立體幾何測試卷-2021年高考一輪復(fù)習(xí)（解析版）

2021年高考一輪復(fù)習(xí)立體幾何專題測試卷（精選）

一、單選題（共60分，每題5分）

1.點(diǎn)P在正方體A5CD-A耳的側(cè)面及邊界上運(yùn)動，并保持若正方體邊長為1,

則PC的取值范圍是（）

D.[1,2]

【答案】A

【解析】解：Pc側(cè)面C。2G及其邊界上運(yùn)動，BPLA.C,

由三垂線定理得4。1平面BDC],可得動點(diǎn)P的軌跡為線段C,D,

正方體邊長為1,可得點(diǎn)C到線段CD的距離為4=乎，則|CP|e[d,CG]=]#,l]

故選：A-

2.一個正方體的展開如圖所示，點(diǎn)3,C,。為原正方體的頂點(diǎn)，點(diǎn)A為原正方體一條棱的中點(diǎn)，那么

在原來的正方體中，直線CD與A5所成角的余弦值為（）

BMC,更

D.----D

.To--f

【答案】D

DAF

還原正方體，如圖所示，設(shè)AD=1，

則=石,A/=LBE=2虛,AE=3,

CD與A3所成角等于BE與AB所成角，

5+8-9J10

???余弦值為cosZABE=管L=—,故選D.

2xV5x2V210

3.在正方體ABCD-ABIGR中，下列結(jié)論錯誤的是（）

--2

A.GM+AR+A4）0=344

B.AC-（A4—4人）=0

___uuu

C.向量AD1與的夾角是120

D.正方體ABCD—4片加。的體積為|AB-AVAD|

【答案】D

【解析】正方體ABCD-4耳GA如圖，

由正方體的性質(zhì)得AA+A2+A4=AA+AD+DC=AC，

222

AC=|AC|=3|AI5I|=3A#2,故A正確；

AlBl-AlA=ABi,由AB1，5C,AB}1A,B可得AB}1平面A}BC,

則所以AB/AC=O即AC.（A4—AA）=O,故B正確;

.uuu

由正方體性質(zhì)可得A。"ABC-易知△BQA為等邊三角形，所以NA3G=60,所以向量叫與^6的

夾角是120，故C正確;

因?yàn)锳B，"，所以|AB-AVAD|=0,故D錯誤.

故選：D.

4.如圖，在正方體ABC。—A4G。中,P為的中點(diǎn)，則24c在該正方體各個面上的正投影（實(shí)

線部分）可能是（

A.①④B.①②C.②③

【答案】A

【解析】從上下方向上看，△必C的投影為①圖所示的情況;

從左右方向上看，△B4C的投影為④圖所示的情況;

從前后方向上看，AB4c的投影為④圖所示的情況;

故選A.

5.有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點(diǎn)是下層正方體

上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長為2,且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過

38,則該塔形中正方體的個數(shù)至少是（)

B.5個C.6個D.7個

【答案】B

【解析】設(shè)有〃個正方體構(gòu)成，其表面積由兩部分組成:

（1）俯視圖、表面只有一個正方形，其邊長為2.

（2）側(cè)面則由4〃個正方形構(gòu)成，且各層（從下往上看）正方形面積構(gòu)成一個首項(xiàng)為4,公比為1的等比數(shù)列。

.?.表面積為：4+4+4x4+4x—+4x+...+4x〉38,

求解不等式可得n的最小值為5.

本題選擇B選項(xiàng).

6.a,￡是兩個不重合的平面，下面說法中，正確的是（）

A.平面a內(nèi)有兩條直線a,6都與平面￡平行，那么。

B.平面a內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面￡,那么a//p

C.若直線a與平面a和平面￡都平行，那么a〃￡

D.平面a內(nèi)所有的直線都與平面￡平行，那么a//0

【答案】D

【解析】對于A，a與6可能相交或平行，錯；對于B,a與尸可能相交或平行，錯；對于C,

a與尸可能相交或平行，錯；D符合面面平行的定義，正確，選D.

7.在三棱錐P—A5C中，已知24=/3=4。，/BAC=NPAC,點(diǎn)D,E分別為棱BC,PC的中

點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線DEL直線ADB.直線直線上4

C.直線DEL直線ABD,直線直線AC

【答案】D

【解析】由題意，如圖所示，因?yàn)锽4=A5=AC,ZBAC=/PAC,

：.APAC=ABAC,得PC=5C,取05中點(diǎn)G,連接AG,CG,

則PBLCG,PB±AG,

又「AGCG=G,...平面C4G,則PSLAC,

E分別為棱BC,PC的中點(diǎn)，

:.DE/IPB，則。ELAC.

故選D.

c

8.已知平面a，平面6，交于直線/,且直線aua,直線6匚萬，則下列命題錯誤的是（）

A.若a〃b,則a/〃或6///

B.若。則a，/且

C.若直線。力都不平行直線/,則直線。必不平行直線6

D.若直線都不垂直直線/,則直線a必不垂直直線6

【答案】B

【解析】選項(xiàng)A：因?yàn)槠矫鎍L平面夕,交于直線/,aua,所以。a尸，而a/力,bu。,所以a〃。,

又平面a,平面萬，交于直線/,aua,所以aI,同理匕/〃，故本命題是真命題；

選項(xiàng)B：由;_L],如果bI,也可以保證a_L/,故本選項(xiàng)是假命題；

選項(xiàng)C:本命題的逆否命題是：若直線。平行直線〃，則直線6至少有一個平行直線/,所以可以由選項(xiàng)A,

判斷本選項(xiàng)是真命題；

選項(xiàng)D:假設(shè)直線。必不垂直直線6不成立，則有;/，方，因?yàn)橹本€。力都不垂直直線/,所以存在過。上一

點(diǎn)A的直線c,c_U,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，c_L〃，而6<=尸，所以c_LA,而;acc=A,

。，cue所以有〃，1，平面戊，平面尸，交于直線/,所以有這與已知直線都不垂直直線/相

矛盾，故假設(shè)不成立，本命題為真命題，故本題選B.

9.以下四個命題中，正確的是（）

A.若。。:,加+^^^^^^臺三點(diǎn)共線

23

B.若｛a,乩4為空間的一個基底，則｛a+b為+e,（f+a｝構(gòu)成空間的另一個基底

C.（。乃卜卜卜卜也卜卜

D.AABC為直角三角形的充要條件是ABAC=0

【答案】B

【解析】因?yàn)椤！?4。4+工。3中工+'wl,所以RA,3三點(diǎn)不一定共線，

2323

因?yàn)椋鸻,A,c｝為空間的一個基底，所以a/,d不在同一個平面，因此a+/?,/?+c,c+a也不在同一個平面,

從而｛a+兒Z?+d,c+a｝構(gòu)成空間的另一個基底,

因?yàn)椋╝旬C=,/卜|=同一瓦卜.3（。力，，所以（<2-&）c|=|<2|-|Z?|-|c不恒成立，

因?yàn)锳ABC為直角三角形時A角不一定為直角，即ABAC=O不一定成立，所以D錯誤，

綜上選B.

10.如圖，設(shè)尸是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且。平面A6CD,則平面上45與平面PBC、平面

上4。所在平面的位置關(guān)系是（）

A.平面上43與平面？BC、平面上4￡）都垂直

B.它們兩兩垂直

C.平面Q4B與平面垂直，與平面不垂直

D.平面A45與平面PBC、平面QAD都不垂直

【答案】A

【解析】：平面ABC。，BCu平面ABCD,24,5c.

又?.?BCLAB,PAAB=A,3CL平面B4B.

:BCu平面PBC,平面P5C，平面B4B.

ADAPA,ADAAB,PAIABA,AD_L平面.

;短匚平面可），,平面E4DJ_平面MB.

由已知易得平面P5C與平面E4D不垂直，故選A.

11.在平面中，與正方形A3CD的每條邊所成角都相等的直線與AB所成角的余弦值為Y2.將此結(jié)論類比

2

到空間中，得到的結(jié)論為:在空間中，與正方體ABC。-44GA的每條棱所成角都相等的直線與A5所成

角的余弦值為（）

A^2gy/3^6

?D?L?u?

2323

【答案】B

【解析】設(shè)正方體A3CD—A4GD1的棱長為。，

與正方體ABC。-44GA的每條棱所成角都相等的直線為其體對角線所在直線,

求此直線與A3所成角的余弦值即求的余弦值,

可知=BQ=及。,AC】=6a，

有cosNGAB=i+3,-2“2=走，

2伍3

故此直線與AB所成角的余弦值為B.

3

故選：B.

12.空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，該點(diǎn)和垂足之間的距離即為該點(diǎn)到平面的

距離.平面夕，（3,7兩兩互相垂直，點(diǎn)Aea,點(diǎn)A到，,7的距離都是3,點(diǎn)P是a上的動點(diǎn)，滿足P到

￡的距離是點(diǎn)尸到點(diǎn)A距離的2倍，則點(diǎn)P的軌跡上的點(diǎn)到/的距離的最小值為（）

A.VsB.3—2A/3C6—A/3D.3—y/3

【答案】D

【解析】由A(3,3,0),并設(shè)析(x,y,0),則點(diǎn)尸到面7的距離為|yI，點(diǎn)到到月的距離是|xI，

22

由題意得：|x|=2j(x-3)2+(y—3>+(0—0)2化簡得：4(y-3)=-3x+24x-36

求得:(y—3)2<3,所以|y|的最小值為3—6

二、填空題(共20分，每題5分)

13.如圖，在下列四個正方體中，A、3為正方體的兩個頂點(diǎn)，M,N,Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正

方體中，直線A5與平面MNQ平行的是.

【解析】要證明直線A3與平面MNQ平行，需要證明直線A3與平面"NQ內(nèi)的一條直線平行，

①：平面MNQ中無法找到與直線A3平行的直線，所以①錯誤；

②：由正方體性質(zhì)可知又A3不在平面MNQ內(nèi)，所以可以證得直線A5與平面MNQ平行;

③：由正方體性質(zhì)可知MQ〃A5,又AB不在平面MNQ內(nèi)，所以可以證得直線A5與平面〃NQ平行;

@：由正方體性質(zhì)可知N。//AB,又A8不在平面MNQ內(nèi)，所以可以證得直線A5與平面"NQ平行,

綜上所述，答案為②③④.

14.圖（1）為棱長為1的正方體，若正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體的三個面相切，則兩球半

徑之和為.

【答案】土詼.

2

【解析】如圖（2）,作出正方體的體對角面，易知球心。i和。2在AC上，

過點(diǎn)。1，。2分別作A。，2C的垂線，垂足分別為區(qū)F.

設(shè)球。i的半徑為r,球。2的半徑為R,

由AB=1,AC—乖>>得AOl=V3r,O2C=\f3R，

/T3_/T

r+7?+^/3（r+R）=y/3,R+r=——=------.

V3+12

故答案為：土2叵

2

15.正方體ABCDA用G。的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐ABCD的體積小于9

的概率為.

【答案】-

2

【解析】解：正方體ABCD—A4G。的棱長為1，

???正方體的體積V=lxlxl=l.

當(dāng)四棱錐人-ABCD的體積小于工時，設(shè)它的高為/z，

6

貝lj1xl2x/2<!,解之得

362

則點(diǎn)M在到平面ABCD的距離等于-的截面以下時，四棱錐M-ABCD的體積小于

26

求得使得四棱錐河-ABCD的體積小于工的長方體的體積『=1x1x[=1

622

1vfI

四棱錐M—ABCD的體積小于石的概率尸="=/.

故答案為：一.

2

DiCi

16.已知空間向量句=（2x+l,3羽0）,b=（l,y,y-3）,（其中x、ycR）,如果存在實(shí)數(shù)X,使得。=勸

成立，則1+y=.

【答案】2

2%+1=4x——1

【解析】?=（2x+l,3x,0）,/?=（l,y,y-3）,且。=財(cái)，所以＜3x=Xy,解得＜y=3,

0=X（y-3）A=—1

因此，x+y=2.

故答案為：2.

三、解答題

17.（10分）如圖，ABCDEE是由兩個全等的菱形ABEF和CDEE組成的空間圖形，AB=2,ZBAF

=ZECD=60°.

（1）求證：BD±DC；

（2）如果二面角8—EF—O的平面角為60。，求直線5￡）與平面BCE所成角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）巫

7

【解析】（1）取所的中點(diǎn)G,連接BG、DG,在菱形ABEF中,

???ZBAE=60,AB所是正三角形，:.EFLBG,

同理在菱形。＞石尸，可證EF_LDG,ER_L平面3DG,.,.石戶_1_跳＞,

又：CD!/EF,，CD±BD.

（2）由（1）知，N3GD就是二面角5—即一。的平面角，即NBGD=60°,

又BG=GD=6,所以A50G是正三角形，故有BD=6，

如圖，取。G的中點(diǎn)。，連接80,則BOLOG,又由（1）得即，50,

3L

所以，50,平面CDFE,且30=—,又BDLCD,在直角ABDC中，BC=J7,

=工皿義近=是,所以人=2包

3427

故直線BD與平面BCE所成角正弦值為—=2互

BD7

18.（12分）如圖，在正方體A6CD—中，點(diǎn)石，尸分別在棱CG，AB±,且滿足CE=2石

AF=2FB.

（1）證明：平面ADEJ_平面ARE；

（2）若AB=3,求平面AGP截正方體MCD-44GA所得截面的面積?

【答案】（1）見詳解；（2）為”.

16

【解析】（1）在8月取使得5"=2MBi，連AM,ME,

,/正方體AC；,.".CQ//BB1,CCl-BBI,CE—2EC1,

BXM=EQ,四邊形GEMBI是平行四邊形，

:.B[G〃ME,?ByC}//AD.-.ME//AD,

共面，平面ADE即為平面ADEM,

?

4￡＞_1_平面朋454尸＜=平面441515,4￡）_1_47,

在比&44尸中，tanZ^FA=,

,,/…，BM2

在Rt/SABM中，tanZABM=——=-,

AB3

7F

tanZABMxtanAA^FA=1,NABM+Z^FA=—,

:.\FLAM,ADAMAD^A,

加0,4￡）＜=平面40"￡,，A^FJ■平面ADME,

AEu平面A2F,.?.平面ARF_L平面ADME,

即平面ADE_L平面ADJF；

(2)在BC取N,CN=2NB,連FN,CN,

AF=2FB,:.AC//FN

正方體AC],，//AC,:.AG/1FN,

.??A，G，N,尸四點(diǎn)共面，平面AGE截正方

體ABCD-44GA所得截面為梯形AGNF,

3/2

AB=3,4G=3且,FN=當(dāng),

AF=CN=2,4尸=NG=舊，

過歹做尸G，4G于G,AG=￥,

。171903忘+萬五_9屈

截面24216

二平面AQF截正方體ABCD-A.B^D,所得截面的面積為返.

16

19.（12分）如圖，在正方體ABC?！狝B'CD'中，。是AA'BD的中心，E,尸分別是線段4C',C'。上

的動點(diǎn)，且A'E=/IAC'，。丁=(1一2)03(2eH).

(I)若直線OE|平面BCD,求實(shí)數(shù)4的值；

(II)若2正方體A5CD—AB'C'D'的棱長為2,求平面5石戶和平面A5D所成二面角的余弦值.

2

【答案】(I)2=-；(II)

333

【解析】試題分析：(I)取3。的中點(diǎn)V，連C'M，由直線OE||平面BC'。可證得OECM,根據(jù)

A'pA'n22

平行線分線段成比例定理可得丁。=——=2,即A'E=-4C',得到X=—；(II)建立空間直角坐標(biāo)

A'COM33

系，求出平面5歷的法向量A=(3,1,1)、平面A3。的法向量相=(1,1,1),利用向量的夾角求解即可.

試題解析：

(I)取5。的中點(diǎn)V，

,/。是正AA'BD的中心

A'r)

.?.點(diǎn)。在AM上，且——=2,

0M

連C'M，

,/0E平面BCD,平面AMC'c平面BCD=CM,

：.OECM

.A'E402

*'A'C~OM~'

2

/.A'E=-A'C,

3

?72

3

(II)當(dāng)；I=工時，點(diǎn)E,歹分別是A'C,CD的中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—孫z,

2

則A(0,0,0),3(2,0,0),D(0,2,0),E(l,l,2),F(l,2,1).

設(shè)平面BEF的一個法向量為n=(x,y,z),

n-BE=(%,y,z)?(-1,1,2)=-%+y+2z=0

n-BF=(%,y,z)?(-1,2,1)=-j;+2y+z=0

x=3z

得4，令z=l，得"=(3,1,1).

U=z

同理可得平面A5D的一個法向量為m=(1,1,1)

m-n5_5后

：.COS<m-n>=1-7-r—r

舊義6-33

由圖形知，平面5昉和平面A'BD所成二面角為銳角,

平面5砂和平面A5D所成二面角的余弦值為名畫.

33

20.(12分)已知空間向量Q=(sina,-l,cosa),b=(l,2cosa,l),a-b=—,ae(0,—)

(1)求sin2。及sina,cosa的值;

(2)設(shè)函數(shù)/(x)=5cos(2x—a)+cos2x(xeK),求/'(x)的最小正周期及/(x)取得最大值時x的值。

2443

【答案】(1)sin2cr=—,sincr=j,cos?=|(2)〃x)的最小正周期T=加"x)取得最大值時

冗

x=k7r+—,(k

【解析】(1)Va-Z?=|

,?smo-coso=《①

/.1-2csm?acosa=——I

25

24

sin2a=——②

25

43

聯(lián)立①，②解得：sin。=1,coso二二

(2)/(x)=5cos(2x-or)+cos2x

=5COS2XCOS6Z+5sin2Asina+cos2x

=3cos2x+4sin2x+cos2x

=4(sin2x+cos2x)

=4點(diǎn)sin[2x+?J,/（%）的最小正周期T=?.

當(dāng)2x+￡=2新+胃時""心=4"

冗

此時九二左》+—,（左eZ）

8

21.（12分）（請用空間向量求解）己知正四棱柱ABC?！狝4GA中，AB=1，AA]=3,E,歹分別

是棱AA「CC]上的點(diǎn)，且滿足AE=2EA-CF=2FC-

（1）求異面直線EC-DB1所成角的余弦值；

（2）求面EB°i與面FAD所成的銳二面角的余弦值.

【答案】（1）晅；（2）之叵.

1110

（1）在正四棱柱ABCD—A]B]C]D]中，平面ABCD,底面ABCD是正方形,

所以AD,DC,DD[兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

又因AB=1,AA]=3,E,F分別是棱AA-CC1上的點(diǎn),

且滿足AE=2EA],CF=2FC\,

所以D(O,o,0),E(l,o,2),C/0,1,3),B(1,1,3),A(l,o,0),F(0,l,2),B/1,1,3),

所以EQ=(—1,1,1),DB]=(1,1,3),

設(shè)異面直線EC「DB1所成角為,

所以cosO=|cos(ECl,DB.)|=匚甲+3=叵,

1111V3VT7T79ii

所以異面直線EC1,DB]所成角的余弦值為叵.

11

⑵EC】=(-l,l,l),EB1=(O,l,l),DA=(l,O,O),DF=(O,l,2),

設(shè)平面EBgi的一個法向量為n1=(x”yi，zj,

EB.±n,f力+4=0

則〈.,，所以Xi+%+Zi=。，令Z1=1,

EC]_L叫L

所以n]=(0,—I』)，

平面FAD的一個法向量為％=(x2,y2,z2),

x

DA±nf2=°、

則9，所以＜y2+2z2=0,令Z2=l,所以%=(zO,—2,1),

DF±n2