專題. 整式的乘法（常考知識點分類專題）-2023-2024學年七年級數(shù)學下冊專項突破講與練（北師大版）

專題1.11整式的乘法（?？贾R點分類專題）【考點目錄】【考點1】單項式相乘；【考點2】單項式與多項式相乘；【考點3】多項式相乘；【考點4】整式相乘中的字母的值；【考點5】整式相乘中的“不含”、“無關”問題；【考點6】整式相乘中的幾何問題；【考點7】整式相乘中的規(guī)律問題.選擇題【考點1】單項式相乘；1．（2023下·全國·七年級專題練習）計算的結果是（

）A． B． C． D．2．（2023下·全國·七年級專題練習）若單項式和3xy的積為，則ab的值為（）A．30 B．20 C．﹣15 D．15【考點2】單項式與多項式相乘；3．（2023下·七年級課時練習）計算的結果是（

）A．1 B． C． D．4．（2023下·全國·七年級專題練習）數(shù)學課上，老師講了單項式乘多項式，放學回到家，李剛拿出課堂筆記復習，發(fā)現(xiàn)一道題：，□的地方被墨水弄污了，你認為□內(nèi)應填寫（

）A． B． C． D．【考點3】多項式相乘；5．（2023下·七年級單元測試）若，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023下·江蘇·七年級專題練習）已知的計算結果為，則的值為（

）A．5 B． C．1 D．【考點4】整式相乘中的字母的值；7．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶八中?？茧A段練習）若，則的值為（）A．1 B． C． D．78．（2023下·七年級課時練習）若，，為正整數(shù)，則的最大值與最小值的差為（

）A．25 B．24 C．74 D．8【考點5】整式相乘中的“不含”、“無關”問題；9．（2023下·江蘇·七年級專題練習）如果的結果中不含x的五次項，那么m的值為（

）A．1 B．0 C．-1 D．10．（2023下·七年級課時練習）計算得到的多項式不含x、y的一次項，其中a，b是常數(shù)，則的值為（

）A．1 B． C． D．7【考點6】整式相乘中的幾何問題；11．（2023下·浙江·七年級期中）如圖，長為，寬為的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為，下列說法中正確的有（

）①小長方形的較長邊為；②陰影A的一條較短邊和陰影B的一條較短邊之和為；③若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；④當時，陰影A和陰影B的面積和為定值．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個12．（2023下·江蘇·七年級專題練習）如圖，在長為，寬為的長方形鐵片上，挖去長為，寬為b的小長方形鐵片，則剩余部分面積是（

）A． B． C． D．【考點7】整式相乘中的規(guī)律問題.13．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶市第七中學校?？计谀┯衝個依次排列的整式：第1項是，用第1項乘以，所得之積記為，將第1項加上得到第2項，再將第2項乘以得到，將第2項加得到第3項，再將第3項乘以得到，以此類推；某數(shù)學興趣小組對此展開研究，得到4個結論：①第5項為；②；③若第2023項的值為0，則；④當時，第m項的值為．以上結論正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．414．（2023下·全國·七年級專題練習）我國南宋數(shù)學家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”．這個三角形給出了（n＝1，2，3，4，…）的展開式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）：11＝a+b121＝1331＝14641＝請根據(jù)上述規(guī)律，寫出的展開式中含項的系數(shù)是（

）A．2021 B．4042 C．2043231 D．2019填空題【考點1】單項式相乘；15．（2023下·全國·七年級專題練習）計算：．16．（2023下·浙江·七年級專題練習）已知代數(shù)式的值是7，則代數(shù)式的值是．【考點2】單項式與多項式相乘；17．（2023上·全國·八年級專題練習）計算：．18．（2023下·七年級課時練習）若，求．【考點3】多項式相乘；19．（2023下·七年級課時練習）已知ab=a+b+1，則（a﹣1）（b﹣1）=．20．（2023下·七年級單元測試）已知﹐則的值等于．【考點4】整式相乘中的字母的值；21．（2023下·七年級課時練習）若，則的值為．22．（2023上·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中）下列說法：①若，則；②若滿足，則一定不是負數(shù)；③已知，為有理數(shù)，若，則是負數(shù)；④多項式合并同類項后不含項，則的值是，其中一定正確的結論是（只填序號）．【考點5】整式相乘中的“不含”、“無關”問題；23．（2023下·七年級課時練習）關于的代數(shù)式的化簡結果中不含的一次項，則的值為．24．（2023下·浙江溫州·七年級溫州育英國際實驗學校校考期中）若（x－1）（x2＋ax＋2）的展開式中不含x2項，則a的值是【考點6】整式相乘中的幾何問題；25．（2023下·七年級課時練習）如圖，將邊長為的小正方形與邊長為的大正方形放在一起，則的面積是．26．（2023下·四川達州·七年級?？茧A段練習）如圖，現(xiàn)有A類、B類正方形卡片和C類長方形卡片各若干張，若要拼一個長為（3a+b），寬為（a+2b）的大長方形，則需要張C類卡片．

【考點7】整式相乘中的規(guī)律問題.27．（2023下·七年級課時練習）我國宋代數(shù)學家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項和的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”．請你利用楊輝三角，計算（a+b）6的展開式中，從左起第四項是．28．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）設，可以這樣求和的值：令，則；令，則，這種求代數(shù)值的方法叫“賦值法”．運用這種方法，可求得式子的值為．解答題題【考點1】單項式相乘；29．（2023下·全國·七年級專題練習）計算下列各式（1） （2）【考點2】單項式與多項式相乘；30．（2023下·全國·七年級專題練習）計算：（1）； （2）．【考點3】多項式相乘；31．（2023上·安徽淮南·八年級校聯(lián)考期末）在計算時，甲把b錯看成了6，得到結果是：；乙錯把a看成了，得到結果：．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的條件下，計算的結果．【考點4】整式相乘中的字母的值；32．（2023上·河南周口·八年級校聯(lián)考階段練習）仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知關于x的多項式有一個因式是，求另一個因式以及m的值．解：設另一個因式為，得：，則，∴，解得：，．∴另一個因式為，m的值為－21．問題：仿照以上方法解答下面問題：（1）二次三項式有一個因式是，求p的值；（2）已知關于x的多項式有一個因式是，求另一個因式以及k的值；（3）已知關于x的多項式有一個因式為，求b的值．【考點5】整式相乘中的“不含”、“無關”問題；33．（2023上·貴州安順·八年級校聯(lián)考期末）已知代數(shù)式化簡后，不含有項和常數(shù)項．（1）求，的值．（2）求的值．【考點6】整式相乘中的幾何問題；34．（2023上·河南洛陽·八年級校考期中）［知識回顧]有這樣一類題：代數(shù)式的值與x的取值無關，求a的值；通常的解題方法；把x，y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與x的取值無關，所以含x項的系數(shù)為0，即原式，所以，即．［理解應用]（1）若關于x的多項式的值與x的取值無關，求m的值；（2）已知的值與x無關，求y的值；（3）（能力提升）如圖1，小長方形紙片的長為a、寬為b，有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中有兩個部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設右上角的面積為，左下角的面積為，當AB的長變化時，的值始終保持不變，求a與b的等量關系．【考點7】整式相乘中的規(guī)律問題.35．（2023下·全國·七年級專題練習）我國古代數(shù)學的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，如圖1的“楊輝三角”就是其中的一例．如圖2，某同學發(fā)現(xiàn)楊輝三角給出了（為正整數(shù)）的展開式（按的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應展開式中各項的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應著展開式中各項的系數(shù)等等．（1）填出展開式中共有________項，第三項是________．（2）直接寫出的展開式．（3）推斷多項式（為正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和．（4）利用上面的規(guī)律計算：．參考答案：1．C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進行計算即可得出結果．解：，故C正確．故選：C．【點撥】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則，是解題的關鍵．2．B【分析】根據(jù)單項式乘單項式的計算法則求出a，b，計算ab即可．解：×3xy＝＝，∴a+1＝5，b+1＝6，解得a＝4，b＝5，∴ab＝4×5＝20，故選：B．【點撥】此題考查了單項式乘單項式，解題的關鍵是掌握單項式乘單項式的運算法則．3．B【分析】先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可．解：．故選B【點撥】本題考查的是整式的混合運算，單項式乘以多項式，掌握“單項式乘以多項式的運算”是解本題的關鍵．4．A【分析】先把等式左邊的式子根據(jù)單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加，所得結果與等式右邊的式子相對照即可得出結論．解：∵左邊．右邊，∴□內(nèi)上應填寫．故選：A．【點撥】本題考查的是單項式乘多項式，熟知單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加是解答此題的關鍵．5．C【分析】將等號右側展開得，根據(jù)對應項系數(shù)相等列等式計算求解即可．解：∵∴，解得，故選C．【點撥】本題考查了多項式的乘法運算．解題的關鍵在于根據(jù)對應項系數(shù)相等列等式．6．A【分析】將展開，再根據(jù)題意即可得出關于a的等式，求出a即可．解：∵，∴，解得：故選A．【點撥】本題考查多項式乘多項式．掌握多項式乘多項式的運算法則是解題關鍵．7．B【分析】根據(jù)多項式乘多項式的計算法則計算出，即可求解．解：∵，∴，∴，故選B．【點撥】本題主要考查了多項式乘以多項式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握多項式乘多項式的計算法則．先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．8．A【分析】利用多項式乘多項式的法則，把等式的左邊進行運算，再根據(jù)條件進行分析即可．解：，∵，∴p＋q＝m，pq＝36，∵36＝4×9，則p＋q＝13，36＝1×36，則p＋q＝37，36＝2×18，則p＋q＝20，36＝3×12，則p＋q＝15，36＝6×6，則p＋q＝12，∴m的最大值為37，最小值為12．其差為25，故選：A．【點撥】本題主要考查多項式乘多項式的法則的應用，解答的關鍵是理解清楚題意，求得m與p＋q，pq的關系．9．B【分析】根據(jù)單項式乘以多項式法則計算，即可求解．解：∵結果中不含x的五次項，∴，解得：．故選：B【點撥】本題主要考查了單項式乘以多項式法則，理解結果中不含x的五次項，即該項的系數(shù)等于0是解題的關鍵．10．B【分析】先利用多項式與多項式乘法法則，展開后合并同類項，再令含x、y的一次項的系數(shù)均為零，列方程組求解即可得到答案．解：==展開后多項式不含x、y的一次項，，，，故選B．【點撥】此題考查了多項式與多項式的乘法，熟練掌握多項式與多項式乘法法則、合并同類項、“不含某一項則某一項的系數(shù)為零”的性質，是解答此題的關鍵．11．B【分析】觀察圖形，由大長方形的長及小長方形的寬，可得出小長方形的長為，說法①符合題意；②由大長方形的寬及小長方形的長、寬，可得出陰影A，B的較短邊長，將其相加可得出陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為，說法②不符合題意；由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的周長計算公式可得出陰影A和陰影B的周長之和為，結合x為定值可得出說法③符合題意；由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的面積計算公式可得出陰影A和陰影B的面積之和為，代入可得出說法④符合題意．解：∵大長方形的長為ycm，小長方形的寬為4cm，∴小長方形的長為，說法①符合題意；∵大長方形的寬為xcm，小長方形的長為，小長方形的寬為4cm，∴陰影A的較短邊為，陰影B的較短邊為，∴陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為，說法②不符合題意；∵陰影A的較長邊為，較短邊為，陰影B的較長邊為，較短邊為，∴陰影A的周長為，陰影B的周長為，∴陰影A和陰影B的周長之和為，∴若x為定值，則陰影A和陰影B的周長之和為定值，說法③符合題意；∵陰影A的較長邊為，較短邊為，陰影B的較長邊為，較短邊為，∴陰影A的面積為，陰影B的面積為，∴陰影A和陰影B的面積之和為，當時，，說法④符合題意，綜上所述，正確的說法有①③④，共3個，故選：B．【點撥】本題考查了列代數(shù)式以及整式的混合運算，根據(jù)圖形分別表示出相關邊長并能熟練運用整式加減的運算法則是解題的關鍵．12．B【分析】根據(jù)長方形的面積公式分別計算出大長方形、小長方形的面積，再進行相減即可得出答案．解：，故剩余部分面積是，故選B．【點撥】本題考查了多項式乘多項式、整式的混合運算，解題的關鍵是掌握長方形的面積公式．13．C【分析】先分別求出前三項以及，，，從而得出規(guī)律為第項為，，據(jù)此求解即可．解：第1項為，，∴第2項為，，∴第3項為，，∴可以推出第項為，，∴第5項為，，故結論①、②正確；∵第2023項為，，∴，∴，∴，∴或1當時，當時，，∴若第2023項的值為0，則或0，故結論③錯誤；同理可得：第m項為，∴當時，第m項的值為，故結論④正確，綜上可得：結論正確的個數(shù)為3個．故選：C【點撥】本題考查了多項式乘以多項式的規(guī)律，解題的關鍵在于能夠根據(jù)題意找到規(guī)律求解．14．B【分析】先確定是展開式的第幾項，根據(jù)楊輝三角即可解決問題．解：展開式中含項的系數(shù)，由：＝…，可知，展開式中第二項為，∴的展開式中含項的系數(shù)是4042．故選：B．【點撥】本題考查數(shù)字的變化類、楊輝三角等知識，解題的關鍵是靈活運用楊輝三角解決問題，屬于中考常考題型．15．【分析】根據(jù)積的乘方、同底數(shù)冪的乘法可以解答本題．解：，故答案為：．【點撥】本題主要考查了單項式乘以單項式，熟練掌握單項式乘以單項式法則是解題的關鍵．16．18【分析】先根據(jù)已知條件得到，則，再由進行求解即可．解：∵代數(shù)式的值是7，∴，∴，∴，∴，故答案為：18．【點撥】本題主要考查了代數(shù)式求值，單項式乘以多項式，利用整體代入的思想求解是解題的關鍵．17．/【分析】根據(jù)單項式乘多項式的運算法則、單項式乘單項式運算法則求解即可．解：=，故答案為：．【點撥】本題考查單項式乘多項式、單項式乘單項式，算熟練掌握運算法則是解答的關鍵．18．/0.4【分析】先把等式左邊去括號，再利用對應項系數(shù)相等即可求解．解：，，，，．故答案為．【點撥】本題考查了整式的乘法，多項式相等對應項系數(shù)相等進解題的關鍵．19．2【分析】將（a﹣1）（b﹣1）利用多項式乘多項式法則展開，然后將ab=a+b+1代入合并即可得．解：（a﹣1）（b﹣1）=ab﹣a﹣b+1，當ab=a+b+1時，原式=ab﹣a﹣b+1=a+b+1﹣a﹣b+1=2，故答案為2．【點撥】本題考查了多項式乘多項式，解題的關鍵是掌握多項式乘多項式的運算法則及整體代入思想的運用．20．【分析】先將變形為，再根據(jù)多項式乘以多項式法則將進行運算并代入求值即可．解：∵，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題主要考查了整式運算及代數(shù)式求值，熟練掌握多項式乘以多項式運算法則是解題關鍵．21．/0.5【分析】根據(jù)單項式乘以單項式法則計算，得出，進而得出和的值即可得答案．解：∵，∴，解得：，∴，故答案為：【點撥】本題考查單項式乘以單項式，熟練掌握運算法則是解題關鍵．22．①②④【分析】根據(jù)除法運算法則、絕對值的性質、通過舉例和有理數(shù)的混合運算、合并同類項法則和解方程等知識，逐項進行判斷即可．解：∵，∴；故①正確；∵，∴，即a的絕對值等于它本身，∴a是非負數(shù)，一定不是負數(shù)；故②正確；取，，滿足，此時，故③不一定正確，∵中不含項，∴，解得,故④正確，故答案為：①②④【點撥】本題主要考查了合并同類項、絕對值、有理數(shù)的混合運算等知識，解題的關鍵是掌握相應的運算法則．23．2【分析】原式利用多項式乘以多項式法則計算，根據(jù)結果不含x的一次項，求出m的值即可．解：，由結果不含x的一次項，得到，解得：．故答案為：2．【點撥】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．24．1【分析】根據(jù)多項式乘多項式法則展開并合并同類項，然后根據(jù)展開式中不含x2項，可得x2項的系數(shù)等于0，即可求出a的值．解：（x－1）（x2＋ax＋2）=x3+ax2+2x-x2-ax-2=x3+（a-1）x2+（2-a）x-2，∵展開式中不含x2項，∴a-1=0，∴a=1．故答案為：1．【點撥】本題考查了整式的乘法—多項式乘多項式，掌握多項式乘多項式的法則是解題關鍵，不含哪一項就合并同類項后令該項的系數(shù)等于0．25．【分析】根據(jù)即可求解．解：由題意知，，故答案為：．【點撥】本題考查了多項式的乘法與圖形面積，數(shù)形結合是解題的關鍵．26．7【分析】用長乘以寬，列出算式，根據(jù)多項式乘以多項式的運算法則展開，然后根據(jù)A、B、C類卡片的形狀可得答案．解：∵（3a+b）（a+2b）＝3a2+6ab+ab+2b2＝3a2+7ab+2b2，∴若要拼一個長為（3a+b），寬為（a+2b）的大長方形，則需要A類3張，B類2張，C類7張．故答案為：7．【點撥】此題利用圖形的變換結合長方形的面積考查多項式的乘法，難度一般．27．20a3b3【分析】通過觀察可知“楊輝三角”的規(guī)律：①每個數(shù)等于上方兩數(shù)之和．②每行數(shù)字左右對稱，由1開始逐漸變大．③a的指數(shù)從左向右逐漸變小，b的指數(shù)由左向右逐漸變大．依據(jù)此規(guī)律，可得出最后答案．解：由題意可知：每個數(shù)等于上方兩數(shù)之和，∴（a+b）5的展開式中系數(shù)從左向右分別是1，5，10，10，5，1，∴（a+b）6的展開式中系數(shù)從左向右分別是1，6，15，20，15，6，1，又∵a的指數(shù)從左向右逐漸變小，b的指數(shù)由左向右逐漸變大，∴（a+b）6展開式左起第四項是20a3b3，故答案為：20a3b3．【點撥】本題屬于規(guī)律探索型問題，考查觀察以及歸納總結能力，找到蘊含的規(guī)律是解題的關鍵．28．【分析】根據(jù)題意可知，令，可求出，由此即可求解．解：令，則，令，則，∴令，則，∵，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查賦值法求代數(shù)式的值，理解題意，掌握賦值法的計算方法，整式的運算法則是解題的關鍵．29．（1）；（2）【分析】（1）先算積的乘方，同底數(shù)冪相乘，冪的乘方，最后進行整式的加減運算；（2）按照單項式的乘法進行運算即可．（1）解：原式=；（2）解：原式=，=【點撥】此題考查了整式的混合的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．30．（1）；（2）【分析】（1）先算積的乘方和冪的乘方，再算單項式乘多項式即可；（2）先算積的乘方，再算單項式乘多項式即可．解：（1）=-8a6b3?（3b2-4a+6）=-24a6b5+32a7b3-48a6b3；（2）【點撥】本題主要考查單項式乘多項式，積的乘方和冪的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．31．（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得出，，求出a、b的值即可；（2）把a、b的值代入，再根據(jù)多項式乘以多項式法則計算即可．（1）解：根據(jù)題意得：，，所以，，，解得：，；（2）解：把，代入，得．【點撥】本題考查了多項式乘以多項式，等式的性質，能正確運用多項式乘以多項式法則進行計算是解此題的關鍵．32．（1）p的值為6；（2）另一個因式是，；（3）【分析】本題主要考查了整式的乘法；（1）設另一個因式為，根據(jù)整式乘法的法則進行計算，得出關于p、n的方程，求解即可；（2）設另一個因式為，根據(jù)整式乘法的法則進行計算，得出關于k、n的方程，求解即可；（3）設另一個因式為，根據(jù)整式