)),例如。⑻=4,
因?yàn)?,3,5,7均與8互質(zhì),貝?。?)
10
A.姒4>0(6)=奴10)B.數(shù)列0(2〃)單調(diào)遞增
3
C.夕(100)=40D.數(shù)列的前〃項(xiàng)和小于5
【答案】ACD
【分析】A,由題意可得姒4),(p⑻,0(10),即可判斷選項(xiàng)正誤;B,由A選項(xiàng)可判斷選項(xiàng)正誤;C,注意到
100=22x52,則從1到100個(gè)整數(shù)中去掉能被2或5整除的數(shù),即可得與100互質(zhì)的數(shù),即e(100);D,由C
。⑶"2丫-
選項(xiàng)分析結(jié)合題意可得一K=H不,后由等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式可判斷選項(xiàng)正誤.
叭3)21力
【詳解】A選項(xiàng),由題可知與4互質(zhì)的數(shù)為1,3,則0(4)=2;與6互質(zhì)的數(shù)為1,5,則必6)=2;
與10互質(zhì)的數(shù)為1,3,7,9,則妖10)=4,故雙4)夕⑹=0(10),即A正確;
B選項(xiàng),由A選項(xiàng)可知,。(4)=姒6)=2,故數(shù)列。(2〃)不是單調(diào)遞增數(shù)列,即B錯(cuò)誤;
C選項(xiàng),注意到100=22x52,則從1到100,這100個(gè)整數(shù)中,被2整除的有50個(gè),
被5整除的有20個(gè),同時(shí)被2和5整除的有10個(gè),則從1到100,這100個(gè)整數(shù)中,
不能被被2或5整除的數(shù),即與100互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)為100-50-20+10=40個(gè),則0(100)=40,故C正確;
D選項(xiàng),由C選項(xiàng)分析可知,與2"互質(zhì)的數(shù),就是從1至!12",這2"個(gè)整數(shù)中去掉所有的2的倍數(shù).
/、0⑵)1<2¥-1
其中2的倍數(shù)有2"一個(gè),則。(2")=2"-2"T=2"T,同理可得"(3")=3"-31=2-31則*^=5£,
7
即為首項(xiàng)為公比為:的等比數(shù)歹U,故D正確.
故選:ACD
三、填空題
12.已知A(-2,0),3(2,0),以AB為斜邊的直角_的,其頂點(diǎn)尸的軌跡方程為.
【答案】X2+/=4(X^±2)
【分析】設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),由勾股定理得到等式,化簡后除去曲線與%軸的交點(diǎn)得答案.
【詳解】設(shè)尸(x,y),WJ|PA|2+|PB|2=|AB|2,
11
整理得:x2+y2=4.
AB,尸三點(diǎn)構(gòu)成三角形,二xw±2.
二頂點(diǎn)尸的軌跡方程為x2+y2=4(尤豐±2).
故答案為:X2+/=4(X^±2).
13.如圖,在水平放置的底面直徑與高相等的圓柱內(nèi),放入三個(gè)半徑相等的實(shí)心小球A3,C(小球材質(zhì)密度
>lxlO3kg/m3),向圓柱內(nèi)注滿水,水面剛好淹沒小球C,若圓柱底面半徑為5+2石,則球A的體積為,
圓柱的側(cè)面積與球8的表面積的比值為.
【分析】先作圓柱的軸截面圖,根據(jù)幾何關(guān)系求得小球半徑,再根據(jù)球體的體積公式和表面積公式,以及圓柱
側(cè)面積計(jì)算公式,即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意,作出圓柱的軸截面圖,連接3C,AB,AC,
過8作3"_LAC,垂足為如下所示:
設(shè)小球半徑為人圓柱的底面圓半徑為R,
根據(jù)題意可得:BH=AC=2R-2r,
AB=BC=2r,AH=CH=—AC=R—r,
2
在三角形AEflS中,由勾股定理可得AH?+=AB?,
12
即(7?-廠)2+(27?-2廠)2=4產(chǎn),整理得=|,
又R>r,則0=5+2),又R=5+2右,貝|廠=5;
r5
遼心4兀34兀YCL500
故球A的體積為=可*125=飛-兀;
圓柱的側(cè)面積I=2nRx27?=4itR2,
球3的表面積邑=4兀戶,
9+475
故答案為:,
~5~
14.已知函數(shù)/'"『皿的+翅?!怠?在-爭聿上單調(diào),/[]=/片>則0的可能取值
為.
.1239
【答案】7'??
/[奪]=一/1])確定關(guān)于周期的相應(yīng)等式’結(jié)
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定0<。42,再根據(jù)一
合其范圍,即可求得答案.
TTJT
【詳解】設(shè)〃x)=sin(@x+0)(O>O)的周期為T,函數(shù)“力在-上單調(diào),
故八蓍2
71,/.0<tt><2;
以及函數(shù)F(x)在
4兀71=絲』
T-66
若FTr[7兀2兀12
則丁二
O0)7
714兀
71713
若%+石_"T,--------1------,.』=一
-------=-----1--號122(05
2124
714兀
--1---則于713兀9
若63兀上37,一十——
122。5
2124
13
故口的可能取值為1谷2弓559,
735
、1239
故答案為:
755
四、解答題
15.己知函數(shù)/(x)=alnx+4+6x且曲線y=在點(diǎn)(1"(1))處的切線方程為2x-y+1=0.
(1)求實(shí)數(shù)。,b的值及函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間;
3m
(2)若關(guān)于x的不等式/(、)-9恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
22x
【答案】(1)a=l,6=2,減區(qū)間增區(qū)間(J,+COJ;(2)m<-l
【分析】(1)首先將x=l代入2尤-y+l=0得切點(diǎn)為(1,3),從而得到解方程組即可得到
“尤)=Inx+:+2x,再利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間即可.
(2)首先將題意轉(zhuǎn)化為加4尤2+2xinx—4尤+2恒成立,^g(%)=x2+2xln%-4x+2,利用導(dǎo)數(shù)求出設(shè)g(x)的
最小值即可.
【詳解】(1)x=l代入2x-y+l=0得:尸3,所以切點(diǎn)為(1,3).
所以/同⑴="1+16=+3片f/iz="l
所以〃x)=Inx+L2x.
-3=「+2=三3=(21產(chǎn)1%>0),
XXXX
令r(x)=o,解得尤=;,x=-i(舍去).
所以xe(0,£|,尸⑺<0,為減函數(shù),
x€&,+?)],f^x)>0,“X)為增函數(shù).
3I3ITJ
(2)因?yàn)?(x)—22—xHT旦成立,BPInxHF2x—2>—x-\恒成立,
22xx22x
化簡為:機(jī)〈爐+2xln%-4x+2恒成立.
設(shè)g(x)=兀2+2xlnx-4x+2,即機(jī)艮口可.
14
=2x+21nx+2—4=2%+21nx-2(x>0),
因?yàn)間'(x)在(0,+8)為增函數(shù),且g'(l)=。,
所以xe(O,l),g<x)<0,g(x)為減函數(shù),
xe(l,+oo),g,(x)>0,g(x)為增函數(shù).
[g(x)Ln=g⑴=7即mW-L
16.如圖,在三棱柱ABC-4與。]中,AC=BC=1,AB=?,4。=1,與CJ■平面ABC.
B
(1)證明:AC,平面5CC4;
(2)求二面角A-AC-5的大小.
【答案】(1)見解析;(2)?37r
4
【分析】(1)由平面A3C,所以與CJLAC,再由勾股定理,證得AC13C,利用線面垂直的判定定理,
即可得到AC,平面
(2)以C為原點(diǎn),CA的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面AACG和平面A3c的法向
量,利用向量的夾角公式,即可求解.
【詳解】(])證明:因?yàn)橛肅,平面ABC,所以gCLAC,
因?yàn)锳C=3C=1,AB=&,所以ACLBC,
又BCcB、C=C,所以AC,平面BCG片.
(2)以C為原點(diǎn),C4的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,
則c(o,o,o),4(1,0,0),q(0-1,1),
G4=(1,0,0),CG=(O,-l,l),
15
設(shè)平面AACC]的法向量為〃=(x,y,z),則〃.CA=O,n-CQ=0,
所以x=0,-y+z=0,取y=l,貝!|a=(0,l,l).
又與C,平面ABC,取平面ABC的法向量沅=(0,0,1),
所以cosn,m=J==—
A/22
由圖可知,二面角2AC-》為鈍角,所以二面角A-AC-B為彳.
【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直判定與證明,以及二面角的計(jì)算問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理
能力,解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,通過嚴(yán)密推理.同時(shí)
對于立體幾何中角的計(jì)算問題,往往可以利用空間向量法,通過求解平面的法向量,利用向量的夾角公式求解.
17.新高考數(shù)學(xué)試卷增加了多項(xiàng)選擇題,每小題有A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng),原則上至少有2個(gè)正確選項(xiàng),至多
有3個(gè)正確選項(xiàng).題目要求:"在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分
選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分."
其中"部分選對的得部分分〃是指:若正確答案有2個(gè)選項(xiàng),則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得3分;若正確答案有3個(gè)
選項(xiàng),則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得2分,只選2個(gè)選項(xiàng)且都正確得4分.
⑴若某道多選題的正確答案是AB,一考生在解答該題時(shí),完全沒有思路,隨機(jī)選擇至少一個(gè)選項(xiàng),至多三個(gè)
選項(xiàng),請寫出該生所有選擇結(jié)果所構(gòu)成的樣本空間,并求該考生得分的概率;
⑵若某道多選題的正確答案是2個(gè)選項(xiàng)或是3個(gè)選項(xiàng)的概率均等,一考生只能判斷出A選項(xiàng)是正確的,其他
選項(xiàng)均不能判斷正誤,給出以下方案,請你以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù),幫該考生選出恰當(dāng)方案:
方案一:只選擇A選項(xiàng);
方案二:選擇A選項(xiàng)的同時(shí),再隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng);
方案三:選擇A選項(xiàng)的同時(shí),再隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng).
3
【答案】⑴五
16
(2)答案見解析
【分析】(1)根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可;
(2)根據(jù)三種方案下數(shù)學(xué)期望的大小關(guān)系進(jìn)行判斷即可.
【詳解】(1)由題意,該考生所有選擇結(jié)果構(gòu)成的樣本空間為:
{A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD}
3
設(shè)4="某題的答案是A-該考生得分",則P(A)=A
(2)設(shè)方案一、二、三的得分分別為X,匕Z.
①?二P(X=2)=g,P(X=3)=;.
「.X的分布列為:
5
2
P(y=O)=-x-+-x-=-,P(Y=4)=-x-
—v723232v7233v7236
二y的分布列為:
7
3
③:P(Z=O)=|x|+lxl=|,P(Z=6)=lx|=l
二z的分布列為:
■「E(X)>E(r)>E(Z),
17
以數(shù)學(xué)期望為依據(jù)選擇方案一更恰當(dāng).
22
18.已知雙曲線C:L=l(a>0,b>0)過點(diǎn)A(6,仞且焦距為10.
⑴求C的方程;
(2)過點(diǎn)(2,0)作直線/與雙曲線C交于尸、。兩點(diǎn),求直線/斜率的取值范圍.
⑶已知點(diǎn)網(wǎng)6,-近),£>(3,0),E為線段上一點(diǎn),且直線DE交C于G,X兩點(diǎn).證明:
22
【答案】⑴〉〉
(2)左-畀4且⑺青
⑶見解析
【分析】(1)根據(jù)題意列方程組求出6,即可得出C的方程;
22
(2)設(shè)/:>=依*-2),與雙曲線C:土-匕=1聯(lián)立由直線與雙曲線的位置關(guān)系求解即可;
187
⑶根據(jù)。瓦"G四點(diǎn)共線'要證圈=圜即證GO.E=GEQ",設(shè)出直線小:,三-3)'
3(藥,%),“(孫力),E(6,t),聯(lián)立直線方程與橢圓方程得出玉+々,個(gè)2,將其代入6?族-6不。//,計(jì)算
結(jié)果為零,即證出.
367,
----------122
【詳解】(1)由題意可得:了按,故a=30*=?,所以c的方程為上一匕=1.
2\Ja2+b2=10187
(2)由題意可知直線/的斜率存在,設(shè)/;,=左左一2),
22
與雙曲線l聯(lián)立得:(7-18左2)/+72左2%一(72/+126)=0.
因?yàn)橹本€/與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn),所以7-18左2Ho且公>0,
由7-18/30,得左片土巫,
6
由△=(723『+4(7-18/)?(72/+126)=28x126(-2/+1)>0,得2k2<1,
解得:—亞<A<亞
22
直線/斜率的取值范圍為,k一<k<當(dāng)~且1<:.
18
(3)設(shè)E(6j),(孫力),
當(dāng)x=6時(shí),即I一;=1,解得y=±J7,則『|<近,
?.?雙曲線的漸近線方程為y=土理尤,
故當(dāng)直線。E與漸近線平行時(shí),此時(shí)和雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn),
此時(shí)直線DE方程為y=±x-3),
9V14
令x=6,則y=±,故卜設(shè)
7
則直線OE:y=;(x-3).
,=;(尤_3)
因?yàn)椋?%=(%+12-6)=4£一6卜",
?/7/
X%=豆(%
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