江西奉新縣普通高級(jí)中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

江西奉新縣普通高級(jí)中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知的定義域?yàn)?，若?duì)于，，，，，分別為某個(gè)三角形的三邊長，則稱為“三角形函數(shù)”，下例四個(gè)函數(shù)為“三角形函數(shù)”的是（）A．； B．；C．； D．2．若關(guān)于x的不等式x-1-x-2≥A．0,1 B．-1,0 C．-∞,-1∪0,3．某超市收銀臺(tái)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下：排隊(duì)人數(shù)01234概率0.10.160.30.30.10.04則至少有兩人排隊(duì)的概率為（）A．0.16 B．0.26 C．0.56 D．0.744．定義運(yùn)算:.若不等式的解集是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．5．已知a，b，c滿足，那么下列選項(xiàng)一定正確的是（）A． B． C． D．6．在等腰梯形ABCD中，，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若，則A． B． C． D．7．在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形8．函數(shù)的對(duì)稱中心是（）A． B． C． D．9．將一個(gè)總體分為甲、乙、丙三層，其個(gè)體數(shù)之比為，若用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，則應(yīng)從丙層中抽取的個(gè)體數(shù)為（）A．20 B．40 C．60 D．10010．已知點(diǎn)均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列滿足，（），則________.12．已知為直線上一點(diǎn)，過作圓的切線，則切線長最短時(shí)的切線方程為__________．13．若關(guān)于x的不等式的解集是，則_________.14．不等式的解集為_______________．15．某校選修“營養(yǎng)與衛(wèi)生”課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名．現(xiàn)用分層抽樣的方法從這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高二年級(jí)的學(xué)生中抽取了8名，則在該校高一年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為________．16．已知數(shù)列滿足，，，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)．（1）求證函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）求函數(shù)在上的值域．18．從甲、乙兩班某項(xiàng)測試成績中各隨機(jī)抽取5名同學(xué)的成績，得到如圖所示的莖葉圖.已知甲班成績數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13，乙班成績數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.（1）求x，y的值；（2）試估計(jì)甲、乙兩班在該項(xiàng)測試中整體水平的高低.（注：方差，其中為的平均數(shù)）19．已知，設(shè).（1）若圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于，求的取值范圍；（2）若的最小正周期為，且當(dāng)時(shí)，的最大值是，求的解析式，并說明如何由的圖象變換得到的圖象.20．在中，已知角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，是的中點(diǎn)，且，求的面積.21．已知點(diǎn)，，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)且滿足（1）求曲線的方程；（2）設(shè)曲線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上異于的任意一點(diǎn)，直線分別交直線：于點(diǎn)，試問軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】由三角形的三邊關(guān)系，可得“三角形函數(shù)”的最大值小于最小值的二倍，因?yàn)閱握{(diào)遞增，無最大值和最小值，故排除A，，符合“三角形函數(shù)”的條件，即B正確，單調(diào)遞增，最大值為4，最小值為1，故排除C，單調(diào)遞增，最小值為1，最大值為，故排除D.故選B.點(diǎn)睛：本題以新定義為載體考查函數(shù)的單調(diào)性和最值；解決本題的關(guān)鍵在于正確理解“三角形函數(shù)”的含義，正確將問題轉(zhuǎn)化為“判定函數(shù)的最大值和最小值間的關(guān)系”進(jìn)行處理，充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.2、D【解析】x-1-x-2=x-1-∵關(guān)于x的不等式x-1-∴a2+a-1>1，即解得a>1或∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為-∞,-2∪3、D【解析】

利用互斥事件概率計(jì)算公式直接求解．【詳解】由某超市收銀臺(tái)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率表，得：至少有兩人排隊(duì)的概率為：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法、互斥事件概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】

根據(jù)定義可得的解集是空集，即恒成立，再對(duì)分類討論可得結(jié)果.【詳解】由題意得的解集是空集，即恒成立.當(dāng)時(shí)，不等式即為，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，則即解得.綜上可知:.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的恒成立問題，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

c＜b＜a，且ac＜1，可得c＜1且a>1．利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．【詳解】∵c＜b＜a，且ac＜1，∴c＜1且a>1，b與1的大小關(guān)系不定．∴滿足bc＞ac，ac＜ab，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

利用平面向量的幾何運(yùn)算，將用和表示，根據(jù)平面向量基本定理得，的值，即可求解．【詳解】取AB的中點(diǎn)F，連CF，則四邊形AFCD是平行四邊形，所以，且因?yàn)?，，，∴故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)平面向量的基本定理，將用和進(jìn)行表示，求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

由正弦定理化簡，得到，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【詳解】由題意知，，結(jié)合正弦定理，化簡可得，所以，則，所以，得或，所以三角形是等腰或直角三角形．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用．在解三角形問題中經(jīng)常把邊的問題轉(zhuǎn)化成角的正弦或余弦函數(shù)，利用三角函數(shù)的關(guān)系來解決問題，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】，設(shè)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移一個(gè)單位，向下平移兩個(gè)單位得到，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選C.9、B【解析】

求出丙層所占的比例，然后求出丙層中抽取的個(gè)體數(shù)【詳解】因?yàn)榧住⒁?、丙三層，其個(gè)體數(shù)之比為，所以丙層所占的比例為，所以應(yīng)從丙層中抽取的個(gè)體數(shù)為，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣中某一層抽取的個(gè)體數(shù)的問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10、A【解析】

設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時(shí)，平面，球心在上．由此可計(jì)算球半徑．【詳解】如圖，設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時(shí)，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定球心位置求出球的半徑．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、31【解析】

根據(jù)數(shù)列的首項(xiàng)及遞推公式依次求出、、……即可.【詳解】解：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式求出數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.12、或【解析】

利用切線長最短時(shí)，取最小值找點(diǎn)：即過圓心作直線的垂線，求出垂足點(diǎn)．就切線的斜率是否存在分類討論，結(jié)合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．【詳解】設(shè)切線長為，則，所以當(dāng)切線長取最小值時(shí)，取最小值，過圓心作直線的垂線，則點(diǎn)為垂足點(diǎn)，此時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.①若切線的斜率不存在，此時(shí)切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；②若切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即.由題意可得，化簡得，解得，此時(shí)，所求切線的方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查過點(diǎn)的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長相關(guān)問題，在過點(diǎn)引圓的切線問題時(shí)，要對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，另外就是將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑長，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題．13、－14【解析】

由不等式的解集求出對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，從而可得結(jié)果.【詳解】不等式的解集是，所以對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根為和，且，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解集與一元二次不等式的根之間的關(guān)系，以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于簡單題.14、【解析】.15、6【解析】

利用分層抽樣的定義求解.【詳解】設(shè)從高一年級(jí)的學(xué)生中抽取x名，由分層抽樣的知識(shí)可知，解得x＝6.故答案為6.【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.16、-2【解析】

根據(jù)題干中所給的表達(dá)式得到數(shù)列的周期性，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題干表達(dá)式得到可以得數(shù)列具有周期性，周期為3，故得到故得到故答案為：-2.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了求數(shù)列中的某些項(xiàng)，一般方法是求出數(shù)列通項(xiàng)，對(duì)于數(shù)列通項(xiàng)不容易求的題目，可以列出數(shù)列的一些項(xiàng)，得到數(shù)列的周期或者一些其它規(guī)律，進(jìn)而得到數(shù)列中的項(xiàng).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)直接用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.

(2)利用（1）的單調(diào)性結(jié)論可求函數(shù)在上的值域【詳解】（1）證明：任取，且則由，且，則，所以所以所以函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)所以，即所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性和結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域.屬于基礎(chǔ)題.18、（1），；（2）乙班的整體水平較高【解析】

（1）由莖葉圖數(shù)據(jù)以及平均數(shù)，中位數(shù)的定義求解即可；（2）分別計(jì)算出甲乙兩班的方差，得出，所以乙班的整體水平較高.【詳解】（1）由莖葉圖知甲班成績數(shù)據(jù)依次為9，12，，20，26所以中位數(shù)為，得；乙班成績數(shù)據(jù)的平均數(shù)，得.（2）乙班整體水平較高.理由：由題意及（1）得因?yàn)椋砸野嗟恼w水平較高.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用莖葉圖計(jì)算平均數(shù)，中位數(shù)以及方差的應(yīng)用，屬于中檔題.19、（1）；（2）;平移變換過程見解析.【解析】

（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,表示出的解析式,結(jié)合輔助角公式化簡三角函數(shù)式.結(jié)合相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于及周期公式,即可求得的取值范圍;（2）根據(jù)最小正周期,求得的值.代入解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)與的最大值是,即可求得的解析式.再根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換,即可描述變換過程.【詳解】∵∴∴（1）由題意可知,∴又,∴（2）∵,∴∴∵,∴∴當(dāng)即時(shí)∴∴將圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位,得到的圖象；再將得到的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變,得到的圖象（或?qū)D象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變,得到的圖象；再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位,得到的圖象）【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,根據(jù)最值求三角函數(shù)解析式,三角函數(shù)圖象平移變換過程,屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理和和差公式計(jì)算得到答案.（2）利用代入余弦定理公式得到，計(jì)算面積得到答案.【詳解】（1）∵是的內(nèi)角，∴且又由正弦定理：和已知條件得：化簡得：，又∵∴；（2）∵，是的中點(diǎn)，且，，，∴由余弦定理得：，代入化簡得：又，即，可得：故所求的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，正弦定理，面積公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.21、（1）；（2）存在點(diǎn)使得成立.【解析】

（1）設(shè)P（x，y），由|PA|=2|PB|，得=2，由此能求出曲線的方程．（2）由題意得M(0，1)，N(0，-1)，設(shè)點(diǎn)R(x0，y0)，（x0≠0），由點(diǎn)R在曲線上，得=1，直線RM的方程，從而直線RM與直線y=3的交點(diǎn)為，直線RN的方程為，從而直線RN與直線y=3的交點(diǎn)為